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二次函数中平行四边形的通用解决方法要解决关于二次函数的平行四边形问题，我们需要了解二次函数的一般形式、平行四边形的性质以及如何将这两者结合起来解决问题。
首先，二次函数的一般形式可以写为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是常数，a不等于0。
接下来，我们需要了解平行四边形的性质。
平行四边形是一个有四个边，且对边平行的四边形。
根据平行四边形的性质，我们可以得到以下重要结论：1.对边平行：平行四边形的相对边是平行的，也就是说，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB与CD平行，且AD与BC平行。
2.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，也就是说，对角线AC和BD相交于E，那么AE与CE的长度相等，BE与DE的长度也相等。
3.同底异位角相等：平行四边形的同底异位角相等，也就是说，对于平行四边形ABCD，∠A=∠C，且∠B=∠D。
现在我们来看一些具体问题，并探讨如何应用这些性质解决平行四边形问题。
问题1：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
如何证明函数图像与y轴平行？解答：要证明函数图像与y轴平行，我们需要证明函数的导数为0。
导数表示了函数的斜率，如果导数为0，则对应的函数图像是水平的，即与y轴平行。
首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。
要证明f'(x) = 0，我们可以解方程2ax + b = 0。
解这个方程可以得到x = -b/(2a)。
因此，当x=-b/(2a)时，函数的导数为0。
根据导数的意义，这意味着函数的图像与y轴平行。
问题2：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
如何确定函数图像的顶点坐标？解答：要确定函数图像的顶点坐标，我们可以利用导数的信息。
对于二次函数来说，它的顶点坐标对应着导数为0的点。
首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。
要求导数为0，我们可以解方程2ax + b = 0。
二次函数与平行四边形的存在问题【知识梳理】1、平行四边形的性质是什么？2、在坐标系中，平行四边形又有哪些性质？3、解决问题的策略：①根据要求画出满足要求的图形，然后根据几何性质计算未知量②分类讨论，根据对角线“共中点"的性质直接计算。
1.（2011•盘锦）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B(4，0）两点．（1）求这个二次函数解析式;（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标．2.（2011•内江）如图抛物线y=x2﹣mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0．﹣1)．且对称抽x=l．（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1);（3)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2）．3.（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0)，B(0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m,△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．4.（2011•凉山州）如图,抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2,0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0,﹣4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）求抛物线的解析式;(2)点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N,连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D（4，k)在（1)中抛物线上，点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在,请说明理由．。
二次函数中平行四边形的存在性问题解析二次函数解析式的三种形式1、一般式：y = ax2 + bx + c （a , b , c 为常数，a ≠0 ）；2、顶点式：y = a（x - h ）2 + k （a , b , c 为常数，a ≠0 ）；3、两点式：y = a（x - x1 ）（x - x2 ）（a ≠0 ）.平行四边形的判定方法及性质平行四边形1、平行四边形的判定方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .2、平行四边形的性质性质1：平行四边形的邻角互补，对角相等；性质2：平行四边形的对边平行且相等；性质3：平行四边形的对角线互相平分.二次函数中平行四边形的存在性问题二次函数中平行四边形的存在性问题学习目标：1、会用分类思想讨论平行四边形的存在问题；2、会用数形结合的思想解决综合性问题.重点：分类讨论平行四边形的存在性；难点：数形结合思想及画图.一、知识回顾（储备）1、线段的中点坐标公式线段的中点坐标公式在平面直角坐标系中，有任意两点A、B，若点A 坐标为(x1，y1)，点B 坐标为(x2，y2)，则线段AB 的中点P 的坐标为(（x1 + x2 ）/ 2 , （x1 + x2 ）/ 2 ) .2、知识拓展与应用：思考：在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中3 个顶点的坐标，如何确定第4 个顶点的坐标？引例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)，C (3，1)，则点D 的坐标是(4，4) .利用中点公式分析：( x1 + x3 ）/ 2 = ( x2 + x4 ）/ 2 , ( y1 + y3 ）/ 2 = ( y2 + y4 ）/ 2 .结果化简可以化为“对点法”的形式: x1 + x3 = x2 + x4 , y1 + y3 = y2 + y4 .二、对点法（数学方法）如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，则这4 个顶点坐标之间的关系是什么？结论：x1 + x3 = x2 + x4 ，y1 + y3 = y2 + y4 .平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．三、典例学习（三定一动）【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，0)，B (1，-2)，C (3，1)，点D 是平面内一动点，若以点A 、B 、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是______.分析：设点D（x，y），①点A 与点B 相对：-1 + 1 = 3 + x，0 - 2 = 1 + y；x = -3，y= -3 ，此时D2（-3，-3）；②点A 与点C 相对：-1 + 3 = 1 + x，0 + 1 = -2 + y；x = 1，y = 3，此时D1（1，3）；③点A 与点D 相对：-1 + x = 1 + 3，0 + y = -2 + 1；x = 5，y = -1，此时D3（5，-1）；综上所述：点D 的坐标是(-3,-3)，(1,3)，(5,-1) .说明：（细节）若题中四边形ABCD 是平行四边形，则点D（1，3），与四个点为顶点的四边形是平行四边形不同.四、问题解决【例题2】已知，抛物线y = - x2 + x +2 与x 轴的交点为A、B，与y 轴的交点为C，点M 是平面内一动点，若以点M、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M 的坐标．解析：（三定一动）先求出A( -1,0 )，B ( 2,0 )，C( 0,2 )，设点M（x，y），①点A 与点B 相对：M3（1，-2）；②点A 与点C 相对：M2（-3，2）；③点A 与点M 相对：M1（3，2）；综上所述：点M 的坐标是M1（3，2），M2（-3，2），M3（1，-2）.【例题3】如图，平面直角坐标中，y = - 0.25x2 + x 与x 轴相交于点B (4，0)，点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，且以点O、B、Q、D 为顶点的四边形是平行四边形，写出相应的点P 的坐标 .解析：（两定两动其中一点为半动点）已知B (4，0)，O（0，0），设Q ( 2, a )，P ( m, -0.25m2 + m ).①点B 与点O 相对：m = 2，a = -1；P1（2，1）；②点B 与点Q 相对：m = 6，a = -3；P2（6，-3）；③点B 与点P 相对：m = -2，a = -3；P3（-2，-3）；综上所述：P1（2，1），P2（6，-3），P3（-2，-3）.【例题4】如图，平面直角坐标中，y = 0.5x2 + x - 4 与y 轴相交于点B (0，-4)，点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y = - x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点Q 的坐标.解析：（两定两动）已知B (0，-4)，O（0，0），设P ( m, 0.5m2 + m - 4 )，Q ( a, -a ).①点B 与点O 相对：a1 = 4 , a2 = 0 （舍）；②点B 与点P 相对：a = -2 ±2√5 ;③点B 与点Q 相对：a1 = - 4 , a2 = 0 （舍）；综上所述：Q1（-2 + 2√5 ，2 - 2√5 ），Q2（-2 - 2√5 ，2 + 2√5 ），Q3（-4，4）, Q4（4，-4 ）.五、总结“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解，动点越多，优越性越突出！从“几何”的角度解决问题的方法，能够使问题直观呈现，问题较简单时，优越性较突出！“数无形时不直观，形无数时难入微”，数形结合是一种好的解决问题的方法！六、作业（略）。
二次函数与平行四边形一、引言二次函数和平行四边形是高中数学中的重要概念和知识点。
二次函数是一种常见的函数形式，具有很多重要的特征和性质，而平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和定理。
本文将分别介绍二次函数和平行四边形的相关内容，并探讨它们之间的关联。
二、二次函数1.定义二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
2.性质(1)对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
(2)顶点：二次函数的图像的顶点是抛物线的最高点或最低点。
(3)零点：二次函数的图像与x轴相交的点称为零点，也就是函数的根。
(4)判别式：二次函数的判别式Δ=b²-4ac可以判断函数的图像与x 轴的交点情况，若Δ>0，则有两个不同的零点；若Δ=0，则有一个重根；若Δ<0，则无实根。
3.应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，抛物线的形状可以用来描述物体的抛射轨迹；二次函数的最优化问题可以用来求解最大值或最小值等。
三、平行四边形1.定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
平行四边形的对边长度相等，对角线互相平分，且对角线互相垂直。
2.性质(1)对边性质：平行四边形的对边长度相等。
(2)对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且互相垂直。
(3)角性质：平行四边形的对角线将四个角分成两对互补的角。
3.定理平行四边形有若干重要的定理，如以下几个例子：(1)对角线分割定理：平行四边形的对角线将其分割成两个面积相等的三角形。
(2)对角线互相平分定理：平行四边形的对角线互相平分，即将其分成两个面积相等的三角形。
(3)平行四边形面积定理：平行四边形的面积等于底边长乘以高。
四、二次函数与平行四边形的关联1.关联性质二次函数的图像是一个抛物线，而平行四边形的形状可以近似为一个抛物线。
二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，而平行四边形的对角线交点可以看作是其最高点或最低点。
二次函数之平行四边形存在问题：考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分。
将其用坐标表示出来便是：对边平行且相等可转化为x A -x B=x D -x C ；y A -y B=y D -y C ，可以理解为 B 点移动到 A 点，C 点移动到 D 点，移动路径完全相同。
对角线互相平分转化为：xA+xC2=xB+xD2yA+yC， 2=yB+yD2 ；可以理解为 AC 的中点也是 BD 的中点。
【注意】1.虽然由两个性质推得的式子并不一样，但是其实可以化为统一：当AC 和BD 为对角线的时候，结果可简记为 A+C=B+D（各个点对应的横纵坐标相加）。
2.以上是对平行四边形性质的分析，而我们要求证是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中四个点的A、B、C、D 满足“A+C=B+D”，则四边形 ABCD 是否一定为平行四边形？反例：1之所以存在反例，是因为“四边形 ABCD 是平行四边形”和“AC 、BD 的中点是同一个点” 并不是完全等价转化，故存在反例。
3.虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需要注意对对角线的讨论： （1）四边形 ABCD 是平行四边形，AC 、BD 一定是对角线；（2）以 A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论。
【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类型。
1.三定一动已知 A （1，2）、B （5，3）、C （3，5），在坐标系内 确定一点 D ，使得 A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形。
思路 1：利用对角线互相平分，分类讨论：设 D 点坐标为（m,n),又 A （1，2）、B （5，3）、C （3，5），可得：{5+3=1+m （1）BC 为对角线时， 3+5=2+n ，可得 D （7，6）；2+5=3+n，解得D （-1，4）；（2）AC 为对角线时，{1+3=5+m2（3）AD 为对角线时，2.两定两动1+5=3+m2+3=5+n，解得D3（3，0）。
二次函数与平行四边形教学目标：通过本节课的学习，让学生了解二次函数与平行四边形结合的基本类型，使学生学会能熟练运用平行四边形的判定方法解决问题，在解题过程中渗透分类讨论的思想与一题多解的数学思想方法。
教学重，难点：教学重点：二次函数的求解，平行四边形的判定教学难点：当平行四边形定点不固定时如何进行分类讨论，尤其是涉及动点问题。
教学过程设计：例1：在平面直角坐标系中，已知抛物线2142y x x =+-与X 轴交于点A ，C ，与y 轴交于点B 。
1）求A,B,C 三点的坐标。
2）点 Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能够使得点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点 Q 的坐标，并说明理由．3）在2）的条件下，若点P 是抛物线上的动点，判断又有几个位置能够使得点P ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标。
解题过程：1）令y=o,即21402x x +-=，则124,2,x x =-=(4,0),(2,0)A C ∴- 令x=0，则y=-4，(0,4)B ∴- 2)要使点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形1.O B O B A QQ A -Q -a ∴以为边时，必须∥此时点与的横坐标相同为4，（4,4） 2.OB OA BQQ B -Q -b ∴以为对角线时，必须∥此时点与的纵坐标相同为4，（4,4） 综上所述，存在两个位置能够使得点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形分别为点1Q -（4,4），2Q -（4,4） 3）(4,4),(4,4),(22---+---+例2：已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、，将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C（1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；:解：（1）点C 的坐标为(3,0). ∵ 点A 、B 的坐标分别为(8,0),(0,6)A B ，∴ 可设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为(3)(8)y a x x =--.将0,6x y ==代入抛物线的解析式，得14a =. ∴ 过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2111644y x x =-+. （2）可得抛物线的对称轴为112x =，顶点D 的坐标为 1125(,)216-，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G . 直线BC 的解析式为26y x =-+.- - - - - - - - - - 4设点P 的坐标为(,26)x x -+. 解法一：如图8，作OP ∥AD 交直线BC 于点P ，连结AP ，作PM ⊥x 轴于点M.∵ OP ∥AD ，∴ ∠POM=∠GAD ，tan ∠POM=tan ∠GAD.∴ PM DG OM GA =，即2526161182x x -+=-. 解得167x =. 经检验167x =是原方程的解. 此时点P 的坐标为1610(,)77. 但此时四边形的对边OP 与AD 平行但不相等，∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P.解法二：如图9，取OA 的中点E ，作点D 关于点E 的对称点P ，作PN ⊥x 轴于点N. 则∠PEO=∠DEA ，PE=DE.可得△PEN ≌△DEG ． 由42OA OE ==，可得E 点的坐标为(4,0). NE=EG=32， ON=OE －NE=52，NP=DG=2516. ∴ 点P 的坐标为525(,)216. ∵ x=52时，52526261216x -+=-⨯+=≠， ∴ 点P 不在直线BC 上. ∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P .探究提高：平行四边形中的二次函数如图，在菱形ABCD 中，2AB cm =，60BAD ∠=︒，E 为CD 边中点，点P 从点A 开始沿AC方向以每秒的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P Q ，同时停止运动，设运动的时间为x 秒．（1）当点P 在线段AO 上运动时．①请用含x 的代数式表示OP 的长度；②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当0x =时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P B E Q ，，，为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由．小结：1.学生总结：通过本节课的学习你有什么收获？（数学知识，数学思想方法）2.教师小结：二次函数与平行四边形的结合比较常见，不仅在二次函数中某C A些动点的移动会产生平行四边形，而且在平行四边形中某些动点的移动也会产生一些图像的面积会是二次函数，但是解题的关键都是熟练掌握相关知识，学会将他们联系在一起。
二次函数与平行四边形有关的问题【典例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣10）、（0，﹣310）、（0，﹣43）；（3）存在，P（﹣2，0）、Q（2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC，设点E（0，m），则AE CE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），∴E（3，0），②当AC＝CE＝|m+3|，∴m＝﹣3∴E（0，﹣）或（0，﹣3），③当AE＝CE|m+3|，∴m＝﹣43，∴E（0，﹣43），即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣）、（0，﹣3）、（0，﹣43）；（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t ＝1+22或t ＝1﹣22， ∴Q （1+22，4）或（1﹣22，4），分别过点D ，Q 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的右边的交点B 的坐标为（3，0），且D （1，﹣4）， ∴FB ＝PG ＝3﹣1＝2，∴点P 的横坐标为（1+22）﹣2＝﹣1+22或（1﹣22）﹣2＝﹣1﹣22， 即P （﹣1+22，0）、Q （1+22，4）或P （﹣1﹣22，0）、Q （1﹣22，4）．【典例2】如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。
向右平移6个单位长度向上平移2个单位长度二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：点P（x,y）的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b 个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b 个单位长度(x,y-b)例1：如下图，线段AB平移得到线段BA''，已知A（-2,2）,B（-3，-1）B'（3,1）则：点A'的坐标是例2.在平行四边形ABCD中，其中已知A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，则D点坐标？二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为()11,yxA、()22,yxB、()33,yxC、()44,yxD，已知其中任意3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？∵AB∥CD,AB=CD∴边CD可看成由边BA向右、向上平移n个单位长度得到三、对点法即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等.①若点A与点B相对，则点D与点C相对②若点A与点D相对，则点B与点C相对③若点A与点C相对，则点B与点D相对四、典型例题学习例4.如图,平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,-2),C(3,1)点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是五、小试牛刀1.抛物线中的平行四边形存在性问题（“三定一动”）例5.已知,抛物线2x y 2++-=x 与x 轴的交点为A 、B,与y 轴的交点为C,点M 是平面内一点,判断有几个位置能使以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,请写出相应的坐标.思路点拨：先求出A （-1,0）B （2,0）C （0,2）设点M （x,y ）①点A 与点B 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 200021 ∴⎩⎨⎧-==21y x②点A 与点C 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 020201 ∴⎩⎨⎧=-=23y x③点A 与点M 相对⎩⎨⎧+=++=+-200021y x ∴⎩⎨⎧==23y x∴ M （1，-2）或（-3,2）或（3,2）2.抛物线中的平行四边形存在性问题（“两定两动”）例6.如图,平面直角坐标系中,x x +-=241y 与x 轴相交于点B(4,0),点Q 在抛物线的对称轴上,点P 在抛物线上,且以点O 、B 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.思路点拨：此题与上一题方法一样，但需设出两动点坐标设点P （m ,m m +-241）, Q(2,a)下面请您自己列出方程并解答：变式题:1.如图,平面直角坐标系中,421y 2-+=x x 与y 轴相交于点B(0,-4),点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.变试题:2.如图,平面直角坐标中,32x y 2--=x 与x 轴相交于点A(-1,0),点C 的坐标是(2,-3),点P 抛物线上的动点,点Q 是x 轴上的动点,判断有几个位置能使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。
平行四边形跟二次函数结合在一起的公式平行四边形跟二次函数结合在一起的公式有很多种，具体是哪种公式需要根据问题和具体情况来确定。
以下是两种常见的公式：平行四边形的面积公式和二次函数的基本函数式设平行四边形的底边长为b，高度为h，其中b和h都是正数，则平行四边形的面积为：S = b*h。
假设二次函数y = ax^2 + bx + c，则平行四边形上底和下底上的点的纵坐标分别为y1 = ax1^2 + bx1 + c 和y2 = ax2^2 + bx2 + c，其中x1和x2是平行四边形底边上的两个点的横坐标，则平行四边形的高度为：h = |y2 - y1|。
综上所述，平行四边形面积与二次函数的基本函数式的关系可以表示为：S = b*|ax2^2 + bx2 + c - ax1^2 - bx1 - c|。
平行四边形的面积公式和二次函数的导函数式设平行四边形的两个邻边分别为a和b（其中a>b），夹角为θ，则平行四边形的面积为：S = a * b * sin(θ)。
假设二次函数y = ax^2 + bx + c，则y的导函数为y' = 2ax + b。
给定两个底端点x1和x2，假设y'在x1和x2处的函数值分别为k和m，则其中的夹角θ为：θ= arctan(|k-m| / (1+km))。
由于正切函数的分母不能为0，因此需要保证km不等于-1。
综上所述，平行四边形面积与二次函数的导函数式的关系可以表示为：S = (|2ax1 + b - 2ax2 - b|) * (|2ax1 + b + 2ax2 + b|) * sin(arctan(|2ax1 + b - 2ax2 - b| / (1+2ax1+b)(2a*x2+b))) / 2a。
二次函数中平行四边形通用与解决方法平行四边形是一种特殊的四边形，具有两组相对平行的边和相等的内角。
在二次函数中，我们可以通过确定二次函数的相关参数，来绘制出平行四边形。
一、二次函数的一般形式在二次函数中，一般形式可以表示为：$y = ax^2 + bx + c$其中，a表示二次函数的开口方向和大小，正数表示开口向上，负数表示开口向下；b表示二次函数的平移，正数表示向右平移，负数表示向左平移；c表示二次函数的平移，正数表示向上平移，负数表示向下平移。
二、平行四边形的定义平行四边形是指具有两组相对平行的边和相等的内角的四边形。
在二次函数图像中，我们可以通过调整参数来使函数图像具有平行四边形的特征。
三、绘制平行四边形的步骤1.确定平行四边形的基础线段平行四边形的相对平行边为基础线段。
通过确定基础线段的两个端点，可以确定平行四边形的位置。
2.确定平行四边形的高度平行四边形的高度决定了函数图像在y轴上的平移。
通过调整参数c的值可以改变二次函数的平移，从而确定平行四边形的高度。
3.确定平行四边形的宽度平行四边形的宽度是基础线段在x轴上的长度。
通过调整参数a和b的值可以改变二次函数的开口方向和大小，从而确定平行四边形的宽度。
4.绘制函数图像根据确定的基础线段、高度和宽度，我们可以得到平行四边形对应的二次函数图像。
使用坐标轴绘制出函数图像，可以得到平行四边形的形状。
四、解决方法1.已知平行四边形的形状，求解对应的二次函数表达式如果已知平行四边形的形状，可以通过观察其特征来确定对应的二次函数表达式。
根据平行四边形的基础线段、高度和宽度确定参数a、b和c的值，从而得到二次函数的表达式。
2.已知二次函数的表达式，求解对应平行四边形的形状如果已知二次函数的表达式，可以通过分析参数a、b和c的值来确定对应平行四边形的形状。
根据参数a的正负确定开口方向，根据参数b和c的值确定平移和缩放，从而确定平行四边形的形状。
3.图形推导法通过观察二次函数图像的特征，可以推导出对应平行四边形的形状。
二次函数中平行四边形与解决方法平行四边形是一个具有两对相对平行且相等长度的边的四边形。
二次函数是一个变量的平方的系数为非零的多项式。
在二次函数中，我们可以通过将函数转化为标准或一般形式来找到平行四边形的解决方法。
一、标准形式的二次函数标准形式的二次函数可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c都是实数且a不等于0。
通过这种形式，我们可以很容易地确定二次函数的顶点和x轴的交点。
要找到平行四边形的解决方法，我们可以首先计算二次函数的顶点坐标。
函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/2a和y=f(x)来计算。
这对应于二次函数图像的顶点的横纵坐标。
然后，我们可以根据横坐标上的两个不同点来确定平行四边形的两条平行边。
这些点可以通过将x值替换为不同的值并计算出相应的y值得到。
最后，我们可以使用顶点坐标和平行边确定平行四边形的其他两条边。
根据平行四边形的性质，我们可以确定这两条边的长度等于顶点到平行边的垂直距离。
二、一般形式的二次函数一般形式的二次函数可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c都是实数且a不等于0。
通过这种形式，我们可以很容易地确定二次函数的根和顶点。
要找到平行四边形的解决方法，我们可以首先求解二次函数的根。
根可以通过将函数设置为0，然后使用求根公式或配方法来计算。
根对应于二次函数图像与x轴的交点。
然后，我们可以根据根来确定平行四边形的顶点。
顶点的横坐标为根的平均值，即x=(x1+x2)/2，其中x1和x2是根。
纵坐标可以通过将横坐标代入二次函数中计算得到，即y=f(x)。
接下来，我们可以通过将顶点坐标代入二次函数中，计算出对应的y 值，从而得到平行四边形的两条平行边。
最后，我们可以根据平行四边形的性质，使用顶点坐标和平行边确定另外两条边的长度。
三、实例示范为了更好地理解如何使用二次函数来解决平行四边形问题，我们来看一个具体的示例。
假设我们有一个二次函数f(x)=2x^2-4x+3、首先，我们可以将它转化为标准形式，以便更容易找到顶点和根。
二次函数中平行四边形
二次函数中平行四边形的问题，通常是涉及到二次函数图像与坐标轴的交点以及平行四边形的性质。
首先，我们需要明确什么是二次函数。
二次函数是形如
f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)的函数，其中a、b和c是常数，x是变量。
其次，我们需要知道平行四边形的性质。
平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边相等且平行。
在二维坐标系中，平行四边形的四个顶点可以表示为(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)。
接下来，我们来探讨二次函数图像与平行四边形的关系。
假设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点A(x1, 0)和B(x2, 0)，那么这两个交点就是平行四边形的两个对角线的交点。
为了找到平行四边形的其他两个顶点，我们可以将二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像向上或向下平移一定的距离，使得新的图像与x轴有两个交点C(x3, y3)和D(x4, y4)。
这样，我们就得到了一个以A、B、C、D为顶点的平行四边形ABCD。
最后，我们可以通过计算平行四边形的面积来验证我们的解答。
平行四边形的面积等于底乘以高，即S = |y3 - y4|
* |x3 - x4|。
由于C和D是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图像上的点，所以它们的纵坐标分别为f(x3)和f(x4)。
因此，平行四边形的面积可以表示为S = |f(x3) - f(x4)| * |x3 - x4|。
通过以上步骤，我们就可以解决二次函数中平行四边形的问题了。
二次函数中的平行四边形、正方形存在性问题学生版引言本文将探讨二次函数中平行四边形和正方形的存在性问题，为学生提供相关的解答和思路。
平行四边形存在性问题在二次函数中，平行四边形的存在性问题是一个常见的课题。
要确定二次函数是否能形成平行四边形，我们需要考虑以下几个因素：- 二次函数的系数- 二次函数图像的形状具体来说，对于一个一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，以下条件成立时，二次函数可能形成平行四边形：1. 二次项系数 a 不等于 0，保证函数为二次函数。
2. 一次项系数 b 为 0，使得函数的图像为水平的抛物线。
3. 常数项 c 不等于 0，确保抛物线与 x 轴有交点。
通过以上条件的判断，我们可以得出结论：当二次函数满足 a ≠ 0，b = 0，c ≠ 0 时，二次函数能够形成平行四边形。
正方形存在性问题在二次函数中，正方形的存在性问题是另一个有趣的话题。
要确定二次函数是否能形成正方形，我们需要考虑以下因素：- 二次函数的系数- 二次函数图像的形状具体来说，对于一个一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，以下条件成立时，二次函数可能形成正方形：1. 二次项系数 a 不等于 0，保证函数为二次函数。
2. 一次项系数 b 为 0，使得函数的图像为水平的抛物线。
3. 常数项 c 等于 0，确保抛物线与 x 轴相切于原点。
通过以上条件的判断，我们可以得出结论：当二次函数满足 a ≠ 0，b = 0，c = 0 时，二次函数能够形成正方形。
结论在二次函数中，平行四边形和正方形的存在性问题可以通过对二次函数的系数和图像形状进行判断来解答。
合理选择 a、b、c 的取值可以使二次函数满足平行四边形和正方形的特点。
希望本文可以为学生提供对二次函数中平行四边形和正方形存在性问题的理解和解答。
读者在研究和应用二次函数时，可以根据上述条件进行分析和判断，深入理解二次函数的特性。
请注意，本文所提供的结论基于常规的二次函数形式，并不涉及所有的二次函数变体。
二次函数动点平行四边形问题方法
解决二次函数中的动点平行四边形问题，可以按照以下步骤进行：
1. 确定二次函数的表达式：首先需要确定二次函数的表达式，可以根据已知的顶点坐标或一般式来求解。
2. 确定动点的坐标：根据平行四边形的性质，动点的坐标可以通过平移来得到。
可以先确定平行四边形的一个顶点坐标，然后通过平移得到其他顶点的坐标。
3. 求解平行四边形的面积：根据平行四边形的性质，可以计算出每个三角形的面积，然后将它们相加得到平行四边形的面积。
4. 求解平行四边形的周长：可以根据平行四边形的性质，通过计算相邻两边之和来得到平行四边形的周长。
例如，如果二次函数的表达式为y=x^2-2x+1，动点A的坐标为(0,1)，B点的坐标为(2,1)，C点的坐标为(1,0)，求平行四边形ABCD的面积和周长。
首先，可以画出函数的图像和三个点的位置，然后根据平行四边形的性质，得到D点的坐标为(3,1)。
然后，可以计算出三角形ABC的面积为1/2，三角形ABD的面积为1/2，所以平行四边形ABCD的面积为1。
最后，可以计算出平行四边形ABCD的周长为4。
通过这种方法，可以解决二次函数中动点平行四边形的问题。
可编辑修改精选全文完整版二次函数中平行四边形存在性问题解题原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形1. 平行四边形顶点坐标公式平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，则：x1+x3=x2+x4；y1+y3=y2+y4.证明：如图，连接AC、BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(221xx+,231yy+). 又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(242xx+,242yy+).∴x1+x3=x2+x4；y1+y3=y2+y4.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．2 解题的预备知识如右图，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．3 两类存在性问题解题策略第一步：把四个点的坐标表示出来（如果是动点用字母表示其坐标）第二步：分三种情况讨论对角线（如果四个点中有一组平行例1中PM//OB那么以PM为对角线是不存在的，就可以只讨论以PB、PO为对角线的情况）第三步：利用对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等列式。
题型1 有一组对边平行，探究平行四边形存在性问题例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．题型2 两个定点、两个动点，（或一个定点、三个动点）探究平行四边形存在性问题例2．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．习题巩固1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．（1）求抛物线的解析式；（2）连结CM，BN，当m为何值时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？2．抛物线：y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C（1，﹣2）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标．2．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M 作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC 面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B 恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数求平行四边形顶点的公式推导一、概述在数学学科中，二次函数是一个非常重要的概念。
在几何学中，平行四边形是一种常见的几何图形，它具有许多特点和性质。
而二次函数与平行四边形之间的通联，则是一个非常有意思的数学问题。
本文将从二次函数的基本概念出发，推导出二次函数在平行四边形中顶点的公式，通过逐步推导，将其数学原理和推导过程展现给读者。
二、二次函数的基本概念1. 二次函数定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a 不等于0。
它的图像是一条开口朝上或者朝下的抛物线。
2. 二次函数的顶点对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标可以通过以下公式求得：x_v = -\frac{b}{2a}y_v = c - \frac{b^2}{4a}其中，(x_v, y_v)即为二次函数的顶点坐标。
三、平行四边形的性质1. 平行四边形定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
2. 平行四边形的对角线性质平行四边形的对角线互相平分，即对角线互相等长，交点位于对角线的中点。
3. 平行四边形的顶点坐标性质平行四边形的顶点坐标有一定的关系，满足一定的条件，可以通过顶点坐标推导出平行四边形的特定性质。
四、二次函数求平行四边形顶点的公式推导在数学中，二次函数与平行四边形的通联体现在二次函数的顶点与平行四边形的顶点坐标之间。
通过推导二次函数的顶点公式和平行四边形的顶点坐标性质，可以得到二次函数求平行四边形顶点的公式。
1. 推导步骤步骤一：已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(x_v, y_v)，即x_v = -\frac{b}{2a}y_v = c - \frac{b^2}{4a}步骤二：已知平行四边形的顶点坐标分别为A(x_1, y_1)，B(x_2, y_2)，C(x_3, y_3)，D(x_4, y_4)。
步骤三：根据平行四边形的对角线平分性质，得到对角线的交点E与F 的坐标分别为E(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})F(\frac{x_2+x_4}{2}, \frac{y_2+y_4}{2})步骤四：根据步骤一得到的二次函数顶点坐标公式，将E和F带入其中，可以得到以二次函数顶点为顶点的平行四边形顶点的坐标公式。
