2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程（第三版） 习题2.52．ydy x xdy ydx 2=-解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。

6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。

8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。

10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。

12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。

（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。

微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-=四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y'= 。

这里的()ny 是必须出现。

（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间上有阶连续导数，如果在区间上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '= 的解。

注：一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。

函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。

导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。

导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。

函数连续定义：设函数()y f x =在点的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点连续。

左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→==左极限存在且等于该点的函数值。

右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→==右极限存在且等于该点的函数值。

在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。

如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。

函数在点连续()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。

《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。

常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。

下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。

1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。

-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。

-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。

2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。

-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。

-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。

-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。

-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。

3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。

-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。

4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。

- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。

- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程基本知识点第一章 绪论1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要）例：03)(22=-+y dx dyx dx dy（1阶非线性）； x e dx yd y=+22sin 。

2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。

（以书后练习题为主） （习题1，2，9题）例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________.第二章 一阶方程的初等解法1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要）2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要）3.线性非齐次方程的常数变易法；4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程；(2).经变换_____y x u 32-=____________后，方程1)32(1'2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。

(4).方程221'y x y -=为：线性方程。

5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子；6.恰当方程的解法（分项组合方法）。

（重要）第三章 一阶方程的存在唯一性定理1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ；2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题3.1的1，2，3题）第四章 高阶微分方程1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质；2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系；3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要）4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）；5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（，特解的确定（比较系数法、复数法比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-¢¢，确定特解类型？（习题4.2相关题目）6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

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常微分方程的大致知识点
（一）初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程（一般含有x
y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程
5令 6781方法：特征方程
单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+=
单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+=
重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+=
重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
2、常系数非齐次)()(x f y D L =
方法：三部曲。

第一步求0)(=y D L 的通解Y
第二步求)()(x f y D L =的特解*y
第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=
如何求*y ？
当
f 当f 当f 1当0,021><λλ，鞍点，图像
当0,021<<λλ，稳定结点，图像
当0,021>>λλ，不稳定结点，图像
第二种情况：相异复根，βαλ+=1i ，βαλ-=2i
当0=α，中心，图像
当0<α，稳定焦点，图像
当0>α，不稳定焦点，图像
第三种情况：相同实根，λλλ==21
当c b ,同时为0时，如果0>λ，不稳定临界结点，图像 如果0<λ，稳定临界结点，图像
当c b ,不同时为0时，如果0>λ，不稳定退化结点，图像
23。

第一章 绪论什么是线性微分方程：形如)()()()(y 1)1(1)(x f y x a y x a y x a n n n n =+'+++--Λ的微分方程，即y 及y 的各阶导数都是一次有理整式，即不含y 及y 的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。

第二章 一阶微分方程的初等解法§ 2.1 变量分离方程1、形式：)()(y x f dxdy ϕ= 做题步骤：① 0)(≠y ϕ 可将方程改写为：dx x f y dy )()(=ϕ，这样对两边积分：⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ，得出方程的通解，但c 要保证积分式有意义 ② 0)(=y ϕ时，求出0y y = 也是方程的解2、y x P dxdy )(=得dx x P ce y ⎰=)( (2.4) 而0=y 也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。

3、齐次方程：)(xy g dx dy = (2.5) 做变量变换x y u =，即ux y =，则u dx du x dx dy +=，整理后为：x u u g dx du -=)(，即为变量分离方程。

同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c 的范围是否相同）4、222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.13) 做题步骤：①k c c b b a a ===212121（常数），通解：c kx y += (c 为任意常数) ② 212121c c k b b a a ≠==，令y b x a u 22+=，有212222c u c ku b a dx dy b a dx du ++++=+=，为变量分离方程 ③ 2121b b a a ≠，如果没有常数21c c 、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a (2.14)，两条曲线相交的交点为),(βα，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X ，(2.14) 变为⎩⎨⎧=+=+002211Y b X a Y b X a ，从而 (2.13) 变为)(2211X Y g Y b X a Y b X a dX dY =++=，§ 2.2 线性微分方程与常数变易法1、)()(x Q y x P dxdy += (2.28) 做题步骤：① 考虑y x P dxdy )(=，求出它的通解为：⎰=dx x P ce y )(；② 常数变易变为：⎰=dx x P e x c y )()((2.29) ③ 求微分得：⎰+⎰=dx x P dx x P e x P x c e dxx dc dx dy )()()()()( (2.30) ，④ 将(2.29)和(2.30)代入(2.28)，得到： ⎰=-dx x P e x Q dx x dc )()()(，⑤ 积分后得到⎰'+⎰=-c dx e x Q x c dx x P )()()(，于是得到方程(2.28)的通解为： ))(()()(⎰'+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x P dx x P2、伯努利微分方程n y x Q y x P dxdy )()(+= 做题步骤：① 两边同除以n y ，得到)()(1x Q x P y dx dy yn n +=--，② 设n y z -=1，得dx dy y n dx dz n --=)1( ③ 于是原方程变为：)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -+-=，即为线性微分方程 § 2.3 恰当微分方程与积分因子1、恰当方程形式：0),(),(=+dy y x N dx y x M （M 、N 在已知区域上连续且具有一阶连续偏导数）推理过程：① 若已知此微分方程是恰当方程能推出什么？先设原函数为),(y x u yx u y N x y u y M ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂22、 由条件得：yx u x y u ∂∂∂=∂∂∂22即x N y M ∂∂=∂∂ ② 那么反过来若由它俩相等能否推出方程是恰当方程？ 从x u M ∂∂=出发，两边同时求积分：⎰⎰∂∂==x u Mdx u +c ，但c 若是常数那么？则应为：⎰⎰+=∂∂=)(y Mdx dx x u u ϕ ③ 对u 关于y 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，如何证明等式左边等于右边（方程有意义），即右边也与x 无关即只与y 有关？ 对右边关于x 求偏导0=∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂∂⎰y M x N dx y M x x N （因为证充分，则y M x N ∂∂=∂∂为已知）④ 两端积分：dy Mdx y N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，于是⎰⎰⎰∂∂-+=)(dy y M N Mdx u 做题步骤：① 先设u(x,y)，② 证明xN y M ∂∂=∂∂，③ 从M 出发对方程两端同时求积分得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰，④ 对u 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，⑤ 两边积分得dy dx y M N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，⑥ 得⎰⎰⎰∂∂-+=dy dx y M N Mdx u )(。

常微分方程 2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

一、常微分方程期末考试范围：第一章第五节奇解与包络不考第二章第三节机械振动与RLC回路不考第四节一般线性微分方程的一些解法不考第三章第三节常系数非齐次线性方程组的解法不考二、考试题型填空题（24分）、选择题（20分）、证明题（6分）、计算题（50分）三、各章分数大体分布情况第一章约40分第二章约35分第三章约25分常微分方程期末复习试题一．填空题1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

4、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

5、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

6、若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )('=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系： 。

二、计算题 1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-4、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421,为其中A e At5、0)4()3(2=---dy x y dx x y6、dx y x xdy ydx )(22+=-7、xy e xydx dy =+ 8、t e x x x 25'6''=++9、tx x 3sin 1''=+ 10、'21''x x =常微分方程期末考试试卷(6)参考答案一、填空题 1、x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( 2、)(xy f dx dy = 3、w []0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n4、n 个线性无关解向量5、形如()()dyP x y Q x dx+=的方程，()P x dx e ⎰，()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰6、C t t )()(Φ=ψ （C 为非奇异方程）二、计算题1、解： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0即21d 2x -d(xy)+dx-331dy -3dy=0 所以C y y x xy x =--+-33121322、解：2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，令z=x+y 则dx dydx dz +=1 ,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-12 所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3|1|+z =x+z+1C 即y x Ce y x +=++23)1(3、解： (1)i21,0322,12±==+-λλλ齐次方程的通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t +(2)i ±-=1λ不是特征根，故取t e t B t A x -+=)sin cos (代入方程比较系数得A=415，B=-414 于是t e t t x --=)sin 414cos 415(通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t ++t e t t --)sin 4cos 5(4114、解： det(A E -λ)=05434212=--=----λλλλ 所以，5,121=-=λλ设11-=λ对应的特征向量为1v由0110442211≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛----ααv v 可得取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=211121v v 同理取所以，)(t Φ= []=-251v e v e tt⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t tt te e e e 552 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=----------t t t t t t tt t t t tt t t t At e e ee e e e e e e e e e e e e t e 5555551551222231111223121112)0()( 5、解：04)(32=-++-ydy xdy ydx dx x0)2()(23=-+-y d dxy x d故方程的通解为c y xy x =-+-2326、解：两边除以2y ：dx y x y xdyydx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-122 =y x d dx y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12变量分离：dx y x yx d=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12两边积分：c x yx arctg += 即：)(c x tg yx+= 7、解：xy xe xy e dx dy xy xy-=-=dx y xe xdy xy )(-= dx xe ydx xdy xy =+ dx xe dxy xy =xdx edxyxy = 积分：c x e xy +=--221 故通解为：0212=++-c e x xy8、解：齐线性方程05'6''=++x x x 的特征方程为0562=++λλ，5,121-=-=λλ，故通解为t t e c e c t x 521)(--+=2=λ不是特征根，所以方程有形如t Ae t x 2)(=把)(t x 代回原方程 t t t t e Ae Ae Ae 22225124=++ 211=A 于是原方程通解为tt t e e c e c t x 2521211)(++=-- 9、解：齐线性方程的特征方程为012=+λ，解得i ±=λ 于是齐线性方程通解为t c t c t x sin cos )(21+= 令t t c t t c t x sin )(cos )()(21+=为原方程的解，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+t t t c t t c t t c t t c 32121sin 1cos )('sin )('0sin )('cos )(' 得t t c 21sin 1)('-=，ttt c 32sin cos )('= 积分得；11)(r ctgt t c += 222sin 121)(r tt c +-= 故通解为t r ttt x cos sin cos )(12+=t r t sin sin 1212+- 10、解：y x =' 则 dxdyy x ='' 从而方程可化为 y dx dy y21=，3123⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c x y ， 3123'⎪⎭⎫⎝⎛+=c x x积分得 3123⎪⎭⎫⎝⎛+=c x y。

常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。

一般形式为dy/dx = f(x, y)。

2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。

3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。

4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。

二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。

- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。

- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。

- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。

2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。

- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。

- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。

三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。

2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。

3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。

4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。

5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。

dyydy1．（变量分离方程）形如dx 《常微分方程》复习资料f (x )ϕ( y )（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里 f (x ),ϕ( y ) 分别是 x , y 的连续函数．dy解法：（1）分离变量，当ϕ( y ) ≠ 0 时，将（1.1）写成ϕ( y )= f (x )dx ，这样变量就“分离”了；（2）两边积分得⎰ ϕ( y ) = ⎰f (x )dx + c （1.2），由（1.2）所确定的函数 y = ϕ(x , c ) 就为（1.1）的解．注：若存在 y 0 ，使ϕ( y 0 ) = 0 ，则 y = y 0 也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上．dyy2．（齐次方程）形如 = g ( ) 的方程称为齐次方程，这里 g (u ) 是u 的连续函数．dx x解法：（1）作变量代换（引入新变量） u = ，方程化为 xdu = g (u ) - u ，（这里由于 dx x dy = x du dx dx + u ）； （2） 解以上的分离变量方程； （3） 变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程 a (x ) dy dx+ b (x ) y + c (x ) = 0 在 a (x ) ≠ 0 的区间上可写成dy= P (x ) y + Q (x ) （3.1），这里假设 P (x ), Q (x ) 在考虑的区间上是 x 的连续函数．若 Q (x ) = 0 ，则（3.1）变为 dx dy= P (x ) y （3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若Q (x ) ≠ 0 ，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． dx解法：（1）解对应的齐次方程 dy= P (x ) y ，得对应齐次方程解 y = ce ⎰ p ( x ) dx ， c 为任意常数；dx（2）常数变异法求解（将常数c 变为 x 的待定函数c (x ) ，使它为（3.1）的解）：令 y = c (x )e ⎰p ( x )dx为（3.1）的解，则dy = dc (x ) e ⎰ p ( x )dx + c (x ) p (x )e ⎰ p ( x )dx ，代入（3.1）得 dc (x )= Q (x )e -⎰ p ( x )dx ，积分得c (x ) = ⎰ Q (x )e -⎰ p ( x )dx + c ； dx dx dx（3）故（3.1）的通解为 y = e ⎰p ( x )dx(⎰ Q (x )e -⎰ p ( x )dxdx + c ) ．4．（伯努利方程）形如dy = P (x ) y + Q (x ) y n 的方程，称为伯努利方程，这里 P (x ), Q (x ) 为 x 的连续函数．dx解法：（1）引入变量变换 z = y1-n，方程变为dz = (1- n )P (x )z + (1- n )Q (x ) ；dx（2） 求以上线性方程的通解； （3） 变量还原．5．（可解出 y 的方程）形如 y =dyf (x , dy) (5.1)的方程，这里假设 f (x , y ') 有连续的偏导数． dx解法：（1）引进参数 p = ，则方程（5.1）变为 y = dxf (x , p ) （5.2）；（2） 将（5.2）两边对 x 求导，并以 dy = p 代入，得 p = ∂f + ∂f ∂p（5.3），这是关于变量 x , p 的一阶微分方dx ∂x ∂p ∂x程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为 p = ϕ(x , c ) ，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解 y =f (x ,ϕ(x ,c )) ，c 为任意常数；=⎩⎩ ⎩dy ⎩dy ⎩ ⎧x =ψ ( p , c )（ii ）若求得（5.3）的通解形式为 x =ψ ( p , c ) ，则得（5.1）的参数形式的通解为⎨y =，其中f (ψ ( p , c ), p )p 是参数， c 是任意常数；⎧Φ(x , p , c ) = 0（iii ） 若求得（5.3）的通解形式为Φ(x , p , c ) = 0 ，则得（5.1）的参数形式的通解为⎨ y = f (x , p )，其中 p是参数， c 是任意常数．6．（可解出 x 的方程）形如 x =dyf ( y , dy ) (6.1)的方程，这里假设 f ( y , y ') 有连续的偏导数． dx解法：（1）引进参数 p = ，则方程（6.1）变为 x = dxf ( y , p ) （6.2）；（2） 将（6.2）两边对 y 求导，并以 dx = 1 代入，得 1 = ∂f +∂f ∂p（6.3），这是关于变量 y , p 的一阶微分方 dy p p ∂y ∂p ∂y程；⎧x = f ( y , p )（3）若求得（6.3）的通解形式为Φ( y , p , c ) = 0 ，则得（6.1）的参数形式的通解为⎨Φ( y , p , c ) = 0 ，其中 p 是参数， c 是任意常数．7．（不显含 y 的方程）形如 F (x , dy) = 0 的方程，这里假设 F (x , y ') 有连续的偏导数． dx解法：（1）设 p =，则方程变为F (x , p ) = 0 ；dx⎧x = ϕ(t )（2）引入参数t ，将 F (x , p ) = 0 用参数曲线表示出来，即⎨⎩ ，（关键一步也是最困难一步）； =ψ (t )（3） 把 x = ϕ(t ) ， p =ψ (t ) 代入 dy = pdx ，并两边积分得 y =⎰ψ (t )ϕ'(t )dt + c ；⎧⎪x = ϕ(t )（4） 通解为⎨⎪ y = ⎰ ψ (t )ϕ'(t )dt + c ． 8．（不显含 x 的方程）形如 F ( y , dy) = 0 的方程，这里假设 F ( y , y ') 有连续的偏导数．dx解法：（1）设 p = ，则方程变为 F ( y , p ) = 0 ； dx⎧ y = ϕ(t )（2）引入参数t ，将 F ( y , p ) = 0 用参数曲线表示出来，即⎨ p =ψ ，（关键一步也是最困难一步）； (t )dyϕ'(t )（3）把 y = ϕ(t ) ， p =ψ (t ) 代入 dx = p ，并两边积分得 x = ⎰ ψ dt + c ；(t )⎧x = ϕ'(t )⎪ （4）通解为⎨dt + c ψ (t ) ． ⎪⎩y = ϕ(t ) 9．（ F (x , y(k ), , y (n -1) , y n ) = 0(k ≥ 1) 型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数 y 及 y ', , y (k -1) ．p ⎰解法：令y(k ) =z(x) ，则y(k +1) =z'，y(n)=z(n-k ) ．代入原方程，得F (x, z(x), z'(x), , z(n-k ) (x)) = 0 ．若能求得z(x) ，1 = +⎰x ⎪ 0n 0 ⎰⎪ ⎨ dx将 y(k )= z (x ) 连续积分 k 次，可得通解．10．（ y(n )= f ( y , y (k ) , , y (n -1) ) 型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量 x ．' '' = dp dy dP ''' 2 d 2p dP 2 解法：设 y = p ( y ) ，则 y = P , y = P + P ( ) , ，代入原方程得到新函数 P ( y ) 的(n -1) 阶 dy dx dy dy 2dydy dy方程，求得其解为 dx = P ( y ) = ϕ( y , C 1, , C n -1 ) ，原方程通解为⎰ ϕ( y , C , , Cn -1 )= x + C n ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数Φ(x , y , y ', , y (n -1)) 对 x 的导数，即 ddxΦ(x , y , y ', , y (n -1) ) = 0 ．解法：类似于全微分方程可降低一阶Φ(x , y , y ', , y (n -1)) = C ，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点： F (x , ty , ty ', , ty (n )) = t k F (x , y , y ', , y (n ) ) （ k 次齐次函数）．解法：可通过变换 y = e ⎰zdx将其降阶，得新未知函数z (x )．因为 y ' = ze ⎰zdx, y ' = (z '+ z 2)e ⎰zdx, , y(n )= Φ(z , z ', , z (n -1) )e ⎰zdx，代入原方程并消去e k ⎰ zdx ，得新函数 z (x ) 的(n -1) 阶方程 f (x , z , z ', , z (n -1)) = 0 ．⎧dy13．（存在唯一性定理）考虑初值问题⎪ dx f (x , y ) （13.1），其中 f (x , y ) 在矩形区域 R : x - x≤ a , y - y≤ b 上连⎨0 0 ⎪ y (x ) = y ⎩ 0 0续，并且对 y 满足 Lipschitz 条件：即存在 L > 0 ，使对所有(x , y 1 ), (x , y 2 ) ∈ R 常成立 bf (x , y 1 ) - f (x , y 2 ) ≤ L y 1 - y 2 ， 则初值问题（13.1）在区间 x - x 0 ≤ h 上的解存在且唯一，这里h = min(a ,M), M = Max ( x , y )∈R f (x , y ) ．x初值问题（13.1）等价于积分方程 y y 0 0 ⎧ϕ (x ) = yf (t , y )dt ，构造Picard 逐步逼近函数列{ϕn (x )}⎨ϕ (x ) = y +f (ξ,ϕn -1(ξ ))dxx 0 ≤ x ≤ x 0 + h ， n = 1, 2, ．⎩x 014．（包络的求法）曲线族Φ(x , y , c ) = 0 （14.1）的包络包含在下列两方程 ⎧Φ(x , y , c ) = 0 Φ' (x , y , c ) = 0消去参数c 而得到的曲线⎩ c F (x , y ) = 0 之中．曲线 F (x , y ) = 0 称为（14.1）的c - 判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程 F (x , y , dy) = 0（15.1）的奇解包含在由方程组⎧F (x , y , p ) = 0 消去参数 p 而得到的曲dx ⎨F '(x , y , p ) = 0 ⎩ c线Φ(x , y ) = 0 之中，此曲线称为（15.1）的 p - 判别曲线，这里 F (x , y , p ) = 0 是 x , y , p 的连续可微函数． 注： p - 判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如 y = xdy+ f ⎛ dy ⎫（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里 f ''( p ) ≠ 0 ． ⎪ dx ⎝ ⎭= x⎨y = xp + f ( p )⎩x (t ) x (t ) x (t ) 解法：令 p = dy，得 y = xp + f ( p ) ．两边对 x 求导，并以dy= p 代入，即得 p = x dp + p + f '( p ) dp，经化简， dx得dp[x + f '( p )] = 0 ． dx dpdx dx dx如果 = 0 ，则得到 p = c ．于是，方程（16.1）的通解为： y = cx + f (c ) ．dx如果 x + f '( p ) = 0 ，它与等式 y = xp + f ( p ) 联立，则得到方程（16.1）的以 p 为参数的解：⎧x + f '( p ) = 0或⎩⎧x + f '(c ) = 0 ⎨y = xc + f (c )其中c 为参数．消去参数 p 便得方程的一个解．17．（函数向量组线性相关与无关）设 x 1 (t ), x 2 (t ), , x m (t ) 是一组定义在区间[a , b ] 上的函数列向量，如果存在一组不全为 0 的常数c 1 , c 2 , c m ，使得对所有 a ≤ t ≤ b ，有恒等式c 1 x 1 (t ) + c 2 x 2 (t ) + + c m x m (t ) = 0 ， 则称 x 1 (t ), x 2 (t ), , x m (t ) 在区间[a , b ] 上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[a , b ] 上线性无关．⎡ x 11 (t )⎤ ⎡ x 12 (t ) ⎤ ⎡ x 1n (t ) ⎤⎢ x (t )⎥ ⎢ x (t )⎥ ⎢ x (t )⎥ 18．（Wronsky 行列式）设有 n 个定义在 a ≤ t ≤ b 上的向量函数 x (t ) = ⎢ 21 ⎥ , x (t ) = ⎢ 22 ⎥ , , x (t ) = ⎢ 2n ⎥ ， 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ n 1 ⎦ ⎣ n 2 ⎦ ⎣ nn⎦ x 11 (t ) x 12 (t ) x 1n (t ) x 21 (t ) x 22 (t ) x 2n (t )由这 n 个向量函数所构成的行列式W [x 1 (t ), x 2 (t ), x n (t ) W (t ) ≡称为这 n 个向量函数所构成的 Wronsky 行列式．x n 1 (t ) x n 2 (t ) x nn (t )如果向量函数 x 1 (t ), x 2 (t ), , x n (t ) 在 a ≤ t ≤ b 上线性相关，则它们的 Wronsky 行列式W (t ) ≡ 0, a ≤ t ≤ b ． 19．（基解矩阵的计算公式）（1） 如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量v 1, v 2 , , v n ，它们相应的特征值为λ1, λ2 , , λn （不必互不相同），那么矩阵Φ(t ) = [e λ1t v , e λ2t v , , e λn tv ], -∞ < x < +∞ 是常系数线性微分方程组 x ' = Ax 的一个基解矩阵；12n（2） 矩阵 A 的特征值、特征根出现复根时（略）； （3） 矩阵 A 的特征根有重根时（略）．d n x d n -1 x 20．（常系数齐线性方程）考虑方程 L [x ] = dt n为n 阶常系数齐线性方程．+ a 1 dt n -1 + + a n x = 0 （20.1），其中 a 1, a 2 , a n 为常数，称（20.1）解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根λ1, λ2 , , λk ；（2） 计算方程（20.1）相应的解：（i ） 对每一个实单根λk ，方程有解eλk t；（ii ） 对每一个 m > 1重实根λk ，方程有 m 个解： eλk t, t e λk t , t 2e λk t , , t m -1e λk t ；m m m 2 ⎨1 ⎩（iii ） 对每一个重数是 1 的共轭复数α ± β i ，方程有两个解： eαtcos β t , e αt sin β t ；（iv ） 对每一个重数是 m > 1的共轭复数αe αt cos β t , te α t cos β t , , t m -1e α t cos β t ;± βi ，方程有2m 个解： ；e αt sin β t , te αt sin β t , , t m -1e αtsin β t（3） 根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程） y ' + py ' + qy = f (x ) 二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程 y '' + py ' + qy = 0 ，通解结构 y = Y + y ．设非齐次方程特解 y = Q (x )e λ x 代入原方程 Q ''(x ) + (2λ + p )Q '(x ) + (λ 2+ p λ + q )Q (x ) = P (x )（1）若λ 不是特征方程的根， λ 2+ p λ + q ≠ 0 ，可设Q (x ) = Q (x ) ， y = Q m (x )e λ x；（2）若λ 是特征方程的单根， λ 2 + p λ + q = 0 ， 2λ + p ≠ 0 ，可设Q (x ) = xQ (x ) ，y = xQ m (x )e λ x；（3）若λ 是特征方程的重根， λ 2 + p λ + q = 0 ， 2λ + p = 0 ，可设Q (x ) = x 2Q (x ) ， y = x 2Q (x )eλ x．综上讨论，设 y = x k eλ xQ(x ) ， ⎧0λ不是根⎪ λ 是单根． ⎪ λ是重根m m m k =。

习题2.2求下列方程的解 1．dxdy=x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dxc dx +)=e x [-21e x-(x x cos sin +)+c] =c e x -21(x x cos sin +)是原方程的解。

2．dtdx+3x=e t 2 解：原方程可化为：dtdx=-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt3 (⎰et2e -⎰-dt 3c dt +) =e t 3- (51e t 5+c)=c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。

3．dtds=-s t cos +21t 2sin解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + )=e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．dx dy n x x e y nx=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y nx+=)(c dx ex e ey dxx nnx dxx n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx=0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x⎰=-dxx x ey 212(c dx edxx x +⎰-221))21(ln 2+=x e)(1ln 2⎰+--c dx exx=)1(12xce x +是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dxx P x dxdy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dyy x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y y eyQ y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

常微分方程知识点总结1. 常微分方程的定义：常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。

一般形式为：dy/dx=f(x,y)。

其中，y为未知函数，x为自变量，f为已知函数。

2.常微分方程的分类：常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程包含未知函数的一阶导数，高阶常微分方程则包含未知函数的高阶导数。

3.一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程的解法有几种常见的方法。

一种是分离变量法，即将方程两边进行变量分离，然后进行积分。

另一种是齐次方程法，将方程进行变量替换后化为齐次方程，然后进行求解。

还有一种是线性方程法，将方程化为线性方程，然后进行求解。

4.高阶常微分方程的解法：对于高阶常微分方程，常用的方法是特征根法。

通过求解其特征方程得到特征根，然后根据特征根的个数和重数，确定齐次线性微分方程的通解形式。

再根据待定系数法确定非齐次线性微分方程的一个特解，进而得到非齐次线性微分方程的通解。

5.常微分方程的初值问题：常微分方程的初值问题指的是给定一个初始条件，求解满足该条件的函数。

在求解过程中，需要将初始条件代入方程，得到特定的常数，从而确定唯一的解。

6.常微分方程的数值解法：对于一些难以求解的常微分方程，可以采用数值解法进行求解。

常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、亚当斯法等。

这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后进行迭代计算，逼近微分方程的解。

7.常微分方程的稳定性分析：稳定性分析是研究常微分方程解的长期行为。

可以通过线性化理论、相图等方法进行稳定性分析。

线性化理论通过线性化方程，判断非线性常微分方程解的稳定性。

相图是一种可视化的方法，通过绘制解的轨迹图，观察解的长期行为。

8.常微分方程的应用：常微分方程在各个领域都有广泛的应用。

在物理学中，常微分方程可以描述运动学问题、电路问题等。

在工程学中，可以应用于控制系统、电力系统等。

在生物学中，可以用于建立生物模型、研究生物过程等。

总结起来，常微分方程是数学中的一门重要学科，研究的是包含未知函数及其导数的方程。

第一章 绪论（5道选择题和填空题5*3=15）基本概念：常微分方程、偏微分方程、微分方程的阶的概念；线性和非线性微分方程的概念；解：隐式解、通解、特解的概念；积分曲线的概念。

考选择或填空题。

第二章 一阶微分方程（每种类型都会考一道题目，计算题，五道8*5=40）2.1 变量分离方程和变量变换2.1.1 变量分离方程2.1.2 可化为变量分离方程的类型1) 2) 2.2 线性方程与常数变易法（公式）一阶齐线性微分方程、一阶非齐线性微分方程、伯努利方程2.3 恰当方程和积分因子2.3.1 恰当方程：定义、判别方法、求解方法2.3.2 积分因子：定义、特殊类型方程的积分因子的求法 第三章 一阶微分方程解的存在定理解的存在唯一性定理的内容及证明过程。

（五个小命题）近似计算和误差估计；第四章 高阶微分方程4.1 线性微分方程的一般理论4.1.1 齐线性方程解的性质与结构：定理2－定理64.1.2 非齐线性方程与常数变易法：定理7 常数变易法4.2 常系数线性方程的解法4.2.2 复值函数与复值解：复值函数的运算性质、定理8、定理94.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程：欧拉待定指数函数法、根据特征根的性质确定；方程的基本解组、欧拉方程的求解4.2.3 非齐线性方程－比较系数法类型 I 类型 II 综合以上知识高阶方程（三、四阶齐次、二阶非齐次未知数8*3=24）第五章 线性微分方程组5.1 解的存在唯一性定理5.1.1 记号和定义：将n 阶线性微分方程的初值问题化为等价的微分，方程组的初值问题；5.2 线性微分方程组的一般理论5.2.1 齐线性微分方程组：定理2－定理6 定理1＊定理2＊5.2.2 非齐线性微分方程组：定理7 定理8 常数变易公式5.3 常系数线性微分方程组5.3.1 矩阵指数的定义和性质：性质、定理9、例1、例25.3.2 基解矩阵的计算：定理10、计算公式(5.52)和(5.61)综合以上知识解方程组方程组（2-3个未知数8*2=16）第六章 非线性微分方程6.1 引言：基本概念：零解稳定、渐近稳定、不稳定；按线性近似决定微分方程组的稳定性；定理1、定理2、利用线性近似决定方程组稳定性6.3 相平面, 含有两个未知函数的线性常系数方程组奇点的类型及稳定性（五种类型） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y g dx dy 222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=)(][111t f x a dtx d a dt x d x L n n n n n =+++≡-- tm m m e b t b t b t f λ)()(110+++≡- t e t t B t t A t f αββ)sin )(cos )(()(+≡。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1．方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-xx p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。