最新常微分方程第二版答案第6章6-1知识点复习考点归纳总结参考

第六章 线性微分方程组、习题6-11．求出齐次线性微分方程组y t A dt dy)(=的通解，其中分别为：)(t A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎩⎨⎧=⇒==⇒=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t C t C C C t t C t t y y y t t ty y y t y t C t C y y y tC y t C y y y y y dt d t t t y t dy t y dt dy t t t t 212121212121212211211121110000.00,0,0.,00;0,00)(A .12211或通解为则方程组的基解矩阵为或取故通解为解：由）（ .0.0)(,,0.,1011,1011)(A .2212112221212121C e te e y e te e t ey te y y e y eC y y y y y y y y dt d t t t t t tt t t t t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⇒=+=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=或通解为则方程组的基解矩阵为取解：由）（φCt t t t y t t t t t ty t y t y t y C y y dy y dy y y y dy dy y y y y y y dt d t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧====+⇒=+⇒-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=sin cos cos sin .sin cos cos sin )(,sin cos ,cos sin ,1.C 0.,0110;0110)(A .3212122212211122112212121故通解为则方程组的奇解矩阵为并令取解：由）（φ.0000.021000,,1,0,0,,0C ()()(..)()(,001010100,001010100)(A .4321212121313123212223213311133111223321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==±=⇒=⇒=+=⇒=⇒=⇒⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---==⇒=---=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------t t t t t t t t t t t t t t ttt t t tttt t t t t t t ttt t t dt dy tdt dy dtdy e e e C e e C e e C y e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e y C y C e y e y e y e y y y y y C y y dy y dy y y y dy dy b a b y eC y y a y y dt dy t 故通解为线性无关即为方程祖的三个解。

（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。

微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-=四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y'= 。

这里的()ny 是必须出现。

（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间上有阶连续导数，如果在区间上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '= 的解。

注：一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。

函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。

导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。

导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。

函数连续定义：设函数()y f x =在点的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点连续。

左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→==左极限存在且等于该点的函数值。

右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→==右极限存在且等于该点的函数值。

在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。

如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。

函数在点连续()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。

高数答案（全集）第六章参考答案第六章常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12还有使因子21x -?012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ??++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1，令x yu =，得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx xyln arcsin= 9．化为x e x y dx dy x =+，解得)(1xe c xy +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()(-+=-x ce y x ??11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x yu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13．23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ，得通解1)2(2212=+--y cex y14．令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ??==??1，这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=?32),()0,0(22)4()3(，即方程得通解为c y x xy =--232 15．化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+211ln 16．该方程有积分因子221y x +，)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++ 17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='?21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=?18．xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''? 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='?x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=?x x x x dx x x x y x19．令y z '=，则xz z =-'，xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+??=--?即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20．令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。

习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组 y t A dtdy )(=的通解，其中A （t ）分别为： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

（1）方程组的分量形式为：211y y dt dy += ，22y dtdy = 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为()0tt t e te t e ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭又 2det ()0t t e Φ=≠ 。

因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t e te c e c y y 21210（2）方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==1221y dtdy y dt dy 由①、②可和 21120d y y dt += 由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。

这样就求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫Φ= ⎪-⎝⎭又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。

故方程组的通解为1122cos int int cos y t s c c y s t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ① ②（3）程组的分量形式为：⎪⎩⎪⎨⎧='='='132231y y y y y y 解 ①+③得3131)(y y y y dtd +=+ 解 ①-③得 1313()d y y y y dt -=- 解之得 131132 t t y y ke y y k e --+=-=由④、⑤可得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=----tt t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.133******** 又由②得 t e c y 22=由此可求得方程组的一个解矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--t t t t te e e e e t 0000)( 显然，[]0)(det ≠-=Φt ze t ，因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 00003213213．试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线性相关，则存在不全为零的三个常数 321,,c c c 使得,000000012321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++02321①而①式之左端是一个不高于二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾，从而得证。

第6章 微分方程总结1.可分离变量微分方程一阶微分方程y '=ϕ(x , y ) 或M(x)N(y )dx +P(x)Q(y )dy =0能写成 g (y )dy =f (x )dx 两边积分可得通解。

2.齐次微分方程dyy()dx x =φ，令x yu =, 即y =ux , 有)(u dx dux u ϕ=+, 得⎰⎰=-x dxu u du)(ϕ。

3.一阶线性微分方程（1）齐次线性 0)(=+y x P dx dy 用分离变量法可求得通解P(x)dxy Ce -⎰=。

（2）非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy=+ 由齐次方程常数变易法可得通解])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-。

4.伯努利方程n y x Q y x P dx dy)()(=+ (n ≠0, 1)，以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dyy n n =+--令z =y 1-n , 得线性方程 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz-=-+.5.可降阶的高阶微分方程（1）y (n )=f (x ) ：积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-，⋅ ⋅ ⋅.（2）y ''= f (x , y ')：设y '=p(x) , 则方程化为 p '=f (x , p )。

（3）y ''=f (y , y ')：设y '=p(y), dy dpp dx dydy dpdx dpy =⋅==''，原方程化为 ),(p y f dy dpp =6.二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =0（2）二阶常系数非齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =f (x )先求对应齐次方程y''+py'+qy=0的通解，再加上非齐次方程的一个特解；（a）f(x)=P m(x)eλx型,特解：y*=x k Q m(x)eλx,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2。

dyydy1．（变量分离方程）形如dx 《常微分方程》复习资料f (x )ϕ( y )（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里 f (x ),ϕ( y ) 分别是 x , y 的连续函数．dy解法：（1）分离变量，当ϕ( y ) ≠ 0 时，将（1.1）写成ϕ( y )= f (x )dx ，这样变量就“分离”了；（2）两边积分得⎰ ϕ( y ) = ⎰f (x )dx + c （1.2），由（1.2）所确定的函数 y = ϕ(x , c ) 就为（1.1）的解．注：若存在 y 0 ，使ϕ( y 0 ) = 0 ，则 y = y 0 也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上．dyy2．（齐次方程）形如 = g ( ) 的方程称为齐次方程，这里 g (u ) 是u 的连续函数．dx x解法：（1）作变量代换（引入新变量） u = ，方程化为 xdu = g (u ) - u ，（这里由于 dx x dy = x du dx dx + u ）； （2） 解以上的分离变量方程； （3） 变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程 a (x ) dy dx+ b (x ) y + c (x ) = 0 在 a (x ) ≠ 0 的区间上可写成dy= P (x ) y + Q (x ) （3.1），这里假设 P (x ), Q (x ) 在考虑的区间上是 x 的连续函数．若 Q (x ) = 0 ，则（3.1）变为 dx dy= P (x ) y （3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若Q (x ) ≠ 0 ，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． dx解法：（1）解对应的齐次方程 dy= P (x ) y ，得对应齐次方程解 y = ce ⎰ p ( x ) dx ， c 为任意常数；dx（2）常数变异法求解（将常数c 变为 x 的待定函数c (x ) ，使它为（3.1）的解）：令 y = c (x )e ⎰p ( x )dx为（3.1）的解，则dy = dc (x ) e ⎰ p ( x )dx + c (x ) p (x )e ⎰ p ( x )dx ，代入（3.1）得 dc (x )= Q (x )e -⎰ p ( x )dx ，积分得c (x ) = ⎰ Q (x )e -⎰ p ( x )dx + c ； dx dx dx（3）故（3.1）的通解为 y = e ⎰p ( x )dx(⎰ Q (x )e -⎰ p ( x )dxdx + c ) ．4．（伯努利方程）形如dy = P (x ) y + Q (x ) y n 的方程，称为伯努利方程，这里 P (x ), Q (x ) 为 x 的连续函数．dx解法：（1）引入变量变换 z = y1-n，方程变为dz = (1- n )P (x )z + (1- n )Q (x ) ；dx（2） 求以上线性方程的通解； （3） 变量还原．5．（可解出 y 的方程）形如 y =dyf (x , dy) (5.1)的方程，这里假设 f (x , y ') 有连续的偏导数． dx解法：（1）引进参数 p = ，则方程（5.1）变为 y = dxf (x , p ) （5.2）；（2） 将（5.2）两边对 x 求导，并以 dy = p 代入，得 p = ∂f + ∂f ∂p（5.3），这是关于变量 x , p 的一阶微分方dx ∂x ∂p ∂x程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为 p = ϕ(x , c ) ，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解 y =f (x ,ϕ(x ,c )) ，c 为任意常数；=⎩⎩ ⎩dy ⎩dy ⎩ ⎧x =ψ ( p , c )（ii ）若求得（5.3）的通解形式为 x =ψ ( p , c ) ，则得（5.1）的参数形式的通解为⎨y =，其中f (ψ ( p , c ), p )p 是参数， c 是任意常数；⎧Φ(x , p , c ) = 0（iii ） 若求得（5.3）的通解形式为Φ(x , p , c ) = 0 ，则得（5.1）的参数形式的通解为⎨ y = f (x , p )，其中 p是参数， c 是任意常数．6．（可解出 x 的方程）形如 x =dyf ( y , dy ) (6.1)的方程，这里假设 f ( y , y ') 有连续的偏导数． dx解法：（1）引进参数 p = ，则方程（6.1）变为 x = dxf ( y , p ) （6.2）；（2） 将（6.2）两边对 y 求导，并以 dx = 1 代入，得 1 = ∂f +∂f ∂p（6.3），这是关于变量 y , p 的一阶微分方 dy p p ∂y ∂p ∂y程；⎧x = f ( y , p )（3）若求得（6.3）的通解形式为Φ( y , p , c ) = 0 ，则得（6.1）的参数形式的通解为⎨Φ( y , p , c ) = 0 ，其中 p 是参数， c 是任意常数．7．（不显含 y 的方程）形如 F (x , dy) = 0 的方程，这里假设 F (x , y ') 有连续的偏导数． dx解法：（1）设 p =，则方程变为F (x , p ) = 0 ；dx⎧x = ϕ(t )（2）引入参数t ，将 F (x , p ) = 0 用参数曲线表示出来，即⎨⎩ ，（关键一步也是最困难一步）； =ψ (t )（3） 把 x = ϕ(t ) ， p =ψ (t ) 代入 dy = pdx ，并两边积分得 y =⎰ψ (t )ϕ'(t )dt + c ；⎧⎪x = ϕ(t )（4） 通解为⎨⎪ y = ⎰ ψ (t )ϕ'(t )dt + c ． 8．（不显含 x 的方程）形如 F ( y , dy) = 0 的方程，这里假设 F ( y , y ') 有连续的偏导数．dx解法：（1）设 p = ，则方程变为 F ( y , p ) = 0 ； dx⎧ y = ϕ(t )（2）引入参数t ，将 F ( y , p ) = 0 用参数曲线表示出来，即⎨ p =ψ ，（关键一步也是最困难一步）； (t )dyϕ'(t )（3）把 y = ϕ(t ) ， p =ψ (t ) 代入 dx = p ，并两边积分得 x = ⎰ ψ dt + c ；(t )⎧x = ϕ'(t )⎪ （4）通解为⎨dt + c ψ (t ) ． ⎪⎩y = ϕ(t ) 9．（ F (x , y(k ), , y (n -1) , y n ) = 0(k ≥ 1) 型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数 y 及 y ', , y (k -1) ．p ⎰解法：令y(k ) =z(x) ，则y(k +1) =z'，y(n)=z(n-k ) ．代入原方程，得F (x, z(x), z'(x), , z(n-k ) (x)) = 0 ．若能求得z(x) ，1 = +⎰x ⎪ 0n 0 ⎰⎪ ⎨ dx将 y(k )= z (x ) 连续积分 k 次，可得通解．10．（ y(n )= f ( y , y (k ) , , y (n -1) ) 型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量 x ．' '' = dp dy dP ''' 2 d 2p dP 2 解法：设 y = p ( y ) ，则 y = P , y = P + P ( ) , ，代入原方程得到新函数 P ( y ) 的(n -1) 阶 dy dx dy dy 2dydy dy方程，求得其解为 dx = P ( y ) = ϕ( y , C 1, , C n -1 ) ，原方程通解为⎰ ϕ( y , C , , Cn -1 )= x + C n ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数Φ(x , y , y ', , y (n -1)) 对 x 的导数，即 ddxΦ(x , y , y ', , y (n -1) ) = 0 ．解法：类似于全微分方程可降低一阶Φ(x , y , y ', , y (n -1)) = C ，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点： F (x , ty , ty ', , ty (n )) = t k F (x , y , y ', , y (n ) ) （ k 次齐次函数）．解法：可通过变换 y = e ⎰zdx将其降阶，得新未知函数z (x )．因为 y ' = ze ⎰zdx, y ' = (z '+ z 2)e ⎰zdx, , y(n )= Φ(z , z ', , z (n -1) )e ⎰zdx，代入原方程并消去e k ⎰ zdx ，得新函数 z (x ) 的(n -1) 阶方程 f (x , z , z ', , z (n -1)) = 0 ．⎧dy13．（存在唯一性定理）考虑初值问题⎪ dx f (x , y ) （13.1），其中 f (x , y ) 在矩形区域 R : x - x≤ a , y - y≤ b 上连⎨0 0 ⎪ y (x ) = y ⎩ 0 0续，并且对 y 满足 Lipschitz 条件：即存在 L > 0 ，使对所有(x , y 1 ), (x , y 2 ) ∈ R 常成立 bf (x , y 1 ) - f (x , y 2 ) ≤ L y 1 - y 2 ， 则初值问题（13.1）在区间 x - x 0 ≤ h 上的解存在且唯一，这里h = min(a ,M), M = Max ( x , y )∈R f (x , y ) ．x初值问题（13.1）等价于积分方程 y y 0 0 ⎧ϕ (x ) = yf (t , y )dt ，构造Picard 逐步逼近函数列{ϕn (x )}⎨ϕ (x ) = y +f (ξ,ϕn -1(ξ ))dxx 0 ≤ x ≤ x 0 + h ， n = 1, 2, ．⎩x 014．（包络的求法）曲线族Φ(x , y , c ) = 0 （14.1）的包络包含在下列两方程 ⎧Φ(x , y , c ) = 0 Φ' (x , y , c ) = 0消去参数c 而得到的曲线⎩ c F (x , y ) = 0 之中．曲线 F (x , y ) = 0 称为（14.1）的c - 判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程 F (x , y , dy) = 0（15.1）的奇解包含在由方程组⎧F (x , y , p ) = 0 消去参数 p 而得到的曲dx ⎨F '(x , y , p ) = 0 ⎩ c线Φ(x , y ) = 0 之中，此曲线称为（15.1）的 p - 判别曲线，这里 F (x , y , p ) = 0 是 x , y , p 的连续可微函数． 注： p - 判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如 y = xdy+ f ⎛ dy ⎫（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里 f ''( p ) ≠ 0 ． ⎪ dx ⎝ ⎭= x⎨y = xp + f ( p )⎩x (t ) x (t ) x (t ) 解法：令 p = dy，得 y = xp + f ( p ) ．两边对 x 求导，并以dy= p 代入，即得 p = x dp + p + f '( p ) dp，经化简， dx得dp[x + f '( p )] = 0 ． dx dpdx dx dx如果 = 0 ，则得到 p = c ．于是，方程（16.1）的通解为： y = cx + f (c ) ．dx如果 x + f '( p ) = 0 ，它与等式 y = xp + f ( p ) 联立，则得到方程（16.1）的以 p 为参数的解：⎧x + f '( p ) = 0或⎩⎧x + f '(c ) = 0 ⎨y = xc + f (c )其中c 为参数．消去参数 p 便得方程的一个解．17．（函数向量组线性相关与无关）设 x 1 (t ), x 2 (t ), , x m (t ) 是一组定义在区间[a , b ] 上的函数列向量，如果存在一组不全为 0 的常数c 1 , c 2 , c m ，使得对所有 a ≤ t ≤ b ，有恒等式c 1 x 1 (t ) + c 2 x 2 (t ) + + c m x m (t ) = 0 ， 则称 x 1 (t ), x 2 (t ), , x m (t ) 在区间[a , b ] 上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[a , b ] 上线性无关．⎡ x 11 (t )⎤ ⎡ x 12 (t ) ⎤ ⎡ x 1n (t ) ⎤⎢ x (t )⎥ ⎢ x (t )⎥ ⎢ x (t )⎥ 18．（Wronsky 行列式）设有 n 个定义在 a ≤ t ≤ b 上的向量函数 x (t ) = ⎢ 21 ⎥ , x (t ) = ⎢ 22 ⎥ , , x (t ) = ⎢ 2n ⎥ ， 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ n 1 ⎦ ⎣ n 2 ⎦ ⎣ nn⎦ x 11 (t ) x 12 (t ) x 1n (t ) x 21 (t ) x 22 (t ) x 2n (t )由这 n 个向量函数所构成的行列式W [x 1 (t ), x 2 (t ), x n (t ) W (t ) ≡称为这 n 个向量函数所构成的 Wronsky 行列式．x n 1 (t ) x n 2 (t ) x nn (t )如果向量函数 x 1 (t ), x 2 (t ), , x n (t ) 在 a ≤ t ≤ b 上线性相关，则它们的 Wronsky 行列式W (t ) ≡ 0, a ≤ t ≤ b ． 19．（基解矩阵的计算公式）（1） 如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量v 1, v 2 , , v n ，它们相应的特征值为λ1, λ2 , , λn （不必互不相同），那么矩阵Φ(t ) = [e λ1t v , e λ2t v , , e λn tv ], -∞ < x < +∞ 是常系数线性微分方程组 x ' = Ax 的一个基解矩阵；12n（2） 矩阵 A 的特征值、特征根出现复根时（略）； （3） 矩阵 A 的特征根有重根时（略）．d n x d n -1 x 20．（常系数齐线性方程）考虑方程 L [x ] = dt n为n 阶常系数齐线性方程．+ a 1 dt n -1 + + a n x = 0 （20.1），其中 a 1, a 2 , a n 为常数，称（20.1）解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根λ1, λ2 , , λk ；（2） 计算方程（20.1）相应的解：（i ） 对每一个实单根λk ，方程有解eλk t；（ii ） 对每一个 m > 1重实根λk ，方程有 m 个解： eλk t, t e λk t , t 2e λk t , , t m -1e λk t ；m m m 2 ⎨1 ⎩（iii ） 对每一个重数是 1 的共轭复数α ± β i ，方程有两个解： eαtcos β t , e αt sin β t ；（iv ） 对每一个重数是 m > 1的共轭复数αe αt cos β t , te α t cos β t , , t m -1e α t cos β t ;± βi ，方程有2m 个解： ；e αt sin β t , te αt sin β t , , t m -1e αtsin β t（3） 根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程） y ' + py ' + qy = f (x ) 二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程 y '' + py ' + qy = 0 ，通解结构 y = Y + y ．设非齐次方程特解 y = Q (x )e λ x 代入原方程 Q ''(x ) + (2λ + p )Q '(x ) + (λ 2+ p λ + q )Q (x ) = P (x )（1）若λ 不是特征方程的根， λ 2+ p λ + q ≠ 0 ，可设Q (x ) = Q (x ) ， y = Q m (x )e λ x；（2）若λ 是特征方程的单根， λ 2 + p λ + q = 0 ， 2λ + p ≠ 0 ，可设Q (x ) = xQ (x ) ，y = xQ m (x )e λ x；（3）若λ 是特征方程的重根， λ 2 + p λ + q = 0 ， 2λ + p = 0 ，可设Q (x ) = x 2Q (x ) ， y = x 2Q (x )eλ x．综上讨论，设 y = x k eλ xQ(x ) ， ⎧0λ不是根⎪ λ 是单根． ⎪ λ是重根m m m k =。

第六章 微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习 题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3-=Cx y ； 解：3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；⑵ax xyy +='，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数； 解：bx ax y +=2是ax xy y +='的特解（因为b 不是任意常数）；⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；解：()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；⑷0127=+'-''y y y ，x xe C e C y 4231+=；解：x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；⑸x y y y 2103=-'+''，50355221--+=-x e C e C y x x. 解：50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。

2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.解：由题意得：()xe x C C C y 222122++='，∵10==x y ，10='=x y ， ∴解得11=C ,12-=C ， 故所求曲线为()xex y 21-=（xxe y 2=）。

第六章 线性微分方程组、习题6-11．求出齐次线性微分方程组y t A dt dy)(= 的通解，其中分别为：)(t A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎩⎨⎧=⇒==⇒=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t C t C C C t t C t t y y y t t ty y y t y t C t C y y y tC y t C y y y y y dt d t t t y t dy t y dt dy t t 212121212121212211211121110000.00,0,0.,00;0,00)(A .12211或通解为则方程组的基解矩阵为或取故通解为解：由）（ .0.0)(,,0.,1011,1011)(A .2212112221212121C e te e y e te e t ey te y y e y eC y y y y y y y y dt d t t t t t tt t t t t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⇒=+=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=或通解为则方程组的基解矩阵为取解：由）（φCt t t t y t t t t t ty t y t y t y C y y dy y dy y y y dy dy y y y y y y dt d t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧====+⇒=+⇒-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=sin cos cos sin .sin cos cos sin )(,sin cos ,cos sin ,1.C 0.,0110;0110)(A .3212122212211122112212121故通解为则方程组的奇解矩阵为并令取解：由）（φ.0000.021000,,1,0,0,,0C ()()(..)()(,001010100,001010100)(A .4321212121313123212223213311133111223321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==±=⇒=⇒=+=⇒=⇒=⇒⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---==⇒=---=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------t t t t t t t t t t t t t t ttttt tt t t t t t t t t ttt t t dt dy tdt dy dtdy e e e C e e C e e C y e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e y C y C e y e y e y e y y y y y C y y dy y dy y y y dy dy b a b y eC y y a y y dt dy t 故通解为线性无关即为方程祖的三个解。