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数据结构第20次课（续表）思考.题作业题试对下图所示的AOE网络，解答下列问题。
(1) 这个工程最早可能在什么时间结束。
(2) 求每个事件的最早开始时间Ve[i]和最迟开始时间Vl[I]。
(3) 求每个活动的最早开始时间e( )和最迟开始时间l( )。
(4) 确定哪些活动是关键活动。
画出由所有关键活动构成的图，指出哪些活动加速可使整个工程提前完成。
*参考资料《数据结构辅导与提高》，徐孝凯编著，清华大学出版社《数据结构习题解答与考试指导》，梁作娟等编著，清华大学出版社授课内容关键路径对整个工程和系统，人们关心的是两个方面的问题：一）工程能否顺利进行（对AOV网进行拓扑排序）二）估算整个工程的完成所必须的最短时间（对AOE网求关键路径）1. AOE-网}与AOV-网相对应的是AOE-网(Activity On Edge)，即边表示活动的网。
AOE-网是一个带权的有向无环图，其中，顶点表示事件(Event)，弧表示活动，权表示活动持续的时间。
通常，AOE-网可用来估算工程的完成时间。
例：下图是一个假想的有11项活动的AOE-网。
其中有9个事件v1，v2，…，v9，每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。
如v1表示整个工程开始，v9表示整个工程结束，v5表示a4和a5已经完成，a7和a8可以开始。
与每个活动相联系的数是执行该活动所需的时间。
比如，活动a1需要6天，a2需要4天等。
和AOV-网不同，对AOE-网有待研究的问题是：(1)完成整项工程至少需要多少时间(2)哪些活动是影响工程进度的关键2. 关键路径由于在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度(这里所说的路径长度是指路径上各活动持续时间之和，不是路径上弧的数目)。
路径长度最长的路径叫做关备注：回顾键路径(Critical Path)。
假设开始点是v1，从v1到v i的最长路径长度叫做事件v i的最早发生时间。
湖北大学本科毕业论文（设计）题目最短路径算法及其应用姓名学号专业年级指导教师职称2011年 4月 20 日目录绪论 (1)1 图的基本概念 (1)1.1 图的相关定义 (1)1.2 图的存储结构 (2)1.2.1 邻接矩阵的表示 (2)1.2.2 邻接矩阵的相关结论 (3)2 最短路径问题 (3)2.1 最短路径 (4)2.2 最短路径算法 (4)2.2.1Dijkstra算法 (4)2.2.2Floyd算法 (5)3 应用举例 (5)3.1 Dijkstra算法在公交网络中的应用 (5)3.1.1 实际问题描述 (5)3.1.2 数学模型建立 (5)3.1.3 实际问题抽象化 (6)3.1.4 算法应用 (6)3.2 Floyd算法在物流中心选址的应用 (7)3.2.1 问题描述与数学建模 (7)3.2.2 实际问题抽象化 (7)3.2.3 算法应用 (8)参考文献 (10)附录 (11)最短路径算法及其应用摘要最短路径算法的研究是计算机科学研究的热门话题，它不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实用价值。
最短路径问题有广泛的应用，比如在交通运输系统、应急救助系统、电子导航系统等研究领域。
最短路径问题又可以引申为最快路径问题、最低费用问题等，但它们的核心算法都是最短路径算法。
经典的最短路径算法——Dijkstra和Floyd算法是目前最短路径问题采用的理论基础。
本文主要对Dijkstra和Floyd算法进行阐述和分析，然后运用这两个算法解决两个简单的实际问题。
【关键字】最短路径 Dijkstra算法 Floyd算法图论Shortest path algorithms and their applicationsAbstractThe research about the shortest path is a hot issue in computer science. It has both important theoretical significance and important utility value. The shortest path problem has broad application area, such as transport system, rescue system, electronic navigation system and so on. The shortest path problem can be extended to the problem of the fastest path problem and the minimum cost problem. But their core algorithms are all both the shortest path algorithms. The classical algorithms for the shortest path——Dijkstra and Floyd are the theoretical basis for solving the problems of the shortest path. The article mainly through the demonstration and analysis of the Dijkstra and Floyd algorithms, then use the algorithms to solve the two simple practical problems.【keywords】shortest path Dijkstra algorithm Floyd algorithm graph绪论随着知识经济的到来，信息将成为人类社会财富的源泉，网络技术的飞速发展与广泛应用带动了全社会对信息技术的需求，最短路径问题作为许多领域中选择最优问题的基础，在电子导航，交通旅游，城市规划以及电力，通讯等各种管网，管线的布局设计中占有重要的地位。
数据结构课程辅导---图的最短路径、拓扑排序和关键路径一、最短路径由图的概念可知，在一个图中，若从一顶点到另一顶点存在着一条路径(这里只讨论无回路的简单路径)，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它也等于该路径上的顶点数减1。
由于从一顶点到另一顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，我们把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。
上面所述的图的最短路径问题只是对无权图而言的，若图是带权图，则把从一个顶点i到图中其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和定义为该路径的带权路径长度，从v i到v j可能不止一条路径，我们把带权路径长度最短（即其值最小）的那条路径也称作最短路径，其权值也称作最短路径长度或最短距离。
例如，在图3-1中，从v0到v4共有三条路径：{0,4},{0,1,3,4}和{0,1,2,4}，其带权路径长度分别为30,23和38，可知最短路径为{0,1,3,4}，最短距离为23。
图3-1 带权图和对应的邻接矩阵实际上，这两类最短路径问题可合并为一类，这只要把无权图上的每条边标上数值为1的权就归属于有权图了，所以在以后的讨论中，若不特别指明，均认为是求带权图的最短路径问题。
求图的最短路径问题用途很广。
例如，若用一个图表示城市之间的运输网，图的顶点代表城市，图上的边表示两端点对应城市之间存在着运输线，边上的权表示该运输线上的运输时间或单位重量的运费，考虑到两城市间的海拔高度不同，流水方向不同等因素，将造成来回运输时间或运费的不同，所以这种图通常是一个有向图。
如何能够使从一城市到另一城市的运输时间最短或者运费最省呢？这就是一个求两城市间的最短路径问题。
求图的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一顶点到其余各顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。
下面分别进行讨论。
1. 从一顶点到其余各顶点的最短路径对于一个具有n个顶点和e条边的图G，从某一顶点v i(称此为源点)到其余任一顶点v j(称此为终点)的最短路径，可能是它们之间的边(i,j)或<i,j>，也可能是经过k个（1≤k≤n-2，最多经过除源点和终点之外的所有顶点）中间顶点和k+1条边所形成的路径。
1、求下图从事件0出发的关键路径，要求详细过程。
1、事件Vj 可能的最早发生时间ve(j) Ve(0)=0;Ve(1)=ve(0)+weight(<v0,v1>)=0+5=5; Ve(2)=ve(0)+weight(<v0,v2>)=0+9=9; Ve(3)=ve(0)+weight(<v0,v3>)=0+14=14; Ve(4)=ve(1)+weight(<v1,v4>)=5+4=9;Ve(5)=max{ve(2)+weight(<v2,v5>),ve(4)+weight(<v4,v5>)}=max{9+10,9+6}=19; Ve(6)=ve(3)+weight(<v3,v6>)=14+3=17;Ve(7)=max{ve(3)+weight(<v3,v7>),ve(6)+weight(<v6,v7>)}=max{14+7,17+5}=22; Ve(8)=max{ve(6)+weight(<v6,v8>),ve(7)+weight(<v7,v8>)}=max{17+5,22+8}=30; Ve(9)=max{ve(4)+weight(<v4,v9>),ve(5)+weight(<v5,v9>),ve(8)+weight(<v8,v9>)}= Max{9+12,19+10,30+18}=48;56 7855 3141010 9124a 12a 6a 8 a 11 a 5a 2a 13 a 10 a 4a 1 a 9 a 7 a 318a 08 763 142592、事件vi可能的最晚发生时间vl(i)Vl(9)=48;Vl(8)=vl(9)-weight(<v8,v9>)=48-18=30;Vl(7)=vl(8)-weight(<v7,v8>)=30-8=22;Vl(6)=min{ve(7)-weight(<v7,v6>),ve(8)-weight(<v8,v6>)}=min{22-5,30-5}=min{17,25 }=17;Vl(5)=vl(9)-weight(<v5,v9>)=48-10=38;Vl(4)=min{vl(5)-weight(<v4,v5>),vl(9)-weight(<v4,v9>)}=min{38-6,48-12}=min{32,3 6}=32;Vl(3)=min{vl(6)-weight(<v3,v6>),vl(7)-weight(<v3,v7>)}=min{17-3,22-7}=min{14,15 }=14Vl(2)=vl(5)-weight(<v2,v5>)=38-10=28;Vl(1)=vl(4)-weight(<v1,v4>)=32-4=28;Vl(0)=min{vl(1)-weight(<v0,v1>),vl(2)-weight(<v0,v2>),vl(3)-weight(<v0,v3>)}= Min{28-5,28-9,14-14}=min{23,19,0}=0;3、活动a(k)=<vi,vj>的最早开始时间E(k)E(0)=ve(0)=0E(1)=ve(0)=0E(2)=ve(0)=0E(3)=ve(1)=5E(4)=ve(2)=9E(5)=ve(3)=14E(6)=ve(3)=14E(7)=ve(4)=9E(8)=ve(6)=17E(9)=ve(4)=9E(10)=ve(5)=19E(11)=ve(6)=17E(12)=ve(7)=22E(13)=ve(8)=304、活动a(k)的最晚开始时间L(k)L(0)=vl(1)-weight(<v0,v1>)==28-5=23L(1)=vl(2)-weight(<v0,v2>)==28-9=21L(2)=vl(3)-weight(<v0,v3>)==14-14=0L(3)=vl(4)-weight(<v1,v4>)==32-4=28L(4)=vl(5)-weight(<v2,v5>)==38-10=28L(5)=vl(6)-weight(<v3,v6>)==17-3=14L(6)=vl(7)-weight(<v3,v7>)==22-7=15L(7)=vl(5)-weight(<v4,v5>)==38-6=32L(8)=vl(7)-weight(<v6,v7>)==22-5=17L(9)=vl(9)-weight(<v4,v9>)==48-12=36 L(10)=vl9)-weight(<v5,v9>)==48-10=38 L(11)=vl(8)-weight(<v6,v8>)==30-5=34 L(12)=vl(8)-weight(<v7,v8>)==30-8=22 L(13)=vl(9)-weight(<v8,v9>)==48-18=30L(0)-E(0)=23-0=23L(1)-E(1)=21-0=21L(2)-E(2)=0-0=0L(3)-E(3)=28-5=23L(4)-E(4)=28-9=19L(5)-E(5)=14-14=0L(6)-E(6)=15-14=1L(7)-E(7)=32-9=23L(8)-E(8)=17-17=0L(9)-E(9)=36-9=27L(10)-E(10)=38-19=19L(11)-E(11)=34-17=17L(12)-E(12)=22-22=0L(13)-E(13)=30-30=05、题中图的关键路径如下图所示：2、对于下图所示的有向图，试利用Dijkstra算法求源点1到其他各顶点的最367 8 9短路径，可参考教材P207图7.29中的表格形式给出计算过程。
数据结构的应用的最小生成树算法与最短路径算法数据结构的应用：最小生成树算法与最短路径算法在计算机科学中，数据结构是指组织和存储数据的方式。
数据结构广泛应用于算法设计和问题解决中，其中最小生成树算法和最短路径算法是两个关键的应用之一。
本文将就这两个算法进行详细介绍与分析。
一、最小生成树算法最小生成树算法用于解决无向图中选择一棵具有最小权重的生成树的问题。
生成树是指一个无向图的子图，它包含图中的所有顶点，但是只包含足以构成一棵树的n-1条边。
最小生成树算法的目标是找到权重之和最小的生成树。
1. Kruskal算法Kruskal算法是一种常用的最小生成树算法。
它的基本思想是按照边的权重递增顺序选择边，并且如果加入该边会形成回路，则不加入该边。
算法步骤：（1）将所有边按照权重从小到大进行排序。
（2）初始化一个空集合，用于存放生成树的边。
（3）遍历排序后的边，如果加入该边不会形成回路，则将该边加入生成树集合。
（4）重复步骤3直到生成树包含n-1条边。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
该算法常用于解决网络设计、电路布线等问题。
2. Prim算法Prim算法也是一种常用的最小生成树算法。
与Kruskal算法不同的是，Prim算法以顶点为基础，每次选择与当前生成树距离最近的顶点加入生成树。
算法步骤：（1）选择任意一个顶点作为起始点，并将该顶点加入生成树。
（2）对于生成树之外的顶点，计算其与生成树上顶点的边的权重，并找到其中权重最小的边对应的顶点。
（3）将权重最小的边添加到生成树，并将对应的顶点加入生成树。
（4）重复步骤2和步骤3直到生成树包含n-1条边。
Prim算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点的数量。
该算法常用于解决通信网络、电力网络等问题。
二、最短路径算法最短路径算法用于解决在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
最短路径可以根据边的权重来定义，也可以根据边的长度、时间等其他因素来定义。
最短路径算法及应用乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。
如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。
那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。
在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。
在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。
最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。
一、单源最短路径问题所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。
首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。
（一）Dijkstra算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。
例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。
Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。
执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。
在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。
例1中，s=1。
因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。
数据结构课程辅导---图的最短路径、拓扑排序和关键路径一、最短路径由图的概念可知，在一个图中，若从一顶点到另一顶点存在着一条路径(这里只讨论无回路的简单路径)，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它也等于该路径上的顶点数减1。
由于从一顶点到另一顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，我们把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。
上面所述的图的最短路径问题只是对无权图而言的，若图是带权图，则把从一个顶点i到图中其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和定义为该路径的带权路径长度，从v i到v j可能不止一条路径，我们把带权路径长度最短（即其值最小）的那条路径也称作最短路径，其权值也称作最短路径长度或最短距离。
例如，在图3-1中，从v0到v4共有三条路径：{0,4},{0,1,3,4}和{0,1,2,4}，其带权路径长度分别为30,23和38，可知最短路径为{0,1,3,4}，最短距离为23。
图3-1 带权图和对应的邻接矩阵实际上，这两类最短路径问题可合并为一类，这只要把无权图上的每条边标上数值为1的权就归属于有权图了，所以在以后的讨论中，若不特别指明，均认为是求带权图的最短路径问题。
求图的最短路径问题用途很广。
例如，若用一个图表示城市之间的运输网，图的顶点代表城市，图上的边表示两端点对应城市之间存在着运输线，边上的权表示该运输线上的运输时间或单位重量的运费，考虑到两城市间的海拔高度不同，流水方向不同等因素，将造成来回运输时间或运费的不同，所以这种图通常是一个有向图。
如何能够使从一城市到另一城市的运输时间最短或者运费最省呢？这就是一个求两城市间的最短路径问题。
求图的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一顶点到其余各顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。
下面分别进行讨论。
1. 从一顶点到其余各顶点的最短路径对于一个具有n个顶点和e条边的图G，从某一顶点v i(称此为源点)到其余任一顶点v j(称此为终点)的最短路径，可能是它们之间的边(i,j)或<i,j>，也可能是经过k个（1≤k≤n-2，最多经过除源点和终点之外的所有顶点）中间顶点和k+1条边所形成的路径。
