高考数学一轮复习 矩阵与变换教案 理 选修42

选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)189～191页)1. 设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1012，求MN . 解：MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01210. 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a，求a 、b 的值．解：由题意，知MM－1＝E ，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3.3. 求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12－12的特征多项式． 解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[ 1 6－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8， 当λ1＝－3时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1；当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，故特征值λ2＝8的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1 求逆矩阵与逆变换例1 用解方程组的方法求下列矩阵M 的逆矩阵．(1) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101； (2) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221. 解：(1) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－10 1. (2) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝23，d ＝－13，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 23 23－13. 备选变式（教师专享） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)．题型2 求特征值与特征向量 例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.变式训练已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤17，计算M 5β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2) ＝4(λ51α1)－3(λ52α2) ＝4×35⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤975969. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， (1) 求e 1和e 2对应的特征值； (2) 对向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1916， M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，求M 100α→.解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1， 又Me 1→＝λ1e 1→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2→＝λ2e 2→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝x e 1→＋y e 2→，所以M 100α→＝M 100(x e 1→＋y·e 2→)＝xM 100e 1→＋yM 100e 2→＝xλ1001e 1→＋yλ2100e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2100x y .1. 求函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cosx sinx －1的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx ＝－2－12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.2. 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，求矩阵A 的特征值．解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，∴ A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321.∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.∴ 矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，∴ A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 0 3. 4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝[]axbx ＋y，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y.因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上， 所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1， 依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1，而由a>0可得a ＝b ＝1.(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－21. 1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－8，得a ＋1＝－8， 所以a ＝－9. (2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－91，则矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N .解：(解法1)设X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，据题意有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1，所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221.所以X ＝M－1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. 3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－40，∴ 2－2a ＝－4a ＝3.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4. 当λ＝－1时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120013.(2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .(2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc. 若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD，y ＝DyD .请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

选修4­2 矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－12，MX ＝Y 且Y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求矩阵X . 解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋y －x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，－x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 2. 点（－1，k ）在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为（－2，－4），求m ，k 的值.解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4. 3. 已知在一个二阶矩阵M 对应的变换作用下，将点（1，1），（－1，2）分别变换成（1，1），（－2，4），求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，c ＋d ＝1. 由题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4， 联立两个方程组，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝43，b ＝－13，c ＝－23，d ＝53.即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 43－13－23 53. 4. 已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 210所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程.解：设曲线C 上的任意一点P （x ，y ）在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210对应的变换作用下得到点Q（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤121 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝x′－y′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′·x′－y′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x′－y′22＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2. 5. 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d， ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b2c －2d . ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.1. 二阶矩阵与平面向量（1） 矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 5，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 42 0 －1这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.（2） 行矩阵与列矩阵的乘法规则[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21].（3） 二阶矩阵与列向量的乘法规则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2. 几种常见的平面变换（1） 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，对应的变换是恒等变换.（2） 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k （k>0，且k≠1）确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换.（3） 反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称. （4） 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.（5） 将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换. （6） 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1（k∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换. 3. 线性变换的基本性质（1） 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy .（2） 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2.（3） A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λAα，A （α＋β）＝Aα＋A β.（4） 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）.4. 二阶矩阵的乘法（1） A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 2c 2d 2，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2.（2） 矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. [备课札记]1 二阶矩阵的运算1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y .若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值.解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ， 由Aα＝Bα，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4. 变式训练已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－15，满足AX ＝B ，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝5，－2a －b ＝－15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝1，此时X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤71., 2 求变换前后的点的坐标与曲线方程), 2) （1） （2017·苏北四市期中）求椭圆C ：x 29＋y24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13012对应的变换作用下所得的曲线的方程.（2） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程.解：（1） 设椭圆C 上的点（x 1，y 1）在矩阵A 对应的变换作用下得到点（x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13x 112y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程x 29＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1，所以所求曲线的方程为x 2＋y 2＝1.（2） MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， 设（x ，y ）是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 对应的变换作用下对应的点为（x′，y ′）.则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝12y′，代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin 2x ′，即y′＝2sin 2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程为y ＝2sin 2x. 变式训练在平面直角坐标系xOy 中，设点A （－1，2）在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标.解：设B′（x ，y ），依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A′（1，2）. 则A′B →＝（2，2），A′B′→＝（x －1，y －2）.记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4， 所以点B′的坐标为（－1，4）., 3 根据变换前后的曲线方程求矩阵) , 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＋2a ＝0.（1） 求实数a 的值； （2） 求A 2.解：（1） 设直线l 上任一点M 0（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下变为l′上的点M （x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0.代入l′方程得（ax 0＋y 0）－（x 0＋ay 0）＋2a ＝0， 即（a －1）x 0－（a －1）y 0＋2a ＝0. 因为（x 0，y 0）满足x 0－y 0＋4＝0， 所以2a a －1＝4，解得a ＝2.（2） 由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 445.变式训练（2017·镇江期末）已知实数a ，b ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3对应的变换将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b 的值.解：设直线x －y －1＝0上任意一点P （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′（x′，y ′），由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y. 因为P′（x′，y ′）在直线x －y －1＝0上，所以x′－y′－1＝0，即（－1－b ）x ＋（a －3）y －1＝0. 因为P （x ，y ）在直线x －y －1＝0上，所以x －y －1＝0.因此⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＝1，a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.备选变式（教师专享）已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .解：设直线l ：x ＋y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下，变换为点M′（x′，y ′）.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx ＋ny y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝mx ＋ny ，y ′＝y.又点M′（x′，y ′）在l′上，所以x′－y′＝1， 即（mx ＋ny ）－y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. , 4 平面变换的综合应用), 4) 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34.求证： （1） （MN ）α＝M （Nα）； （2） 这两个矩阵不满足MN ＝NM .证明：（1） 因为MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， 所以（MN ）α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52.因为Nα＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，所以M （Nα）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，所以（MN ）α＝M （Nα）.（2） 由（1）知MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1112， 所以这两个矩阵不满足MN ＝NM . 备选变式（教师专享）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A （0，0），B （－1，2），C （0，3）.求△ABC在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0对应的变换作用下所得到的图形的面积.解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，所以A （0，0），B （－1，2），C （0，3）在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0对应的变换作用下所得到的三个顶点坐标分别为A ′（0，0），B ′（－2，－1），C ′（－3，0）.故S △A ′B ′C ′＝12A ′C ′·|y B ′|＝32.1. （2017·南京、盐城模拟）设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值.解：（解法1）取直线l ：ax ＋y －7＝0上点A （0，7），B （1，7－a ）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3b （7－a ）－1，所以A （0，7），B （1，7－a ）在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A′（0，7b ），B ′（3，b （7－a ）－1）.由题意，知A′，B ′在直线l′：9x ＋y －91＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b （7－a ）－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13.（解法2）设直线l 上任意一点P （x ，y ），点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q （x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y ′＝－x ＋by. 因为点Q （x′，y ′）在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0. 即27x ＋（－x ＋by ）－91＝0，也即26x ＋by －91＝0. 又点P （x ，y ）在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0. 所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.2. 已知在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 对应的变换作用下把点（1，1）变换成点（2，2）.（1） 求a ，b 的值，（2） 求曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程.解：（1） 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. （2） 设曲线C 上任一点M′（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下得到点M （x ，y ），∵ A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋y 0，y ＝2y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －12y ，y 0＝12y.∵ 点M′在曲线C 上，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＝1.故所求曲线方程为x 2－xy ＋12y 2＝1.3. 已知a ，b ∈R ，若在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b3所对应的变换作用下把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a ，b.解：设直线2x －y ＝3上任意一点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点A 0（x 0，y 0），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ＋ay ，y 0＝bx ＋3y. ∵ 2x 0－y 0＝3，∴ 2（－x ＋ay ）－（bx ＋3y ）＝3. 即（－2－b ）x ＋（2a －3）y ＝3.此直线即为2x －y ＝3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. 4. 二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）.设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. 设直线l 上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′（x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y.又m ：x′－y′＝4，所以直线l 的方程为（x ＋2y ）－（3x ＋4y ）＝4， 即x ＋y ＋2＝0.1. 求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解：设点（x 0，y 0）为曲线|x|＋|y|＝1上的任意一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的点为（x′，y ′），则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x′，y 0＝3y′. 所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.2. 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by＝1.（1） 求实数a ，b 的值；（2） 若点P （x 0，y 0）在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标.解： （1） 设直线l 上一点（x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得点（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ＋3y ，y ′＝y.代入直线l′，得2x ＋（b ＋3）y ＝1，∴ a ＝2，b ＝－2.（2） ∵ 点P （x 0，y 0）在直线l 上，∴ 2x 0＋y 0＝1.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 0＋3y 0，y 0＝y 0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝－15，∴ P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15.3. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，求二阶矩阵M .解： 依题设有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤230 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ， 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302，则M ＝A 4，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4. M ＝A 4＝（A 2）2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 96 0 16. 4. 已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a 的值.解：设P （x ，y ）为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′上的点P′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝x ＋2y ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′. 代入ax －y ＝0，整理，得－（2a ＋1）x′＋ay′＝0. 将点（1，1）代入上述方程，解得a ＝－1.几种特殊的变换 反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为（x ，y ）→（x ，－y ），变换前后关于x 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为（x ，y ）→（－x ，y ），变换前后关于y 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0－1：点的变换为（x ，y ）→（－x ，－y ），变换前后关于原点对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为（x ，y ）→（y ，x ），变换前后关于直线y ＝x 对称. 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为（x ，y ）→（x ，0）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为（x ，y ）→（0，y ）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（x ，x ）；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（y ，y ）；M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2.第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与 特征向量（对应学生用书（理）194～197页）1. 设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.解：∵ B ＝BAA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4， 设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d 3a ＋4c 3b ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12.∴ B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以a ＝－1，b ＝c ＝0，d ＝12，从而矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－20 3.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 52x 的一个特征值为－2，求M 2. 解：将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－（x －1）λ－（x ＋5）＝0，得x ＝3. ∴ 矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 523，∴ M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64514.4. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232的一个特征向量，求实数a 的值.解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6＝2λ，12＝3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1. 5. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P （－1，2）在M 对应的变换作用下得到点Q ，求点Q 的坐标.解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝8，4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4. ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，∴ 点Q 的坐标为（－2，4）.1. 逆变换与逆矩阵（1） 对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵. （2） 若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1. （3） 利用行列式解二元一次方程组. 2. 特征值与特征向量（1） 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（2） 从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量., 1 求逆矩阵与逆变换), 1) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.求矩阵C ，使得AC ＝B .解： 因为det （A ）＝2×3－1×1＝5，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35－15－1525＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－1525. 由AC ＝B ，得（A －1A ）C ＝A －1B ， 所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－1525⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3545－15－35. 变式训练（2017·常州期末）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47.若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X.解：由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2.由AX ＝B ，得X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤47＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12., 2 求特征值与特征向量) , 2) 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113的特征值及对应的特征向量. 解：特征多项式f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－1λ－3＝（λ－3）2－1＝λ2－6λ＋8. 由f （λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.将λ1＝2代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.同理，当λ2＝4时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113有两个特征值λ1＝2，λ2＝4； 属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.变式训练（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ，若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值.解： 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝8，2＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321. 所以矩阵A 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4.令f （λ）＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. , 3 根据特征值或特征向量求矩阵) , 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d .若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵. 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c＋d ＝6 ①.由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2 ②.联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－12－1312. 备选变式（教师专享）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且在矩阵M 对应的变换作用下将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵M .解： 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两个方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36., 4 特征值与特征向量的综合应用), 4) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α. 解：因为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6.由f （λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以A 5α＝2×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋1×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307.变式训练已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2， 则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，所以M 2β＝M 2（α1＋2α2）＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.1. （2017·苏州期初）已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.解：由条件可知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，λ＝2. 因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－110－514.2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 将点（－1，3）变换为（0，8）.（1） 求矩阵M ；（2） 求曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下的新曲线方程.解：（1） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋3b ＝0，－c ＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.（2） 设原曲线上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下的对应点为P ′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝6x ＋2y ，y ′＝4x ＋4y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′－y′8，y ＝－2x′＋3y′8，代入x ＋3y －2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，即曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下得到的新曲线方程为x －2y ＋4＝0. 3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3的一个特征值λ对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，求实数m 与λ的值. 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，λ＝－4. 4. （2017·无锡期末）已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，（0，1）分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M.（1） 求矩阵M ； （2） 求矩阵M 的特征值.解：（1） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 4， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－32－4 4.（2） 设矩阵M 的特征多项式为f （λ），∴ f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3324λ－4＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6. 令f （λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1. 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点（2，3）变成点（3，4）.（1） 求a ，b 的值；（2） 若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2. 解：（1） 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34， 故⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5. （2） 由（1），得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2. 由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3. 所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1－5 4. 2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解：（解法1）设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以a ＝－1，2a ＋6b ＝－2，c ＝0，2c ＋6d ＝3.解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012.根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02. （解法2）在A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3， 所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6.解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02. 3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 022，求逆矩阵M －1的特征值. 解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2a ＋2c 2b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，2a ＋2c ＝0，2b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝12.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－112. M －1的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－101λ－12＝（λ－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12，令f （λ）＝0，解得λ＝1或λ＝12. 所以矩阵M 的逆矩阵M －1的特征值为1和12. 4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β. 解：矩阵M 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f （λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. 令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6（4α1－3α2）＝4（M 6α1）－3（M 6α2）＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×（－1）6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. 错误![备课札记]。

§2矩阵与变换章节复习教学目标：知识与技能：1.对本章的知识进行归纳和梳理2.熟练进行图形的变换和矩阵运算3.能运用矩阵解决实际问题.过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：本章的知识教学难点：进行图形的变换和矩阵运算、能运用矩阵解决实际问题. 教学过程：一、知识梳理:二、例题分析：例1、已知M=1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试求在M对应的变换T M作用下对应得到P(1 , 0) , Q(0 , 1)的原象点.例2、已知. a , b∈R , 若M=1b-⎡⎢⎣3a⎤⎥⎦所对应的变换T M把直线l: 2x－y=3变换为自身, 求实数a , b的值.例3、已知M=24⎡⎢-⎣13-⎤⎥⎦, N=43⎡⎢-⎣11-⎤⎥⎦, J=54⎡⎢⎣12-⎤⎥⎦.(1)试求满足方程MX=N 的二阶方阵X ;(2)试求满足方程NYM=J 的二阶方程Y .例4、已知M=12⎡⎢⎣ 5x -⎤⎥⎦为可逆矩阵, 求x 的取值范围及M -1 .例5、给定矩阵M=26⎡⎢⎣ 51⎤⎥⎦及向量α=29-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)求M 的特征值及对应的特征向量;(2)确定实数a , b , 使α=ae 1+be 2 ;(3)利用(2)计算M 3α, M n α.例6、已知点列P 1 (x 1 , y 1) , P 2(x 2 , y 2), … , P n (x n , y n ), 满足1120.530.5n n n n n nx x y y x y ++=-⎧⎨=-⎩ 且x 1=1 , y 1=－2, n=1 , 2 , 3 , … , 问: 当n 逐渐变大时, P n (x n , y n )有何变化趋势.三、课外作业：1.已知变换T 把平面上的点(2 , －1), (－1, 2)分别变换成点(3 , －4) , (0 , 5), 试求变换T 对应的矩阵M .2.变换矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦把曲线y=lgx变换成什么几何图形?3.判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出逆矩阵.(1)3001⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(3)1011⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.已知矩阵M=2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦, N=2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦及向量σ 1 =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦, σ 2 =11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.(1)证明M和N互为逆矩阵;(2)证明σ 1 和σ 2 同时是M和N的特征向量.5.设A=4532-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦, 利用矩阵的特征值和特征向量计算A3 .6.矩阵A=1102⎡⎤⎢⎥⎣⎦有特征向量α1 =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦,α2 =1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)求出α1 ,α2对应的特征值;(2)对向量α=31⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 计算A4α, A20α, A nα.。

形具有更真实的视觉效果
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式