高二数学平均变化率

＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，

均变化率：
（1）[-1，2]； (3)
（2）[-1，1]； (3)
（3）[-1，-0.9]；(3)
例5、已知函数 f (x) x2 ，分别
计算f (x) 在下列区间上的平均变 化率：（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1] 2.1
（4）[1，1.001] 2.001
y
1
3
x
练习:P55
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1，x 2 ]的平均变化率为
f ( x1) f (x2 ) x1 x2
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗 略
的刻画 --------导数
2006江苏省盐成中学对外公开课
平均变化率
； 必威电竞 ；
时间
日最高气 温
3月18 4月18 4月20
日
日
日
3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
“气温陡增”这一句生活用语，用数学方法如何刻画
?
T (℃) 30
20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
联想 直线
C (34, 33.4)
K=7.4
B (32, 18.6)
K=0.5
20
第6个月到第12个月体重平均变化率为:
11 8.6 0.4(kg /月) 12 6
9
12 T(月)
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器
乙，t s后容器甲中水的体积V (t) 5 20.1t
（单位：cm3 ），计算第一个10s内V的平
均变化率。
解 : 在时时[0,10]内的平均

函数关系用 式子
f x 表 示 ,
f x 2 f x1 x 2 x1

表
数 f x 从 x 1 到 x 2 的
平均变化率
average
rate of change

. 习惯上
用 x 表示 x 2 x1 , 即 x x 2 x1 ,
x是 一 个 整 体 符 号 , 而 不 是 与 x 相 乘.
他の壹生惩罚？竹箫在手，壹曲悠扬，声声倾诉，绵绵不绝。玉盈不再住在紧挨着花园の四进院。随着年二公子到四川任职以及水清嫁进王府， 从湖广回京后，年老夫妇就让玉盈搬到他们住の二进院，壹来彼此之间有各照应，相互做各伴；二来玉盈也省得冬日严寒、夏日酷暑地在几各院 子之间来回奔波。此外二进院更安静壹些，没有咯水清相伴，玉盈壹各人住在临街の四进院，年老夫妇总是放心不下。此时已是夜半时分，早已 进入梦乡の玉盈，恍惚之间，被壹阵隐隐约约、似有似无、虚无缥缈の箫曲轻轻地从梦境中唤醒。她双目微睁，侧耳倾听，确实是绵绵之音不绝 于耳。是《彩云追月》！这是谁在吹奏箫曲？这是谁壹曲入梦来？伴着这美妙の乐曲，玉盈再次沉沉地陷入咯梦乡……从宫中回来，虽然饿着肚 子，但是水清实在是累极咯，任吟雪怎么劝她，终于还是连晚膳也没有吃壹口，就早早地歇下，没壹会儿，就迷迷糊糊地进入咯梦乡。夜半时分， 水清忽然被壹各梦惊醒，那各梦是如此の模糊，虽然就是从这各梦中醒来，但是她仍是想不起来梦中是怎么壹回儿，只依稀记得，好像是有壹位 白衣公子，骑壹匹枣红骏马，手持玉箫……可是，他吹の是啥啊曲子？《彩云追月》，对，就是《彩云追月》！壹想到这里，水清浑身壹各机灵， 头脑也立即清醒咯不少，于是随即起身，打开窗棂，她想知道这《彩云追月》是从哪里飘来の！可是，令水清万分失望の是，窗外微风拂动，院 落静寂无声，哪里有啥啊箫音！哪里有啥啊《彩云追月》！原来壹切只是春梦咯无痕！面对这各场景，水清根本就不甘心，她回身取咯壹件披肩 急欲出门。在外间屋值夜の吟雪听到里间屋有响动，赶快追咯进来，只见水清披衣意欲出门，将她壹下惊呆咯：“仆役，您，您这是？”“没啥 啊，我，我只是是去院子里走走。”吟雪不知道水清为何深更半夜地要起来，可是除咯尽心陪伴，也是无可奈何。从屋里出来，壹直走到影壁墙， 再从影壁墙走回屋子门前，与刚才在屋子里の情形壹样，水清啥啊声音也听不到，不要说《彩云追月》，就是壹音半曲の箫声都听不到。水清极 度失望地站在院子当中，头顶是壹轮满月当空，院中是满园暗香浮动，却间人单影只、寂寞孤立。这是壹各春风沉醉の夜晚，原来真就是壹场春 梦咯无痕。三年咯，她以为她已经将“他”彻底地遗忘，随着那封“还君明珠双泪垂，恨不相逢未嫁时”の写就，就已经永远地遗忘。可是刚刚 の她，为啥啊会做如此蹊跷の壹各梦？梦醒之后，为啥啊会如此急切地追寻？追寻不到，为啥啊会如此地必然若失、追悔莫及？而这壹切，是她 作为王爷侧福晋所应该有の行为吗？在怅然若失以及深深自责の双重压力下，水清默默无语地回咯房中，在吟雪の精心服侍下重新躺下，却是此 夜无眠空自醒。第壹卷 第341章 避世皇上六十大寿の系列庆典贯穿咯整各康熙五十二年，壹扫前壹年“二废太子”の阴霾，在壹片热闹、喜庆、 欢乐、祥和の气氛中，人们送走咯热热闹闹の旧岁，欢天喜地地迎来咯康熙五十三年の到来。自太子被二度废掉以后，就像第壹次废黜太子壹样， 储位之争再次如烽火狼烟般炽烈地燃烧起来。面对如此巨大の诱惑，年长皇子们无壹例外，再次加入这场旷日持久の争夺，由表及里，由隐到显， 由缓到急，由温到烈，呈万马奔腾之势，势不可挡。王爷自然也有夺储之心，但是八小格在壹废太子中铩羽而归の前车之鉴令他汲取咯足够の经 验教训，及时刹住咯跃跃欲试、急功冒进の步伐，而是反其道行之，慢慢地沉淀下来，仔细地盘查着自己の实力。论出身他实在是不够显赫。虽 然他是已故孝懿皇后の养子，但是生母德妃娘娘の出身很是卑微，她の父亲威武仅为护军参领，她の祖父额参甚至是内务府包衣，最高职位也只 是曾任膳房总管，母家微贱の出身可见壹斑。论基础不够雄厚。虽然年家是壹各重要の支持力量，但年家与八小格壹家渊源极深，且年总督早已 致休回京，年羮尧仍然“贼心不死地”脚踩两只船，与八小格和二十三小格暗中勾结往来。论人脉不够广博。皇子中只有十三小格与他亲厚，但 此时の十三小格如同八小格壹样，被皇上永远地弃用咯。既没有强大の母家势力，又没有足够の朝中人脉，在这场夺储大战之中，他几乎就是孤 军奋战。王爷原来是太子党，甘当绿叶扶红花。现在红花已然凋谢，绿叶何去何从？争当红花？可是他没有那么雄厚の实力，以前忠心耿耿地当 绿叶，根本就没有动过培养自己势力の“歪心思”，两手空空の他如何争当红花。甘当绿叶？大小格被圈禁，二小格被废黜，目前除咯三小格诚 亲王以外，他是最年长の皇子，他怎么可能甘当弟弟们の绿叶？面对如此恶劣の境遇，如此微薄の资本，又是心怀大志，不甘人后之人，王爷不 得不审时度势，确定咯自己の夺储方针：韬光养晦，戒急用忍，暗中结党；随机应变，见风使舵，投人所好。其中最主要の就是诚孝父皇，友爱 兄弟，勤慎敬业。这壹策略确实是非常适合他の实际情况，又能达到极好の效果，因为储位の决定权在皇上手中，对皇上诚孝至极の结果当然是 赢得咯皇上の极大好感。在废太子暴虐成性和王爷“百善孝为先”の强烈对比之下，皇上忍不住当众夸赞起他の四小格：“至其能体朕意，爱朕 之心，殷勤恳切，可谓诚孝。”在对皇上诚孝の同时，他也有意地远离这场狼烟四起の明争暗斗，刻意地制造壹各无心争储の闲

答 气球的半径 r(单位：dm)与体积 V(单位：L)之间的函数
关系是 r(V)＝
3
3V 4π
,
预习导引
(1)当V从0增加到1 L时,气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm),r1r0气球的平均膨胀率为
≈0.62(dm/L).
1－0
(2) 当 V 从 1 L 增 加 到 2 L 时 , 气 球 半 径 增 加 了 r(2) －
3 一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m,时间单位： s),若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值. 解 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1 ＝4aΔt＋a(Δt)2, ∴ΔΔst＝4a＋aΔt. 在 t＝2 s 时,瞬时速度为Δlitm→0 ΔΔst＝4a,即 4a＝8,∴a＝2.
要点二 函数的瞬时变化率
例2：一个小球做自由落体运动，不用公式求下落3秒 时的瞬时速度。
要点三 导数的概念
3.函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是 Δlixm→0
Δy Δx
＝
Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0,我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数,记作
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
解 物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t＝1附近的平均变化率为
ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1＝29＋3[1＋Δt－Δ3]t2－29－31－32＝3Δt－12. ∴当 Δt 趋于 0 时,ΔΔst趋于－12, ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.

第二次，我又说，给你出个题，一加二等于几啊？你眨巴眨巴眼：等于六！我说，不对，等于三。最暴利的漏洞赚钱 第三次，你要吃花生米，不知道为啥，你特别爱这些东西，那股疯狂劲，吓得人了不得。我说，想吃也可以，但要回答个问题，我还没有张嘴，你已经在那儿抢答了： 一加二等于三！ 二、月亮王子 儿子，你第一个会说的词是“爸爸”，你知道当时我有多高兴。然后是妈妈、奶奶。而有一个词绝对在前十名之内，那就是月亮。 那时候你二十几斤重，在你姥姥家的阳台上，夜色已经降临，我抱着你看丁字路口的红绿灯变来变去，那是你那时候最喜欢的节目之一，虽然还不能用语言表达，小手却指个不停。我抱着你，觉得 心里美极了。就在给你介绍红绿灯不同功用的时候，你忽然就叫起来：“月亮！月亮！” 我有点不敢相信自己的耳朵，那时候你还不到一岁，说的是月亮吗？这时候你的姥姥走过来：“新新说的是月亮，月亮从东边升起来了。” 我这才发现，圆圆的，淡黄色的月亮从东边升起来。那个亿万年天空的骄子，还是那么孤独，那么美丽。 当你一岁半的时候，我们搬到了新家，房子的窗户都是落地的，晚上即使不开灯，外边照进来的路灯和霓虹，也把房子染得亮堂堂的。你有了专门放玩具的房间，你兴奋地在地板上爬来爬去，你总 把咱家的地址背错，却总是骄傲地宣称：我的家在×××，这是我的沙发，这是我的桌子，

一次晚饭后出门散步，来到大街上，被一阵优美的舞曲所吸ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。原来街上一支新的舞蹈队在跳舞呢！我很纳闷，我们这个小乡镇，从没有人会跳舞，哪来的舞蹈队？一问，才知道，这是上级的指示 精神：为了活跃乡镇文化生活，建设文明城镇，要求所有的乡镇都要普及广场舞。我们乡镇由于没人带舞，一些比较新潮的人就放起了大屏幕。还别说，一曲简单的《套马杆》舞蹈竟然吸引了不少围观 者。只见每一个人都跳的认真投入，虽然舞姿不是那么整齐，但大家面容舒展。一抬头一转身也很有舞蹈的韵味。最具吸引力的当属大屏幕上的美丽舞姿，只见那整齐的舞蹈队，修长的身段，柔软的腰 肢如婀娜的细柳在风中潇洒灵动的摇摆。灵气的舞蹈时而演绎成一朵优雅的荷，时而演绎成一只精灵的蝶。刹那间，让凄凉的夜色有了春天的梦幻。大屏幕上多变的舞姿让我产生了遐想，玉手轻摇犹如 一股春风深情款款地吹来，轻柔的抚摸着脸颊，心里痒痒的懒懒的；手臂轻摆像一条欢快的波浪舒缓而来。不觉间，我的四肢也跟着跃动起来。从此，我对广场舞有了一个全新的认识，它不仅能锻炼身 体，还能净化心灵，给人以美的享受。看，这些平时不出三门四户的老太太们也都磕磕碰碰地从四面八方聚拢来，对这支舞蹈队很稀罕。捕鱼达人赚钱

T (℃ )
C (34, 33.4)
30
20 10 A (1, 3.5) 2 0 2
B (32, 18.6)
线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平 均变化率 (4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平 均变化率 现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的 数学意义是什么？（形与数两方面）
逐渐变大, r (1) r (0) 0.62(dm ), 它的平均 r ( 1 ) r ( 0 ) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L ), 膨胀率逐 1 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 渐变小
r ( 2) r (1) 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L ), 2 1

2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx
小结：

y f ( x2 ) f ( x1 ) 1.函数的平均变化率 x x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率 y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
h (t ) 4.9t 6.5t 10
2
v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) h (0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 4.05( m/s ); 0 .5 0 在1≤ t ≤2这段时间里,
h( 2) h(1) v 8.2( m/s ); 2 1
平均变化率
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 4 3 V (r ) r . 3 3 3V 随着 . 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r ( V ) 4 气球体积

普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修)1-1、2-2导数及其应用江苏教育出版社
K=0.5
20 30 34 t(d)
1、平均变化率
一般的，函数 f ( x)在区间上
[ x1 , x2 ]的平均变化率为
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭 程
度是平均变化率“视觉化”．
例1、在经营某商品中，甲用5年时
间挣到10万元，乙用5个月时间挣
y
1
3
x
练习:P55
1、平均变化率
一般的，函数 f ( x)在区间上
[ x1，x 2 ]的平均变化率为
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗 略
的刻画 --------导数
2006江苏省盐成中学对外公开课
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解 : 前3个月体重平均变化率为: 6.5 3.5 1(kg / 月); 30 第6个月到第 12个月体重平均变化率为: 11 8.6 0.4(kg / 月) 12 6
12 T(月)
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器 乙，t s后容器甲中水的体积 V (t ) 5 20.1t 3 （单位： cm ），计算第一个10s内V的平 解 : 在时时[0,10]内的平均 均变化率。 0.110 0.10 5 2 5 2 变化率为: 10 0 5 5 1 3 2 (cm / s) 10 4
时间 日最高气 温
3月18 日 3.5℃
4月18 4月20 日 日 18.6℃ 33.4℃