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本章整合知识网络专题探究专题一 典型的离散型随机变量分布列离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所表示的随机现象的分布情况，是进一步研究随机变量的数字特征的基础，对随机变量分布列的求解要达到熟练的程度，求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤：(1)确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；(2)尽量寻求计算概率时的普遍规律；(3)检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．【例1】袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽3次，每次取1球． 求：(1)有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列． 思路点拨：(1)为二项分布；(2)为超几何分布．解：(1)有放回抽样时，取到的黑球数X 可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到的黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150×⎝⎛⎭⎫453＝64125；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151×⎝⎛⎭⎫452＝48125； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫451＝12125； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153×⎝⎛⎭⎫450＝1125. 因此，X 的分布列为(2)P (Y ＝0)＝C 02C 38C 310＝715；P (Y ＝1)＝C 12C 28C 310＝715；P (Y ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此，Y 的分布列为专题二 独立事件与二项分布是高考的一个重点，独立事件是相互之间无影响的事件，P (AB )＝P (A )P (B )是事件A ，B 独立的充要条件．二项分布实质是独立事件的一类具体情况．n 次独立重复试验中某事件A 恰好发生k 次的概率P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1，2，…，n . 【例2】某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望； (2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率．思路点拨：本题解题的关键是明确ξ的取值及ξ取不同值时所表示的试验结果，明确ξ的取值后，利用相互独立事件的概率公式计算即可．解：(1)如果三个题目均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 如果三个题目均答对，得10＋10＋20＝40(分)． 如果三个题目一对两错，包括两种情况：①前两个中一对一错，第三个错，得10＋0＋(－10)＝0(分)； ②前两个错，第三个对，得0＋0＋20＝20(分)． 如果三个题目两对一错，也包括两种情形；①前两个对，第三个错，得10＋10＋(－10)＝10(分)； ②第三个对，前两个一对一错，得20＋10＋0＝30(分)． 故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40. P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016； P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128； P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256； P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024； P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6＝0.192；P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384. 所以，ξ的分布列为ξ的期望为E (ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负数的概率为 P (ξ≥0)＝1－P (ξ＜0)＝1－0.016＝0.984. 专题三 离散型随机变量的期望与方差期望和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在期望基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．离散型随机变量的期望与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X 的期望与方差的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能的全部取值； (2)求X 取每个值的概率或求出函数P (X ＝k )； (3)写出X 的分布列；(4)由分布列和期望的定义求出E (X )；(5)由方差的定义，求D (X )，若X ～B (n ，p )，则可直接利用公式求，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【例3】某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望(精确到1分)．思路点拨：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，分别求出P (A )，P (B )，P (C )，则代表队答对此题即只要有一个答对即可，可借助其对立事件来解．根据题意问题，(2)符合二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，直接利用二项分布均值公式求均值． 解：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23，又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38.∴该单位代表队答对此题的概率 P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－38×⎝⎛⎭⎫1－23＝9196. (2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，∴E (ξ)＝10×9196＝45548.而η＝20ξ－10×(10－ξ)＝30ξ－100， ∴E (η)＝30E (ξ)－100＝1 4758≈184.专题四 正态分布的实际应用对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识．但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想，一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题，这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式，记住正态总体在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．【例4】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的同学有17人．试计算该班同学中成绩在90分以上的同学有多少人？思路点拨：依题意，由80～85分同学的人数和所占百分比求出该班同学总数，再求90分以上同学的人数．解：∵成绩服从正态分布N (80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.26%. 这样成绩在(80,85)内的同学占全班同学的34.13%. 设该班有x 名同学，则x ×34.13%＝17.解得x ＝50. 又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.44%. ∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.72%. ∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%. 即有50×2.28%≈1(人)． 即成绩在90分以上的仅有1人．。
