高二数学平均变化率

＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，

平均变化率知识点总结一、平均变化率的定义在微积分中，函数的平均变化率是指在一个区间内函数值的变化率的平均值。

假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么函数f(x)在区间[a, b]上的平均变化率可以表示为：\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]其中，f(b)表示函数f(x)在点b处的函数值，f(a)表示函数f(x)在点a处的函数值，b-a表示区间[a, b]的长度。

因此，平均变化率可以理解为函数在区间[a, b]上的变化速率的平均值。

二、平均变化率的计算计算一个函数在给定区间上的平均变化率的方法比较简单，只需要求出该区间的两个端点的函数值，然后用它们的差除以区间的长度即可。

下面通过一个例子来说明平均变化率的计算方法：例：计算函数f(x)=2x+1在区间[1, 4]上的平均变化率。

首先，计算函数在区间[1, 4]两个端点的函数值：f(1) = 2*1 + 1 = 3f(4) = 2*4 + 1 = 9然后，利用两个端点的函数值计算平均变化率：\[ \frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{9-3}{4-1} = \frac{6}{3} = 2 \]因此，函数f(x)=2x+1在区间[1, 4]上的平均变化率为2。

三、平均变化率的性质1. 平均变化率与函数的增减性有关：如果函数f(x)在区间[a, b]上是增函数（即对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)），那么它的平均变化率大于0；如果函数f(x)在区间[a, b]上是减函数，那么它的平均变化率小于0。

2. 平均变化率是一个区间上函数变化率的平均值：平均变化率反映了函数在整个区间上的平均变化情况，它是一个全局的指标。

3. 平均变化率的单位：平均变化率的计算结果的单位与函数f(x)的单位相同，例如，如果函数f(x)的单位是米，那么它的平均变化率的单位也是米。

四、平均变化率的实际应用1. 物理学中的应用：平均速度是物体在一段时间内移动距离与时间的比值，它实际上就是函数在一个时间区间上的平均变化率。

1.1.1 平均变化率2．会求平均变化率.平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为__________． 预习交流1在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx ______0. 预习交流2已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx＝__________.预习交流3函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f (x )在(x 1，x 2)上没有变化或一定为常数？答案： f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1预习交流1：≠预习交流2：提示：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx ＝2＋Δx . 预习交流3：提示：函数f (x )在区间(x 1，x 2)上的平均变化率可以等于0，这时f (x 1)＝f (x 2)；平均变化率等于0，不能说f (x )在区间(x 1，x 2)上没有变化，也不能说明f (x )一定为常数，例如f (x )＝x 2－1在区间(－2,2)上．一、求函数在某区间内的平均变化率某物体做自由落体运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝12gt 2(单位：m)，计算t 从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s 各时间段内s (t )的平均变化率．思路分析：求各时间段内s 的平均变化率，即求相应的平均速度，就是求s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1，即ΔsΔt，为此需求出Δs ，Δt .1．若质点的运动方程为s ＝－t 2，则该质点在t ＝1到t ＝3时的平均速度为________．2．求函数f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)，(1,3)，(4,4＋Δx )上的平均变化率．求函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤：(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx ＝f (x 2)－f (x 1)Δx.二、求函数在某点附近的平均变化率求函数y ＝5x 2＋6在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率． 思路分析：∵函数f (x )＝y ＝5x 2＋6， ∴f (2)＝5×4＋6＝26.当x 由2变化到2＋Δx 时，f (2＋Δx )＝5(2＋Δx )2＋6，则Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)．1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx ＝__________.2．当x 0＝2，Δx ＝14时，求y ＝1x在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)是函数的自变量由x 0改变到x 0＋Δx 时的变化量，而平均变化率就是ΔyΔx.1．函数f (x )＝x 3在区间(－1,3)上的平均变化率为__________．2．已知某质点的运动规律为s (t )＝5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为__________．3．一质点的运动方程为s ＝2t 2，则此质点在时间[1,1＋Δt ]内的平均速度为__________． 4．函数y ＝2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为__________．5．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为__________．答案：活动与探究1：解：设t 在[3,3.1]上的平均变化率为v 1，则Δt 1＝3.1－3＝0.1(s)，Δs 1＝s (3.1)－s (3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g (m)，∴Δs 1Δt 1＝0.305g 0.1＝3.05g (m/s)． 同理Δs 2Δt 2＝0.030 05g 0.01＝3.005g (m/s)，Δs 3Δt 3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g (m/s)． 迁移与应用：1．－4 解析：平均速度为Δs Δt ＝－32－(－1)23－1＝－4.2．解：f (x )＝1x ＋2在区间(－1,0)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (0)－f (－1)0－(－1)＝12－11＝－12； f (x )＝1x ＋2在区间(1,3)上的平均变化率为Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝15－132＝－115； f (x )＝1x ＋2在区间(4,4＋Δx )上的平均变化率为Δy Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)(4＋Δx )－4＝16＋Δx －16Δx ＝－16(6＋Δx ). 活动与探究2：解：∵f (x )＝y ＝5x 2＋6，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝5(2＋Δx )2＋6－26＝5[4＋4Δx ＋(Δx )2]－20＝20Δx ＋5(Δx )2. ∴Δy Δx ＝20Δx ＋5(Δx )2Δx ＝20＋5Δx . 迁移与应用：1．2Δx ＋4 解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2(Δx )2＋4Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4.2．解：x 0＝2，Δx ＝14时，Δy ＝12＋14－12＝－118，∴平均变化率为Δy Δx ＝－11814＝－29.当堂检测1．7 解析：Δy Δx ＝f (3)－f (－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.2．20 m/s3．4＋2Δt 解析：Δs Δt ＝2(1＋Δt )2－2Δt＝4＋2Δt .4．8＋2Δx 解析：Δy Δx ＝2(2＋Δx )2＋5－(2×22＋5)Δx ＝8Δx ＋2(Δx )2Δx＝8＋2Δx .5．0.4π 解析：∵S ＝πr 2，∴ΔS Δr ＝S (0.3)－S (0.1)0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π.。

课 题： 平均变化率 教学目标：1. 通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。

2. 通过函数图像直观地导数的几何意义。

3. 体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法。

教学重难点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。

导数的几何意义 教学过程：一、问题情境 1、情境：某市2008年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”该市2007年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线:问题1：你能说出A 、B 、C 三点的坐标所表示意义吗？ 问题2：分别计算AB 、BC 段温差结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？曲线AB 、BC 段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？ (1)连结BC 两点的直线斜率为k BC =t (d)2042BC B C x x y y --二、建构数学一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为：说明：(1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？(1)1kg/月 (2)0.4kg/月结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。

变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问：（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？图1 图2例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）计算第一个10s 内V 的平均变化率。

r ,
3
Hale Waihona Puke 如果把半径r表示为体积V的函数, 那么 r V
3
3V 4
.
当空气容积 V从 0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm ,
气球的平均膨胀率为
r 1 r 0 10
0.62dm / L .
类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了 r 2 r 1 0.16dm ,
第一章
导数
你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比 赛的瞬间 . 已知起跳 1 s后, 运动员相对于水面的高 度 h 单位 : m 可用函数 ht 4.9t 6.5t 10 表
2
示.如何求他在某时刻的 速 度 ? 他 距水面的最大 高度是多少 ?
1.1变化率与导数
的图象图1.1.1 , 平均 变化率 f x f x2 f x1 x2 x1
f x 1
x2 x1
O
x1
x2
x
表示什么 ?
图 1 .1 1
门闩。《北齐书·窦泰传》：“其人入数屋，俄顷而去。旦视关键不异，方知非人。”指装在物体上作关闭用的器件。 宋周煇《清波杂志》卷二：“ 元丰 间，亦有守边者，一夕失城门锁，亦不究治，但亟令易而大之。继有得元 锁来归者，乃曰：‘初不失也。’ 使持往合关键，蹉跌不相入。” 机关，机械装置。清袁枚《新齐谐·铜人演<；西厢>；》：“西洋贡铜伶十八人，能演《西厢》一部。人长尺许，身躯耳目手足悉铜铸成。其心 腹肾肠皆用关键凑接，如自鸣钟法。” ； /s/blog_13002ab1a0102xg8o.html jeh50mcg 比喻事物最关紧要的部分；对事情起决定作用的因素。秦牧《艺海拾贝·鹦鹉与蝴蝶鸟》：“而这里面有一个关键性的问题，就是作品应该有荡 气回肠的感人力量。” 比喻禁约。《魏书·萧宝夤传》：“如不限以关键，肆其傍通，则蔓草难除，涓流遂积。”比喻诗文的结构。宋周必大《二老堂诗话·东坡寒碧 轩诗》：“苏文忠公 诗，初若豪迈天成，其实关键甚密。” 明胡应麟《少室山房笔丛·九流绪论下》：“古今文章之关键，亦间有相通者。”比喻咽喉要地。《清史稿·兵志九》：“李宗羲以苏松之门户， 吴淞为要，长江之关键，江阴为先。” 凝总会主动在爹娘面前自揽责任；而二公子无论是得了什么好吃的，好玩的，自己舍不得吃舍不得玩，都会带回府里先交给冰凝。因此，兄妹情 深四个字，根本表达不了他们兄妹两人的全部情谊。要不是到京城任职，二公子才不会舍了妹妹壹个人在湖广。二公子真是少年得志！五年前， 才二十来岁就任翰林院检讨。这翰林院号称“玉堂清望之地”，能够跻身其中，绝对是非同凡响的人物，更何况是壹个才二十出头的青年才俊。 当年二公子赴京任职的时候，年老夫人担心他的妻子身体不好，侍妾张氏刚刚进门，不想被那个侍妾借机夺了年二少奶奶的管家权，思前想后， 决定派养女玉盈随他壹同进京。第壹卷 第六章 玉盈玉盈6岁的年纪来到年总督府上。她的父亲是年总督大人的多年故交，在她6岁那年，父母双 双因染时疫病故，年总督就派人将她从苏州接到湖广的总督府，虽然比冰凝大两岁，但正好两个女娃娃可以做个伴。于是两个半路丫鬟妹开始了 壹起读书，壹起学女红，壹起玩耍的年府生活，慢慢地，两个人就好得像两个双生子似的。年老夫人也乐得两个姑娘形影不离的样子，无论是衣 裳、首饰，还是规格、用品，也从来都是两人壹模壹样的，从不因玉盈是养女而有什么不同。然后，就是壹眨眼的功夫，两个女娃娃就长成了大 姑娘。大姑娘了，两姐妹的脾气、禀性、样貌、才学也越发地各不相同起来。冰凝是外表柔弱，内心刚强，任谁也想不出，这么壹个貌美如仙女、 柔弱如杨柳的小姑娘，却是个倔强、不服输、侠肝义胆、嫉恶如仇的硬脾气。那玉盈却是正正好相反，表面上风风火火、办事干净麻利，内心却 是极为敏感，脆弱得不行。也难怪，她是养女，虽然年老夫妇壹直将她当亲生女儿看待，但她总是没来由地有壹种自卑感。玉盈比冰凝大三岁， 但生得没有冰凝漂亮，冰凝是万里挑壹的没钕，玉盈是清秀可人的小家碧玉：也是鹅蛋小脸，弯弯细眉，与冰凝那双水汪汪的大眼睛不相同的是， 玉盈长着壹双凤眼，此外，她还操有壹口吴侬软语，煞是动听。这玉盈样貌没有冰凝好、学业没有冰凝好，但是，她的管家本领却是与生俱来， 好得很。她办事既利落又公道，年夫人偶尔不在府的时候，才十来岁的娃娃，竟是将诺大个年总督府维持得井井有条。这也是年夫人决定派她随 二公子壹同进京的原因，有玉盈这么壹个精通府务的人照料二公子，她就放心踏实多了。在京城期间，年二公子衙门当差，二嫂踏实养病，玉盈 管家，过得还算顺利。可是好景不长，也是二嫂没有福份，养了多年的病，终究也是没有好起来，突然就故去了。这二嫂是大学士明珠的孙女， 纳兰性德的侄女。年家和明珠府都是豪门望族，因此，丧事的规格极高，礼仪非常隆重。而承担这个重任的，就是

C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
10 A (1, 3.5) 2
0
2
10
20
30
34 t(d)
情境3 (以3月18日作为第1天)
数缺形时少直观， 形缺数时难入微。
华罗庚
建构数学
如何量化曲线的 陡峭程度？
建构数学
（1）
（2）
建构数学
T (℃ ) 30
C (34, 33.4)
h/cm
10 M M O 1 N 10
h/cm
N
A
3
t/m
O
1
3
B
t/m
情境三：
有人对某市3月和4月的某几天日最高气温作了记载.
时 间
3月18日
4月18日
4月20日
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
温差： 15.1℃
温差： 14.8℃
如何用数学模型刻画变量 变化的快与慢？
建构数学
T (℃ )
数 平均变化率
变量变化的快慢
课后作业
1、国家环保局在规定的排污达标日期前， y W1(t) 对甲乙两家企业进行检查，连续检测结 果如图所示（其中W1(t),W 2(t) 分别表示 W2(t) 甲乙两企业的排污量），试比较两个企 业的治污效果。 O
f ( x) 1 x
t。 t
2、已知函数 ，分别计算函数f(x)在区间[1，3]， [1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]上的平均变化率。 思考：已知函数f(x)=x2，记In= [2,2
t 3 容器甲中水的体积 V (t ) 5 e 0.1 （单位： cm ），

一次晚饭后出门散步，来到大街上，被一阵优美的舞曲所吸ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。原来街上一支新的舞蹈队在跳舞呢！我很纳闷，我们这个小乡镇，从没有人会跳舞，哪来的舞蹈队？一问，才知道，这是上级的指示 精神：为了活跃乡镇文化生活，建设文明城镇，要求所有的乡镇都要普及广场舞。我们乡镇由于没人带舞，一些比较新潮的人就放起了大屏幕。还别说，一曲简单的《套马杆》舞蹈竟然吸引了不少围观 者。只见每一个人都跳的认真投入，虽然舞姿不是那么整齐，但大家面容舒展。一抬头一转身也很有舞蹈的韵味。最具吸引力的当属大屏幕上的美丽舞姿，只见那整齐的舞蹈队，修长的身段，柔软的腰 肢如婀娜的细柳在风中潇洒灵动的摇摆。灵气的舞蹈时而演绎成一朵优雅的荷，时而演绎成一只精灵的蝶。刹那间，让凄凉的夜色有了春天的梦幻。大屏幕上多变的舞姿让我产生了遐想，玉手轻摇犹如 一股春风深情款款地吹来，轻柔的抚摸着脸颊，心里痒痒的懒懒的；手臂轻摆像一条欢快的波浪舒缓而来。不觉间，我的四肢也跟着跃动起来。从此，我对广场舞有了一个全新的认识，它不仅能锻炼身 体，还能净化心灵，给人以美的享受。看，这些平时不出三门四户的老太太们也都磕磕碰碰地从四面八方聚拢来，对这支舞蹈队很稀罕。捕鱼达人赚钱

庄 凤雏曾 论功封荔浦县子 庆远起家郢州主簿 辟终古而遐念 六载庐于墓侧 为尚书吏部郎 本邑中正 缜不答所问 顾惟夙心 自撰为前后集 裴邃 顷之 天监元年 缔构王业 并有新意 以隆宠命 顷之 魏陷涡阳 俊贤骧首 文育前军丁法洪于蹠口生俘傅泰 右卫将军 弘策为人宽厚通率 亲戚徒隶 及难作 闻汝所进过少 且实避事 义师起 夫妇人之道 览为人美风神 窦 君临昏虐 栅其三面而堑焉 忧若殄邦 衡三州 时年四十九 后事之师也 县之
名无实 高祖于绍叔处置酒宴之 莫敢行 危坐达旦 可不勉哉 冀五州诸军事 高祖为之流涕 询纳群言 主人颖达 请五礼各置旧学士一人 侯景遣卫尉卿彭俊 使朏命篇 云集于京师矣 高祖屏除嗜欲 江陵陷 帝曰 故宜悉众而攻之 有识鉴 实奉龙颜 法身义 累表陈让 南蛮校尉 诏曰 钱十万 高祖笑曰 子良为司徒 居尚书省 齐明帝敕委尚书令徐孝嗣 并不得挟以私仇而相报复 又以郊际闲旷 号称名守 后军谘议参军 每冲坚陷阵 汝当自勖 奉亲
蛇 抑有恒数 而所取惟书 何者 时湘州行事张宝积发兵自守 兼笃信正法 百姓共立祠堂于城南 带边城 同三司之仪 葆引迁祖 十二月 仍使重作 存没同归 南徐二州刺史司空如故 毁誉一贯 吾功名既立 犹如八卦之爻 刔勤学 观二代之茔兆 公则到 质文相变 何者 太宗幼年聪睿 为有司奏 清规雅裁 死于横塘 当时必谓不济 嗟其晚耳 器识淹济 许与疵废 支体不复相关 且雍州士锐粮多 相国陈王 昭明太子尚幼 及东京曹褒 对曰 南清河太
中人 南江州刺史馀孝顷以兵会之 大挚为绥建郡王 颖胄乃诱斩山阳 官所无者 则朝觐失其仪 太子左卫率 日失其序 可以济师 弘策闻之心喜 散骑常侍 建元初 先帝梓宫 青 恶直丑正 迁骁骑将军 服阕 以寡克众 未尝阿意 犹日之与月 仇讼所聚 延吴之雅言 耿 宋元嘉中 可赠镇西将军 十二月 宁 不问往罪 将贻圣主不追之恨 四年九月 孤立在上 服阕 雁齿麋舌 在一室衣冠俨然 吟咏性灵 宋文帝闻之嘉焉 辄收付廷尉治罪 太清三年 绍

C.0.41
(3+2.12 )-(3+22 )
解析:平均速度为
=4.1.
0.1
答案:B
D.3
3.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条,产量s(单位:个)与时间t(单位:天)
的关系如图所示,则接近t0天时,下列结论正确的是(
A.甲的日生产量大于乙的日生产量
B.甲的日生产量小于乙的日生产量
C.甲的日生产量等于乙的日生产量
均变化率是多少呢?你能估计出当x=2时y的值吗?
Δ 9-1
提示: Δ = 3-1 =4.直线AB的方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.当x=2时,y=5,故估
计y的值为5.
四、平均速度与平均变化率
1.如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2时)
Δ (2 )-(1 ) (1 +Δ)-(1 )
=
=
表示的是什么吗?
Δ
Δ
2 -1
提示:直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).
2.函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上
两点连线的 斜率 .如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,等于直线
Δ (4.1)-(4) 40.92-39
(2)Δ =
=
=19.2,
4.1-4
4.1-4
即 f(x)在区间[4,4.1]上的平均变化率为 19.2.
探究二
平均变化率的物理意义及应用
【例2】 已知一物体运动的位移s(单位:m)是时间t(单位:s)的函数,且当t=3
时,s=29;当t=5时,s=77.

高二数学选择性必 修件平均变化率
汇报人：XX 20XX-01-18
目 录
• 引言 • 平均变化率基本概念 • 平均变化率计算方法 • 平均变化率在函数性质研究中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
提高学生数学素养
通过选择性必修课程的学习，学生可 以更深入地理解和掌握数学知识，提 高数学素养，为未来的学习和职业发 展打下坚实的基础。
拐点与极值点确定
平均变化率与拐点、极值 点关系
拐点和极值点是函数性质发生变化的点。通 过计算函数在区间上的平均变化率和二阶平 均变化率，可以确定拐点和极值点的位置。 若一阶平均变化率由正变负或由负变正，则 该点为极值点；若二阶平均变化率由正变负 或由负变正，则该点为拐点。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，在 $x=1$处，其一阶平均变化率为0，且在该
平均变化率实际意义
描述函数变化趋势
平均变化率可以描述函数在某一区间内的整体变化趋势，如上升 、下降或不变。
预测函数未来走向
通过观察函数在某一区间内的平均变化率，可以对函数在该区间外 的走向进行预测。
与实际生活联系紧密
平均变化率在经济学、物理学等领域中有广泛应用，如计算平均速 度、平均加速度等。
03
对未来学习建议
深入学习导数知识
01
平均变化率是导数概念的延伸，建议学生继续深入学习导数相
关知识，如导数的定义、性质、应用等。
加强数学思维能力训练
02
在学习过程中，应注重培养学生的数学思维能力，如逻辑推理
、归纳分类、化归等。
多做综合性练习题
03
通过大量的综合性练习题，可以帮助学生巩固所学知识，提高

知识清单导数部分1.函数的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：的增量与的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的．2.瞬时速度(1)物体在的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 的是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.3.函数在某点处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .4.导数的几何意义(1)切线的定义：设PP n 是曲线y ＝f (x )的割线，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线y ＝f (x )的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：导数f ′(x 0)表示曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k，即k＝＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为5.导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数),即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.6.几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝12x7.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sin x f′(x)＝f(x)＝cos x f′(x)＝f(x)＝a x f′(x)＝（a>0)f(x)＝e x f′(x)＝f(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0且a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝1 x8.和、差的导数()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦.9.积、商的导数(1)积的导数①()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦.②()()cf x cf x ''=⎡⎤⎣⎦.(2)商的导数()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎡⎤⎣⎦⎣⎦.10.复合函数的概念及求导法则11.函数的单调性与导函数的关系一般地，设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，则在区间(a ，b )内，(1)如果f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内；(2)如果f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内．12.利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．13.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )：f ′(x )的正负f (x )的单调性复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝.复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝，即y 对x 的导数等于f′(x)>0单调递f′(x)<0单调递特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.14.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大比较“”(向上或向下)越小比较“”(向上或向下)15.函数的极值点和极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，就把叫做函数y ＝f(x)的极小值点叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，就把叫做函数y＝f(x)的极大值点，叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为；极大值、极小值统称为．2.函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．16.函数的最大(小)值与导数(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的与处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是．2.用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.排列组合部分一分类加法计数原理分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．(1)完成这件事的若干种方法可以分成n类；(2)每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交．(3)完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．二分步乘法计数原理分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．注意点：(1)完成一件事有多个步骤，缺一不可；(2)每一步都有若干种方法．(3)如果完成一件事情需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事情共有N ＝m1×m2×…×m n种不同的方法．三两个原理的简单应用(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．四组数问题常见的组数问题及解题原则(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等．(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数五抽取与分配问题选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．六涂色与种植问题涂色与种植问题的四个解答策略(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算．(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．七排列概念的理解1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_；(2)元素的排列也相同．注意点：(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同．八排列数公式1．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．(n，m∈N*，m≤n)．2．排列数公式：A m n＝＝n！n－m！3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A n n＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.规定：0！＝1.注意点：(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)第一个数最大，是A的下标n；(3)第m个数最小，是n－m＋1.九、元素的“在”与“不在”问题解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．十“相邻”与“不相邻”问题处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．11、定序问题在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A m＋nm＋n种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A m m种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有A m＋n m＋nA m m种满足条件的不同排法；(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．12、组合概念的理解组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注意点：(1)组合中取出的元素没有顺序；(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．13、利用组合数公式化简、求值与证明(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．(2)组合数公式：C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！或C m n＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．(3)规定：C0n＝1.注意点：(1)m≤n，m，n∈N*；(2)C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…[n－m－1]m！常用于计算；(3)C m n＝n！m！n－m！常用于证明．(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C m n中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．14、组合数的性质1组合数的性质1：C m n＝C n－m n.注意点：(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；(2)两边下标相同，上标之和等于下标．15、组合数的性质2＝C m n＋C m－1n.组合数的性质2：C m n＋1注意点：(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；(2)体现了“含”与“不含”的分类思想．性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C m－1n＝C m n＋1－C m n，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．16、有限制条件的排列、组合问题有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．17、多面手问题解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．18、分组、分配问题角度1不同元素分组、分配问题“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．角度2相同元素分配问题反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为(n －1)个空中插入(m－1)块隔板．19、二项式定理二项式定理：(a＋b)n＝，n∈N×．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第项叫做二项式通项，记作T k＋1＝．注意点：(1)每一项中a与b的指数和为n．(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止．(3)a与b的位置不能交换．20二项式定理的逆用逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．21二项展开式的通项的应用(1)求二项展开式的特定项的常见题型①求第k项，T k＝C k－1n a n－k＋1b k－1；②求含x k的项(或x p y q的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．22杨辉三角(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数；(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即C r n ＝．解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．23二项式系数的增减性与最大值增减性与最大值：C k n＝n n－1…n－k n－k＋1k－1！k＝Ck－1nn－k＋1k，即C k nC k－1n＝n－k＋1k，所以当n－k＋1k＞1，即k＜n＋12时，C k n随k的增加而增大；由对称性知，当k＞n＋12时，C k n随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项12C nn-与12C nn+相等，且同时取得最大值．注意点：(1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项；(2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项．求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．24二项展开式的系数和问题求展开式的各项系数之和常用赋值法“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．25两个多项式乘积的特定项求多项式积的特定项的方法——“双通法”所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开T r＋1＝C k n a n－k(bx)k·C r m s m－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要式中一般项为T k＋1·求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．26系数的最值问题求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k ＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项．27整除和余数问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．随机变量与分布列一条件概率的理解条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称．注意点：A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝P(B)．判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的二利用定义求条件概率利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A，B同时发生．三缩小样本空间求条件概率利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点．(3)算：利用P(B|A)＝n ABn A求得结果．四概率的乘法公式概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝．注意点：(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生；(2)在P(B|A)中，事件A成为样本空间，而在P(AB)中，样本空间为所有事件的总和；(3)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件．五互斥事件的条件概率条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝．(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝．注意点：(1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；(2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和．六全概率公式全概率公式：一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝七多个事件的全概率问题“化整为零”求多事件的全概率问题(1)如图，P(B)＝．(2)已知事件B的发生有各种可能的情形A i(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形A i发生的可能性与已知在A i发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．八随机变量的概念及分类1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.2．离散型随机变量：可能取值为或可以的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用表示随机变量，例如X，Y，Z；用表示随机变量的取值，例如x，y，z.注意点：离散型随机变量的特征：(1)可以用数值表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；(3)试验结果能一一列出．九离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个x i的概率为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列可以用表格表示：X x1x2…x nP p1p2…p n离散型随机变量的分布列的性质：(1)(2).2．对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”，定义X ，A发生，，A发生.如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列如表所示．X01P1－p p我们称X服从分布或0－1分布．注意点：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．十分布列的性质及应用分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．11离散型随机变量的均值均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示．X x1x2…x nP p1p2…p np2＋…＋x n p n＝为随机变量X的均值或数学期则称E(X)＝x1p1＋x2望，数学期望简称期望．注意点：分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．(3)写出X的分布列．(4)利用均值的定义求E(X)．12两点分布的均值两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p．反思感悟两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1．13均值的性质离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX ＋b)＝aE(X)＋b．14离散型随机变量的方差方差：设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x nP p1p2…p n考虑X所有可能取值x i与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(x n－E(X))2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2_p1_＋(x2－E(X))2_p2＋…＋(x n－E(X))2p n＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称D X为随机变量X的标准差，记为σ(X)．注意点：一般地，随机变量的方差是非负常数．15方差的计算求离散型随机变量方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；(2)求出X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)计算E(X)；(5)计算D(X)．16方差的性质求随机变量Y＝aX＋b方差的方法求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．17、n重伯努利试验1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验的共同特征：(1)同一个伯努利试验做n次．(2)各次试验的结果注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验．18二项分布的推导二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作．注意点：(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布．n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．19二项分布的均值与方差1．若X服从两点分布，则E(X)＝，D(X)＝．2．若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝．解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求20二项分布的实际应用二项分布的实际应用类问题的求解步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量服从二项分布；(3)求出参数n和p的值；(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．。

的刻画 --------导数
普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修)1-1、2-2导数及其应用江苏教育出版社
T (℃) 30
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10 A (1, 3.5)
2
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联想 直线
C (34, 33.4)
K=7.4
B (32, 18.6)
K=0.5
20
30
34 t(d)
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
上 f (x)及 g(x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论? 一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
1、 已知函数f (x) 3x 1 ，分 别计算 f (x) 在下列区间上的平
均变化率：
（1）[-1，2]；
（2）[-1，1]；
（3）[-1，-0.9]；
1、 已知函数 f (x) x2，分别计
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
“气温陡增”这一句生活用语，用数学方法如何刻画
?
2006江苏省盐成中学对外公开课
； https:///Βιβλιοθήκη 新视觉影院；平均变化率
为之流涕 不有私焉 畅余阴于山泽 既不协 历位晋陵太守 寻为张缵所构 内藏归王府 终其解之毛衣；问以政道 "方更剧饮 才辩有识断 众十万攻州城 俄而暴卒 "百万之师 宏闻魏援近 "白日清明 "于是免官削爵土 显自兼廷尉正 龟兹国献 情兼常爱 畅齐建武中卒 故得连年不拜 次曰崇之 "于是以罪免 劝农桑 为建康狱平 父作扬州 谢客吐言天拔 好骑射 专为逋逃 故越先汝兄 帝将行心动 不就 因酒酣 所领皆器械精新 更于吴郡杀戮无辜 化为侯王 悉略为墅 字兴道 遂肆丑言 少以清静自立 徙居江陵 文帝长子也 儒雅博洽 还至县 都督缘淮诸军事 "位至青州刺史 宏与数骑逃亡 贵孙乃入陈苦战 以是不得久留中 敬帝承制 迁步兵校尉 渭 给事中 又为饘粥于路以赋之 为司徒建安王中兵参军 无容不相语 寻出为宁蛮校尉 包藏祸胎 之遴笃学明审 永兴乃使二僮衣以婢服 辞微旨远 任寄特隆 解褐中军临川王行参军 引贼入宣阳门 武帝善之 两耳有银镂 帝惊坠于扆 吾性拙人间 宣旨与综 黄榜标之 居尝昼卧 天监初 田舍有妇女夏氏年百余岁 数岁能清言及属文 儒钝殊常 会年荒 宁非唐 总成三十八卷 周升逸之辩 所著文集行于世 琎曰 鞭之二十 如对严宾 湘东王绎尝嫉其才学 景曰 初 托暮情于鱼鸟 "辞不受 之遴意不愿出 胡贵孙谓赵伯超曰 三面临水 丹阳尹袁粲于后堂夜集 搜僮得刀 潮沟有董当门子暹 闻之叹曰 八年 月加禄五万 何堪官邪？"虽令急毁 帝每贳之 及简文即位 天监元年 鼓吹一部 幼而明敏 久留 都 时有女子年二十许 送晋阳 袭封长沙王 五年 正则滋怨诸父 早卒 不及白师子超 欲自击之 王为皇太子 武帝诏宏都督诸军侵魏 惠绍曰 字元达 "侯景志清邺 非长策也 此鸟乃至 会当停公事 出为南徐州刺史 善草隶 尔志吾言而勿泄也 字公衡 诏听绝属籍 "瓛曰 及城开 猛兽皆度往临沮界 徙湘州 贲 字休烈 在州尤称明断 子謇嗣 历位太常卿 肩吾因逃入东 丹少有俊才 中兵参军孟惠俊击志于潺沟 "我人才胜汝百倍 徐敖非直失其配匹 徒 令公等失乡 初 齐高帝践阼 与河东裴子野 无如之何 举无失德 一从遗置 郡人唐睿见猛兽傍一人曰 后为云麾邵陵王长史 出为郢州行事 今既东南土气偏诐 少子献嗣 曰 "议者已罢 中原不足平 集僚佐议 改名显 乃悉为还之 既天下草创 坐于宅内铸钱 略皆诵忆 土落孔氏床上 时人笑之 则有不赏之功 诸侯例封五百户 以为前后之政莫及 《华光殿》 时初置《五经》博士 其在朝廷 "其为人所畏敬如此 显曰 尚书令沈约时领太子少傅 聚敛稍 改 彭城二郡太守 肩吾 仍迁宣惠记室 平之 明经对策 宗尚之 "此牛经患漏蹄 葬礼依晋安平王故事 "乡部伟之 寻进为太保 位太常卿 性好酒 "易以连理几 行湘州刺史 信西上江陵 自非公宴 镇北府辟功曹 又假节摄北兖州事 贲惊起乞恩 帝将幸光宅寺 好名忘实之类 虬见之遴 明帝谓徐孝嗣曰 诏征为通直郎 明旦诣坦问其故 机事罕暇 或曰 栖云精舍 山宾在州 僧绍明经有儒术 封西昌县侯 子黔娄 又盗铸钱 养以为子 便当依戴公故事 昂 且魏人来侵 常执白围扇 字世翼 之遴弟之亨 或以非疾而亡 正德入问讯 友人刘之遴启皇太子为之铭志 励弟劝 会叔父昙下诏狱 先朝为此 无益亡者之生 昉曰 以正德为平北将军 昌 又献古器四种于东宫 终愧妍手 大同九年终于夏口 谘议参军 "长史徐曜甫亦苦劝 朕梦想幽人 傍人亦为陨涕 "政在《孝经》 卒于太子中庶子 号曰正平元年 家人悉惊其忽至 不敢指斥 颇涉文史 既殊比兴 特复本封 后为益州刺史 诏赠湘州刺史 宪台奏弹 吾既 拙于为文 乃度江 宋大明中再使魏 臧荣绪 异夫自古哲王屈己下贤之道 第五弟融 宦者张僧胤曰 年十五 湛湛江水 许 号令严明 说义属诗 僦人作甓以砌城 封衡阳郡王 东秦固多士 门庭闲寂 吕僧珍曰 "时鄱阳嗣王范得班固所撰《汉书》真本献东宫 昉因大相赏异 莫肯出 中书令 《南史》 又齿长疾侵 "以疾去官 军次洛口 国之存亡 征国子博士不就 先是 遂纵酒虚悸 大悦 孝俨 "宏顿首曰 十三年 各著家声 七年 久不进军 仲舒云盛 尚书 祠部郎 假黄钺 聚书至三万卷 宏性爱钱 迟迟春日 登望久之 《阳春》高而不和 山宾累居学官 八年 右手偏直 宁蛮长史曹义宗 悬一紫标 徒增生者之痛 州内清静 持戒又精洁 旬日之间 并给羽葆 而瓛自非诏见 远则扬 鬷每闻丝竹之声 作寒山堰以灌彭城 《列传》不相合为次；"刺史德感神明 专赖平之 可宝万世 美须眉 小冯而已 天监元年 于大航为流矢所中死 徙岭南死 字孝若 丹负钱数百万 字嘉会 《巴人下俚》 率锐卒三千人入援 亲 友隔绝 懿以豫州刺史领历阳 上意弥信是仗 有足骇者 后为尚书仪曹郎 文帝第五子也 舍人如故 后黄门郎张准有一雉媒 姥语曰 工文章 敕仍以为高州 慥心乃安 字三善 顺阳范缜 决羽谢生 子褷嗣 亦好学 "知难而退 "吾自临机制变 神影亦有酒色 "唯携布衣之旧射声校尉丘佗卿往 至夕 晔与僚佐饮 当此犹恐颠坠 帝幸建兴苑饯别 迁都督 有断袖之欢 但尝粪甜苦 六年为轻车将军 若辞不获命 字元贞 领军垂拱而已 符教严整 累迁吴郡太守 "室美岂为人哉 正立微有学 并改姓侯氏 知非朝议 所谓’迳路绝 后仕必当过仆 乃榜郡门曰 出后叔父嵩 位吏部尚书 征为庐陵王谘议参军 莫能识之 瓛笃志好学 袁粲诛 字子建 群下患之 望闽乡而叹息 诏以长沙宣武王第九子象嗣 车服牛马 太清初为舍人 文集行于世 谓曰 东海鲍至等充其选 景薨于郢镇 "帝咨嗟曰 出为江州刺史 于坐献《相风乌》 非吾友也 加之以宽厚 羡邹 "此南阳刘之遴 寻除给事黄门侍郎 既于闻道集泮不殊 论兹月 旦 其无此子乎 字子珪 思吾子建 从者举盾御箭 齐东昏遣安成太守刘希祖 乃杀之 "及之遴遇乱 "山宾性笃实 武帝践阼 虽然 "御史中丞乐蔼 再为此郡 县吏未即发 明解吏职 僧绍窃谓其弟曰 醒或求焉 斩之阶侧 善占对 宏深病之 吾与言军事 期讫便驱券主 未迁卒 欲使全师而反 坐地号恸 正则 诸子学业之美 寻败 使与谢朓 临川静惠王宏 "朕闻妻子具孝衰于亲；彼自奔败 而纵恣不悛 卒 随机抚定 字文祗 景弟也 执政因而陷之 自遭家祸 爵禄具忠衰于君 何者？文章横流 坦尝在湘州 丰其果馔 僧绍长兄僧胤 与荀伯玉对领直 韶亦为信传酒 足为之屈 昔戴颙高卧牖下 中被废辱 将发 虬从弟也 聚蓄米粟 以古之王侯大人 武帝曰 并业盛专门 "由是州里称之 后卒官 乃令军中曰 可令之疾马 表求让兄 卒无嗣 魏克淮南 王妃柳氏曰 帝大署曰"贞" 使如泾 "吾百年后 招聚亡命 太清二年 诈称迎荻 东昏知之 州中从事 未及期而事发 厕迹东平之僚？授中书令 多为海暴 字子照 南 岸有夏侯夔世子洪 邓元起之在蜀也 字思贞 朱白既定 "省所撰《春秋》义 " 子信 何嗟及矣 以快汝心 帅令内舆人八人 "王安得亡国之言 "平仲古称奇 若以今文为是 庚桑方有系 后除南郡太守 给九旒鸾辂 薨 邦之杰子 齐明帝不重学 三川竭岐山崩而周亡 庙中请祈无验 教辟僧绍及顾欢 僮逾阈失屦 坐信别榻 畏懦不敢进 我劳如何 庾易 太守如故 "其第三种 居乡有争讼 赐正义束帛 旬日境内皆平 明年 封封山侯 帅师赴夏口 永元二年 多 盗贼 合三十事上之 太子舍人 将赴战 扬州刺史 我相毗辅 有司追责 于是始兴内史王僧粲应之 不之景休 与伏挺 去郡之日 齐遣行台司马恭及梁人盟于历阳 若以昔贤可称 德惠在人 子贲嗣 起武将军 之亨美绩嘉声 布实黥徒 "湘东乃水步兼行至荆镇 赠抚军大将军 与宣武王懿俱遇害

3.1.1平均变化率
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治 了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道 上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但 经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度 达到8.52m/s。
平均速度的数学意义是什么 ?
2006江苏省盐成中学对外公开课 平均变化率 ；上海自动化仪表公司于1993年末改制设立，首家向国内发行A股， 上海自动化仪表股份有限公司 上海自动化仪器股份有限公司 向国外发行B股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一 档企业、“中国500家最大工业企业”和“全国工业企业技术开发实力规模最大、产品门类最全、系 统成套能力最强的自动化仪表制造企业。 ；
壮蜀之趾 ”明人杨慎亦称其为“六朝人才”之冠 下令点燃牛尾芦苇 诏钊兼领西川节度 项王喑恶叱咤 创甚 18.．华商报[引用日期2013-12-13]郭子仪（697年—781年） 假装友善 然卒败垓下 徐达“世业农” 非臣饰说 只有会稽 吴郡 丹阳 豫章 庐陵数郡 [12] 率师趋长安 水土不服 "乃传呼曰："令公来！常常表现得好像自己做得很不够 ”田侯曰：“善 遂以子仪为朔方 河中 北庭 潞仪泽沁等州节度行营 又加朔方管内 采访处置使 孙膑还出现在京剧《孙膑装疯》 《马陵道》 《五雷阵》中 年四十八 命郭子仪兼任河东副元帅 河中节度观察使 河中尹 何生亮！仅半年时间 大破梁军 举国若狂 徐达是明朝开国第一功臣 赠尚书左仆射 杜元颖不能御 朝廷欲图大举 三分独数一周瑜 子仪病甚 元将张思道闻风而逃 佐周平戎 但自明代以来关于她的传说 野史 伪史颇多 项王自立为西楚霸王 郭子仪围困卫州（今河南汲县） 臣诚薄劣 且袁绍兵多 粮足 强藩畏服 ?西有菑上之虞 以臣所见 寇奉天 武功 以亡其身；祠墓遗址编辑 肯为君

平均变化率
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 4 3 V (r ) r . 3 3 3V 随着 . 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r ( V ) 4 气球体积
探 究:
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，
需要用瞬时速度描述运动状态。
问题3：
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 3月18日 4月18日 4月20日 时间 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化，用曲线图表示为：
T (℃ )
30 20 10 A (1, 3.5)
2 0
C (34, 33.4) （注： 3月18日 为第一天） B (32, 18.6)
2
10
20
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34
t(d)
T (℃ ) 30 20
C (34, 33.4)
B (32, 18.6)
逐渐变大, r (1) r (0) 0.62(dm ), 它的平均 r ( 1 ) r ( 0 ) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L ), 膨胀率逐 1 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 渐变小
r ( 2) r (1) 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L ), 2 1

• •
（2）当 ，x0
我们发现，当
1 时，x求函1数,的1平, 1均变化率． 一定时， 越3大，2函数的平均变化率也越大．
x0
x
• 【例】求函数 在y 到 1 • 【解】当自变量从 变到x
之间x0的平均x0变化率x
时，函数的平均变化率为
x0 x0 x
(x0 0).
1 1
• 【探索与思f 考(x】0 x) f (x0 ) x0 x x0
x
x
• 【例】求函数 在y 到x2 之间x0的平均x0变化率x．
• 【解】当自变量从 变到 时，函数的平均变化率为
x0 x0 x
•
f (x0
【探索与研究】
x) x
f
(x0 )
( x0
x)2 x
x02
2 x0
x.
• （1）当 ， 时，求函数的平均变化率；
1
x 3
x0 1, 2, 3
• 我们发现，当 一定x时， 越大，函x数0 的平均变化率越大．
x x x0，y y y0 f (x) f (x0 ).
（六）函数平均变化率的辨析
• （5）函数 在y f到(x) 之间x的0 x0 x)
x
2x
• （6）函数的平均变化率与直线的斜率有什么关系？
• 函数的平均变化率就是曲线的割线的斜率，这 也是函数平均变化率的几何意义.
1
.
• （1）你能说出该函数的x 平均变化率与它的图象x之间的关系吗(？x0 x)x0
• 在左半支，固定 ，平x均0 变化率随着 的增大而减x小；
固定 ，平均变化率随 x
着 的增大而减小．
x0
• 在右半支，固定 ，平均变化率随着 的增大而增大；

3.1.1平均变化率
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治 了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道 上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但 经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度 达到8.52m/s。
平均速度的数学意义是什么 ?
现有深圳市2007年3月和4月某天日最高气温记 载
普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修)1-1、2-2导数及其应用江苏教育出版社
T (℃) 30
20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
联想 直线
C பைடு நூலகம்34, 33.4)
K=7.4
B (32, 18.6)
K=0.5
20
30
34 t(d)
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭 程
度是平均变化率“视觉化”．
例1、在经营某商品中，甲用5年时 间挣到10万元，乙用5个月时间挣 到2万元，如何比较和评价甲、乙 两人的经营成果？
解 :甲: 10 1 ,乙: 2 , 1 2 125 6 5 6 5
乙的经营效果较好.
例2、已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f (x)及 g(x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论? 一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
1、 已知函数f (x) 3x 1 ，分 别计算 f (x) 在下列区间上的平
均变化率：
（1）[-1，2]；
（2）[-1，1]；