幂函数图象规律

幂函数图像是数学中最常见的图像之一，它以指数形式表示，其标准形式为y = ax^n，其中a和n为实数。

幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。

首先，幂函数图像的定义域和值域都是实数，因此它们的图像可以是任何实数的函数。

其次，幂函数图像的图像具有指数性质，其图像的斜率随着x的增加而增加。

此外，当a>0时，幂函数图像具有单调性，当a<0时，其图像具有双曲线形状，并且具有极值点。

此外，幂函数图像的x轴和y轴的对称性也是一个重要的性质。

如果a>0，则图像具有y 轴对称性；如果a<0，则图像具有x轴对称性。

最后，幂函数图像的图像具有不变性，即当x和y满足y = ax^n时，它们的图像具有相同的形状。

总之，幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。

它们的定义域和值域都是实数，它们的图像具有指数性质，它们的图像具有单调性和双曲线形状，它们的图像具有y轴和x轴对称性，它们的图像具有不变性。

幂函数的图像与性质一、相关内容1、形如αx y =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

2、幂函数的图像0<α10<<α1>α第一象限图像其他象限图像根据定义域和奇偶性判断性质总结1、幂函数的图像一定在第一象限，不在第四象限2、图像过定点（1，1）3、当0=α时，表示与X 轴平行，过（1，1），不过（0，1）的两条射线二、基础练习1、判断下列哪些是幂函数（1）xy 2.0= （2）21x y = （3）x y -=3 （4）1-=x y （5）x y 4= （6）5x y =2、画出下列函数的图像（1）43x y = （2）34x y =（3）76-=x y （4）31x y =（5）x y = （6）98x y =3、若幂函数y =()x f 的图象经过点（9,13）, 则f(25)的值是_________4、若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =5、幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是____________6、函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______7、已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是___________8、在32521,2,,y y x y x x y x x===+=四个函数中，幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、已知幂函数()y f x =的图象过点2(2,)2，则(4)f 的值为（ ）A ．1B ． 2C ．12D ．8 10、幂函数y ＝xm 2－3m －4(m ∈Z)的图象如下图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或311、若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12、幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( )A 、一定经过点(0，0)B ．一定经过点(1，1)C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1) 13、对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定。

幂函数的性质与图像 幂函数及其性质 1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x= （3）2y x= （4）1y x-= （5）3yx=用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。

3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数， 在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。

例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练： 已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。

幂函数与指数函数的图像变换解析幂函数和指数函数是数学中常见的两类函数，它们在自然科学、工程技术和经济管理等领域中有着广泛的应用。

本文将从图像的角度，对幂函数和指数函数的图像变换进行解析和讨论。

首先，我们来了解一下幂函数的图像变换。

幂函数的一般形式可以表示为 y = ax^b，其中 a 和 b 是实数，且a ≠ 0。

当 b 为正数时，图像呈现上升趋势；当 b 为负数时，图像呈现下降趋势。

1. 幂函数的图像拉伸和压缩：对于 y = ax^b 这样的幂函数，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。

这是因为 a 的变化会改变函数值的幅度，即放大或缩小函数的纵坐标。

另外，对于 x 的变化，当 b > 1 时，图像在原点附近的斜率更陡，表示函数在原点的增长速度更快；当 0 < b < 1 时，图像在原点附近的斜率更缓，表示函数在原点的增长速度更慢。

2. 幂函数的图像平移：幂函数的图像平移与一般的函数平移类似。

假设有一个幂函数 y = ax^b，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。

当 c > 0 时，图像将沿负 x 轴方向平移 c 个单位；当 c < 0 时，图像将沿正 x 轴方向平移 c 个单位。

总结起来，幂函数的图像变换主要包括拉伸和压缩、以及在平面上的平移。

接下来，让我们讨论指数函数的图像变换。

指数函数的一般形式可以表示为 y = a^x，其中 a 是正实数且a ≠ 1。

1. 指数函数的图像拉伸和压缩：对于指数函数 y = a^x，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。

与幂函数不同的是，指数函数的 x 坐标的变化不会改变函数的斜率，而会改变函数值的幅度。

2. 指数函数的图像平移：指数函数的图像平移也与一般的函数平移类似。

假设有一个指数函数 y = a^x，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。

幂函数的图像一、幂函数的模型与奇偶性幂函数的模型为nm x=y 和nm x—=y ，其中m ∈Z +,n ∈Z +.所以n m 有四种可能的情况，即偶偶、奇偶、奇奇、偶奇。

(-x))-((x)f x x x f ====偶偶偶偶偶偶(-x))-((x)f x x x f ====奇偶奇偶奇偶由上可知，在nm中，分子m 为偶，幂函数必为偶函数。

奇奇奇奇xx f ==(x))(--)-()-((-x)x f x x x f ====奇奇奇奇奇奇由上可知，在nm中，分子m 和分母n 都为奇，幂函数必为奇函数。

偶奇偶奇xx x f ==)(其中，0>奇x 0>⇒x 。

由上可知，在nm中，分子m 为奇，分母n 为偶，)(x f 只允许0>x 所以)(x f 只在x 轴正半轴一侧，第一象限有图像，这种函数为非奇非偶函数。

综上所述，我们得出一个幂函数图像奇偶性的口诀：分子为偶必为偶函数；分子分母都为奇，才为奇函数；分子为奇分母为偶，才为非奇非偶函数。

因为)(x f 和)(1x f 有相同的奇偶性，所以nm x=y 和nm x—=y 遵循相同的奇偶性规律。

二、幂函数的图像类型 在幂函数nm x=y 和nm x—=y ，m ∈Z +,n ∈Z +中。

我们可知0>nm，0<nm—。

我们由多次画图经验可知：（一）当0>nm时，nm x=y在第一象现为抛物线形增函数。

①当m<n 时，即10<<nm时，nm x=y在第一象限的图像唯x 轴，如下图所示：②当m=n 时，即1=nm时，nm x=y在第一象限的图像为x 轴正半轴与y 轴正半轴的角平分线。

如下图所示：③当m>n 时，即1>nm时，nm x=y在第一象限的图像唯y 轴,如下图所示：（二）当0<-m，nm x—=y 在第一现象为曲线形减函数。

①当n<m 时，即01<-<-nm时，所以nx-=y在第一象限的图像离y 轴较远，离x 轴较近。

幂函数图像及性质知识点总结
一、幂函数图像及性质
1、正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
（1）图像都经过点（1,1）（0,0）；
（2）函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；
（3）在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

2、负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
（1）图像都通过点（1,1）；
（2）图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。

利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。

其余偶函数亦是如此）。

（3）在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

3、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
1、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。

它的图像不是直线。

二、什么是幂函数
幂函数属于基本初等函数之一，一般y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

【幂函数图像及性质知识点总结】
1。

幂函数的特征
幂函数是基本初等函数之一，其形式为f（x）=x^n，其中n 为实数。

幂函数有三个主要特征：定义域、值域和图像。

1. 定义域：幂函数的定义域为所有实数。

这意味着无论我们选择什么实数值作为x，幂函数都将给出一个有意义的输出。

2. 值域：幂函数的值域为无穷大。

这意味着幂函数的输出可以是无限大的正数或负数。

3. 图像：幂函数的图像通常在第一象限内呈上升趋势，然后下降。

当指数大于0时，图像在第一象限内上升；当指数小于0时，图像在第二象限内下降。

此外，幂函数的图像关于y轴对称，如果指数是偶数，则还关于x轴对称。

当n >0时，幂函数展现出以下性质：首先，图像经过点（1,1）（0,0）；其次，在区间[0,+∞）上，函数的图像是增函数；另外，在第一象限内，n >1时，导数值逐渐增大；当n等于1时，导数为常数；而在0< n <1的情况下，导数值逐渐减小，趋近于0。

值得注意的是，当n <0时，幂函数y=x^ n呈现出不同的特性。

其图像仍然通过点（1,1），但在区间（0，+∞）上是减函数。

此外，如果n为负偶数，如X-2，该函数是偶函数，其图像在区间（-∞，0）上单调递增。

在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），随着自变量的增大，函数值趋向于无穷大或无穷小。

综上所述，幂函数的性质丰富多样，与其指数n的取值紧密
相关。

对于不同的n值，幂函数可能在区间端点处的取值、增减性、奇偶性以及渐近线等方面表现出不同的特点。

幂函数知识点1. 幂函数定义幂函数是形如 \(y = x^n\) 的函数，其中 \(n\) 是实数。

当 \(n\) 为正整数时，幂函数的图像是一系列经过原点的点，且随着 \(n\) 的增加，曲线逐渐趋于平坦。

2. 幂函数的图像特征- 当 \(n > 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递增。

- 当 \(0 < n < 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递减。

- 当 \(n\) 为负整数时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内表现为周期函数，周期为 \(4\pi\)。

- 当 \(n = 0\) 时，函数退化为常数函数 \(y = 1\)。

3. 幂函数的性质- 奇次幂函数是奇函数，即 \(y(-x) = -y(x)\)。

- 偶次幂函数是偶函数，即 \(y(-x) = y(x)\)。

- 幂函数的导数是 \(y' = n \cdot x^{n-1}\)。

- 幂函数的积分是 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。

4. 幂函数的应用- 在物理学中，幂函数常用于描述物体的速度与加速度的关系。

- 在经济学中，幂函数可以用来模拟市场需求与价格的关系。

- 在工程学中，幂函数用于描述材料的强度与应力的关系。

5. 特殊幂函数- 指数函数 \(y = a^x\) 是幂函数的一种特殊形式，其中 \(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。

- 对数函数 \(y = \log_a x\) 也是幂函数的一种特殊形式，其中\(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。

6. 幂函数的运算法则- 幂的乘法：\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)- 幂的除法：\(x^m / x^n = x^{m-n}\)- 幂的幂：\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)7. 幂函数的极限- 当 \(x \to 0\) 时，\(x^n\) 的极限取决于 \(n\) 的值。

第 六 节 幂函数与函数的图像变换重点难点重点：①幂函数的定义、图象与性质．②函数图象三种基本变换规则．难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系．②利用基本变换规则作函数图象知识归纳一、幂函数的定义和图象1．定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，12，－1,0，－12，－2时的幂函数 2．图象：(只作出第一象限图象)幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：α＝qpα<00<α<1α>1p、q都是奇数p为奇数，q为偶数α＝qpα<00<α<1α>1p为偶数，q为奇数3.性质：(1)当α>0时，幂函数图象都过点和点；且在第一象限都是函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的(2)当α<0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．二、函数的图象与图象变换1．画图描点法①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；④列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．有关结论若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．误区警示1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y ＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y ≥0.比如y＝|sin x|与y＝sin|x|.2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．一、数形结合的思想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质，应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．二、解题技巧1．图形变换方法作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称．③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．④y ＝f －1(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称．⑤y ＝|f (x )|的图象可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥y ＝f (|x |)的图象可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0的图象．(3)伸缩变换①y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到． 2．图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C 1与C 2的对称性，即要证明C 1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C 2上，反之亦然．3．由于幂函数y ＝x α当α<0时，图象不过坐标原点，故有关幂函数y ＝x α(α<0)的单调性问题，一定要重视分区间讨论．幂函数的定义[例1]幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为________． 幂函数的单调性[例2] (1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，求m 的范围．(2)比较大小：0.80.7与0.70.8.分析：(1)中两个数的指数相同，故可视作幂函数y ＝x m 在x 取x 1＝0.71.3与x 2＝1.30.7时的两个函数值用单调性讨论．(2)中两个数底数不同，指数也不同，可借助中间量0.80.8(或0.70.7)，用指数函数y ＝0.8x 与幂函数y ＝x 0.8的单调性解决．下列各式中正确的是( )幂函数图象的分布规律[例3] 幂函数y ＝x m 2＋3m (m ∈Z)的图象如右图所示，则m 的值为( )A ．－3<m <0B ．－1C ．－2D ．－1或－2函数y ＝x 13 的图象是()函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为( ) A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(1,0)D ．(1,1)幂函数图象与性质的综合应用已知幂函数f (x )＝x m 2－6m ＋5 (m ∈Z)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则f (x )的解析式为________．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5数形结合的思想[例5] 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数是( )A ．2B ．3C ．1D ．4已知f (x )是以2为周期的偶函数．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R 且k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－12，0)C ．(－13，0)D ．(－14，0)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≥2， x －1 3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．据解析式作函数的图象[例6] 作出下列函数的图象(1)y ＝x 3|x |； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝|log 2x －1|; (4)y ＝2|x －1|.y ＝|x -13 |的图象为( )设函数f (x )＝ax ＋b x 2＋c的图象如图，则a ，b ，c 满足()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a一、选择题1．在下列四个函数①y ＝x 13 ②y ＝x 12 ③y ＝x －2 ④y ＝x 0中，为偶函数的是( )A ．①B ．①③C ．③④D ．①②③④2.已知函数①y ＝3x ；②y ＝ln x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是()A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②2．要将函数y ＝1＋x －1的图象变换成幂函数y ＝x 12 的图象，需要将y ＝1＋x －1的图象( )A ．向左平移一个单位，再向上平移一个单位B ．向左平移一个单位，再向下平移一个单位C ．向右平移一个单位，再向上平移一个单位D ．向右平移一个单位，再向下平移一个单位4.设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且该函数为奇函数的所有a 值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,35.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x的值是______．7.幂函数(p ∈Z)为偶函数，且f (1)<f (4)，则实数p ＝________.三、解答题 8.已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝x m 2－m －2(m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．。

幂函数图像与性质有的有有的没有幂函数图像与性质有的有有的没有幂函数的性质与图像1、幂函数的定义一般地，形如y=xα（x∈r）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.如y=x,y=x,y=x等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2、函数的图像（1）y=x（2）y=x（3）y=x2（4）y=x-1（5）y=x3用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。

3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，就是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3.幂函数y=xα的图象，在第一象限内，直线x=1的右侧，图象由下至上，指数.y轴和直线x=1之间，图象由上至下，指数α.：4.规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y＝xα，我们首先必须分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确认图象的边线，即为所在象限，其次确认曲线的类型，即为α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要特别注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀去记忆：“正抛负双，大竖小斜”，即为α＞0（α≠1）时图象就是抛物线型；α＜0时图象就是双曲线型；α＞1时图象就是直角抛物线型；0＜α＜1时图象就是横躺抛物线型．在[0，+∞]上，y=x、y=x、y=x、y=x就是增函数，在（0，+∞）上，y=x-1就是减至函数。

例1．已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3，当m为何值时，f(x)：（1）就是幂函数；（2）就是幂函数，且是(0,+∞)上的增函数；（3）就是正比例函数；（4）就是反比例函数；（5）就是二次函数；简解：（1）m=2或m=-1（2）m=-1（3）m=-变式训练：已知函数f(x)=(m2+m)xm是上升曲线。

指数函数幂函数对数函数图像
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中常见的函数类型。

它们的图像具有很多特点和规律，掌握这些规律对于解题和理解数学知识都有很大帮助。

指数函数的图像一般呈现出递增或递减的趋势，其图像在x轴左侧与y轴正半轴相交，在x轴右侧渐近于y轴正半轴。

当指数为正数时，函数递增；当指数为负数时，函数递减；当指数为0时，函数为常数函数。

指数函数也常常与自然常数e结合使用，其图像在x=1处有一个特殊的点。

幂函数的图像一般呈现出类似于开方函数的形状，其图像在x轴非负区间上单调递增，在负数区间上单调递减。

幂函数的幂指数为偶数时，函数在非负区间上递增，对称于y轴；幂指数为奇数时，函数在整个实数轴上单调递增或递减。

幂函数还有一些特殊的形式，如平方函数、立方函数等等。

对数函数的图像一般呈现出类似于双曲线的形状，其图像在x轴正半轴上单调递增，在负数轴上单调递减，对数函数的底数通常为正实数且不等于1。

当底数为1时，对数函数为常数函数；当底数大于1时，函数递增；当底数小于1时，函数递减。

对数函数也常常与指数函数结合使用，以求解指数方程或指数不等式。

综上所述，掌握指数函数、幂函数和对数函数的图像特点和规律，对于理解它们的性质和解决相关题目都有很大的帮助。

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幂函数图像及性质总结幂函数是一种常见的函数形式，表示为 $ f(x) = ax^b $，其中a和b是实数常数，且b不等于零。

在本文中，我们将探讨幂函数的图像和性质，帮助读者更好地理解幂函数在数学中的应用和意义。

幂函数的图像特征幂函数的图像一般呈现为一条曲线，其形状取决于幂函数中的指数b的正负性和大小。

当b>0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递增；当b<0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递减。

若b为偶数，则幂函数的图像在第一和第三象限中均为非负，且在原点处取得最小值；若b为奇数，则幂函数的图像在第一、第三象限中一正一负，且在原点处有切线。

幂函数的性质总结1.定义域和值域：幂函数的定义域为全体实数集 $ \mathbb{R} $，值域取决于指数b的正负性。

2.奇偶性：当指数 $ b $ 为偶数时，幂函数是偶函数；当指数 $ b $ 为奇数时，幂函数是奇函数。

3.对称性：如果 $ b $ 为偶数，则幂函数关于y轴对称；如果 $ b $ 为奇数，则幂函数关于原点对称。

4.增减性：当 $ b > 0 $ 时，幂函数在定义域上递增；当 $ b < 0 $ 时，幂函数在定义域上递减。

5.极值点和拐点：幂函数的极值点和拐点通常出现在指数b为偶数的情况下。

6.与常函数的比较：当幂函数的指数b大于1时，其增长速度快于常函数；当指数b在 0 到 1 之间时，其增长速度为常函数；当指数b为负时，其绝对值小于 1 时，其增长速度慢于常函数。

结语通过以上对幂函数图像及性质的总结，我们可以更深入地理解幂函数在数学中的重要性和应用。

幂函数在数学建模、物理学等领域有着广泛的应用，希望本文能够帮助读者更好地理解幂函数的概念和特性。

授课主题：幂函数教学目标1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质.2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并能进行简单的应用.教学内容1．幂函数的定义：一般地，形如()Ry xαα=∈的函数称为幂函数，其中α是常数．2．幂函数的图象：函数y x=2y x=3y x=12y x=1y x-=的图象-1-111y=xy=x3y=x2y=xy=1xyxOy x=2y x=3y x=12y x=1y x-=定义域R R R[0,)+∞(0)(0)-∞+∞，，值域R[0,)+∞R[0,)+∞(0)(0)-∞+∞，，奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性单调递增在(0]-∞，上减在[0)+∞，上增单调递增单调递增在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递减公共点(11)，(11)，(11)，(11)，(11)，图象所在象限一、三一、二一、三一一、三3．幂函数的性质：（1）所有的幂函数在(0)+∞，都有定义，并且图象都通过点(11)，； （2）0a >时，幂函数的图象通过原点，并且在[0)+∞，上是增函数； （3）0a <时，①幂函数在(0,)+∞上是减函数；②在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近．（4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． （6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （7）幂函数nm y x =奇偶性①当n 为偶数时，nm y x =为偶函数；②当n 为奇数，m 为奇数时，nm y x =为奇函数； ③当n 为奇数，m 为偶数时，n m y x =为非奇非偶函数．特别地，幂函数n y x =（Z n ∈），当n 为偶数时，n y x =为偶函数；当n 为奇数时，n y x =为奇函数．题型一 幂函数概念的理解应用例1 函数223()(1)mm f x m m x +-=--是幂函数，且当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，求()f x 的解析式.点评：幂函数y ＝x α(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验根，以免增根．巩 固 函数221()(2)mm f x m m x +-=+是幂函数且是奇函数，则实数m 的值是___________.答案：-1题型二 利用幂函数的性质比较大小例2 比较下列各组中两个数的大小：点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来比较大小．巩固比较下列各组数的大小：题型三求幂函数的解析式例3巩固幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(9)＝________.答案：3A组2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是() A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．二次函数解析：本题考查幂的运算性质f(x)f(y)＝a x a y＝a x＋y＝f(x＋y).答案：C3．函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋2是幂函数且函数f(x)为偶函数，求m的值．解析：∵f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋2是幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.当m＝1，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，符合题意，∴m＝2.B组1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是()A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1答案：B答案：B 3．函数y ＝x－2在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( )A.14 B ．－14 C ．4 D ．－4答案：①＜ ②＜ ③＞ ④＜答案：AC 组1．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0,0)和(1,1)点，则正确的判断是( )A ．(1)对(2)错B ．(1)错(2)对C ．(1)(2)都错D ．(1)(2)都对 答案:C2．上图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，12，2四个值，则相应图象依次为：______.答案:C 4，C 2，C 3，C 1 3．设f (x )＝(a －3)x (a＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？(3)f (x )为正比例函数？ 答案:1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．2．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2， 即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2. 3．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错 解析：选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0， ∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点． 4．函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01－x ≥0，∴x <1.答案：(－∞，1)5．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．2解析：选C.设f (x )＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12. 6．下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( )A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13D ．y ＝x －34解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x ≥0；C.y ＝x －13＝13x ，x ≠0；D.y ＝x －34＝14x3，x ＞0.7．已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x ≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m ≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B. 8．下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③D ．①④解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x ≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确． 9．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．10．幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( )A ．α＞1B ．0＜α＜1C ．α＞0D ．α＞0且α≠1解析：选A.当x ＞1时f (x )＞1，即f (x )＞f (1)，f (x )＝x α为增函数，且α＞1. 11．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x )的解析式是________．解析：设f (x )＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f (x )＝x 1212．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．解析：结合幂函数的图象性质可知p <1. 答案：p <113．如图所示的函数F (x )的图象，由指数函数f (x )＝a x 与幂函数g (x )＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．解析：依题意得⎩⎨⎧ a 14＝1214α＝12⇒⎩⎨⎧a ＝116，α＝12.所以a a＝(116)116＝[(12)4]116，a α＝(116)12＝[(12)32]116，αa ＝(12)116，αα＝(12)12＝[(12)8]116，由幂函数单调递增知a α＜αα＜a a ＜αa . 答案：a α＜αα＜a a ＜αa11 14．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.15．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？解：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2.16．已知幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3.又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．。

幂函数知识点归纳：
幂函数定义：
对于形如：f（x）＝xa，其中a为常数。

叫做幂函数。

定义说明：定义具有严格性，xa系数必须是1，底数必须是x
a取值是R。

要求掌握α＝1、2、3、？、—1五种情况
幂函数的图像：
幂函数的图像是由a决定的，可分为五类：
1）a>1时图像是竖立的抛物线。

例如：f（x）＝x2
2）a=1时图像是一条直线。

即f（x）＝x
3）0
4）a=0时图像是除去（0，1）的一条直线。

即f（x）＝x0（其中x不为0）5）a<0时图像是双曲线（可为双曲线一支）例如f（x）＝x—1
具备规律：
①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高）；
②幂指数互为倒数时，图像关于y=x对称；
③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像。

幂函数的性质：
定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解
奇偶性要结合定义域来讨论
单调性：α＞0时，在（0，＋∞）单调递增：α＝0无单调性；α＜0时，在（0，＋∞）单调递减
过定点：α＞0时，过（0，0）、（1，1）两点；α≤0时，过（1，1）
由f（x）＝xa可知，图像不过第四象限。

幂函数图象有规律幂函数()n yx n Q 的图象看似复杂，其实很有规律。

假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。

那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。

2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。

3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。

4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。

5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。

2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。

3．各个象限内图象分布之规律：设pnq，,p q 互质，,p Z q N 。

1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。

2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。

3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。

4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。

5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。

知识点：幂函数的图象特征:（1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．先根据函数特征画出第一象限图象；① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 并且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间),0[+∞上是增函数．③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（2）如果幂函数是奇函数，在第 象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第 象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内． y=xy=x 2y=x 3y=x 21y=x 1-定义域 值域 奇偶性单调性 定点例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。

幂函数图像及性质
性质：当α0时，幂函数y=xα有以下性质：a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大等。

性质：当α0时，幂函数y=xα有以下性质：a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大等。

幂函数的图像
幂函数的性质一、正值性质
当α0时，幂函数y=xα有以下性质：
a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；
b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；
c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0lt;αlt;1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
二、负值性质
当αlt;0时，幂函数y=xα有以下性质：
a、图像都通过点〔1,1〕；
b、图像在区间〔0，+∞〕上是减函数；〔内容补充：假设为X-2，易得到其为偶函数。

利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间〔-∞，0〕上单调递增。

其余偶函数亦是如此〕。

c、在第一象限内，有两条渐近线〔即坐标轴〕，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

三、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有以下性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点〔0,1〕。

它的图像不是直线。