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浅议矩形波导中的能量传输与损耗1 引言随着通信技术的发展，电磁波在日常生活和科学技术中的应用越来越广泛。
对于不同频率电磁波的传输，为了减少损耗，降低成本，提高信号传输质量，导波系统从平行双线、同轴传输线发展到空心波导，制作材料由介质、导体发展到光导纤维。
光纤通信技术的发展给通信领域带来一场革命，它不仅重量轻、频带宽、速度高，而且抗电磁干扰、传输损耗低。
利用波导通信，可以随意观看各地的电视节目，开展可视电话和电视教学；通过互联网，用户在自己家中就可以了解各种信息。
但是在接收信号的时候，有时会发生信号失真，这就需要研究波导中电磁波的传输功率问题，以便在设计波导装置时提高信号传输质量。
本文主要研究矩形波导中电磁波的传播特性，通过坡印廷矢量的瞬时值来分析矩形波导中电磁波的传输功率问题。
2 基本原理矩形波导通常是由金属材料制成的、矩形截面的、内充空气介质的规则金属波导，它是微波技术中最常用的传输系统之一。
由于矩形波导不仅具有结构简单、机械强度大的优点，而且由于它是封闭结构，可以避免外界干扰和辐射损耗；因为它无内导体，所以导体损耗低，而功率容量大。
在目前大中功率的微波系统中常采用矩形波导作为传输线和构成微波元器件。
矩形金属波导中只能存在tm波和te波，下面分别来讨论这两种情况下场的分布。
在直角坐标系中，设角频率为的正弦电磁波沿（+z）方向传播，其电场表达式可表示为：对于正弦电磁波，波动方程为：导波装置中电场和磁场应满足的微分方程：3 矩形波导中的电磁波3.1 tm波选一直角坐标系，矩形波导的形状如图1所示，内壁面为x=0和a，y=0和b，沿z轴传播。
对于tm波，hz=0。
先解出ez：对于随时间和沿z方向的变化规律，可重新在每一场量上引入因子来表示。
对于tm波，m、n中任意一个不能为0，否则场全为0，所以最低波型为tm11。
3.2 te波对于te波，ez=0，各场的场量表示式为：式中（m、n=0，1，2，…），但两者不能同时为0，所以矩形波导中最低阶的te模式是te10或te01波。
电磁波在波导中传播与模式分析引言：电磁波作为一种重要的能量传输和信息传播的方式，在现代社会中得到了广泛的应用。
而波导作为一种特殊的传输介质，对电磁波的传播和模式产生了重要的影响。
本文将探讨电磁波在波导中的传播特性以及模式分析的相关内容。
一、电磁波的基本概念电磁波是由电场和磁场相互耦合而成的一种能量传播形式。
其传播速度等于真空中的光速，具有波长和频率的特性。
在真空中，电磁波的传播方向垂直于电场和磁场的方向，并且传播速度是固定的。
二、波导的基本原理波导是一种具有特殊结构的导波结构，常见的有矩形波导和圆柱波导等。
其基本原理是利用界面反射和全反射来限制电磁波的传播范围。
波导的内部具有一定的几何形状和尺寸，可以通过调整波导的大小和形状来控制电磁波的传播特性。
三、电磁波在波导中的传播在波导中，电磁波的传播方式与真空中存在一定的差异。
由于波导的存在，电磁波的传播会受到波导的限制和约束。
一方面，波导的存在会导致部分能量被反射回波导内部，从而形成多次反射和干涉现象；另一方面，波导与外界的相互作用会导致波导模式的产生。
四、波导模式分析波导模式是指波导中存在的一种特定的电磁波传播模式。
波导模式与波导的尺寸、频率、工作状态等因素密切相关。
其中，矩形波导的模式可以通过解Maxwell 方程组得到；圆柱波导的模式可以通过解贝尔曲线方程来求解。
在进行波导模式分析时，通常会采用模场展开法、有限差分法以及有限元法等数值计算方法。
这些方法可以有效地求解波导中特定频率下的模场分布和传播特性。
通过模式分析，可以引导波导的设计和优化，提高电磁波传输的效率和稳定性。
五、应用和进展波导作为一种特殊的传输介质，被广泛应用于微波通信、雷达技术、光纤通信等领域。
通过合理设计波导的结构和尺寸，可以实现更高效、更稳定的能量传输和信息传播。
随着微波技术和光纤技术的发展，对波导的需求也越来越高。
研究人员不断改进波导的设计和制造工艺，以适应更高频率和更广泛应用的需求。
波导中微波的模式波导是一种用来传输微波信号的导波结构，由金属壁面构成，中间空腔内充满介质。
在波导中，微波信号通过内部的反射而传播，产生各种模式。
不同模式具有不同的传播特性和分布特点，对于波导设计和应用都非常重要。
本文将介绍波导中常见的几种微波模式。
1.矩形波导模式：矩形波导是最常见的一种波导类型，由金属矩形管道组成。
在矩形波导中，有许多不同的模式，包括正交模式（TE模式）和纵向模式（TM模式）。
（1）TE模式：TE模式是横向电场模式，在矩形波导中，电场垂直于波导的横截面方向。
TE模式的特点是不含有磁场分量，只有电场分量。
TE模式分为TE10,TE20,TE01等不同的阶次。
（2）TM模式：TM模式是纵向磁场模式，在矩形波导中，磁场沿波导的横截面方向。
TM模式的特点是不含有电场分量，只有磁场分量。
TM模式也分为TM10,TM20,TM01等不同的阶次。
矩形波导模式的分布特点是波束在波导内壁上反射，形成驻波模式。
TE和TM模式可以共存，交替出现。
2.圆形波导模式：圆形波导是由金属圆管构成的波导结构。
圆形波导模式与矩形波导模式类似，也有TE模式和TM模式，但其阶次的确定方式略有不同。
（1）TE模式：TE模式是横向电场模式，电场沿着圆柱壁面方向。
TE 模式中的波动电场与壁面垂直，并且没有磁场分量。
（2）TM模式：TM模式是纵向磁场模式，磁场沿着圆柱壁面方向。
TM 模式中的波动磁场与壁面垂直，并且没有电场分量。
与矩形波导不同的是，圆形波导模式的阶次由径向模式数目（m）和角向模式数目（n）两个参数共同确定。
例如，TE11模式表示径向和角向模式都为13.表面波模式：除了矩形和圆形波导模式外，波导中还存在一种特殊的模式，称为表面波模式。
表面波模式是指波在波导壁面上沿着壁面传播的模式，不进一步传播到波导的深处。
表面波模式包括射线波、栅波和电磁波导模式。
射线波模式是指波束沿着表面传播，而不发散或收敛；栅波模式是指波束被壁面上的栅格结构所限制；电磁波导模式是指在电磁波导中，电磁波束是由电和磁场的耦合形成的。
矩形波导的模式
矩形波导是使⽤最⼴泛的⼀种传输线。
给定尺⼨的波导可以传播⽆限多频率的电磁波，本⽂主要写矩形波导的场求解问题及矩形波导的相关特性。
在波导内部，认为为⽆源空间，所以不存在传导电流和电荷，即J ＝ 0
⼀
对式2继续取旋度，得
同理对式1取旋度，可得到两个Helmheltz⽅程如下
求解的过程可总结为
每个Helmholtz⽅向是⼀个⽮量⽅程，在矩形波导中可以分解为三个⽅向x\y\z的三个标题⽅程，从⽽得到波传播⽅向z⽅向的标量⽅程
假设E z\H z可分离变量，分离变量法可得到
且
其中为截⽌波数，
解的第⼀部分是⼊射波，第⼆部分是反射波。
只考虑⼊射波得
横向分量⽤纵向分量表⽰
整理Ex、Hy得
整理Hx、Ey得
写成矩阵形式
⼆以TE波为例
H（x,y）可分离变量，H（x,y)=X(x)Y(y)
得
⼀般解为：
总的解为
矩形波导的基模是TE10模
TE10模功率容量。
第1篇一、矩形波导的模式分类矩形波导中的电磁波模式主要分为TE（横电磁波）模式和TM（纵电磁波）模式。
1. TE模式TE模式是指电场只在波导的横向（垂直于传播方向）分量存在，而磁场则在纵向（沿传播方向）分量存在。
根据电场和磁场在波导横截面上的分布，TE模式又可以分为TE10、TE20、TE01等模式。
（1）TE10模式：TE10模式是矩形波导中最基本、最常用的模式。
其电场分布呈矩形，磁场分布呈椭圆。
TE10模式的截止频率最高，适用于高频传输。
（2）TE20模式：TE20模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈圆形。
其截止频率低于TE10模式，适用于中频传输。
（3）TE01模式：TE01模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈椭圆。
其截止频率最低，适用于低频传输。
2. TM模式TM模式是指磁场只在波导的横向分量存在，而电场则在纵向分量存在。
根据电场和磁场在波导横截面上的分布，TM模式又可以分为TM01、TM11、TM21等模式。
（1）TM01模式：TM01模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈圆形。
其截止频率最高，适用于高频传输。
（2）TM11模式：TM11模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈椭圆。
其截止频率低于TM01模式，适用于中频传输。
（3）TM21模式：TM21模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈圆形。
其截止频率最低，适用于低频传输。
二、矩形波导的模式特性1. 截止频率截止频率是矩形波导中一个重要的参数，它决定了电磁波在波导中能否有效传输。
不同模式的截止频率不同，其中TE10模式的截止频率最高，适用于高频传输。
2. 相速度相速度是指电磁波在波导中传播的速度。
不同模式的相速度不同，TE模式的相速度比TM模式快。
3. 模式损耗模式损耗是指电磁波在波导中传播时，由于波导壁的吸收和辐射等原因，能量逐渐衰减的现象。
不同模式的损耗不同，TE模式的损耗比TM模式小。
4. 传输特性矩形波导中不同模式的传输特性不同，如TE模式的传输特性较好，适用于高频传输；TM模式的传输特性较差，适用于低频传输。
微波技术矩形波导中电磁波的通解要点矩形波导是一种常见的微波传输线结构，具有广泛的应用，如微波通信、雷达系统和微波功率传输等。
在矩形波导中，电磁波的传播可以通过求解波动方程得到其通解。
下面将介绍矩形波导中电磁波的通解的要点。
矩形波导中的电磁波动方程是由Maxwell方程组给出的。
在无源情况下，即没有电流密度和电荷密度，Maxwell方程组可以简化为两个波动方程，即：（1）对电场E的波动方程：∇^2E+k^2E=0（2）对磁场H的波动方程：∇^2H+k^2H=0其中，k为波数，k=ω/c，ω为角频率，c为光速，∇^2为Laplace 算子。
为了求解上述波动方程，我们需要确定边界条件。
（1）边界条件：矩形波导具有无限大的边界，因此我们可以选择适当的坐标系来求解波动方程。
一种常见的坐标系选择是矩形坐标系，其中坐标轴沿着波导的边界方向。
在矩形波导的壁面上，电场E和磁场H应满足如下边界条件：a）电场E与波导壁面垂直，即E·n=0，其中n为壁面的法向量；b）磁场H与波导壁面平行，即H·n=0。
（2）模态理论：矩形波导中的电磁波存在多个模式，每个模式由一组特定的场分布和频率特征确定。
每个模式都对应于特定的截止频率，超过这个频率时将不能在波导中传播。
对于矩形波导，存在两个基本的模式，即TE (Transverse Electric)模式和TM (Transverse Magnetic)模式。
TE模式是指电场E的一部分为零，也就是垂直于波导壁面的电场分量为零。
TE模式有多种类型，根据电场分布情况的不同而命名。
例如，TE10模式表示只有横向电场分量的模式，而TE20模式表示有两个横向电场分量的模式。
TM模式是指磁场H的一部分为零，也就是垂直于波导壁面的磁场分量为零。
TM模式也有多种类型，根据磁场分布情况的不同而命名。
例如，TM11模式表示只有横向磁场分量的模式，而TM30模式表示有三个横向磁场分量的模式。
矩形波导仿真实验报告一、实验目的本实验旨在通过仿真矩形波导的传输特性，掌握矩形波导的基本原理和设计方法，深入了解电磁场在波导中的传输规律。
二、实验原理1. 矩形波导的基本结构和参数矩形波导是一种常用的微波传输线，其基本结构为由四个金属板构成的空心矩形管道。
其中，上下两个板为宽度为b，高度为h的金属板，左右两个板为长度为L，高度为h的金属板。
其参数包括截止频率fc、特征阻抗Zc等。
2. 矩形波导中电磁场的传输规律在矩形波导中，电磁场沿着z轴方向传播，在x和y方向上则呈驻波分布。
当工作频率小于截止频率fc时，在波导内只能传播TM模式；当工作频率大于截止频率fc时，则只能传播TE模式。
3. 矩形波导仿真软件——HFSSHFSS是一款常用于微波电路仿真分析软件，可以对各种微波元器件进行建模和仿真分析。
在本次实验中，我们将使用HFSS对矩形波导进行仿真分析。
三、实验内容1. 建立矩形波导模型首先，在HFSS软件中建立矩形波导模型。
具体步骤如下：（1）新建工程，选择3D Layout Design。
（2）在布局窗口中绘制矩形波导的截面图。
（3）设置边界条件和材料属性等参数。
2. 分析矩形波导的传输特性接下来，通过对矩形波导进行仿真分析，得到其传输特性曲线。
具体步骤如下：（1）在HFSS软件中选择“Insert”->“Sweep”->“Frequency”，设置频率范围和步进值。
（2）运行仿真分析，并得到S参数曲线。
（3）根据S参数曲线，计算出截止频率fc和特征阻抗Zc等重要参数。
3. 优化矩形波导的设计最后，根据分析结果对矩形波导的设计进行优化。
可以通过改变材料属性、尺寸等参数来调整其传输特性。
四、实验结果与分析通过上述步骤，我们得到了一组典型的仿真结果。
如图所示：从图中可以看出，在截止频率以下，矩形波导的传输特性较好，可以实现较低的插入损耗和反射损耗。
随着频率的增加，传输特性逐渐变差。
因此，在实际应用中，需要根据具体要求进行优化设计。
实验二 矩形波导仿真与分析一、实验目的：1、 熟悉HFSS 软件的使用；2、 掌握导波场分析和求解方法，矩形波导高次模的基本设计方法；3、 利用HFSS 软件进行电磁场分析，掌握导模场结构和管壁电流结构规律和特点。
二、预习要求1、 导波原理。
2、 矩形波导模式基本结构，及其基本电磁场分析和理论。
3、 HFSS 软件基本使用方法。
三、实验原理由于矩形波导的四壁都是导体,根据边界条件波导中不可能传输TEM 模,只能传输TE 或TM 模。
这里只分析TE 模(Ez=0)对于TE 模只要解Hz 的波动方程。
即采用分离变量，并带入边界条件解上式，得出TE 模的横向分量的复振幅分别为（1）矩形波导中传输模式的纵向传输特性①截止特性波导中波在传输方向的波数β由式9 给出222000220z z c z H H k H x y ∂∂++=∂∂式7000220002200020002()cos()sin()()sin()cos()()sin()cos()()cos()sin()z x c c z y c c y x H c x y H c H n m n E j j H x y k y k b a b H m m n E j j H x y k x k a a b E m m n H j H x y Z k a a b E n m n H j H x y Z k b a b ωμωμπππωμωμπππβπππβπππ∂⎧==⎪∂⎪⎪∂==-⎪∂⎪⎨⎪=-=⎪⎪⎪==⎪⎩式822222c c k k ππβλλ=-=-式9式中k 为自由空间中同频率的电磁波的波数。
要使波导中存在导波,则β必须为实数,即k 2＞k 2c 或λ＜λc(f ＞f c ) 式10如果上式不满足,则电磁波不能在波导内传输,称为截止。
故k c 称为截止波数。
矩形波导中TE 10模的截止波长最长,故称它为最低模式,其余模式均称为高次模。
由于TE 10模的截止波长最长且等于2a,用它来传输可以保证单模传输。
矩形波导中传播模式的研究矩形波导是一种常见的光波导结构，其具有独特的特性和广泛的应用。
研究矩形波导中的传播模式是了解其工作原理、优化设计以及应用于光电子器件中的重要一步。
本文将以1200字以上介绍矩形波导中传播模式的研究。
首先，我们来介绍矩形波导的基本结构。
矩形波导通常由一个矩形的导波区域和四个边界组成。
导波区域被限制在一个矩形的空间内，而边界则由两条长边和两条短边组成。
导波区域的尺寸会直接影响传播模式的特性。
当导波区域的尺寸远小于光波的波长时，可以将矩形波导看作一个简单的光纤结构，其中只有一个模式可以沿波导传播。
然而，当导波区域的尺寸达到或超过光波的波长时，将会出现多个模式同时传播的情况。
研究矩形波导中传播模式的独特性质是很重要的。
通常，我们可以利用数值模拟方法来计算和分析矩形波导的传播模式。
其中一种常用的方法是有限差分法（FDM），它将波导的导模问题转化为一个二维矢量波动方程。
利用FDM，可以计算出波导中的场分布、传播常数等参数。
另一种常用的方法是有限元法（FEM），它通过将域离散化为有限数量的元素，将波导的导模问题转化为一个矢量强度方程。
利用FEM，可以计算出波导中的电场、磁场分量等参数。
这些数值模拟方法不仅可以计算出传播模式的分布特性，还可以分析波导的传输损耗、耦合特性等。
在矩形波导中，常见的传播模式有基模、高次模等。
基模是指在导波区域内仅有一条主要能量传输路径的模式。
基模是最常用的一种模式，通常具有低传输损耗和较大的传输带宽。
高次模则是指在导波区域内还存在其他能量传输路径的模式。
由于高次模的能量传输路径更多，会导致较大的传输损耗和较窄的传输带宽。
因此，在矩形波导的设计和应用中，我们通常希望尽可能地利用基模，并且减小高次模的影响。
传播模式的研究不仅仅局限于矩形波导的基模和高次模，还可以进一步探究更复杂的模式现象。
例如，当矩形波导的宽度和高度相等时，可以得到一种特殊的模式，称为TE/TM模式。
矩形波导中电磁波的传播模式矩形波导是一种常见的波导结构，它由四个边界构成，上下为金属板，左右为无限长的平行金属条。
矩形波导中存在多种电磁波的传播模式，如TE模式、TM模式和TEM模式等。
下面将分别介绍这些模式的特点和传播方式。
1. TE模式（Transverse Electric mode）在TE模式中，电磁场的电场的矢量只存在于横向方向，并且垂直于波导的传播方向。
在该模式中，磁场的矢量沿着波导的传播方向。
这意味着在TE模式下，波导内部的电场是零，而磁场是非零的。
因此，TE模式也被称为横电模。
TE模式可进一步分为多种亚模式，如TE10、TE20等。
其中，TE10模式是最低频的模式，在矩形波导中最常用。
TE10模式中，电磁波沿短边传播，且边界条件要求电场分量为零。
其传播速度取决于矩形波导的长边尺寸和频率。
当频率低于截止频率时，该模式不再存在。
2. TM模式（Transverse Magnetic mode）在TM模式中，电场的矢量只存在于横向方向，并且垂直于波导的传播方向。
而磁场的矢量沿着波导的传播方向。
因此，在TM模式下，波导内部的磁场是零，而电场是非零的。
所以，TM模式也被称为横磁模。
TM模式同样可以分为多种亚模式，如TM11、TM21等。
其中，TM11模式也是最常见的模式，在矩形波导中使用较为广泛。
在TM11模式中，磁场沿短边传播，且边界条件要求磁场分量为零。
和TE10模式类似，其传播速度也取决于波导的尺寸和频率，当频率低于截止频率时，该模式也不再存在。
3. TEM模式（Transverse Electro-Magnetic mode）在TEM模式中，电场和磁场的矢量都存在于横向方向，并且垂直于波导的传播方向。
在TEM模式下，波导内部的电场和磁场都是非零的。
由于在波导内部，电场和磁场都存在，而且正交分布，所以也被称为横电磁模。
TEM模式是矩形波导中的基本模式，同时也是最简单的模式。
在TEM模式中，电磁波的传播速度与真空中的光速相同。
矩形波导中传播模式的研究矩形介质光波导作为波导光学系统最基本的单元之一，是研究光电器件以及波导传播技术等课题的核心内容。
为研究矩形介质波导中的传播模式，本文将从平板介质波导入手，运用电磁场基本理论，结合边界条件求解麦克斯韦方程组，得到光场传播模式的表达式，模的传播常数以及截止条件等相关参数。
再以此为基础，分别以马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法在不同电磁波模式下分析比较矩形介质波导，并结合MMI耦合器分析单模和多模中的模场分布。
最后使用Matlab绘制传播曲线并且基于BPM算法对不同条件的矩形波导进行模拟，分析并比较其传播模式。
1.1 引言随着为微纳加工工艺技术的不断提高，晶体管的特征尺寸越来越小，单片集成的晶体管数目越来越多，由此带来的金属互联问题、漏电流问题以及散热问题难以解决。
紧靠减小晶体管尺寸、提高工作频率的手段提高处理器性能的方式已遇到瓶颈[1]。
光具有高传播速度、高宽带、并行性等本征的特质，使得光非常适用于海量数据传输处理等领域，研究并开发以此为核心的新型信息处理技术已成为普遍共识。
而随着光通讯正在朝着高速率大容量的方向发展，在SOI材料上制备光波导是技术发展的必然趋势。
在此背景下，研究矩形光波导中的传播模式是尤为重要的[2]。
本课题中的矩形波导是指由半导体材料制成的，具有矩形的波导芯层以及包围着芯层但折射率更低的包层结构，可以使光限制在芯层内传播的器件。
本课题主要分析矩形光波导中存在的传播模式以及各种模式的传播特性。
在第二章中，首先对平板波导理论进行推导，分析了平板波导中单模和多模条件。
第三章中运用第二章中的关于平板波导的相关知识，分别在马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法下对矩形波导进行计算。
前两者给出了不同区域内的两种光场分布重点讨论在有效折射率法矩形波导中可以存在的模式同波导横向长度和材料的折射率之间的关系以及不同模式下的场分布，并结合MMI（多模干涉）耦合器对单模和多模的模场分布进行具体分析。
为了验证理论的正确性，我们拟基于BPM 算法对上述各种情况进行模拟绘图。
第二章 平板波导2.1平板波导介绍2.1.1平板波导的结构平面光波导是制作集成光学器件和半导体激光器的关键器件。
一般来说，矩形光波导是由矩形芯层和包围着芯层且折射率更低的包层组成的，因此三维分析对于考察矩形波导的传输特性是十分必要的。
然而严格的三维分析通常需要大量数值计算而且不能直观的解决问题。
因此本文首先对二维平板波导进行分析，在得到对光波导的基本理解后，以此为基础对三维矩形波导进行近似分析。
平板波导是许多半导体光电子器件与集成光学的工作基础，异质结半导体激光器和发光二极管的工作原理即是利用异质结形成的光波导效应将光场限制在有源区并延输出方向传播。
如图（2.1）所示为Ga 1−x Al x AS/GaAs 双异质结激光器作为对称平板波导示意图[3]。
xzGaAs 有源区P-Al x Ga 1−x AsN-Al x Ga 1−x Asn 1n 0 n 0 X=0x=-d/2x=d/2图2.1 Ga 1−x Al x AS/GaAs 双异质结激光器示意图2.1.2电磁场理论光波在介质中的传播可以用麦克斯韦方程组的微分形式表示∇×E=−∂B∂t(2.1a)∇×H=J+∂D∂t(2.1b)∇∙B=0(2.1c)∇∙D=ρ(2.1d)其中E、D、B、H、J、ρ分别代表电场强度、电位移矢量、磁感应强度、磁场强度、电流密度和电荷密度。
由于E和D、H和B、J和E之间存在以下关系D(r)=εoεr⃗⃗⃗ (r)∙E(r)(2.2a)B(r)=μ0μr⃗⃗⃗ (r)∙H(r)(2.2b)J=σE(2.2c) 其中εo、μ0分别为真空中的介电常数和导磁率。
εr⃗⃗⃗ (r)、μr⃗⃗⃗ (r)分别是介质的相对张量介电常数和相对张量导磁率，σ为介质电导率。
对麦克斯韦方程组进行简化:假设介质均匀且各向同性；不考虑色散效应；近似相对导磁率μr=1,突变电磁场下电阻率为无穷大；忽略传导电流密度J f。
由此可得：∇×E=−∂B∂t =−μ0∂H∂t(2.3a)∇×H=∂D∂t =εrε0∂E∂t(2.3b)∇∙H=0(2.3c)∇∙E=0(2.3d) 求（2.3.b）的旋度并利用（2.3.a）有∇2E=μ0εrε0∂2E∂t2(2.4) 同理可得∇2H=μ0εrε0∂2H∂t2(2.5) 上式称为波动方程，其中∇2称为拉普拉斯算符，表示为：∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2(2.6)对于E，波动方程（2.6）可分解为三个独立的标量波动方程：∇2E x=μ0εrε0∂2E x∂t2(2.7a)∇2E y=μ0εrε0∂2E y∂t2(2.7b)∇2E y=μ0εrε0∂2E y∂t2(2.7c)对H 也有类似的结果，这里只讨论电场波动方程的解。
假设光波的电矢量是沿y 方向偏振沿z 方向传播的平面电磁波。
则E =E y ，E x =E z =0。
E y 以角频率ω=2πν在z 方向做周期性变化。
由于只存在z 方向的空间变化，∂/∂x=∂/∂y=0。
由式（2.7）可得到E y (z,t )=E y (z )exp (jωt) (2.8)将式（2.8）带入（2.4）可得∂2E x ∂x 2=−β2E y (2.9)其中β2=ω2μ0εr ε0 则波动方程解为：E y (z,t )=Acos(ωt −βz) (2.10)与之垂直的磁场分量H x 可由式（1.2.b ）带入（2.5）得到：H x (z,t )=(εr ε0ωA)cos(ωt −βz) (2.11)2.2平板介质波导的射线分析法2.2.1平板波导的相关参数光波导由芯层和包层（或衬底）组成，其中芯层是光被限制住的区域，而包层包围着芯层。
芯层的折射率n 1比包层的折射率n 0高，因此光波被全内反射限制在芯层。
如图（2.2）所示：2ax图2.2 平面波导的结构示意图如图（2.3），异质结面的全内反射条件由公式n 1sin (π2−ϕ)≥n 0给出，又由于角ϕ与入射角θ有如下关系sinθ=n1sin(π2−ϕ)≤√n12−n02,我们得到了全内反射的精确条件(2.12)θ≤sin−1√n12−n02≡θmax.(2.12)由于芯层和包层的折射率差一般为n1−n2=0.01，因此θmax可以近似表示为θmax≅√n12−n02.θmax表示波导可以接受的最大入射角并被称作数值孔径（NA）。
图2.3 光波导的基本结构和折射率分布n0和n1的相对折射率差定义为∆=n12−n022n12≅n1−n0n1.(2.13)∆通常表示为百分比的形式。
数值孔径NA与相对折射率差∆的关系可以表示成NA=θmax≅n1√2∆. (2.13)2.2.2 波导模式的形成我们计算出了模式限制的方式并且推算出角ϕ不能超过临界角。
但即使ϕ角比临界值小，也并不是任意角度的光线都可以在波导中传播。
通过电磁波分析可知每一个模式都和一个分立的传播角度相关。
下面我们假设以倾斜角ϕ沿着z方向传播的一平面波，如图（2.4）所示[4]，平面波的相位波前与光束方向垂直。
芯层中光的波长以及波数分别为λ/n1 和kn1(k=2π/λ)，其中λ是真空中的光波长。
Z方向和x方向（横向）的传播常数表示为β=kn1cosϕ.(2.14)κ=kn1sinϕ.(2.15)S图2.4 波导中的光线和等相面折射率为r =A r A I=n 1sinϕ+j √n 12cos 2ϕ−n 02n 1sinϕ−j √n 1cos 2ϕ−n 0(2.16)图2.5 平板波导异质界面的全反射若我们将复折射率r 表示成r =exp (−jΦ)，相移Φ的大小为 Φ=−2tan −1√n 12cos 2ϕ−n 02n 1sinϕ=−2tan −1√2∆sin 2ϕ−1 (2.17)其中用到了（2.13）的结论，上面提到的全反射中的相移被称作古斯-亨森相移[5]。
下面考虑图（2.5）中同属一个平面波的两束光的情况[6]。
PQ 段光线从P 点传播到Q 点过程中没有发生反射，而RS 段光线在从R 传播到Q 的过程中经过了两次反射(分别在顶部和底部的异质结界面)。
考虑到P 点、R 点处于同一波前，Q 点、S 点处于同一波前，PQ 和RS 的光程差（包括两次全反射引起的古斯-亨森相移）应该相等或者相差2π的整数倍。
由于QR 两点的距离为2a/tanϕ−2atanφ,PQ 两点的距离应表示为l 1=(2asinϕ−2atanϕ)cosϕ=2a (1sinϕ−2sinϕ). (2.18)同样的，RS 两点的距离可表示为l 2=2asinϕ. (2.19)由PQ 和RS 的光程匹配条件可得(kn 1l 2+2Φ)−kn 1l 1=2mπ (2.20) 其中m 为常数。
将（2.17）至（2.19）带入（2.20）可得传播角的条件为tan (kn 1asinϕ−mπ2)=√2∆sin 2ϕ−1. (2.21)由上式可以看到，光的传播角是分立的且由波导的结构(包层半径a ，折射率n 1，折射率差∆)以及光源的波长λ（波数为k =2π/λ）决定。
满足式（2.21）中的光场称为模式，当m=0时传播角度最小，该模式称为基模。
另一方面，角度越大，存在的模式越多（m ≥1）。
（a ） 基模（m=0）（b ） 高阶模（m=1）图2.6 （a ）基模的模式形式 （b ）高阶模的模式形式图(2.6)表示的是基模以及高阶模的形式，其中实线代表正波阵面，虚线代表负波阵面。
当两个极性相同的波阵面相遇时，该点的电场振幅最大。
相反的，当正负波阵面相遇在异质结面时，该点的振幅由于互相抵消而接近于零。
因此在x方向场的贡献是一个驻波而在z方向波长为λp=(λ/n1)/cosφ=2π/β周期性变化的波。
由于n1sinϕ=sinθ≤√n12−n02（2.12）给出的sinφ≤√2∆。
我们给出参数ξ=sinϕ√2∆(2.22)归一化为1，则（2.21）中的相位匹配条件可重写为kn1a√2∆=cos−1ξ+mπ/2ξ(2.23)方程的左边被称作归一化频率，其表达式为ν=kn1a√2∆(2.24) 方程（2.23）描述了ν和ξ的关系，被称作传播方程。
如图（2.7）所示，对于每一个模式数m，曲线η=cos−1ξ+mπ2ξ与直线η=ν的交点给出了其参数ξm，其传播系数βm可由公式（2.14）（2.22）得到。
由图（2.7）可看出只有当ν<νc=π/2时，才会只有基模存在。
换句话说，高阶模被截止了。
因此该频率称作截止频率。
将截止频率改写成波长形式有λc=2πνcan1√2∆(2.25)λc称作截止波长。
图2.7 平板波导的u-w关系曲线2.3平板介质波导的波分析方法[6]2.3.1基本方程的推导为了分析平板介质波导，我们将介电常数ε=ε0n2与磁导率μ=μ0带入麦克斯韦方程中得到∇×Ẽ=−μ0ðH̃ðt(2.26.a)∇×H̃=ε0n2ðẼðt(2.26.b)其中n为折射率。
