2020中考数学复习分类汇编全国通用版中考数学2：二次函数与平行四边形问题

二次函数与四边形的综合1.三定点平行四边形存在性问题基本题型：已知三定点A 、B 、C ，一动点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABCP 为平行四边形，求点P 坐标．不同的分类形式可以使用不同的方法；a ．对点法：利用中点坐标公式b ．平移法：根据平移之后的点的对应情况其实两种方法，最后都可以得出一个类似的解题思路，只是其中的过程不同而已2.二定点平行四边形存在性问题基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（Q 或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标． 直接根据三定一动的思路，可以直接得出点的关系：点P 的横纵坐标，都可以由另外2个点的横纵坐标和－第3个点的横纵坐标；如x p =x A +x B −x Q ；y p =y A +y B −y Q因为不确定哪个坐标被减，所以有三种情况；大部分时候，计算量不大，少部分情况下，可能存在一定的计算量3.菱形、矩形的存在性问题特殊的四边形的存在性问题的解题方法需要综合三角形与三定一动的平行四边形的解法；一般都是两定两动；①矩形的存在性：可以根据直角三角形的存在性先找到一个点，然后根据三定一动进行分类讨论求出另一个点；②菱形的存在性：可以根据等腰三角形的存在性先找到一个点，然后根据三定一动进行分类讨论求出另一个点；例1．如图，直线y =kx +b 分别交y 轴、x 轴于A （0、2）、B （4、0）两点，抛物线y =﹣x 2+bx +c 过A 、B 两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）设N（x、y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为，；连接OC，若过点O 的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0）、C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1．（1）求二次函数的解析式；（2）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1．如图所示，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC ＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（﹣2，9），抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），连接DB、DC，作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；（3）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c交x轴于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在以A，C，M，N 为顶点的矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OC＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若D（2，m）在该抛物线上，连接CD、DB，求四边形OCDB的面积；（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH，在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长．。

2020年中考数学二次函数真题汇编(名师精选全国真题，值得下载练习)一、单选题1.如图，一段抛物线y=﹣x 2+4（﹣2≤x≤2）为C 1 ， 与x 轴交于A 0 ， A 1两点，顶点为D 1；将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2 ， 顶点为D 2；C 1与C 2组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2），与线段D 1D 2交于点P 3（x 3 ， y 3），设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，t=x 1+x 2+x 3 ， 则t 的取值范围是（ ）A. 6＜t≤8 B. 6≤t≤8 C. 10＜t≤12 D. 10≤t≤12 【答案】D【解析】【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x ﹣4）2﹣4=x 2﹣8x+12， ∵设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，∴点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限， 根据对称性可知：x 1+x 2=8， ∵2≤x 3≤4，∴10≤x 1+x 2+x 3≤12即10≤t≤12， 故答案为：D ．【分析】根据题意可求出翻折后的抛物线的解析式，设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，可得出点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限，根据对称性可求出x 1+x 2=8，由2≤x 3≤4，可得出x 1+x 2+x 3的取值范围，从而得出t 的取值范围。

2.已知，平面直角坐标系中，直线y 1=x+3与抛物线y=-x x 的图象如图，点P 是y 2上的一个动点，则点P 到直线y 1的最短距离为（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】【解答】解、∵点P 到直线y 1的距离最短， ∴点P 是直线与抛物线相切时的交点。

设直线y 1平移k 个单位长度，则此时的解析式为 =x+3+k ， 把 =x+3+k 代入y=-x 2+2x 整理得，-x 2+x-3-k=0，△=b 2-4ac=1-4 (-) (-3-k)=0，解得k=-，即直线y 1向下平移个单位长度与抛物线相切， 把k=-代入解析式解方程组可求得点P 的坐标为（1，）；过点P 作PD ⊥直线y 1于点D ，则直线PD 的解析式可设为y 3=-x+b ，把点P （1，）代入可求得b=,即直线PD 的解析式为y 3=-x+，将y 1和y 3的解析式联立解方程组可求得点D 的坐标为（-，）；若直线PD与x轴相较于点C，直线y1=x+3与x、y轴分别相较于点A、B，易得点A （-3,0）、B（0,3），∴∠BAC==∠DCA，由勾股定理可得：CD=，CP=，∴PD=CD-CP=。

一、解决此类题目的基本步骤与思路 1.先分类，（按照边和对角线进行分类）2.画图，（画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标）3. 计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质） 二、针对于计算的方法选择1.全等三角形抓住对应边对应角的相等2.在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式3.平行四边形的对应边相等列相关的等式4.利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系X A +X C =X B +X D Y A +Y C =Y B +Y D （利用P 是中点，以及中点坐标公式）A(x 1,y 1)、B （x 2,y 2），那么AB 中点坐标就是（,）注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想 3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

二次函数中平行四边形的存在性问题 （一）例题演示已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C ． （1）直接写出点C 的坐标，并求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；ABDCP【解析】：（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6。

∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x，由勾股定理得：x=3，∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；解答：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P解法二：如图，取OA 的中点E ，作点D 关于点E 的对称点P ，作PN ⊥x 轴于点N ．则∠PEO=∠DEA ，PE=DE ．可得△PEN ≌△DEG ．由，可得E 点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE ﹣NE=，NP=DG=．∴点P 的坐标为．∵x=时，，∴点P 不在直线BC 上．∴直线BC 上不存在符合条件的点P ．【试题精炼】如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；【解析】：本题主要考查二次函数的应用。

2020年重庆中考数学复习二次函数存在平行四边形问题二例1．如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段EM的最大值；（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，则点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，故抛物线的表达式为：y＝3ax2+10x+12，将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+10x+12；（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝（﹣2x2+10x+12）﹣（﹣2x+12）＝﹣2x2+12x，故EM有最大值18，此时x＝3；（3）y＝﹣2x2+10x+12，令y＝0，则x＝﹣1或6，故点A（﹣1，0），由（2）知，x＝3，则点M（3，6），点Q的的横坐标为：，①当AM是边时，点P（﹣，﹣）或（，﹣）；②当AM是对角线时，点P（﹣，）；综上，点P的坐标为：（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．例2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．且OA＝3OB．求：（1）抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）已知点E是y轴上一动点，当△ACE为等腰三角形时，求点E坐标；（3）若点M为x轴上一点，N为抛物线上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以C、D、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标．解：（1）OA＝3OB，则OB＝1，即点B（1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，点D的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），则AC＝3，①当AC＝CE时，点E可能在点C的上方和下方，则点E（0，﹣3+3）或（0，﹣3﹣3）；②当AC＝AE时，O为CE的中点，则点E（0，3）；③当AE＝EC时，则点E（0，0）；故点E的坐标为：（0，﹣3+3）或（0，﹣3﹣3）或（0，3）或（0，0）；（3）设点M的坐标为（m，0），①当MN在y轴左侧时，点C向左平移1个单位再向下平移1个单位得到点D，同样点M（m，0）向左平移1个单位再向下平移1个单位得到点N（m﹣1，﹣1），将点N的坐标代入二次函数表达式得：﹣1＝（m﹣1）2+2（m﹣1）﹣3，解得：m＝（舍去正值）；②当MN在y轴右侧时，同理可得：m＝﹣2±（舍去负值）；故点M坐标为（﹣，0）或（﹣2+）．例3、如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把交点坐标为（﹣1，0），（3，0）代入二次函数的表达式：解得：a＝1，b＝﹣2，故：二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）过D点做DF⊥x轴于F，交AB于E，把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入一次函数表达式得直线AB的方程为：y＝﹣x﹣1，设：D（m，m2﹣2m﹣3），E（m，﹣m﹣1），∴DE＝﹣m﹣1﹣（m，m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，S△ABD＝DE×（x A﹣x B）＝﹣（m﹣）2+，∴当D坐标为（，﹣）时，△ABD的面积最大；（3）当AB是为平行四边形的边长时，M1、M2为所求点，∵四边形ANM1B为平行四边形，∴△ANH≌△BM1G，则M1的横坐标为：﹣2，代入二次函数表达式，解得：M1坐标为（﹣2，5）；∵四边形ANM2B为平行四边形，∴△ABG≌△NHM2，则M2的横坐标为：4，代入二次函数表达式，解得：M2坐标为（4，5）；当AB时平行四边形的对角线时，M3与点C重合，故M3（0，﹣3）；故M点的坐标为：（0，﹣3）、（4，5）、（﹣2，5）．。

2020中考数学 压轴专题 二次函数与四边形综合（含答案）1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3交y 轴于点C ，直线L 为抛物线的对称轴，抛物线的顶点P 位于第三象限，点P 到x 轴的距离为103，到y 轴的距离为1，点C 关于直线L 的对称点为点A ，连接AC 交直线l 于点B ，直线y ＝34x ＋m 与抛物线在第一象限内交于点D ，与y 轴交于点F ，连接BD 交y 轴于点E . (1)求抛物线的表达式；(2)若DE ∶BE ＝4∶1，求直线y ＝34x ＋m 的表达式；(3)在(2)的条件下，Q 为抛物线上位于直线y ＝34x ＋m 下方的图象上的一点，过点Q 作QK ⊥x 轴，交y ＝34x ＋m 于点K ，当线段QK 取得最大值时，求点Q 的横坐标；(4)在(2)的条件下，若N 为平面直角坐标系内的点，在直线y ＝34x ＋m 上是否存在点M ，使得四边形OFMN 是以OF 为一边的菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3交y 轴于点C ， ∴C (0，－3)，则 OC ＝3；∵P 到x 轴的距离为103，P 到y轴的距离是1，且在第三象限，∴P (－1，－103)；∵点C 关于直线l 的对称点为点A ， ∴A (－2，－3)；将点A (－2，－3)，P (－1，－103)代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3中，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝4a －2b －3－103＝a －b －3，解得⎩⎨⎧a ＝13b ＝23，∴抛物线的表达式为y ＝13x 2＋23x －3；（2）如解图①，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，则∠DGE ＝∠BCE ＝90°，第1题解图①∵∠DEG ＝∠BEC ， ∴△DEG ∽△BEC ，∴DG ∶BC ＝DE ∶BE ＝4∶1； 已知BC ＝1，则DG ＝4， ∴点D 的横坐标为4，将x ＝4代入y ＝13x 2＋23x －3中，得y ＝5，则 D (4，5)，∵直线y ＝34x ＋m 过点D (4，5)，∴5＝34×4＋m ，则 m ＝2，∴所求直线的表达式为y ＝34x ＋2；（3）如解图②，设Q (x ，13x 2＋23x －3)，则K (x ，34x ＋2)，第1题解图②则QK ＝34x ＋2－(13x 2＋23x －3)＝－13x 2＋112x ＋5，∵－13＜0，∴当x ＝－1122×（－13）＝18时，QK 取得最大值，即点Q 的横坐标为18；(4)存在，点M 的坐标为(85，165)、(－85，45)、(－4825，1425)．【解法提示】由(2)的直线解析式知：F (0，2)，则OF ＝2；设点M (x ，34x ＋2)，则：OM 2＝2516x 2＋3x ＋4，FM 2＝2516x 2；当OF 为菱形的边时，有：①FM ＝OF ＝2，则：2516x 2＝4，解得x 1＝85，x 2＝－85，代入y ＝34x ＋2中，得：y 1＝165，y 2＝45，即点M 的坐标为(85，165)或(－85，45)；②OF ＝OM ＝2，则：2516x 2＋3x ＋4＝4，解得x 1＝0(舍)，x 2＝－4825，代入y ＝34x ＋2中，得y ＝1425；即点M 的坐标为(－4825，1425)；综上，存在符合条件的点M ，其坐标为(85，165)、(－85，45)、(－4825，1425)． 2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知点B 的坐标为(8，0)． (1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)猜想△ABC 是什么样的三角形，并说明理由；(3)是否存在以BC 为边，且一个顶点P 在抛物线的对称轴上的矩形？若存在，求出符合条件的点P 坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4的图象经过点B (8，0)，∴a ×82＋32×8＋4＝0，解得a ＝－14，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4，又∵y ＝－14x 2＋32x ＋4＝－14(x －3)2＋254，∴对称轴方程为直线x ＝3； (2)△ABC 为直角三角形．理由：在y ＝－14x 2＋32x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4，∴C (0，4)；令y ＝0，即－14x 2＋32x ＋4＝0，整理得x 2－6x －16＝0，解得x ＝8或x ＝－2， ∴A (－2，0)，B (8，0)．∴AB 2＝(8＋2)2＝100，AC 2＝22＋42＝20，BC 2＝82＋42＝80， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.∴△ABC 为直角三角形；(3)存在，设直线AC 为y ＝mx ＋n ，把A (－2，0)，C (0，4)分别代入解析式，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋n ＝0n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝4， ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4.①如解图，延长AC 与对称轴x ＝3交于点P ，过点P 作PQ ∥BC ，过点B 作BQ ∥AC ，PQ 与BQ 交于点Q ，则四边形BCPQ 为平行四边形， 此时点P 的坐标为(3，10)， ∵∠PCB ＝180°－∠BCA ＝90°， ∴四边形BCPQ 为矩形，∴当点P 坐标为(3，10)时，四边形BCPQ 为矩形；第2题解图②如解图，再延长QB 与对称轴x ＝3相交于点P ′，过点P ′作P ′Q ′∥BC ，P ′Q ′与CA 的延长线相交于点Q ′，则四边形BCQ ′P ′为矩形，设直线BP′的解析式为y＝Kx＋B，∵BP′∥AC，∴K＝M＝2，∴直线BP′的解析式为y＝2x＋B，把B(8，0)的坐标代入y＝2x＋B，得：0＝16＋B，则B＝－16，∴直线BP′的解析式为y＝2x－16，∴点P′的坐标为(3，－10)，即当点P′坐标为(3，－10)时，四边形BCQ′P′为矩形；综上，存在以BC为边，且一个顶点P在抛物线的对称轴上的矩形，点P的坐标为(3，10)或(3，－10)．3.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，交y轴于点C.(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c沿着x轴方向向左平移4个单位，此时C点对应的点为点C′，判定四边形AC′CB的形状；(3)若点Q是y轴上的动点，在抛物线上是否存在点P使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)两点代入y＝x2＋bx＋c中得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3，即y ＝(x －1)2－4， ∴顶点D 的坐标为(1，－4)； (2)由抛物线的解析式可知C (0，－3)，∵抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位，如解图①，第3题解图①∴C (0，－3)向左平移4个单位，得C ′(－4，－3)， 则CC ′＝0－(－4)＝4， ∵AB ＝3－(－1)＝4， ∴AB ＝CC ′，根据平移的性质得CC ′∥AB ， ∴四边形AC ′CB 为平行四边形；(3)存在，点P 的坐标为(－4，21)、(4，5)、(2，－3)． 理由如下：如解图②，第3题解图②①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ＝AB＝4即可，又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为－4或4，当x＝－4时，y＝21；当x＝4时，y＝5；∴此时点P1的坐标为(－4，21)，P2的坐标为(4，5)；②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，设线段AB的中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P3作x轴的垂线交于点H，可证得△P3HB≌△Q3OA，∴AO＝BH，∴GO＝GH，∵线段AB的中点G的横坐标为1，∴此时点P3的横坐标为2，当x＝2时，y＝－3，∴点P3(2，－3)．综上所述，符合条件的点为P1(－4，21)，P2(4，5)，P3(2，－3)．4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，OC＝3OA，D与C关于抛物线对称轴对称．(1)求二次函数的解析式；(2)设Q为x轴上任意一点，P是抛物线上的点，且在抛物线对称轴的左侧，满足∠QBP ＝45°，是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△BDC相似？若存在，求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点E是该抛物线的顶点，点M是y轴上一点，N是坐标平面内一点，如果以点A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点N的坐标．解：(1)∵点C的坐标为(0，3)，OC＝3OA，∴OA＝1，∴A(－1，0)，设二次函数的解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，将C(0，3)代入得3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)，即y＝－x2＋2x＋3；(2)∵C(0，3)、B(3，0)、A(－1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性得D(2，3)，由两点间的距离公式可知CD＝2，BC＝32，DB＝10.∵∠QBP＝45°，∴直线PB与x轴的夹角为45°，∴直线PB的解析式的一次项系数为1或－1.①当直线PB 的解析式的一次项系数为－1时，如解图①所示， 设直线PB 的解析式为y ＝－x ＋B ， 将点B (3，0)代入得B ＝3， ∴直线PB 的解析式为y ＝－x ＋3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0(舍去)．∴点P 的坐标为(0，3)，此时点P 与点C 重合， 设QB ＝x ，∵以P 、Q 、B 为顶点的三角形与△BDC 相似，∠DCB ＝∠CBQ ＝45°， ∴△BDC ∽△QPB 或△BDC ∽△PQB ，∴CD CB ＝PB Q 1B 或CD CB ＝Q 2B PB ，即232＝32x 或232＝x 32， 解得x ＝9或x ＝2， ∴Q 1(－6，0)，Q 2(1，0)；第4题解图②当直线PB 的解析式的一次项系数为1时，如解图②所示，设直线PB 的解析式为y ＝x ＋D ，将点B (3，0)代入得D ＝－3，∴直线PB 的解析式为y ＝x －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2y 1＝－5，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0(舍去)．∴点P 的坐标为(－2，－5)，此时PB ＝52＋52＝52，设BQ ＝x ，同理可得232＝52x 或232＝x 52，解得x ＝15或x ＝103.∴Q 3(－12，0)或Q 4(－13，0)．综上所述，当点P 的坐标为(0，3)时，点Q 的坐标为(－6，0)或(1，0)，当点P 的坐标为(－2，－5)时，点Q 的坐标为(－12，0)或(－13，0)；(3)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4. ∴E (1，4)．①AE 为矩形的对角线时，如解图③所示， 设H 为AE 的中点， ∵A (－1，0)，E (1，4)， ∴H (0，2)．由两点间的距离公式可知 HE ＝（1－0）2＋（4－2）2＝5，由矩形的性质知HN 1＝HN 2＝HE ＝5， ∴N 1(0，2＋5)，N 2(0，2－5);第4题解图②当AE 为矩形的一边时，如解图④，过N 3作N 3G ⊥y 轴，垂足为点G ，过N 4作N 4F ⊥y 轴，垂足为点F .∵在△AHO 中，AO ＝1，OH ＝2， ∴tan ∠AHO ＝12，∴tan ∠EHM 4＝M 4E EH ＝12，∴M 4E ＝12EH ＝52，HM 4＝52EH ＝52，OM 4＝HM 4＋OH ＝92，∴M 4N 3＝2M 4E ＝5， 易证∠M 4N 3G ＝∠AHO ， ∴M 4G ＝55M 4N 3＝1，GN 3＝255M 4N 3＝2. ∵OG ＝OM 4－M 4G ＝92－1＝72，∴N 3的坐标为(2，72)，由矩形的性质可知点N 3与N 4关于点H 对称， ∴N 4(－2，12)，综上所述，点N 的坐标为(0，2＋5)或(0，2－5)或(2，72)或(－2，12)．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1，0)，C (3，0)，D (3，4)，以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ，动点P 从点A 出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N.(1)求点A的坐标和抛物线的解析式；(2)当T为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？(3)点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？解：(1)∵四边形ABCD是矩形，B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)，∴A(1，4)．∵点A为抛物线顶点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，∵抛物线过点C(3，0)，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3;(2)如解图①，连接AM，CM，第5题解图①∵A (1，4)，C (3，0)，∴直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6， ∵点P (1＋t2，4)，∴将x ＝1＋t2代入y ＝－2x ＋6中，可求得点N 的纵坐标为4－t ，∴把x ＝1＋t 2代入抛物线的解析式中，可求得点M 的纵坐标为4－t 24，∴MN ＝(4－t 24)－(4－t )＝t －t 24，∴S △ACM ＝S △AMN ＋S △CMN ＝12MN ·t 2＋12MN ·(2－t 2)＝12×2(t －t 24)＝－14(t －2)2＋1，由题可知0≤t ≤4，∴当t ＝2时，△ACM 的面积最大，最大值为1；(3)当H 在AC 上方时，如解图②，过点N 作NG ⊥AB 于点G ， ∵A (1，4)，C (3，0)，Q (3，t )，N (1＋t2，4－t )，AB ＝4，∴AG ＝4－(4－t )＝t ，BG ＝4－t ，AC ＝25， 由四边形CQHN 是菱形，可知CQ ＝CN ＝t ， 此时，AN ＝AC －CN ＝25－t ， ∵NG ∥BC ，∴AG BG ＝AN NC ， 即t4－t＝25－t t ，解得t ＝20－85；第5题解图当点H 在AC 下方时，如解图③，过点N 作NG ⊥DC 于点G ， 由四边形CQNH 是菱形，可知CH ＝HN ＝CQ ＝t ， ∴HE ＝4－t －t ＝4－2t ，CE ＝2－t2，在RT △CHE 中，由勾股定理得CE 2＋HE 2＝CH 2， ∴(2－t2)2＋(4－2t )2＝t 2，解得t ＝2013或t ＝4(舍去)，综上所述，当t ＝20－85或t ＝2013时，以C ，Q ，N ，H 为顶点的四边形为菱形． 6. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线BC 下方的抛物线上有一点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ∥x 轴交直线BC 于点F ，求△DEF 周长的最大值；(3)已知点M 是抛物线的顶点，点N 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P ，M ，N ，Q 为顶点且以PM 为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．第6题图解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)两点坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3中得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)∵C (0，－3)，B (3，0)， ∴直线BC 的解析式为y ＝x －3.如解图①，过点D 作DG ∥y 轴，交直线BC 于点G .第6题解图①易证△DEF ≌△DEG ， ∴FD ＝GD .设D (n ，n 2－2n －3)(0<n <3)，G (n ，n －3)，则GD ＝n －3－(n 2－2n －3)＝－n 2＋3n ＝－(n －32)2＋94，∴当n ＝32时，GD 的最大值为94，故FD 的最大值为94，∵直线BC 的解析式的一次项系数为1， ∴∠ABC ＝45°， ∵DF ∥x 轴，∴∠EFD ＝∠ABC ＝45°， 在Rt △DEF 中，DE ＝EF ＝22DF ， ∴△DEF 周长的最大值为FD ＋2×22FD ＝9＋924；(3)存在，点P 的横坐标为2或3＋52.【解法提示】∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴M (1，－4)，分两种情况讨论： ①当四边形PMNQ 是正方形时，如解图②，过点M 作MJ ⊥y 轴于点J ，过点P 作P I ⊥JM 交JM 的延长线于点I ，易证△M I P ≌△CJM ，∴点N 与点C 重合，点P 是点N 关于抛物线的对称轴x ＝1对称的点， 其横坐标为2；第6题解图②如解图③，过点P 作H I ∥y 轴，过点M 作M I ⊥H I 于点I ，过点N 作NH ⊥H I 于点H ， 同理△P I M ≌△NHP ， ∴P I ＝NH ，I M ＝HP ， 设点P 的横坐标为m ， 则NH ＝P I ＝m ， ∵点P 在抛物线上，∴点P 的纵坐标为m 2－2m －3， ∴P I ＝m 2－2m －3－(－4)， 即m ＝m 2－2m －3－(－4)， 解得m 1＝3＋52，m 2＝3－52，∵点P 在抛物线对称轴x ＝1的右侧， ∴m ＝3＋52，综上所述，点P 的横坐标为2或3＋52.7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且OA ＝4，OC ＝3.若抛物线经过O ，A 两点，且顶点在BC 边上，点D ，E 的坐标分别为(3，0)，(0，1)，对称轴交BE 于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△EDB 的形状并加以证明；(3)点M 在对称轴右侧的抛物线上，点N 在x 轴上．请问是否存在以点A ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)在矩形OABC 中，OA ＝4，OC ＝3， ∴A (4，0)，C (0，3)，∵抛物线经过O 、A 两点，且顶点在BC 上， ∴抛物线的顶点坐标为(2，3)，∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，把A 点坐标代入可得0＝a (4－2)2＋3，解得a ＝－34，∴抛物线的解析式为y ＝－34(x －2)2＋3，即y ＝－34x 2＋3x ；(2)△EDB 为等腰直角三角形．证明：由题可知B (4，3)，D (3，0)，E (0，1)，∴DE 2＝32＋12＝10，BD 2＝(4－3)2＋32＝10，BE 2＝42＋(3－1)2＝20， ∴DE 2＋BD 2＝BE 2，且DE ＝BD ， ∴△EDB 为等腰直角三角形；(3)存在．满足条件的点M 的坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．【解法提示】设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B 、E 两点的坐标代入可得3=41k b b +⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BE 的解析式为y ＝12x ＋1，当x ＝2时，y ＝2， ∴F (2，2)，①当AF 为平行四边形的一边时，M 到x 轴的距离与F 到x 轴的距离相等，即M 到x 轴的距离为2，∴点M 的纵坐标为2或－2，在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝2可得2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±233，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x >2，∴x ＝6＋233，∴点M 的坐标为(6＋233，2)，在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝－2可得－2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±2153，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x >2， ∴x ＝6＋2153，∴点M 的坐标为(6＋2153，－2)；②当AF 为平行四边形的对角线时， ∵A (4，0)，F (2，2)，∴线段AF 的中点为(3，1)，即平行四边形的对称中心为(3，1)，设M (t ，－34t 2＋3t )，则－34t 2＋3t ＝2，解得t ＝6±233，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴t >2， ∴t ＝6＋233，∴点M 的坐标为(6＋233，2)；综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．8. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋c 的图象经过C 、D 两点，且C (0，1)，D (2，2)． (1)求抛物线的解析式；(2)已知E 是抛物线上的点，且△CDE 为等腰三角形(D 为顶角顶点除外)，求E 点的坐标；(3)如图②，已知y 轴上一点A (0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B .若△P AB 是等边三角形，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)把C (0，1)，D (2，2)分别代入y ＝ax 2＋c 中，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝14a ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14c ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋1；(2)设E 点的坐标为(e ，14e 2＋1)，则EC 2＝e 2＋116e 4，ED 2＝(e －2)2＋(14e 2＋1－2)2＝116e 4＋12e 2－4e ＋5，CD 2＝4＋1＝5，当EC ＝ED 时，有e 2＋116e 4＝116e 4＋12e 2－4e ＋5，解得r ＝－4±26，∴E 点坐标为(－4＋26，232－226)或(－4－26，232＋226)；当CD ＝CE 时，有e 2＋116e 4＝5，解得e ＝－2或e ＝2(与D 的横坐标相同，舍去)， ∴E 点坐标为(－2，2)，综上所述，E 点的坐标为(－4＋26，232－226)或(－4－26，232＋226)或(－2，2)；(3)存在N 1(3，1)，N 2(－3，－1)，N 3(－3，1)，N 4(3，－1)，使四边形OAMN 为菱形．【解法提示】∵△P AB 是等边三角形， ∴∠ABO ＝90°－60°＝30°. ∴AB ＝2OA ＝4. ∴PB ＝4.把y ＝4代人y ＝14x 2＋1，得x ＝±2 3.∴P 1(23，4)，P 2(－23，4)， ∵点A 的坐标为(0，2)，∴当P 点在A 点右边时，点P 的坐标为(23，4)， 设线段AP 所在直线的解析式为y ＝Kx ＋B ，⎩⎨⎧b ＝223k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝2， ∴线段AP 所在直线的解析式为y ＝33x ＋2， 设存在点N 使得四边形OAMN 是菱形， ∵点M 在直线AP 上， ∴设点M 的坐标为(M ，33M ＋2)， 如解图①，过点M 作MQ ⊥y 轴于点Q ，则MQ ＝|M |，AQ ＝OQ －OA ＝33M ＋2－2＝33M ，第8题解图①∵四边形OAMN 为菱形，∴AM ＝AO ＝2，∴在RT △AMQ 中，AQ 2＋MQ 2＝AM 2， 即m 2＋(33m )2＝22，解得m ＝±3， 代入直线AP 的解析式求得y ＝3或1， 当P 点在第一象限时，分为两种情况： 当N 在如解图②的位置时，第8题解图②∵OA ＝MN ， ∴MN ＝2，又∵M 点坐标为(3，3)， ∴N 点坐标为(3，1)，即 N 1坐标为(3，1)；当N 在如解图③的位置时，第8题解图③∵MN ＝OA ＝2，M 点坐标为(－3，1)，∴N 点坐标为(－3，－1)，即N 2坐标为(－3，－1)， 当P 点在第三象限时，分为两种情况：第一种是当点M 在线段P A 上时，则N 点坐标为(－3，1)， 第二种是当M 点在P A 的延长线上时，则N 点坐标为(3，－1)，∴存在N 1(3，1)，N 2(－3，－1)，N 3(－3，1)，N 4(3，－1)，使四边形OAMN 为菱形．9. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于A (－1，0)、B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D . (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P ，使△CDP 的面积为92？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点E 是x 轴上一点，在抛物线上是否存在点P ，使以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A (－1，0)，B (4，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；当x ＝0时，y ＝2，则C (0，2)， 又∵CD ∥x 轴，∴点D 的纵坐标为2.当y ＝2时，－12x 2＋32x ＋2＝2，解得x 1＝3，x 2＝0(舍去)，即点D 的坐标为(3，2)； (2)由(1)可知C (0，2)，D (3，2)， ∴CD ＝3，设点P 到CD 的距离为h ， ∴S △CDP ＝12CD ·h ，∴12×3h ＝92，解得h ＝3， 设P 点纵坐标为y ，则h ＝|y －2|＝3， 解得y ＝5或y ＝－1，∵y ＝－12x 2＋32x ＋2＝－12(x －32)2＋258，∴函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的最大值为258，∴y ＝5舍去，当y ＝－1时，则有－12x 2＋32x ＋2＝－1，解得x ＝3±332，此时P 点坐标为(3＋332，－1)或(3－332，－1)，综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为(3＋332，－1)或(3－332，－1)；(3)存在，点P 的坐标为(0，2)或(3－412，－2)或(3＋412，－2)．【解法提示】A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能： ①当AE 为一边时，AE ∥PD ； ∴P 1(0，2)；②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线的距离相等， 可知P 点、D 点到直线AE (即x 轴)的距离相等， ∴P 点的纵坐标为－2，代入抛物线的解析式得：－12x 2＋32x ＋2＝－2，解得x 1＝3＋412，x 2＝3－412，∴P 点的坐标为(3－412，－2)或(3＋412，－2)，综上所述存在满足条件的P 点，其坐标为(0，2)或(3－412，－2)或(3＋412，－2)．10. 如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a ＞0)与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A在点B 左侧，且B (1，0)，OC ＝3BO . (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵B (1，0)，∴OB ＝1.∵OC ＝3BO ，∴OC ＝3，即C (0，－3)． ∵y ＝ax 2＋3ax ＋c 过B (1，0)、C (0，－3)两点， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝34x 2＋94x －3；（2）如解图①，连接BC ，过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N ，第10题解图①在y ＝34x 2＋94x －3中，令y ＝0，得34x 2＋94x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1， ∴A (－4，0)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵直线AC 过A (－4，0)、C (0，－3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34b ＝－3， ∴直线AC 的解析式为y ＝－34x －3，∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝S △ABC ＋S △ADM ＋S △DCM ＝12AB ·OC ＋12DM ·(AN ＋ON ) ＝152＋2DM ， 设D (x ，34x 2＋94x －3)(－4<x <0)，则M (x ，－34x －3)，∴DM ＝－34x －3－(34x 2＋94x －3)＝－34(x ＋2)2＋3，当x ＝－2时，DM 有最大值3， 此时四边形ABCD 面积的最大值为272；（3）如解图②，分两种情况讨论：第1题解图②①当平行四边形在AC 的左边时，过点C 作CP ∥x 轴交抛物线于点P ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，此时四边形ACPE 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴设P (x ，－3)，∴34x 2＋94x －3＝－3，解得x 1＝0，x 2＝－3， ∴P 1(－3，－3)；②当平行四边形在AC 的右边时，平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ， 当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形， ∵C (0，－3)，∴设P (x ，3)，∴34x 2＋94x －3＝3，化简得：x 2＋3x －8＝0， 解得x 1＝－3＋412，x 2＝－3－412，此时存在点P 2(－3＋412，3)和P 3(－3－412，3)．综上所述，存在3个符合要求的点，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2(－3＋412，3)，P 3(－3－412，3)．。

二次函数〔平行四边形〕1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=〔x﹣m〕2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．〔1〕当m=2时，求点B的坐标；〔2〕求DE的长？〔3〕①设点D的坐标为〔x，y〕，求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第〔3〕①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？解答：解：〔1〕当m=2时，y=〔x﹣2〕2+1，把x=0代入y=〔x﹣2〕2+1，得：y=2，∴点B的坐标为〔0，2〕．〔2〕延长EA，交y轴于点F，∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，∵点A〔m，﹣ m2+m〕，点B〔0，m〕，∴AF=AE=|m|，BF=m﹣〔﹣m2+m〕=m2，∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF∽△DAE，∴=，即：=，∴DE=4．〔3〕①∵点A的坐标为〔m，﹣ m2+m〕，∴点D的坐标为〔2m，﹣ m2+m+4〕，∴x=2m，y=﹣m2+m+4，∴y=﹣•++4，∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，②作PQ⊥DE于点Q，那么△DPQ≌△BAF，〔Ⅰ〕当四边形ABDP为平行四边形时〔如图1〕，点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：〔﹣ m2+m+4〕﹣〔m2〕=﹣m2+m+4，把P〔3m，﹣ m2+m+4〕的坐标代入y=﹣x2+x+4得：﹣m2+m+4=﹣×〔3m〕2+×〔3m〕+4，解得：m=0〔此时A，B，D，P在同一直线上，舍去〕或m=8．〔Ⅱ〕当四边形ABDP为平行四边形时〔如图2〕，点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：〔﹣ m2+m+4〕+〔m2〕=m+4，把P〔m，m+4〕的坐标代入y=﹣x2+x+4得：m+4=﹣m2+m+4，解得：m=0〔此时A，B，D，P在同一直线上，舍去〕或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．【例二】抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

72x = B(0,4)A(6,0)EFxyO二次函数与四边形综合专题一．二次函数与四边形的形状例1. 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =-- 得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-，练习1.如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．A72x =B(0,4A(6,EFxyO练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26-（2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离． ∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的取值范围是1＜x ＜6． ①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -= 解之，得123, 4.x x ==故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）．点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形；点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形．② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，－3）．而坐标为 （3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使OEAF 为正方形．练习2.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．4- 3- 2- 1-12 34 5 5432 1 A EBC '1- O 2lxy4-3-2-1- 1 2 3 4 5 54321 A EB1- O 2lxy练习3. 如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．二．二次函数与四边形的面积例1.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x … -3 -2 1 2 … y…-52-4-52…(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.练习1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．练习2.如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象． B CPO D QA BPCODQ Ay321O12x练习3. 如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D . (1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值 .三．二次函数与四边形的动态探究例1.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．图2OCA Bxy DPE F 图1FE PD y xBA C O例2. 已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．例3. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形． xN MQ PHGFEDCBA图11QPN M HGFED CBA图10练习1.如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．练习2. 实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶yC()A(40)D ，(12)B ，O x图1yC()A(0)D e ，()B c d ，O x图2yC()A a b ，()D e b ，()B c d ，Ox图3y C()A a b ，()D e f ，()B c d ，Ox图4图12yxPQBCNMOA72x =B(0,4A(6,EF xyO（不必证明）； 运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．参考答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 22725()326y x =--， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．5-4-3-2-1-12 3 D554321 ACEMBC '1-O2l 1l xy① 根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -= 解之，得123, 4.x x ==故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）．点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形．② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 ③ 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--． 又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =． ∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）．（2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD =，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时，P P OD '∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形． （3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=，30BAM ∠=（或30ABM ∠=），114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =．∴点M 的坐标为(43)-，．但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. 解（1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点5-4-3-2-1- 1 2 3 4 5 5432 1A EBC '1- O 2l1lxy分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是 2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．（3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）．所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+． 所以22420t t +-=．解之得126262t t =-=--，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =-．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

平行四边形存在问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题多以压轴题形 式出现，其包涵知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对 学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年中考的“热点”，更是 难点。

存在性问题类型很多，今天研究分析平行四边形存在性问题的常规方法。

以函数为 背景的平行四边形存在问题，是代数几何综合题中难度较大的一类问题，也是近几年陕 西中考 24 题常考的综合题型，不少学生遇到这类问题，总感觉无从下手，谈之色变！希通过对平行四边形存在性问题的探究，让学生积累起以函数为背景的平行四边形 存在问题的常规解题方法，在后面的中考复习中到能有所帮助。

两个重要结论，解题的切入点1. 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点 A 坐标为（ x ， y ），点 B 坐标为（ x ， y ），则线段的中点坐标为（1 2 1 2 22）2. 平行四边形顶点坐标公式：（简称 : “对点法”）平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为A (x ,y )，B (x ,y )，C (x ,y ) A A B B C CD (x ,y )，则：DDx +x =x +x ；y +y =y +y . A C B D A C B D平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．1 12 2 ， x +x y +y平面直角坐标系中的平移平面内，线段AB平移得到线段 A'B' ，则①AB∥A'B'，AB=A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'.B到A的平移法则与B'到A'的平移法则相同；A到点A'与点B到点B'的运动法则也是相同。

x+x =x+x ；y+y=y+y .A B’B A’ A B’ B A’即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．【问题呈现】如图，线段AB平移得到线段A'B' ，已知点A(-2，2)，B(-3，-1)，B' (3，1)，则点A'的坐标是________.方法一：（平移法）解析思路：∵AB∥A'B',AB=A'B'，由平移的性质知：线段A'B'是由线段AB按照某个方向平移一定距离得到的，只要找到平移的方向以及平移距离那问题就可以解决。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题07 二次函数与平行四边形存在型问题【典例分析】【例1】（2019·内蒙古中考真题）已知,如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ,经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ． （1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点）,是否存在点D ,使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由．（3）若点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P 的坐标．【例2】（2019·青海中考真题）如图1（注：与图2完全相同）,在直角坐标系中,抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点,求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ,使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在,请求出点E 坐标,若不存在请说明理由.（请在图2中探索） 【例3】（2019·辽宁中考真题）如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于B 点,抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A ,B 两点,在第一象限的抛物线上取一点D ,过点D 作DC ⊥x 轴于点C ,交直线AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D ,使得△BDE 和△ACE 相似？若存在,请求出点D 的坐标,若不存在,请说明理由； （3）如图2,F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点D 重合）,点G 是线段AB 上的动点．连接DF ,FG ,当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时,请直接写出点G 的坐标．【例4】（2019·广西中考真题）如图,已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ,与y 轴相交于点()0,5B -,对称轴为直线l ,点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ,Q 分别在抛物线和对称轴l 上,当以A ,P ,Q ,M 为顶点的四边形是平行四边形时,求P ,Q 两点的坐标.【例5】（2019·甘肃中考真题）如图,已知二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1,0）、B （3,0）,与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点,点F 为对称轴上的一点,且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形,求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点,过点E 作x 轴的垂线,交直线BC 于点D,求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【例6】（2019·四川中考真题）如图,抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1,0）和点B 及y 轴上的点C,经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动．设运动时间为t 秒,求t 为何值时,△PBE 的面积最大并求出最大值．③过点A 作AM BC ⊥于点M,过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点N 的横坐标．【变式训练】1．抛物线y=﹣x 2+6x ﹣9的顶点为A ,与y 轴的交点为B ,如果在抛物线上取点C ,在x 轴上取点D ,使得四边形ABCD 为平行四边形,那么点D 的坐标是（ ）A．（﹣6,0）B．（6,0）C．（﹣9,0）D．（9,0）2．如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D,与y轴交于点C,四边形ABCD是平行四边形,则点B的坐标是（）A．（-4,-3）B．（-3,-3）C．（-3,-4）D．（-4,-4）3．如图,抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为M,以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E,使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44.如图,抛物线的顶点为P（﹣3,3）,与y轴交于点A（0,4）,若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（3,﹣3）,点A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为（）A．24 B．12 C．6 D．425．在▭ABCD中,对角线AC=4,BD=6,P是线段BD上一动点,过P作EF∥AC,与▱ABCD的两边分别交于E、F．设BP=x,EF=y,则反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．6．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴,y轴分别交于点A（﹣1,0）,B（4,0）,点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3,m）在第一象限的抛物线上,连接BC,BD．试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC＝∠DBC？如果存在,请求出点P点的坐标；如果不存在,请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标．7．如图,抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2,﹣3）,与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P,使PB+PC的值最小,求点P的坐标；（3）点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．8．在平面直角坐标系中,二次函数y＝ax2＋bx＋2 的图象与x 轴交于A（﹣3,0）,B（1,0）两点,与y 轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式,x 满足什么值时y﹤0 ?（2）点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP 面积最大？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由（3）点M 为抛物线上一动点,在x 轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,直接写出点Q 的坐标；若不存在,说明理由．9．如图,抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且∠ACO＝∠CBO．（1）求线段OC的长度；（2）若点D在第四象限的抛物线上,连接BD、CD,求△BCD的面积的最大值；（3）若点P在平面内,当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出点P的坐标．10．已知,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点坐标为（﹣6,0）,B点坐标为（4,0）,点D为BC的中点,点E为线段AB上一动点,连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+8．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①,将△BDE 以DE 为轴翻折,点B 的对称点为点G ,当点G 恰好落在抛物线的对称轴上时,求G 点的坐标；（3）如图②,当点E 在线段AB 上运动时,抛物线y ＝ax 2+bx +8的对称轴上是否存在点F ,使得以C 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请直接写出点F 的坐标；若不存在,请说明理由．11．在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数,a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223432333y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）,与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ,点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ；（2）如图,点M 为线段CB 上一动点,将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折,点C 的对称点为N,若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”,求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“衍生直线”上,是否存在点F,使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在,请说明理由． 12．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣12x 2+bx+c 经过点A （﹣1,0）和点B （0,52）,顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标．13．在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣14x2+32x+4的图象与x轴交于B,C两点（B在C的左侧）,与y轴交于点A．（1）求出点A,B,C的坐标．（2）在抛物线上有一动点P,抛物线的对称轴上有另一动点Q,若以B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点P的坐标．（3）向右平移抛物线,使平移后的抛物线恰好经过△ABC的外心,求出平移后的抛物线的解析式．14．如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(－4,0),B(0,－4),C(2,0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y＝－x上的动点,判断有几个位置能使以点P,Q,B,O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB),直接写出相应的点Q的坐标．15．如图,已知直线122y x=-+与两坐标轴分别交于A、B两点,抛物线21-2y x bx c=++经过点A、B,点P为直线AB上的一个动点,过P作y轴的平行线与抛物线交于C点, 抛物线与x轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段．．AB上运动时,求线段PC的长度的最大值；（3）在直线．．AB上是否存在点P,使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由．16．如图,二次函数232(0) 2y ax x a=-+≠的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A（﹣4,0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m,n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点,四边形OCDA的面积为S,求S关于m的函数关系式；（3）若点E为抛物线上任意一点,点F为x轴上任意一点,当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,请求出满足条件的所有点E的坐标．。