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第六章微分方程微分方程的基本概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。
微分方程的通解：如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
微分方程的特解：在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。
初始条件：用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。
积分曲线：微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。
一阶微分方程的求解方法分离变量法可分离变量的微分方程：形如 )()(y g x f dxdy =的微分方程，称为可分离变量的微分方程。
特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x 的函数，另一个是只含有y 的函数． 解法：当0)(≠y g 时，把)()(y g x f dxdy =分离变量为)0)((,)()(≠=y g dx x f y g dy 对上式两边积分，得通解为 ()()dy f x dx Cg y =+⎰⎰（这里我们把积分常数C 明确写出来，而把()dy g y ⎰，⎰dx x f )(分别理解为)(1y g 和)(x f 的一个确定的原函数。
） 齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。
一阶线性微分方程一阶线性微分方程：如果一阶微分方程(,,)0F x y y '=可以写为()()y p x y q x '+=则称之为一阶线性微分方程，其中()p x 、()q x 为连续函数．当()0q x ≡时，此方程为()0dy p x y dx+=，称它为对应于非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当()0q x ≡时，称为非齐次线性微分方程。
解法：用常数变易法可得其通解为：()()(())p x dx p x dx y e q x e dx c -⎰⎰=+⎰（注：其中每个积分，不再加任意常数C 。
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
微分方程公式总结微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述变量之间的关系以及其随时间或空间的变化规律。
微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，在实际问题的建模与求解中起到重要的作用。
本文将对微分方程的基本概念、常见的分类、常见的解法以及应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''...y^(n)代表y对x的一阶、二阶...n阶导数。
常见的微分方程类型有：常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一变量的导数，常见的类型有一阶、二阶和高阶常微分方程；偏微分方程中含有多个变量的偏导数，常见的类型有泊松方程、热方程和波动方程等。
二、常见的微分方程分类及解法1.一阶常微分方程一阶常微分方程形式为：dy/dx = f(x, y)解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)解法：齐次线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
3.一阶偏微分方程一阶偏微分方程形式为：F(x,y,u,p,q)=0其中u=u(x,y)是未知函数，p=∂u/∂x，q=∂u/∂y为一阶偏导数。
解法：变量分离法、特征线法、线性方程法等。
4.二阶偏微分方程二阶偏微分方程形式为：Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = 0其中A、B、C、D、E、F为已知函数，A、B、C不同时为零。
解法：分离变量法、特征线法、变换法等。
三、微分方程的应用微分方程是物理学、工程学、经济学等实际问题的重要工具，应用领域广泛。
1.物理学应用微分方程可以描述物体的运动、电磁场的分布等物理现象。
大一常微分方程一知识点总结本文档旨在总结大一常微分方程一课程中的主要知识点，帮助同学们复和回顾相关内容。
1. 什么是微分方程微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
它通常用于描述自然现象中包含变化速率的问题，如物理、工程和经济等领域。
2. 常见的常微分方程类型常微分方程可以分为以下几类：- 一阶常微分方程：只涉及一阶导数的方程。
常见的一阶方程包括分离变量方程、线性方程和齐次方程等。
- 二阶常微分方程：涉及二阶导数的方程。
常见的二阶方程包括常系数二阶齐次方程和非齐次方程等。
3. 常微分方程的解法常微分方程的解法主要有以下几种：- 分离变量法：将方程的未知函数与其导数分开，将方程变为两个可积的方程，再进行求解。
- 变量替换法：通过合适的变量替换，将原方程转化为可以更容易求解的形式。
- 齐次方程的解法：通过适当的变量替换，使得方程变为可以分离变量的形式，然后利用分离变量法求解。
- 常系数二阶齐次方程的解法：通过对方程进行特征根分析，得到方程的通解。
- 非齐次方程的解法：通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
4. 常微分方程的应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 物理学：常微分方程可以用于描述物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、电路中的电流变化等。
- 工程学：常微分方程可以用于描述工程问题中的变化和变化率，如电路中的电压变化、机械系统的振动等。
- 经济学：常微分方程可以用于描述经济系统中的变化和变化率，如经济增长模型、人口增长模型等。
以上是对大一常微分方程一课程的主要知识点的简要总结，希望能够为同学们的学习提供一些帮助和参考。
高数微分方程总结(一)前言高等数学（高数）是大学数学的重要基础课程之一，微分方程则是高等数学中的一大难点。
本文将对高数微分方程进行总结，希望能够对学习高数微分方程的同学提供一些帮助和指导。
正文什么是微分方程•微分方程是描述函数变化率的方程。
•包含未知函数、函数的导数及自变量的关系。
微分方程的分类1.常微分方程：–只包含有限个未知函数及其导数的方程。
–常微分方程的阶数为未知函数导数的最高阶数。
2.偏微分方程：–包含多个未知函数及其偏导数的方程。
–偏微分方程的阶数为未知函数偏导数的最高阶数。
微分方程的解法1.可分离变量法：–将未知函数与自变量的各项分离，在两边同时积分得到解。
2.齐次方程法：–换元化为可分离变量方程。
3.一阶线性方程：–使用积分因子法进行求解。
4.变量分离法：–将微分方程转化为关于不同变量的可分离变量方程。
5.常数变易法：–猜测一个常数解，进行代入验证，得到通解。
6.特征方程法：–对常数系数线性齐次微分方程，使用特征方程法求解。
微分方程应用领域•物理学：描述物理系统的运动规律。
•工程学：分析工程问题中的变化过程。
•经济学：研究经济发展、增长和波动等问题。
•生物学：描述生物体内的各种动态过程。
结尾通过对高数微分方程的总结，我们了解了微分方程的定义、分类以及常见的解法。
微分方程在许多学科领域都有广泛的应用，对于深入研究这些学科具有重要意义。
希望本文对正在学习高数微分方程的同学们有所帮助，加油！继续常见的微分方程类型•一阶线性常微分方程•一阶非线性常微分方程•一阶高阶常微分方程•二阶常系数齐次线性微分方程•二阶常系数非齐次线性微分方程•高阶齐次线性微分方程•高阶非齐次线性微分方程•可降阶的高阶微分方程微分方程的应用示例1.挂钟摆动的微分方程：–使用二阶常系数齐次线性微分方程描述，可求得钟摆的运动规律。
2.放射性衰变的微分方程：–使用一阶非线性常微分方程描述，可得到放射性物质的衰变速率。
3.电路中的无源电报方程：–使用二阶常系数非齐次线性微分方程描述，可分析电路中电流和电压的变化。
总结微分方程知识点一、微分方程的基本概念微分方程是一个涉及未知函数及其导数的方程。
一般来说，微分方程可以分为一阶微分方程和高阶微分方程两种。
其中，一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程，高阶微分方程则是指方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y对x的一阶导数，y''是y对x的二阶导数，y^(n)是y对x的n阶导数，F是关于x、y、y'、y''、...、y^(n)的函数。
二、微分方程的分类根据微分方程的性质和形式，微分方程可以分为很多种类。
其中，常见的微分方程包括：1. 隐式微分方程：形式是F(x,y,y')=0，其中y是未知函数；2. 显式微分方程：形式是y'=f(x,y)；3. 线性微分方程：形式是y^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+ay=f(x)或y'=p(x)y+q(x)；4. 非线性微分方程：形式是y'=f(x,y)或F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0，且不满足线性微分方程的条件；5. 高阶微分方程：方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
三、微分方程的解法解微分方程是求解微分方程的一个重要问题。
根据微分方程的类型和形式，可以采用不同的解法进行求解。
常见的解微分方程的方法包括：1. 可分离变量法：当微分方程可以变换为u(x)dy=v(y)dx的形式时，可以使用分离变量法求解微分方程；2. 线性微分方程的解法：对于一阶线性微分方程，可以使用积分因子法或者直接积分法求解。
而对于高阶线性微分方程，可以采用常系数线性齐次微分方程的特征方程法来求解；3. 变换微分方程：通过适当的变换，可以将微分方程化为更简单的形式，从而更容易求解；4. 特殊形式的微分方程的解法：例如可降阶的微分方程、恰当微分方程、齐次微分方程等，都有其特定的解法；5. 数值解法：对于一些难以解析求解的微分方程，可以采用数值解法来进行求解，常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
微分法考研知识点总结微分方程考研知识点主要涉及微分方程的基本理论、求解方法和应用，具体包括微分方程的基本概念、常微分方程的基本理论、一阶微分方程的解法、高阶线性微分方程的解法、常系数齐次线性微分方程的解法、常系数非齐次线性微分方程的解法、特殊的微分方程解法、微分方程在物理、生物等领域的应用等内容。
微分方程的基本概念主要包括微分方程的定义、微分方程的分类、微分方程解的存在唯一性定理等内容。
微分方程按照方程中所含导数的阶数和依变量的性质分类可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是研究函数的一阶或多阶导数与自变量的关系的微分方程。
偏微分方程是研究多元函数的偏导数及自变量的关系的微分方程。
微分方程解的存在唯一性定理是常微分方程理论的基本概念之一，它指出对于一定条件下的常微分方程初值问题有唯一解的存在性。
一阶微分方程的解法主要包括可分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
可分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的一阶微分方程，一阶线性微分方程法适用于形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的一阶线性微分方程。
高阶线性微分方程的解法主要包括常系数homogeneous线性微分方程解法、非齐次线性微分方程的常系数解法等。
特殊的微分方程解法包括欧拉方程解法、恒等式变换法、拉普拉斯变换法、解微分方程的级数解法等。
微分方程在物理、生物等领域的应用涉及到弹簧振子运动微分方程、电路分析微分方程、人口增长微分方程、生态平衡微分方程等。
微分方程是数学分析的重要分支，也是科学和工程技术的基础工具之一。
微分方程的方法已经广泛应用于科学和工程技术的研究中，在国家的经济建设和科学研究中都有着重要的作用。
因此，微分方程作为一个独立的学科在国内外的高等数学教学中占有重要地位。
微分方程考研知识点是数学分析课程中的重要内容，通过深入学习微分方程，可以提高考生的数学分析能力和解决实际问题的能力，为日后的科学研究和实际生活奠定坚实的数学基础。
数学的微分方程基础微分方程是数学中的一种重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等。
它描述了自然界中许多变化过程的数学模型，并通过求解微分方程，我们可以得到这些变化的具体解析解或数值解。
本文将介绍微分方程的基础知识，包括微分方程的定义、分类、求解方法等。
一、微分方程的定义与分类微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中，\[y^{(n)}\]表示未知函数y的n阶导数。
根据方程中所涉及的未知函数和导数的阶数，微分方程可以分为以下几类：1. 常微分方程：只涉及一元函数y及其有限阶导数的微分方程，如：\[y''+y=0\]2. 偏微分方程：涉及多元函数及其偏导数的微分方程，如：\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0\]3. 隐式微分方程：即在微分方程中未明确给出未知函数y，而是通过方程中的其他条件来确定未知函数y的方程，如：\[x^2+y^2=1\]二、常微分方程的解法常微分方程的求解是微分方程研究的重点之一。
根据方程的类型和特征，可以采用不同的方法求解常微分方程。
1. 变量可分离方程变量可分离方程即可将微分方程转化为两个变量的乘积对数形式。
例如，对于方程：\[\frac{dy}{dx}=x^2\]可以通过变量分离，将方程化简为：\[\frac{dy}{y}=x^2dx\]然后对方程两边同时积分，即可得到解析解。
2. 齐次方程齐次方程是具有特殊形式的常微分方程，可通过引入新的变量进行变换后，化简成可积分的方程。
例如，对于方程：\[xy' - y = x\ln x\]引入新变量u=x/y，可以得到较为简洁的形式：\[u' - \frac{u}{x} = \ln x\]再通过变量分离、两边积分的方法即可求解出u，然后通过u与x 的关系，得到y的解析解。
2.7．微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。
简单例子：（1）放射性物质，在每一时刻t ，衰变的速率dm dt -（由于是减少，因此0dm dt<，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。
dmkm dt-= （2）质量为m 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F ma =，即22d ymg m dt=（3）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足22dy d y mg k m dt dt-=（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为O ，钢球在t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程()22d x kx m dt-=如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是22dx d xkx h m dt dt--=总结：最简单的一阶微分方程是()dxf t dt= 其中t 是自变量，上述方程的一般解应该是()x f t dt C =+⎰最简单的n 阶方程()n nd xf t dt = 它等价于说11n n d xdt--是()f t 的原函数，即11()n n d xf t dt C dt --=+⎰则再次积分，一直积分下去得到111()(1)!n n n t x f t dt dt C C t C n --=++++-⎰⎰L L L2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程()()dxa t xb t dt+= 方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。
如果()0a t =，则称为一阶线性常微分方程。
试着求解上述方程，方程两端都乘以()a t dte ⎰，得到()()()()()a t dta t dt a t dt dxe a t e x b t e dt⎰⎰⎰+= 即为下面的形式()()()()a t dta t dta t dt d e dxe x b t e dt dt ⎛⎫⎰ ⎪⎝⎭⎰⎰+=即()()()a t dta t dt d xeb t e dt⎛⎫⎰ ⎪⎝⎭⎰=于是有()()()a t dta t dtxe b t e dt C ⎰⎰=+⎰那么有()()()a t dt a t dt x e b t e dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 这就是一阶线性微分方程的一般解。
这个解法的关键部分是以()a t dte ⎰乘以方程两端。
简单的例子（1）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足22dy d y mg k m dt dt-=由于速度dyv dt=，因此方程化为 dv kv g dt m+= 方程两边同时乘以()kk dtt a t dtm me ee ⎰⎰==，则有k k k t t t mmm dv k ee v ge dt m+= 即有k t mk t m d ve ge dt⎛⎫ ⎪⎝⎭= 得到k k t t mm mg v ee C k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即kk k t t t mm m mg mg v ee C Ce k k--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 跳伞的初始速度为0，即0,0t v ==，则00t mgv C k ==+= 所以mgC k=-则跳伞速度为1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭由于dyv dt=，因此有 1'k k t t m mmg mg m y vdt e dt t e C k k k --⎛⎫⎛⎫==-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰跳伞的初始位移为0，即0,0t y ==，则0'0t mg m y C k k =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭则'mC k=-因此有1k t mmg m y t e k k -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭自然界有一些量，它的减少正比于该量本身数值，这样的量x 应该满足一下的微分方程dxkx dt=- 即0dxkx dt+= 解这微分方程得到kt x Ce -=设0t =时x 的值为0x ，则有0C x =，量x 的变化规律为0kt x x e -=2.7.3 变量分离型微分方程先看一个简单的例子，考察一阶线性方程()dxa t x dt= 我们把这个方程改写为()dxa t dt x= 如果()x x t =是方程的解，那么它能使上式成为恒等式，两边求不定积分得 ()'dxa t dt C x =+⎰⎰因此得到 ln ||()'x a t dt C =+⎰()'a t dtC x e e ⎰=±⋅令'C C e =±，则得到()a t dtx Ce ⎰=因此我们可以得到结论，方程()dxa t x dt= 的一般解为()a t dtx Ce ⎰=（一般的变量分离型方程） 对于一般的变量分离型方程()()dxf tg x dt= 事实上，如果()0g x ≠，那么方程可以改写为()()dxf t dtg x = 再对两边求不定积分得到()()dxf t dt Cg x =+⎰⎰另外，如果有0x 能使得0()0g x =，那么常值函数0x x ≡也是原方程的解。
（经过换元后得到变量分离型方程）（1）考察方程dx x f dt t ⎛⎫= ⎪⎝⎭换元，引入新的未知数 xu t=我们得到 x ut =()dx d ut duu tdt dt dt ==+ 代入原方程得到 ()duu tf u dt+=()du f u udt t-=这又是一个变量分离型方程，我们有()du dtf u u t=-()du dtC f u u t=+-⎰⎰则有ln ||()dut C f u u=+-⎰（2）考察方程 dxx t f dt x t αβγδ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ 变换方程x dxx t f g x dt t t αβγδ⎛⎫+ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭换元，令x u t= 我们得到 x ut =dx du u t dt dt=+ 代入原方程，我们有duu u tf dt u αβγδ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭这是一个分离变量型的方程，得到du dtt u f u u αβγδ=⎛⎫+- ⎪+⎝⎭ 两边取积分得到du dtC tu f u u αβγδ=+⎛⎫+-⎪+⎝⎭⎰⎰则得到ln ||dut C u f u u αβγδ=+⎛⎫+- ⎪+⎝⎭⎰（3）考察方程dxx t f dt x t αβλγδμ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭这个方程可以化成（2）中的形式，取0x 和0t 满足000000x t x t αβλγδμ++=⎧⎨++=⎩ 作如下变换 0x x t t ξτ=+⎧⎨=+⎩ 则有00()()d x dx d dt d t d ξξττ+==+ 00000000()()()()()()00x t x t x t f f f x t x t x t f f f αξβτλαξβταβλαβλγδμγξδτμγξδτγδμξαβαξβταξβττξγξδτγξδτγδτ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++== ⎪ ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭作换元，令u ξτ= 我们得到 u ξτ=d duu d d ξτττ=+ 代入原方程，我们有duu u f d u αβττγδ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭du d u f u u τταβγδ=⎛⎫+-⎪+⎝⎭du d C u f u u τταβγδ=+⎛⎫+- ⎪+⎝⎭⎰⎰ln ||duC u f u u ταβγδ=+⎛⎫+- ⎪+⎝⎭⎰求解方程后只要将值还原为还原前的值。
2.7.4 实变复值函数对于代数方程式，我们已经有过这样的经验：即使是实系数的代数方程，为了弄清楚它的根的状况，最好到更广泛的复数范围内加以讨论。
在处理微分方程的某些问题时，例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是“实”的微分方程，所求的也是实解（实值函数解），但中间过程却需要在更广泛的复值函数范围内进行讨论。
本节为这一讨论做准备。
（1）复数与平面向量，复数序列的极限 我们把形状如 w u iv =+ 的数称为复数，这里1i =-是虚单位，而,u v 都是实数，分别称为实部和虚部，记为Re ,w u =Im w v =复数的加法和乘法定义如下：11221212()()()()u iv u iv u u i v v +++=+++ 11221212()()()()u iv u iv u u i v v +-+=-+-11221221121212122112()()()()u iv u iv u u iv u iv u v v u u v v i v u v u +⋅+=++-=-++1111221212122112121221222222222222222222()()()()()()u iv u iv u iv u u v v i v u v u u u v v v u v u i u iv u iv u iv u v u v u v ++-++-+-===+++-+++作除法时要求220u iv +≠，即22220u v +≠。
复数w u iv =+可以解释为平面直角坐标系中坐标为(,)u v 的点，这点的极坐标为(,)r θ，x ()y i Orθ(,)u v其中22r u v =+，cos u r θ=，sin vrθ= 我们把(cos sin )w r i θθ=+称为复数的极坐标表示，r 和θ分别称为复数的模和幅角，分别用符号||w 和Argw 表示。
采用这种表示来计算复数的乘方特别方便：(cos sin )n n w r n i n θθ=+证明：当1n =时明显成立，假设当n k =时成立，有(cos sin )k k w r k i k θθ=+则当1n k =+时，有[][]1111(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos cos sin sin )(cos sin sin cos )cos(1)sin(1)k k k k k k w w w r k i k r i r k i k i r k k i k k r k i k θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++=⋅=+⋅+=++=-++=+++所以对1n k =+也成立，故而有(cos sin )n n w r n i n θθ=+复数w u iv =+还可以解释为长为||w 方位角为Argw 的一个平面向量，多个复数之和就可以理解为多个平面向量之和。
