2017-2018学年湖北省荆州中学高一下学期第二次双周考数学(文)试题

湖北省荆州中学2017-2018学年高一下学期第一次双周考数学试题（文）第I 卷一、选择题1. 已知集合{|0},{|11},P x x Q x x =>=-<<则P Q = （ ） A ．()1,1- B ．()0,1 C ．()0,+∞ D ．()1,-+∞2. 函数1()21x f x a +=-（0a >，且1a ≠）恒过定点（ ）A ．(1,1)--B ．(1,1)-C ．(0,21)a -D ．(0,1)3. 已知1319a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，9log 3b =，193c =，则a b c 、、的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>4. 已知向量(2,1)a = ，(3,)b m = ，若(2)//a b b +，则m 的值是（ ）A ．32 B ．32- C ．12 D ．12- 5. 在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 6.若幂函数()f x 的图像过点(16,8)，则2()()f x f x <的解集为（ ） A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ B ．(0,1) C. (,0)-∞ D ．(1,)+∞7.已知函数()cos(2)(0)f x x ωω=>，若()f x 的最小正周期为π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．π8x =B ．π4x = C. π2x = D ．3π4x =8. 已知定义域为R 的函数()f x 满足()(1)f x f x =--，则函数()f x 在区间[)1,1-上的图象可能是（ ）9.若不等式2log (21)0a ax x -+>（0a >，且1a ≠）在[1,2]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(2,)+∞ C. (0,1)(2,)⋃+∞ D ．1(0,)210. 已知1sin()63πα-=，则πcos 2()3α+的值是（ ） A.97 B.31 C.31- D.97- 11.已知ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，P 为平面ABC 内一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（ ）A ．-8B ．- C.-6 D ．-1 12.已知函数()1e (0)2xf x x =-<与()()ln g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎛-∞ ⎝ B. (-∞ C. ⎛ ⎝ D.⎛⎝第II 卷二、填空题13. 已知,a b 是两个相互垂直的单位向量，则|2|a b +=14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________15. 若函数()f x 满足：对任意实数x ，有(2)()0f x f x -+=且(2)()0f x f x ++=，当[0,1]x ∈ 时，2()(1)f x x =--，则[2017,2018]x ∈时，()f x = ．16. 已知函数()|cos2|f x x x +，现有如下几个命题： ①该函数为偶函数；②ππ[,]46-是该函数的一个单调递增区间； ③该函数的最小周期为π；④该函数的图像关于点7π(,0)12对称； ⑤该函数的值域为[1,2]-. 其中正确命题的编号为 ． 三、解答题17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7sin 4a B c =，3cos 5B =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设BC 边上的中点为D ，求ABC ∆的面积．18. 已知函数πππ()2sin()sin()sin 233f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若锐角ABC ∆的三个角,,A B C 满足()12B f =，求()f A 的取值范围.19. 已知函数()11lg+-=x xx f . （Ⅰ）求不等式0)2(lg ))((>+f x f f 的解集;（Ⅱ）函数()),1,0(2≠>-=a a a x g x若存在[),1,0,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立,求实数a 的取值范围;20.已知42()4cos 4sin 2cos2f x x x x x =+ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的图像上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在π[0,]2x ∈上的单调区间和最值.21. 已知向量(3,)a x x =+ ，(sin 2,sin cos )b a a θθθ=---.（Ⅰ）当1x =-，πθ=时，有||2a b -=，求实数a 的值；（Ⅱ）对于任意的实数x 和任意的3π[π,]2θ∈，均有||a b - ，求实数a 的取值范围.22.已知()()()2log 41xf x kx k =+-∈R .（Ⅰ）设()()g x f x a =-， 2k =，若函数()g x 存在零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若()f x 是偶函数，设()24log 23xh x b b ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数b 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5:BBDAD 6-10: DCCBD 11、12：AB 二、填空题13.14. π6 15. 2(2017)x - 16. ②③三、解答题17. 解：（Ⅰ）由3cos 5B =，得4sin 5B =， 又7sin 4a B c =，代入得75a c =， 由sin sin a cA C=，得7sin 5sin A C = 7sin 5sin()A A B =+， 7sin 5sin cos 5cos sin A A B A B =+得tan 1A =，π4A =， （Ⅱ）222cos 137AB BD AB BD B +-∙=，22553()213714145c c c c +-⨯⨯=，14c =，则10a =114sin 141056225S ac B ==⨯⨯⨯=18. 解：（Ⅰ）πππ()2sin()sin()sin233f x x x =++-12cos (sin )2x x x =+-2sin cos x x x =+1sin 222x x =+πsin(2)3x =+， 令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+⇒5ππππ1212k x k -+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间5ππ[π,π]1212x k k ∈-++，k ∈Z（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1()sin()23B f B π==+，锐角ABC ∆中：πππ326B B +=⇒=.于是：由锐角三角形ABC ∆知π02π0π2A C A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=--<⎪⎩πππ4ππ23233A A ⇒<<⇒<+<，故πsin(2)03A <+<⇒π()sin(2)(3f A A +∈， 所以()f A的取值范围是(.（Ⅱ）略.20. 解：（Ⅰ）42()4cos 4sin 2cos2f x x x x x =+2(1cos 2)2(1cos 2)4x x x =++-2cos 243x x =+1cos 4432x x +=-+π7cos(4)32x =++所以()f x 的最小正周期为π2；（Ⅱ）π7()cos(2)32g x x =-+的增区间为π[0,]6，减区间为ππ[,]62，()g x 在π[0,]2x ∈上最大值为π9()62g =，最小值为π()32g =.21. 解：（Ⅰ）当1x =-，πθ=时，(2,1)a =- ，(0,)b a，∵||2a b -=2=∴1a =-（Ⅱ）已知：任意x R ∈与3π[π,]2θ∈，有221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥恒成立，令32sin cos m θθ=+，sin cos n a a θθ=+，则2221()()28x m x n x +++≥⇒2212()08m n x m n ++++-≥，22214()8()8m n m n ⇒∆=+-+-2110()42m n m n ≤⇒-≥⇒-≤-或12m n -≥，令sin cos 2sin cos t θθθθ=+⇒=21t -且πsin cos )[1]4t θθθ=++∈-，即：22m t =+，n at =，22m n t at -=-+ 则：2122t at -+≤-或2122t at -+≥法一：含参分类讨论（对称轴与定义域[1]-的位置关系）法二：参分求最值（注意单调区间）252at t ⇒≥+或232at t ≤+52a t t ⇒≤+或3([1])2a t t t≥+∈-由单调性可得72a ≤-或a ≥综上可得实数a 的取值范围为7(,]2-∞-或[)+∞..22. 解：（Ⅰ）由题意函数()g x 存在零点，即()f x a =有解.又()()2log 412xf x x =+-= 22411log log 144x x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 易知()f x 在(),-∞+∞上是减函数，又1114x +>， 21log 104x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()0f x >， 所以a 的取值范围是()0,+∞（Ⅱ）()()2log 41xf x kx =+-，定义域为R ， ()f x 为偶函数()()2111log 14f f k ⎛⎫⇒-=-⇒++ ⎪⎝⎭()2log 411k k =+-⇒=检验： ()()2241log 41log 2x xxf x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭()2log 22x x-=+， 则()()()()2log 22xx f x f x f x --=+=⇒为偶函数，因为函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点， 所以方程()()f x g x =只有一解，即42223xx x b b -+=⋅-只有一解，令2xt = 0t >（），则()231430b t bt ---=有一正根，当1b =时， 304t =-<，不符合题意， 当1b ≠时，若方程有两相等的正根， 则()()()2=443130b b ∆--⨯-⨯-=且()40231bb >⨯-，解得3b =-，若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为()23143y b t bt =---图象恒过点()0,3-，只需图象开口向上，所以10b ->即可，解得1b >，综上， 3b =-或1b >，即b 的取值范围是{}()31,.-⋃+∞。

湖北省荆州中学2017-2018学年 高二下学期第一次双周考（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。

1．曲线f (x )＝－2x在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋42.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A ．1x = B ．1y = C. 1x =- D ．1y =- 3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 4. 下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在5. 正弦曲线y ＝sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与y ＝sin x 的图象的相邻两个交点的距离为( )A ．1B ．πC ．2D ．2π6.设''01021()sin ,()(),()()f x x f x f x f x f x ===,'1()()n n f x f x +=n ∈N,其中'()n f x 为()f x 的导函数，则2018()f x 等于（ ）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx7．襄阳四中、五中属于襄阳市，宜昌一中、夷陵中学属于宜昌市，龙泉中学、钟祥一中属于荆门市，荆州中学属于荆州市，从参加本次七校联考的七所学校中抽取两个学校的成绩进行分析，则抽出来的两所学校属于不同城市的概率为 （ ） A ．67B ．1721C ．1314D ．19218．已知1a >，过(,0)P a 作22:1O x y +=e 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则经过,,P A B 三点的圆的半径为（ ） AB ．12a +C ． aD ．2a 9.设点P 是曲线y=x 3-x+b(b 为实常数)上任意一点,P 点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 ( )A. B.C.∪D.∪10.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.那么p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.在函数()()2ln 1f x a x x =--的图象上，横坐标在()1,2内变化的点处的切线斜率均大1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞ C. [)6,+∞ D ．()6,+∞ 12.已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省荆州市沙市区2016-2017学年高一数学下学期第二次双周考试题 文（无答案）考试时间：2017年3月10日一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知(1,1)(1,1)(1,2)a b c ==-=-，，，则()c =A ．1322a b -+ B ．1322a b - C ．3122a b - D ．31+22a b -2．已知(2,1)(,1)a b λ=--=，，则a b 与夹角θ为钝角时，λ取值范围为（ ）A ．12λ>-B ．12λ<- C ．122λλ>-≠且 D ．122λλ<-≠且3．已知向量(1,0)a =，(0,1)b =，()c a b R λλ=+∈，向量d 如图所示，若c ∥d ，则λ=（ ） A ．43 B ．43 C ．34- D ．43- 4．设M 为ABC ∆的重心，则()AM =A ．1()2AC AB - B ．1()2AB AC + C ．1()3AC AB - D ．1()3AB AC +5．已知向量(1,2)a =，(2,3)b =-，若向量c 满足()c a +∥b ，()c a b ⊥+则c =（ ）A.77(,)93B. 77(,)39C. 77(,)39-- D. 77(,)93-- 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a 、b 、c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为（ ） A ．－19 B ．13 C ．1 D ．727．已知锐角三角形的边长分别为2,3,x ，则x 的取值范围是（ ） A． B．C．D．8. 若,是非零向量，且,⊥≠，则函数)()()(x x x f -⋅+=是（ ） A. 一次函数且是奇函数 B. 一次函数但不是奇函数C. 二次函数且是偶函数D. 二次函数但不是偶函数9. 在ABC ∆中，已知2sin cos cos 2AC B =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10. 直角梯形ABCD 中，M CD AB B AB AD CD AB ,22,45,,//===∠⊥ 为腰BC 的中点，则=⋅( )A ．1B ．2C ．3D ．4 11. 若满足条件 60,2=∠=B AB 的ABC ∆有两个，则AC 长的取值范围是（ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,2(D ．)2,3( 12．已知向量,a b 满足1a =，a 与b 的夹角为3π，若对一切实数x ，2xa b a b +≥+恒成立，则b 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞ B ．[1,)+∞ C ．1(,)2+∞ D ．(1,)+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知(1,3)a =，(1,0)b =-，则2a b += ．14．在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足2AP PM =,则()PA PB PC ⋅+等于___________．15．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．已知A C B sin 41sin sin =-，c b 32=，则A cos = ．16．在∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共70分） 17．(10分) 已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=． （1）求a 与b 的夹角θ． （2）求a b +和a b -．18．(12分)已知函数2()2sincos 444x x xf x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期及最值； （2）令()()3g x f x π=+，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．19．(12分) 在锐角△ABC 中，边a ，b 是方程220x -+=的两根，角A ，B 满足：2sin()0A B +=，（1）求角C 的度数；（2）求边C 的长度及△ABC 的面积。

某某省荆州中学2017-2018学年高一数学下学期第二次双周考试题理一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1.23sin 83sin 203cos 263cos +的值为（ ） A.21 B. 21- C. 23 D.23-2. 已知(2,1),(1,2)a b ==-，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈,则m n -的值为（ ） A. 2 B. －2 C. 3 D.－33. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图象（ ） A. 向右平移4π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移4π个单位 D. 向左平移12π个单位4. 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是 ( )A ．7,3,30b c C ===︒B ．5,4,45b c B ===︒ C．6,60a b B ===︒D ．20,30,30a b A ===︒5. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度决定6．数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩，若167a =，则2016a =（ ） A ．67 B ．57 C ．37 D ．177．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,111a =- ,564a a +=-,n S 取得最小值时n =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若ABC 的面积22S=[()]a b c －－，则AAsin cos 1-等于（ ）A ．21 B ．31C ．41D ．61 9.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的71是较小的两份之和，问最小一份为（ ） A ．35 B ．310 C ．65 D ．611 10.设)30cos(cos )(x xx f -=，根据课本中推导等差数列前n 项和的方法可以求得)59()2()1( f f f +++的值是（ ）A.2359 B.0 C.59 D.259 11．已知函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)(x ∈R )满足)()(201512015x f x f =-，且)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上是减函数，则θ的一个可能值是（ ）A.3πB ．32π C.34πD ．35π 12. 已知向量,a b 满足1,a a =与b 的夹角为3π，若对一切实数x ，2xa b a b +≥+恒成立，则b 的取值X 围是（ ）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.[)1,+∞D.()1,+∞二、填空题：（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）。

高一年级数学月考试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A. B.C. D.2.已知a=，b=，c=，则（）A. B. C. D.3.定义在R上的奇函数满足，且在上，则A. B. C. D.4.将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.5.已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A. B. C. D.6.若cos（-α）=，则cos（+2α）的值为（）A. B. C. D.7.已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A. B. 或 C. D. 或8.若a＞0，b＞0，a+b=ab，则a+b的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89.下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.10.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A. B. C. D.11.如图,在棱长为1的正方体中,点分别是棱的中点,是侧面内一点,若平面,则线段长度的取值范围是（）A.B.C.D.12.若函数f（x）=|log a x|-2-x（a＞0，a≠1）的两个零点是m，n，则（）A. B. C. D. 以上都不对二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B=a cos C+c cos A，则B=______．14.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=______．15.设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=______．16.如图，已知三棱锥A－BCD中，AD，BD，CD两两垂直，AD＝BD＝1，，E，F分别为AC，BC的中点，则点C到平面DEF的距离为_________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知集合A={x|ax2-3x+1=0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．18.已知函数.（1）求的单调增区间;（2）若存在，使成立，求的取值范围.19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．20.函数f（x）=（log2x-2）（log4x-）．（1）当x∈时．求该函数的值域；（2）若f（x）＞m log4x对于x∈恒成立，求m的取值范围．21.南通地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.22.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.（1）试将污水净化管道的总长度 (即的周长)表示为的函数，并求出定义域；（2）问当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得C B A．【解答】解：A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}，C B A=2（x-）+2（x-）+π-（-2α）1，40，14，161，21，21，21，40，14，161，210,20hslx3y3h上单调递减，∴t=10时，Q(t)取得最大值为74.4,∴t=4时，取得最大值，最大值为132,故当发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为132.【解析】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．（1）由题意知，当10≤t≤20，p(t)=500，当2≤t≤10，p(t)=500-k(10-t)2,∵p(2)=372，∴k=2，∴p(t)=500-2(10-t)2,故得；（2）写出分段函数Q(t），利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．22.【答案】解：（1）∵，∵，，∴，∴，∴管道的总长度，定义域为；（2）∵，，设，∴，∵，∴，∵在内单调递减，∴当时，取的最大值米.（此时或），答：当或时所铺设的管道最短，为米.【解析】本题考查了函数模型的应用，涉及到三角函数的化简，三角函数的图象与性质的应用，三角函数恒等变换中辅助角公式的应用.（1）根据题意，得到，注意其定义域为；（2）利用函数解析式，结合三角函数的恒等变换，得到最值，及总长度.。

2017—2018学年下学期2017级第二次双周练数学试卷考试时间：2018年3月29日一、选择题（60分）1( )A. B.C. D.2）B C.32π) )A. B. C. D.4．在中，，，则（）．A. B.5．函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.6．函数的一部分图像如图所示，则（）A.B.C.D.7）．A. B.C. D.8．已知函数，若的两个零点，满足）A.9．）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D. 钝角三角形10．已知，点为斜边的中点，，则等于（）A. －14B. －9C. 9D. 1411()A. B. C. 2 D.12A. 2B.C. 1二、填空题（20分）13______．14是．15. 在△ABC cos A＋cos C的最大值为．16．在△中，内角的对边分别为，若其面积，角的平分线________.三、解答题（70分）17．（10分）已知向量.（1）若,求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．18．（12（）求的值和函数的对称轴方程．19．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（220．（12分）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为，向量向量.（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积.21.（12分）22．（12分）已知三角外心若（1（2参考答案1．D2．B3．D4．C5．D6．D7．C8．C9．C10．C11．B12.D13．51415.1.16．317．（1）；（2）时，取到最大值；当时，取到最小值. 18．(1)见解析；（2）.19．（1）；（2）320．(1)；(2)16.21.22。

湖北省荆州市沙市某校高一（下）第二次周练数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1. 下列各选项中，与sin2013∘最接近的数是（）A.−12B.12C.√22D.−√222. 等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=()A.15B.30C.31D.643. 在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形4. 已知数列{a n}满足a1=1，a n=1+1a n−1，则a5=()A.3 2B.53C.85D.25. 半径为R的圆内接正n边形的面积为（）A.1 2R2sin2πnB.n2R2sin2πnC.12R2cos2πnD.n2R2sinπn6. 设函数f(x)＝sin(2x+π3)，则下列结论正确的是（）A.f(x)的图象关于直线x=π3对称B.f(x)的图象关于点(π4, 0)对称C.把f(x)的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D.f(x)的最小正周期为π，且在[0, π6]上为增函数7. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6=13，则S6S12=()A.3 10B.13C.18D.198. △ABC中，a=2，b=4，则∠A的取值范围是（）A.(0, π6] B.(0, π3) C.[π6, π2] D.(π6, π3)9. 函数f(x)=sinπx+cosπx+|sinπx−cosπx|2对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2−x1|的最小值为（）A.34B.1C.2D.410. 已知方程(x2−2x+m)(x2−2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m−n|等于（）A.1B.34C.12D.3811. 函数f(x)=|2x−a|+1的定义域为[p, q]，值域为[1, 2]，则q−p的最大值为（）A.1B.2C.a+1D.2a12. 方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)=xa(x+2)有唯一不动点，且x1=1000，x n+1=1f(1x n )，n为正整数，则x2011=()A.2005B.2006C.2007D.2008二.填空题（7×4）已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(x∈R,,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是________．数列2，1，2，1，2，1…．的一个通项公式为________．函数y =√sin x −cos x 的单调递增区间为________．已知数列{a n }的前n 项和S n =3n +1，则a n=________．已知α，β均为锐角，且tan (α−β)=−12，若cos α=35，则cos 2β的值为________．若cos x 1=cos x 2，则x 1与x 2满足的数量关系为________．已知函数f(x)=sin 2x +a cos x +58a −32在闭区间[0, π2]上的最大值是1，则a =________．三、解答题（共6小题，满分74分）已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+2n +3． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{S n }前5项和．已知tan (α−β)=12，tan β=−17，且α，β∈(0, π)，求2α−β的值．方程8x 2−6x +2k +1=0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值？若能，试求出k 值，若不能，请说明理由．已知数列{a n }满足a 1=2，a n =2a n−1+2 n+1 （1）若b n =a n 2n，求证{b n }为等差数列；（2）求{a n }的通项公式．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10√3米，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．探讨是否存在满足以下两个条件的三角形 （1）三边是连续的整数，最大角是最小角的两倍？（2）三边是连续的整数，最大角是最小角的三倍？参考答案与试题解析湖北省荆州市沙市某校高一（下）第二次周练数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1.【答案】 A【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】2013∘=6×360∘−157∘，利用诱导公式判断即可． 【解答】解：sin 2013∘=sin (6×360∘−157∘)=−sin 157∘， 又−sin 150∘=−12，∴ 与sin 2013∘最接近的数是−12，故选：A ． 2.【答案】 A【考点】等差数列的性质 【解析】由a 7+a 9=16可得2a 1+14d =16，再由a 4=1=a 1+3d ，解方程求得a 1和公差d 的值，从而求得a 12的值． 【解答】解：设公差等于d ，由a 7+a 9=16可得2a 1+14d =16， 即a 1+7d =8．再由a 4=1=a 1+3d ，可得a 1=−174，d =74．故a 12=a 1+11d =−174+774=15，故选A ． 3.【答案】 D【考点】三角形的形状判断 【解析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin 2A ＝sin 2B ，由A 和B 都为三角形的内角，可得A ＝B 或A +B ＝90∘，从而得到三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【解答】∴12sin2A=12sin2B，∴sin2A＝sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B=π2，则△ABC为等腰或直角三角形．4.【答案】C【考点】数列递推式【解析】由已知条件利用递推思想求解．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n=1+1a n−1，∴a2=1+11=2，a3=1+12=32，a4=1+132=53，a5=1+153=85．故选：C．5.【答案】B【考点】球内接多面体【解析】用R、n表示出圆的内接正n边形的边长及边心距，再由三角形的面积公式求解即可．【解答】解：半径为R的圆的内接正n边形的边长为2R sinπn，边心距为R cosπn，则正n边形的面积为=n⋅122R sinπn⋅R cosπn=n2R2sin2πn故选：B．6.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换由题意求出函数对称轴，判断A ，不正确；对称中心代入验证可知B 的正误，根据平移判断C 的正误，根据单调性判断D 的正误即可． 【解答】由对称轴x =12kπ+π12 k ∈Z ，A 不正确，(π4, 0)代入函数表达式对B 选项检验知命题错；C 平移后解析式为f(x)＝sin [2(x +π12)+π3]＝sin (2x +π2)＝cos 2x ，故其为偶函数，命题正确；D ．由于x ∈[0, π6]时2x +π3∈[π3, 2π3]，此时函数在区间内不单调，不正确． 7.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 【解析】根据等差数列的前n 项和公式，用a 1和d 分别表示出s 3与s 6，代入S3S 6=13中，整理得a 1＝2d ，再代入S6S 12中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由等差数列的求和公式可得S 3S 6=3a 1+3d 6a 1+15d =13,∴ a 1=2d 且d ≠0， ∴S 6S 12=6a 1+15d 12a 1+66d=27d 90d=310.故选A . 8. 【答案】 A【考点】 余弦定理 正弦定理【解析】利用余弦定理表示出cos A ，将a ，b 的值代入，并利用基本不等式求出cos A 的范围，即可求出出∠A 的范围． 【解答】解：∵ 在△ABC 中，a =1，b =2， ∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc=3+c 24c=c 4+34c ≥2√c 4×34c =√32，当且仅当c 4=34c ，即c 2=3时取等号，9.【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 三角函数的周期性及其求法【解析】先将函数写出分段函数，再确定|x 2−x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论． 【解答】解：由题意可得，f(x)={sin πx,sin πx ≥cos πxcos πx,cos πx >sin πx ，f(x 1)为函数的最小值，f(x 2)为函数的最大值．|x 2−x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值． 由于x =12 时，函数取得最大值2，x =54 时，sin πx =cos πx =−√22，函数取得最小值， ∴ |x 2−x 1|的最小值为54−12=34， 故选A ． 10.【答案】 C【考点】根与系数的关系 等差数列的性质【解析】设4个根分别为x 1、x 2、x 3、x 4，进而可知x 1+x 2和x 3+x 4的值，进而根据等差数列的性质，当m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q ．设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列，进而求得m 和n ，则答案可得． 【解答】解：设4个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4， 则x 1+x 2=2，x 3+x 4=2，由等差数列的性质，当m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q ． 设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列为14，34，54，74， ∴ m =716，n =1516．∴ |m −n|=12． 故选C.11. 【答案】 A函数的定义域及其求法 函数的值域及其求法 【解析】由函数的最小值恰是函数值域的最小值，得出x =a2在定义域区间里，再由f(x)=2求得x 的值，从而求得q −p 的最大值． 【解答】解：∵ x =a2时，f(a2)=1恰是f(x)的最小值， ∴ x =a 2∈[p, q]，令|2x −a|+1=2， 即|2x −a|=1， 解得x 1=a+12，x 2=a−12；∴ q −p ≤|x 1−x 2|=|a+12−a−12|=1，即q −p 的最大值是1． 故选：A ． 12.【答案】 A【考点】函数的图象变换 【解析】先根据xa(x+2)=x 转化为二次方程，再由函数f(x)有唯一不动点可求出a 的值，然后代入确定函数f(x)的解析式，进而可得到x n+1、x n 的关系，再由等差数列的通项公式可得到最后答案． 【解答】解：由xa(x+2)=x 得ax 2+(2a −1)x =0． 因为f(x)有唯一不动点， 所以2a −1=0，即a =12． 所以f(x)=2x x+2．所以x n+1=1f(1x n)=2x n +12=x n +12．所以x 2011=x 1+12×2010=1000+12×2010=2005． 故选：A ．二.填空题（7×4） 【答案】 y =sin (2x +π3)【考点】通过函数的图象，求出函数的周期，求出ω，利用函数经过的特殊点，求出φ，得到函数的解析式． 【解答】解：由图象可知T =5π6+π6=π，所以ω=2，因为函数的图象经过(−π6,0)，所以0=sin (2×(−π6)+φ)，因为|φ|<π2，所以φ=π3． 所求函数的解析式为：y =sin (2x +π3)． 故答案为：y =sin (2x +π3)． 【答案】a n =32+(−1)n+1⋅12 【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】 由数列观察出相邻两项的和是3，且2、1都与3相差12，再由−1的幂的形式调节，写出通项公式． 【解答】解：由于数列2，1，2，1，2，1…的相邻两项的和是3，且2、1都与32相差12， 所以此数列的一个通项公式为a n =32+(−1)n+1⋅12， 故答案为：a n =32+(−1)n+1⋅12．【答案】 [2kπ+π4, 2kπ+3π4]，k ∈Z【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】根据被开方数大于或等于0，结合正弦函数的图象与性质，得函数的定义域，在此基础上解关于x 的不等式，即可求得函数的单调递增区间． 【解答】解：首先sin x −cos x ≥0，即√2sin (x −π4)≥0∴ 2kπ≤x −π4≤2kπ+π，即π4+2kπ≤x ≤2kπ+5π4(k ∈Z)即函数的定义域为{x|2kπ+π4≤x ≤2kπ+5π4, k ∈Z}再令−π2+2kπ≤x −π4≤π2+2kπ，得−π4+2kπ≤x ≤3π4+2kπ，k ∈Z即交集得，函数的单调增区间为：x ∈[π4+2kπ, 3π4+2kπ]，k ∈Z【答案】{4,n =12⋅3n−1，n ≥2【考点】 数列递推式 【解析】由数列的前n 项和求得首项，再由a n =S n −S n−1求得n ≥2时的通项公式，验证n =1后得答案． 【解答】解：∵ S n =3n +1， 当n =1时，a 1=S 1=4；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n +1−(3n−1+1)=2⋅3n−1． 验证n =1时上式不成立，∴ a n ={4,n =12⋅3n−1，n ≥2．故答案为：{4,n =12⋅3n−1，n ≥2．【答案】−117125 【考点】两角和与差的正切公式 【解析】由题意易得sin (α−β)和cos (α−β)，以及sin α，进而可得cos β，由二倍角的余弦公式可得． 【解答】 解：∵ α，β均为锐角，∴ α−β∈(−π2, π2)，又∵ tan (α−β)=−12，∴ α−β∈(−π2, 0)， ∴ sin (α−β)=−√55，cos (α−β)=2√55， ∵ cos α=35，∴ sin α=√1−cos 2α=45， ∴ cos β=cos [α−(α−β)] =cos αcos (α−β)+sin αsin (α−β) =35×2√55+45×(−√55)=2√525， ∴ cos 2β=2cos 2β−1=−117125 故答案为：−117125【答案】x 1+x 2=2kπ或x 1−x 2=2kπ，k ∈Z 【考点】余弦函数的图象 【解析】根据余弦函数图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵cos x1=cos x2，∴cos x1=cos x2=cos(−x2)，则x1=x2+2kπ或x1=−x2=2kπ，即x1+x2=2kπ或x1−x2=2kπ，k∈Z，故答案为：x1+x2=2kπ或x1−x2=2kπ，k∈Z 【答案】32【考点】三角函数的最值【解析】将已知解析式变形为f(x)=sin2x+a cos x+58a−32=−cos2x+a cos x+58a−12=−(cos x−a2)2+5a8+a24−12，x∈[0, π2]，则cos x∈[0, 1]，利用换元法将问题转化为二次函数的问题解答．【解答】解：f(x)=sin2x+a cos x+58a−32=−cos2x+a cos x+58a−12=−(cos x−a2)2+5a8+a2 4−12，∵x∈[0, π2]，∴cos x∈[0, 1]，设cos x=t，则t∈[0, 1]，所以f(t)=−(t−a2)2+5a8+a24−12，在[0, 1]上的最大值为1，当0<a2<1，f(t)max=f(a2)=5a8+a24−12=1，解得a=−4（舍去）或a=32；当a2≥1时，f(t)max=f(1)−(1−a2)2+5a8+a24−12=1，解得a=2013<2舍去；当a2≤0时，f(t)max=f(0)=−(0−a2)2++5a8+a24−12=1，解得a=125，舍去；综上a=32．三、解答题（共6小题，满分74分）【答案】解：（1）因为数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+3，所以当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n+3−[(n−1)2+2(n−1)+3]=2n+7，又当n=1时，a1=S1=6≠2×1+7，所以a n={62n+7n=1 n≥2，（2）设数列{S n}前5项和为S，则S=(12+22+32+42+52)+2(1+2+3+4+5)+5×3 =55+30+15=100．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）当n=1时代入S n=n2+2n+3求出a1的值，当n>2时，由a n=S n−S n−1求出a n的表达式，再验证a1的值，最后写出a n的通项公式；（2）根据S n=n2+2n+3的特点，利用分组求和法求出数列{S n}前5项和．【解答】解：（1）因为数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+3，所以当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n+3−[(n−1)2+2(n−1)+3]=2n+7，又当n=1时，a1=S1=6≠2×1+7，所以a n={62n+7n=1 n≥2，（2）设数列{S n}前5项和为S，则S=(12+22+32+42+52)+2(1+2+3+4+5)+5×3 =55+30+15=100．【答案】解：∵2α−β=2(α−β)+β，…又tan(α−β)=12，∴tan2(α−β)=2tan(α−β)1−tan2(α−β)=43…故tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=tan2(α−β)+tanβ1−tan2(α−β)tanβ=43−171+43×17=1．…又∵tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)+tanβ=13<1，…且0<α<π，∴0<α<π4，∴0<2α<π2．…又tanβ=−17，且β∈(0, π)⇒β∈(π2，π)⇒−β∈(−π,−π2)．…∴2α−β∈(−π, 0)．又tan(2α−β)=1，∴2α−β=−3π4．…【考点】两角和与差的正切公式【解析】观察角度的关系发现2α−β=2(α−β)+β，求出tan2(α−β)，然后利用两角和的正切函数求出tan(2α−β)，再根据tanα、tanβ的值确定α，β的具体范围，进而确定2α−β的范围，就可以根据特殊角的三角函数值求出结果．【解答】解：∵2α−β=2(α−β)+β，…又tan(α−β)=12，∴tan2(α−β)=2tan(α−β)1−tan2(α−β)=43…故tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=tan2(α−β)+tanβ1−tan2(α−β)tanβ=43−171+43×17=1．…又∵tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)+tanβ=13<1，…且0<α<π，∴0<α<π4，∴0<2α<π2．…又tanβ=−17，且β∈(0, π)⇒β∈(π2，π)⇒−β∈(−π,−π2)．…∴2α−β∈(−π, 0)．又tan(2α−β)=1，∴2α−β=−3π4．…【答案】解：假设存在实数k，使方程的两根是一个直角三角形的两锐角A，B的正弦，则A+B=π2，sin A=cos B．∵sin2A+cos2A=1，∴x12+x22=1．∵x1+x2=68=34，x1⋅x2=2k+18，∴(34)2−2×2k+18=1，解得：k=38，当k=38时，原方程为8x2−6x+74=0，△<0，不合题意．综上知，不存在实数k适合题意．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】直角三角形的两锐角互补，他们的正弦值的平方和为1，故2根之和为1，从而根据根与系数的关系解答．【解答】解：假设存在实数k，使方程的两根是一个直角三角形的两锐角A，B的正弦，则A+B=π2，sin A=cos B．∵sin2A+cos2A=1，∴x12+x22=1．∵x1+x2=68=34，x1⋅x2=2k+18，∴(34)2−2×2k+18=1，解得：k=38，当k=38时，原方程为8x2−6x+74=0，△<0，不合题意．综上知，不存在实数k适合题意．【答案】（1）证明：由a n=2a n−1+2n+1，得a n 2n −a n−12n−1=2(n≥2)，∵b n=a n2n，∴b n−b n−1=2，∴{b n}为等差数列；（2）解：∵{b n}为等差数列，且b1=a12=1，∴b n=b1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1，即a n2n=2n−1，∴a n=(2n−1)2n．【考点】数列递推式等差关系的确定【解析】（1）把已知数列递推式两边同时除以2n，移向后即可证得{b n}为等差数列；（2）由等差数列的通项公式求得{b n}的通项公式，则{a n}的通项公式可求．【解答】（1）证明：由a n=2a n−1+2n+1，得a n 2n −a n−12n−1=2(n≥2)，∵b n=a n2n，∴b n−b n−1=2，∴{b n}为等差数列；（2）解：∵{b n}为等差数列，且b1=a12=1，∴b n=b1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1，即a n2n=2n−1，∴a n=(2n−1)2n．【答案】解：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=10√3．在△BPC中，由余弦定理可得cos2θ=√3)22√3)22×10√3×30=√32，所以2θ=30∘，所以θ=15∘．【考点】解三角形的实际应用【解析】先根据题意确定PA、PB、PC和BC的值，在△BPC中应用余弦定理可求得cos2θ的值，进而可确定2θ的值，即可求角θ的度数．【解答】解：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=10√3．在△BPC中，由余弦定理可得cos2θ=√3)22√3)22×10√3×30=√32，所以2θ=30∘，所以θ=15∘．【答案】解：（1）设∠A=2∠B，当a>c>b时，设a=n+1，c=n，b=n−1，（n为大于1的正整数），根据正弦定理得n+1sin A =n−1sin B，∵∠A=2∠B，∴sin A=sin2B=2sin B cos B，∴cos B=n+12(n−1)，根据余弦定理得，cos B=a 2+c2−b22ac=(n+1)2+n2−(n−1)22n(n+1)=n+42(n+1)，∴n+12(n−1)=n+42(n+1)，解得n=5，∴n−1=5−1=4，n+1=5+1=6，∴存在三边4、5、6，使最大角是最小角的两倍；（2）同(1)n+1sin A =n−1sin B，∵∠A=3∠B，∴sin A=sin3B=3sin B−4sin3B，∴3−4sin2B=n+1n−1，整理得，4sin2B=3−n+1n−1=2−nn−1=−n−2n−1，∴sin2B=−14+14(n−1)∵n是大于1的正整数，∴−14+14(n−1)<0，而sin2B是正数，∴满足条件的n值不存在，故不存在三边为连续自然数的三角形，使最大角是最小角的三倍．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）设a>c>b，根据三角形的三边是连续的自然数设a=n+1，c=n，b=n−1，然后根据正弦定理以及二倍角公式列式求出cos B=n+12(n−1)，再利用余弦定理表示出cos B，然后解关于n的方程，如果n是大于1的正整数，则存在，否则不存在；（2）同（1）的方法，先根据正弦定理以及三倍角公式列式并整理用n表示出sin2B，再根据sin2B是正数判断不存在．【解答】解：（1）设∠A=2∠B，当a>c>b时，设a=n+1，c=n，b=n−1，（n为大于1的正整数），根据正弦定理得n+1sin A =n−1sin B，∵∠A=2∠B，∴sin A=sin2B=2sin B cos B，∴cos B=n+12(n−1)，根据余弦定理得，cos B=a 2+c2−b22ac=(n+1)2+n2−(n−1)22n(n+1)=n+42(n+1)，∴n+12(n−1)=n+42(n+1)，解得n=5，∴n−1=5−1=4，n+1=5+1=6，∴存在三边4、5、6，使最大角是最小角的两倍；（2）同(1)n+1sin A =n−1sin B，∵∠A=3∠B，∴sin A=sin3B=3sin B−4sin3B，∴3−4sin2B=n+1n−1，整理得，4sin2B=3−n+1n−1=2−nn−1=−n−2n−1，∴sin2B=−14+14(n−1)∵n是大于1的正整数，∴−14+14(n−1)<0，而sin2B是正数，∴满足条件的n值不存在，故不存在三边为连续自然数的三角形，使最大角是最小角的三倍．。

湖北省荆州市某校高一（下）周考数学试卷（二）（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. tan 300∘+sin 450∘的值为( ) A.1+√3 B.1−√3 C.−1−√3 D.−1+√32. cos 24∘cos 36∘−cos 66∘cos 54∘的值等于（ ） A.0 B.12C.√32D.−123. 下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A.sin α=12，且cos α=12 B.sin α=0，且cos α=−1 C.tan α=1，且cos α=−1 D.α是第二象限角时，tan α=−sin αcos α4. 已知cos α=1213,α∈(3π2,2π)，则cos (α+π4)=( ) A.5√213 B.7√213C.17√226D.7√2265. cos 2π8−12的值为（ ） A.1 B.12C.√22D.√246. 化简√1−2sin 4cos 4的结果是（ ） A.sin 4+cos 4 B.sin 4−cos 4 C.cos 4−sin 4 D.−sin 4−cos 47. 12cos α+√32sin α可化为（ ） A.sin (π6−α) B.sin (π3−α)C.sin (π6+α)D.sin (π3+α)8. 函数y =8sin x cos x cos 2x 的周期为T ，最大值为A ，则（ ）A.T =π，A =4B.T =π2，A =4C.T =π，A =2D.T =π2，A =29. 若tan (α+β)=3，tan (α−β)=5，则tan 2α=( ) A.47B.−47C.12D.−1210. 在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形二、填空题（每小题5分，7小题，共35分）tan 35π12=________．若2sin α=1，且α∈(0, 2π)，则α=________．若sin (125∘−α)=1213，则sin (α+55∘)=________．若α，β均为锐角，sin α=2√55，sin (α+β)=35，则cos β=________．若α、β∈(0, π2)，且tan α=43，tan β=17，则α−β的值是________．已知α是锐角，且sin (π2+α)=34，则sin (α2+π)=________．在△ABC 中，已知tan A ，tan B 是方程3x 2−7x +2=0的两个实根，则tan C =________．三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）若cos α=23，α是第四象限角，求sin (α−2π)+sin (−α−3π)cos (α−3π)sin (3π2−α)−cos (−π−α)cos (α−4π)．已知sin (α−β)cos α−cos (α−β)sin α=35，β是第三象限角，求cos (β+5π4)．化简：（1）2(tan10∘−√3)sin20∘cos20∘（2）tan70∘+tan50∘−√3tan70∘tan50∘．证明：（1）cos3α=4cos3α−3cosα（2）若sinα2=35，cosα2=−45，则角α的终边在第四象限．已知函数f(x)=cos2x+√3sin x cos x+1，x∈R．（1）求证f(x)的小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．四、附加题（共2小题，满分0分）已知AB=2a，在以AB为直径的半圆上有一点C，设AB中点为O，∠AOC=60∘．（1）在BĈ上取一点P，若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函数；（2）设f(θ)=PA+PB+PC，当θ为何值时f(θ)有最大值，最大值是多少？设关于x的函数y=2cos2x−2a cos x−(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=12的a的值，并对此时的a值求y的最大值．参考答案与试题解析湖北省荆州市某校高一（下）周考数学试卷（二）（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.【答案】 B【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】由诱导公式逐步化简可得原式等于−tan 60∘+sin 90∘，为可求值的特殊角，进而可得答案． 【解答】解：由诱导公式可得：tan 300∘+sin 450∘ =tan ( 360∘−60∘)+sin ( 360∘+90∘) =−tan 60∘+sin 90∘ =−√3+1=1−√3. 故选B . 2.【答案】 B【考点】两角和与差的余弦公式 【解析】利用诱导公式得出cos 24∘=cos (90∘−66∘)=sin 66∘，cos 54∘=cos (90∘−36∘)=sin 36∘，然后利用两角和与差的余弦函数公式得出结果． 【解答】解：cos 24∘cos 36∘−cos 66∘cos 54∘=sin 66∘cos 36∘−cos 66∘sin 36∘=sin (66∘−36∘)=sin 30∘=12 故选B ． 3. 【答案】 B【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由sin 2α+cos 2α=1 可得A 不正确、B 正确，根据tan α=1，可得sin α=cos α=√22，或sin α=cos α=−√22，得C 不正确，由tan α=sin αcos α 可得D 不正确．【解答】解：由sin 2α+cos 2α=1 可得A 不正确、B 正确． 根据tan α=1，可得sin α=cos α=√22，或sin α=cos α=−√22，故C 不正确．由tanα=sinαcosα可得D不正确．故选B．4.【答案】C【考点】两角和与差的三角函数【解析】由同角三角函数的基本关系，算出sinα=−513，再利用两角和的余弦公式即可算出cos(α+π4)的值．【解答】∵cosα=1213,α∈(3π2,2π)，∴sinα=−√1−cos2α=−513因此，cos(α+π4)=cosαcosπ4−sinαsinπ4=1213×√22−(−513)×√22=17√2265.【答案】D【考点】求二倍角的余弦【解析】根据二倍角的余弦公式化简式子后在求值．【解答】解：cos2π8−12=1+cosπ42−12=12⋅cosπ4=√24，故选：D．6.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】原式被开方数利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式化简，在依据角的范围得到结果．【解答】解：√1−2sin4cos4=√sin24−2sin4cos4+cos24=|sin4−cos4|．∵5π4<4<3π2，∴由三角函数线易知co4>sin4．∴√1−2sin4cos4=cos4−sin4．故选：C．7.【答案】 C【考点】求两角和与差的正弦 【解析】因为选项中是两个角的和或差正弦，联想到两角和或差的正弦公式的逆用因此12用sinπ6代替则√32用cos π6代替即12cos α+√32sin α=sin π6cos α+cos π6sin α=sin (π6+α)所以选D【解答】 解：∵ 12cos α+√32sin α=sin π6cos α+cos π6sin α∴ 由两角和的正弦公式知12cos α+√32sin α=sin (π6+α)故选C8.【答案】 D【考点】求二倍角的正弦 【解析】利用二倍角公式吧函数的解析式化为2sin 4x ，再根据函数y =A sin (ωx +φ)的图象的周期性和最大值求得T 和A 的值． 【解答】解：由于函数y =8sin x cos x cos 2x =4sin 2x ⋅cos 2x =2sin 4x 的周期为T ，∴ T =2π4=π2，且函数的最大值为A =2，故选D ． 9.【答案】 B【考点】两角和与差的正切公式 【解析】观察已知等式的角度发现：(α+β)+(α−β)=2α，然后利用两角差的正切函数公式，将各自的值代入即可求出值． 【解答】解：tan 2α=tan [(α+β)+(α−β)]=3+51−3×5=−47 故选B ． 10. 【答案】 B【考点】两角和与差的正弦公式三角形的形状判断【解析】根据三角形三个内角和为180∘，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin(B−A)=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．【解答】解：由2sin A cos B=sin C知：2sin A cos B=sin(A+B)，∴2sin A cos B=sin A cos B+cos A sin B．∴cos A sin B−sin A cos B=0．∴sin(B−A)=0，∵A和B是三角形的内角，∴B=A．故选B.二、填空题（每小题5分，7小题，共35分）【答案】−2+√3【考点】运用诱导公式化简求值【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：tan35π12=tan(3π−π12)=−tanπ12=−tan(π3−π4)=−tanπ3−tanπ41+tanπ3tanπ4=√3−11+√3=−2+√3．故答案为：−2+√3【答案】π6或5π6【考点】正弦函数的图象【解析】根据三角函数的图象与性质，结合诱导公式，求出α的值．【解答】解：∵2sinα=1，∴sinα=12；又∵α∈(0, 2π)，∴α=π6，或α=5π6．故答案为：π6或5π6．【答案】1213【考点】运用诱导公式化简求值【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵ sin (125∘−α)=1213，∴ sin (α+55∘)=sin [180∘−(125∘−α)]=sin (125∘−α)=1213． 故答案为：1213 【答案】2√525【考点】两角和与差的余弦公式 【解析】利用角的等量代换，β=α+β−α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【解答】解：∵ α为锐角，sin α=2√55>√22，∴ cos α=√55， ∵ sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β=√55(2cos β+sin β)=35，且12<35<√22， ∴ 2cos β+sin β=3√55，且π2<α+β<π，∴ cos (α+β)=−45，则cos β=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=−45×√55+35×2√55=2√525． 【答案】 π4【考点】两角和与差的正切公式 【解析】根据α、β的取值范围，求出α−β的取值范围，再由tan α、tan β的值求出tan (α−β)，即得α−β的值． 【解答】解：∵ α、β∈(0, π2)， ∴ −π2<α−β<π2； 又∵ tan α=43，tan β=17， ∴ tan (α−β)=tan α−tan β1+tan αtan β=43−17 1+43×17=1；∴α−β=π4．故答案为：π4．【答案】−√2 4【考点】运用诱导公式化简求值【解析】已知等式利用诱导公式化简求出cosα的值，再由α为锐角得到α2为锐角，求出sinα2的值，原式利用诱导公式化简后，将sinα2的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α是锐角，且sin(π2+α)=cosα=34，∴1−2sin2α2=34，即sinα2=√24，则sin(α2+π)=−sinα2=−√24．故答案为：−√24．【答案】−7【考点】两角和与差的正切公式【解析】首先根据韦达定理表示出两根之和tan A+tan B与两根之积tan A tan B，然后根据三角形的内角和为π，把角C变形为π−(A+B)，利用诱导公式化简后，然后再利用两角和的正切函数公式化简，把tan A+tan B与tan A tan B代入即可求出值．【解答】解：∵tan A，tan B是方程3x2−7x+2=0的两个根，则tan A+tan B=73，tan A tan B=23，∴tan C=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)=−tan A+tan B1−tan A tan B =−731−23=−7.故答案为：−7.三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：∵cosα=23，α是第四象限角，∴ sin α=−√1−cos 2α=−√53， 则原式=−sin α−sin αcos α−cos α+cos 2α=√53+2√59−23+49=−5√52． 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】由cos α的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间基本关系求出sin α的值，原式利用诱导公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵ cos α=23，α是第四象限角， ∴ sin α=−√1−cos 2α=−√53， 则原式=−sin α−sin αcos α−cos α+cos 2α=√53+2√59−23+49=−5√52． 【答案】解：由sin (α−β)cos α−cos (α−β)sin α=35， 得sin (α−β−α)=35，即sin (−β)=35， 即sin β=−35，由于β是第三象限角，则cos β=−45．则cos (β+5π4)=cos βcos5π4−sin βsin5π4=−√22×(−45)−(−35)×(−√22)=√210．【考点】求两角和与差的正弦 【解析】运用两角差的正弦公式，得到sin β=−35，由于β是第三象限角，则cos β=−45．再由两角和的余弦公式，即可得到． 【解答】解：由sin (α−β)cos α−cos (α−β)sin α=35，得sin (α−β−α)=35，即sin (−β)=35，即sin β=−35，由于β是第三象限角，则cos β=−45． 则cos (β+5π4)=cos βcos 5π4−sin βsin5π4=−√22×(−45)−(−35)×(−√22)=√210．【答案】解：（1）2(tan10∘−√3)sin20∘cos20∘=(tan10∘−√3)sin40∘=sin10∘−√3cos10∘cos10∘sin40∘=2sin(10∘−60∘)cos10∘×cos50∘=−sin100∘cos10∘=−1（2）tan70∘+tan50∘−√3tan70∘tan50∘=tan(70∘+50∘)(1−tan70∘tan50∘)−√3tan70∘tan50∘=−√3(1−tan70∘tan50∘)−√3tan70∘tan50∘=−√3+√3tan70∘tan50∘−√3tan70∘tan50∘=−√3【考点】同角三角函数基本关系的运用求两角和与差的正弦【解析】（1）利用同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、诱导公式即可得出．（2）直接根据两角和正切公式的变形形式tan(α+β)(1−tanαtanβ)=tanα+tanβ；整理即可得到答案．【解答】解：（1）2(tan10∘−√3)sin20∘cos20∘=(tan10∘−√3)sin40∘=sin10∘−√3cos10∘cos10∘sin40∘=2sin(10∘−60∘)cos10∘×cos50∘=−sin100∘cos10∘=−1（2）tan70∘+tan50∘−√3tan70∘tan50∘=tan(70∘+50∘)(1−tan70∘tan50∘)−√3tan70∘tan50∘=−√3(1−tan70∘tan50∘)−√3tan70∘tan50∘=−√3+√3tan70∘tan50∘−√3tan70∘tan50∘=−√3【答案】解：（1）要证cos3α=4cos3α−3cosα成立，只要证cos2αcosα−sin2αsinα=4cos3α−3cosα成立，只要证cos2α−2sin2α=4cos2α−3成立，只要证cos2α=2cos2α−1成立，而由余弦的二倍角公式知上式成立，故原等式得证；（2）∵sinα2=35<√22，cosα2=−45<0，∴2kπ+3π4<α2<2kπ+π，∴4kπ+3π2<α<4kπ+2π，k∈Z，∴角α的终边在第四象限．【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）把3α化为2α+α的形式，用两角和的余弦公式分解，两边约分，移项，用同角的三角函数关系整理，原式得证；（2）由已知三角函数的符号以及绝对值的大小，判断α2所在的象限，然后再判断α所在象限．【解答】解：（1）要证cos3α=4cos3α−3cosα成立，只要证cos2αcosα−sin2αsinα=4cos3α−3cosα成立，只要证cos2α−2sin2α=4cos2α−3成立，只要证cos2α=2cos2α−1成立，而由余弦的二倍角公式知上式成立，故原等式得证；（2）∵sinα2=35<√22，cosα2=−45<0，∴2kπ+3π4<α2<2kπ+π，∴4kπ+3π2<α<4kπ+2π，k∈Z，∴角α的终边在第四象限．【答案】解；（1）f(x)=cos2x+√3sin x cos x+1=12cos2x+√32sin2x+32=sin(2x+π6)+32函数的周期T=2π2=π∵−1≤sin(2x+π6)≤1∴12≤sin(2x+π6)+32≤52即12≤f(x)≤52（2）当−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ⇒x∈[−π3+kπ, π6+kπ]为函数的单调增区间．【考点】求二倍角的余弦求两角和与差的正弦求二倍角的正弦三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性【解析】（1）根据二倍解公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数；（2）根据正弦函数的单调性，构造不等式−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，解不等式即可求出函数的单调增区间． 【解答】解；（1）f(x)=cos 2x +√3sin x cos x +1=12cos 2x +√32sin 2x +32=sin (2x +π6)+32函数的周期T =2π2=π∵ −1≤sin (2x +π6)≤1∴ 12≤sin (2x +π6)+32≤52即12≤f(x)≤52（2）当−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ⇒x ∈[−π3+kπ, π6+kπ]为函数的单调增区间．四、附加题（共2小题，满分0分）【答案】解：（1）由题意知，AB 为直径的半圆的半径为a ，0∘<2θ<120∘，∴ 0∘≤θ≤60∘， △PAO 中，由余弦定理得PA =√a 2+a 2−2a ⋅a cos (180∘−2θ)=2a cos θ， 同理可求得PB =√a 2+a 2−2a ⋅a cos 2θ=2a sin θ，PC =√a 2+a 2−2a ⋅a cos (120∘−2θ)=2a sin (60∘−θ)，∴ PA +PB +PC =2a sin θ+2a cos θ+2a sin (60∘−θ)=2a sin θ+2a cos θ+2a(√32cos θ−12sin θ)=a sin θ+(2+√3)a cos θ．（2）f(θ)=PA +PB +PC =a sin θ+(2+√3)a cos θ=2a √2+√3(2√2+√3θ+√32√2+√3θ)令cos α=2√2+√3，sin α=√32√2+√3，则f(θ)=2a √2+√3sin (θ+α)，取锐角α，则α=√32√2+√3>45∘，故 当θ=90∘−√32√2+√3时，sin (θ+α)=1取得最大值，此时，f(θ)取最大值 2a √2+√3．【考点】 弧度制的应用 【解析】（1）在三角形中使用余弦定理求出PA 、PB 、PC 的长度，使用二倍角公式及两角和差的三角公式进行化简．（2）利用两角和差的三角公式进一步化简f(θ)的解析式到关于某一个角的正弦函数的形式，利用正弦函数的最值，求出f(θ)的最大值，并求出此时θ的值． 【解答】解：（1）由题意知，AB 为直径的半圆的半径为a ，0∘<2θ<120∘，∴ 0∘≤θ≤60∘， △PAO 中，由余弦定理得PA =√a 2+a 2−2a ⋅a cos (180∘−2θ)=2a cos θ， 同理可求得PB =√a 2+a 2−2a ⋅a cos 2θ=2a sin θ，PC =√a 2+a 2−2a ⋅a cos (120∘−2θ)=2a sin (60∘−θ)，∴ PA +PB +PC =2a sin θ+2a cos θ+2a sin (60∘−θ)=2a sin θ+2a cos θ+2a(√32cos θ−12sin θ) =a sin θ+(2+√3)a cos θ．（2）f(θ)=PA +PB +PC =a sin θ+(2+√3)a cos θ=2a √2+√3(2√2+√3θ+√32√2+√3θ)令cos α=2√2+√3，sin α=√32√2+√3，则f(θ)=2a √2+√3sin (θ+α)，取锐角α，则α=√32√2+√3>45∘，故 当θ=90∘−√32√2+√3时，sin (θ+α)=1取得最大值，此时，f(θ)取最大值 2a √2+√3． 【答案】解：令cos x =t ，t ∈[−1, 1]，则y =2t 2−2at −(2a +1)，对称轴t =a2，当a 2<−1，即a <−2时，[−1, 1]是函数y 的递增区间，y min =1≠12； 当a2>1，即a >2时，[−1, 1]是函数y 的递减区间，y min =−4a +1=12，得a =18，与a >2矛盾； 当−1≤a 2≤1，即−2≤a ≤2时，y min =−a 22−2a −1=12，a 2+4a +3=0得a =−1，或a =−3，∴ a =−1，y =2t 2+2t +1，此时t =1时，y max =2+2+1=5． 【考点】二次函数的性质余弦函数的定义域和值域【解析】先令cos x =t ，转化为关于t 的一元二次函数；通过讨论对称轴和去件的位置关系找到最小值f(a)；再结合f(a)=12即可求出a 的值并求出y 的最大值． 【解答】解：令cos x =t ，t ∈[−1, 1]，则y =2t 2−2at −(2a +1)，对称轴t =a2，当a2<−1，即a <−2时，[−1, 1]是函数y 的递增区间，y min =1≠12；当a2>1，即a>2时，[−1, 1]是函数y的递减区间，y min=−4a+1=12，得a=18，与a>2矛盾；当−1≤a2≤1，即−2≤a≤2时，y min=−a22−2a−1=12，a2+4a+3=0得a=−1，或a=−3，∴a=−1，y=2t2+2t+1，此时t=1时，y max=2+2+1=5．。

湖北省荆州中学2017-2018学年高一数学下学期第二次双周考试题文第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合或，则 =（）A． B．或 C． D．或2.的值为（）A． B． C． D．3.函数的定义域为（）A． B． C． D．4.数列中，，且，则等于（）A. B. C. D. 45.关于x的方程有解，则的取值范围是（）A． B． C． D．6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位7.如图，在平行四边形中，，则等于（）A．12 B．16 C．8 D．78.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是（）A． B． C． D．9.函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．10.已知△的三个顶点及平面内一点，若,则点与△的位置关系是（）A. 点在边上B. 点在边上或其延长线上C. 点在△外部D. 点在△内部11.已知,且为锐角，则tan（x﹣y）=（）A． B．－ C． D．12.已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是（）A．B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如果幂函数的图象不过原点，则的值是．14.已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是．15.已知函数的定义域为，当时，;当时，;当时，，则= ．16.如图，在△中，，，若为△内一点，且满足|，则的值是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列（1）判断数列是否为等差数列？说明理由；（2）求的通项公式.18.（12分）已知为第三象限角）．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．19.（12分）已知函数．（1）求的周期和及其图象的对称中心；（2）在锐角△中，角的对边分别是满足，求函数的取值范围．20.（12分）已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设.（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.21.（12分）（1）设数列是首项为，公差为4的等差数列，其前项和为，且成等差数列.求数列的通项公式；（2）已知各项均为正项的数列的前项和满足，且，求数列的通项公式.22.（12分）已知函数（1）计算的值；（2）讨论函数的单调性，并写出的单调区间；（3）设函数，若函数有三个零点，求实数c的取值范围．答案一．选择题1-12ACBCB CBCBA CA二．填空题13. 1 14.且 15. 3 16. 8三．解答题17.⑴不是等差数列，差不相等，所以不是等差数列………5分⑵………10分18.⑴………6分⑵且是第三象限的角，则………12分19. ⑴对称中心是………6分⑵且而，………12分20. ⑴由题意知：对称轴为1）当时，在递增，则舍 2）当时，在递减，则，满足题意………6分⑵由⑴知，在上恒成立即在上恒成立则，令，令当时，，………12分21. ⑴即………5分⑵则，是以为首项，1为公差的等差数列当时，当时，满足上式………12分22. ⑴………4分⑵当x≤0时，函数f（x）=﹣2x2﹣4x+2=﹣2（x+1）2+4．根据抛物线的性质知，f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增，在区间[﹣1，0]上单调递减；当x＞0时，函数f（x）=x+2，显然f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．综上，f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣1）和（0，+∞），单调减区间是[﹣1，0]……8分⑶作出f（x）的图象，如图：函数g（x）有三个零点，即方程f（x）+c=0有三个不同实根，又方程f（x）+c=0等价于方程f（x）=﹣c，∴当f（x）的图象与直线y=﹣c有三个交点时，函数g（x）有三个零点．数形结合得，c满足，2＜﹣c＜4，即﹣4＜c＜﹣2．因此，函数g（x）有三个零点，实数c的取值范围是（﹣4，﹣2）……12分。

2017-2018学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合M ={2，3，5}，N ={4，5}，则∁U （M ∪N ）等于（ ）A. 3，B. 4，C.D. {1,5}{2,6}{1,5}{1,6}2.已知，则f （-2）=（ ）f(x)={x +5,x ≥0f(x +2),x <0A. 2B. 3C. 4D. 53.已知角α=738°，则角是（ ）α2A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角4.已知正方形ABCD 边长为1，则=（ ）|⃗AB +⃗BC +⃗AC |A. 0B. 2C.D. 2225.函数的值域是（ ）y =log 2(3x +2)A. B. (‒∞,1)(1,+∞)C. D. [1,+∞)(‒∞,1)∪(1,+∞)6.设是平面内的一组基底，且，则关于λ1，λ2的式子不正确的是（ ）⃗e 1，⃗e 2λ1⃗e 1+λ2⃗e 2=⃗0A. B. C. D. (λ1+λ2)0=1λ21+λ22=0λ1λ2=0tanλ1=07.若tan ，则=（ ）α=34cos 2α+4sinαcosαcos 2α+4sin 2αA.B. C. D. 6425482516134138.函数f （x ）=sin （ωx +φ）（φ＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则π2f （x ）的解析式为（ ）A. f(x)=sin(x +π12)B.f(x)=sin (x +π6)C. f(x)=sin(2x +π12)D.f(x)=sin (2x +π6)9.若两单位向量，的夹角为60°，则=2，=3的夹角为（ ）⃗e 1⃗e 2⃗a ⃗e 1+⃗e 2⃗b ⃗e 1‒2⃗e 2A. B. C. D. 30∘60∘120∘150∘10.已知函数，则对该函数性质的描述中不正确的是（ ）f(x)=tan(π2x +π3)A. 的定义域为f(x){x|x ≠2k +13,k ∈Z}B. 的最小正周期为2f(x)C. 的单调增区间为f(x)(‒53+k,13+k)(k ∈Z)D. 没有对称轴f(x)11.已知是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（ ）f(x)={(a ‒1)x +1,x >1(8‒a)x +2,x ≤1A. B. C. D. [4,8)(4,8)[5,8)(5,8)12.已知是与单位向量夹角为60°的任意向量，则函数的最小值为（ ）⃗a ⃗b f(λ)=|λ⃗a ‒⃗b |⋅|(3⃗a )⋅⃗b ||⃗a |(λ＞0)A. 0B. C. D. 123234二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则f （x ）的定义域为______．f(x)=x ‒25‒x +2018x +114.=______．(π‒4)2+log 2(47×25)‒πln 1e 15.已知向量，若点A ，B ，C 不能构成三角形，⃗OA =(3，‒4)，⃗OB =(0，‒3)，⃗OC =(5‒m ，‒3‒m)则实数m 的取值为______．16.已知函数f （x ）=，若函数y =f （f （x ））-a 恰有5个零点，则实数a 的取值范围为{2x +1(x ≤0)|lnx|(x >0)______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）已知钝角α满足，求cos （α-2π）的值；sin(π‒α)=13（2）已知x +x -1=5，求x 2+x -2．18.已知函数，g （x ）=cos x ．f(x)=ln 2+x 2‒x （1）已知，求tan （α+β）；α=f(0)，β=g(π2)（2）解不等式f （x ）≥0；（3）设h （x ）=f （x ）g （x ），试判断h （x ）的奇偶性，并用定义证明你的判断．19.已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）+1（）的最小正周期为π，且．ω＞0，|φ|＜π2f(0)=3+1（1）求ω和φ的值；（2）函数f （x ）的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位，得到函数g （x ）的图象，π6①求函数g （x ）的单调增区间；②求函数g （x ）在的最大值．[0，π2]20.已知，函数．⃗a =(1，‒cosx)，⃗b =(‒sinx ，cosx)f(x)=1+2⃗a ⋅⃗b （1）求f （x ）的解析式，并比较，的大小；f(π4)f(π6)（2）求f （x ）的最大值和最小值．21.已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4），设⃗AB=⃗a ，⃗BC =⃗b ，⃗CA =⃗c （1）求；3⃗a +⃗b ‒3⃗c （2）求满足的实数m ，n ；⃗a =m ⃗b +n ⃗c （3）若线段AB 的中点为M ，线段BC 的三等分点为N （点N 靠近点B ），求与夹角的正切值．⃗MN ⃗AB22.已知函数f （x ）=（k ＞0）．kxx 2+3k （1）若f （x ）＞m 的解集为{x |x ＜-3，或x ＞-2}，求m ，k 的值；（2）若存在x 0＞3，使不等式f （x 0）＞1成立，求k 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解；∵M={2，3，5}，N={4，5}∴M∪N={2，3，4，5}∵U={1，2，3，4，5，6}∴C U（M∪N）={1，6}故选：D．先求出M∪N，再求出C U（M∪N）即可本题考查集合的并集和补集的混合运算，属容易题2.【答案】D【解析】解：∵，∴f（-2）=f（0）=0+5=5．故选：D．由-2＜0，得f（-2）=f（0），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵α=738°，∴=369°=360°+9°，则的终边和9°的终边相同，∵9°是第一象限角，∴角是第一象限角，故选：A．计算的大小，结合终边相同角的关系进行判断即可．本题主要考查象限角的判断，结合终边相同角的关系进行转化是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：=2，故选：D．利用+=，以及||的意义，求得的值．本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义．5.【答案】B【解析】解：根据指数函数的性质：可得u=3x+2的值域（2，+∞）．那么函数函数y=log2u的值域为（1，+∞）．即函数的值域是（1，+∞）．故选：B．先求解u=3x+2的值域，根据单调性可得函数的值域本题考查指数对数函数的单调性以及复合函数的值域问题，属于函数函数性质应用题，较容易．6.【答案】A【解析】解：∵是平面内的一组基底，且，∴λ1=λ2=0，∵00无意义，故A错误．故选：A．根据基底的性质可得λ1=λ2=0，从而得出结论．本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵tan，∴==．故选：C．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.【答案】D【解析】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，|φ|＜）的部分图象，可得•=-，∴ω=2，再根据五点法作图可得2•+φ=，故φ=，∴f（x）=sin（2x+），故选：D．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：设=2，=3的夹角为θ，θ∈[0°，180°]．∵两单位向量，的夹角为60°，∴•=1×1×cos60°=，∴cosθ====，∴θ=60°，故选：B．利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，两个向量的夹角公式，求得=2，=3的夹角．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，两个向量的夹角公式，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：利用排除法，对于A：令，解得：x（k∈Z）．故：f（x）的定义域为．所以：A正确．对于B：函数f（x）的最小正周期为T=．所以：B正确．对于D：正切函数不是轴对称图形．所以D正确．故选：C．直接利用排除法和正切函数的图象求出结果．本题考查的知识要点：正切函数的图象和性质的应用．11.【答案】C【解析】解：是定义在R上的增函数，可得：，解得a∈[5，8）．故选：C．利用分段函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力．12.【答案】D【解析】解：已知是与单位向量夹角为60°的任意向量，所以：，=，由于：=，所以：的最小值为．故选：D．直接利用向量的模和函数的关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：向量的模的应用，函数的关系式的恒等变换的应用．13.【答案】[2，5）【解析】解：由，解得2≤x＜5．∴f（x）的定义域为：[2，5）．故答案为：[2，5）．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．14.【答案】23【解析】解：=4-π++π=4+19=23．故答案为：23．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】5 4【解析】解：若存在实数k使得=k+（1-k），则三点A，B，C 共线，不能构成三角形，则，解得m=．故答案为：．若存在实数k使得=k+（1-k），则三点A，B，C共线，不能构成三角形，可得，解得m．本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】（0，ln2]∪{2}【解析】解：函数f（x）的图象如图，①当a=2时，则方程f（t）=2有3个根，且由图象可知方程f（x）=t1有1根，方程f（x）=t2有2个根，方程f（x）=t3有2个根，故a=2符合题意②当0＜a＜ln2时，则方程f（t）=a有2个根，且t1∈（0，1），t由图象可知方程f（x）=t1有2根，方程f（x）=t2有3个根，故0＜a＜ln2符合题意．综上，实数a的取值范围为（0，ln2]∪{2}．故答案为：（0，ln2]∪{2}先作出函数f （x ）的图象，利用数形结合分类讨论，即可确定实数a 的取值范围．．本题考查函数的图象的应用，分段函数的应用，利用函数的图象以及排除法是快速解题的关键．17.【答案】解：（1）由已知钝角α满足，sin(π‒α)=13得sin，α=13又因为 α为钝角，所以cos （α-2π）=cosα=-=．1‒sin 2α‒223（2）由已知知x +x -1=5，得（x +x -1）2=x 2+2+x -2=25．所以x 2+x -2=23．【解析】（1）直接利用诱导公式求出结果． （2）利用函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式的应用，函数关系式的恒等变换．18.【答案】解：函数，g （x ）=cos x ．f(x)=ln 2+x2‒x（1）因为，可得α=0，β=0，α=f(0)，β=g(π2)那么tan （α+β）=0；（2）由题意，由，得，即0≤x ＜2．2+x 2‒x≥1xx ‒2≤0∴不等式的解集为{x |0≤x ＜2}．（3）h （x ）=f （x ）g （x ）=cos x ，⋅ln(2+x2‒x )可知：h （x ）是奇函数，证明：．ℎ(‒x)=ln 2+(‒x)2‒(‒x)⋅cos(‒x)=ln 2‒x2+x ⋅cosx =‒ln 2+x2‒x ⋅cosx =‒ℎ(x)因此：h （x ）是奇函数，【解析】（1）根据，可得α=0，β=0，那么tan （α+β）=0；（2）结合对数的性质和分式不等式求解即可；（3）求解h （x ），利用定义判断即可．本题考查的知识点三角函数方面的化简、计算，难度不大，属于基础题．19.【答案】解：（1）函数f （x ）=2sin （ωx +φ）+1（）的最小正周期为π，ω＞0，|φ|＜π2所以π=，2πω即ω=2．又因为，f(0)=3+1则，sinφ=32所以．φ=π3（2）由（1）可知，f(x)=2sin(2x +π3)+1则g （x ）=2sin2x +1，①由，2x ∈[2kπ‒π2，2kπ+π2](k ∈Z)得，函数g （x ）增区间为．[kπ‒π4，kπ+π4](k ∈Z)②因为，0≤x ≤π2所以0≤2x ≤π．当，2x =π2即时，函数f （x ）取得最大值，x =π4最大值为．f(π4)=3【解析】（1）直接利用函数的周期和函数的值求出函数的关系式．（2）利用函数的平移变换求出函数g （x ）的关系式，进一步求出函数的单调区间． （3）利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：正弦型函数性质单调性，函数的平移变换，函数的值域的应用．20.【答案】解：由，⃗a=(1，‒cosx)，⃗b=(‒sinx ，cosx)函数．f(x)=1+2⃗a ⋅⃗b ∴f （x ）=1-2sin x -2cos 2x那么：．f(π4)=1‒2sin π4‒2cos 2π4=‒2．f(π6)=1‒2sin π6‒2cos 2π6=‒32因为 ，‒2＞‒32所以f(π4)＞f(π6)（2）因为：f （x ）=1-2sin x -2cos 2x =2sin 2x -2sin x -1=2(sinx ‒12)2‒32令 t =sin x ，t ∈[-1，1]，所以，y =2(t ‒12)2‒32当，即或时，函数取得最小值；t =12x =2kπ+π6x =2kπ+5π6(k ∈Z)‒32当t =-1，即时，函数取得最大值3．x =2kπ‒π2(k ∈Z)【解析】（1）由函数．根据向量的成绩运算可得解析式，即可比较，的大小；（2）化简f （x ），结合三角函数的性质可得答案．本题考查了向量的坐标运算和三角函数的化简，转化思想，二次函数的最值问题．属于中档题．21.【答案】解：（1）∵A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4），设⃗AB=⃗a，⃗BC=⃗b，⃗CA=⃗c∴由已知得，，，⃗a =(5，‒5)⃗b =(‒6，‒3)⃗c =(1，8)∴．…（4分）3⃗a+⃗b‒3⃗c=3×(5，‒5)+(‒6，‒3)‒3×(1，8)=(6，‒42)（2）∵线段AB 的中点为M ，线段BC 的三等分点为N （点N 靠近点B ），∴，m ⃗b+n ⃗c =(‒6m +n ，‒3m +8n)∴，解得m =n =-1．…（8分）{‒6m +n =5‒3m +8n =‒5（3）∵由题意得，N （1，-2），M(12，32)则…（10分）⃗MN =(12，‒72)∴，…（11分）cos ＜⃗AB，⃗MN＞=(5，‒5)⋅(12，‒72)52=45∴．…（12分）tan＜⃗AB，⃗MN＞=34【解析】（1）求出，，，由此能求出．（2）求出，由此能求出m ，n ．（3）由题意得，N （1，-2），由此能求出与夹角的正切值．本题考查向量、实数值、向量的夹角的正切值的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22.【答案】解：（1）根据题意，k ＞0，则f （x ）＞m ⇔mx 2-kx +3km ＜0，则不等式mx 2-kx +3km ＜0的解集为{x |x ＜-3，或x ＞-2}，则-3，-2是方程mx 2-kx +3km =0的根，且m ＜0，则有；{km=‒53k =6⇒{k =2m =‒25（2）∵．f(x)＞1⇔kx x 2+3k＞1(k ＞0)⇔x 2‒kx +3k ＜0⇔(x ‒3)k ＞x2存在x 0＞3，使得f （x 0）＞1成立，即存在x 0＞3，使得成立，k ＞x 20x0‒3令，则k ＞g （x ）min ，g(x)=x 2x ‒3，x ∈(3，+∞)令x -3=t ，则t ∈（0，+∞），，y =(t +3)2t=t +9t +6≥2t ⋅9t +6=12当且仅当，即t =3，亦即x =6时等号成立．∴g （x ）min =12，t =9t∴k ∈（12，+∞）．【解析】（1）根据题意，原不等式等价变形为mx 2-kx+3km ＜0，进而分析可得-3，-2是方程mx 2-kx+3km=0的根，由根与系数的关系分析可得答案；（2）根据题意，不等式f （x ）＞1等价于（x-3）k ＞x 2，进而分析可得存在x 0＞3，使得成立，令，则k＞g（x）min，用换元法结合基本不等式的性质求出g（x）的最小值，即可得k的范围．本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式，进而分析求解．。