大学理论力学全套课件7

A
B
x2
x1
1 + y ′ 2 dx
由此可见，s 是一个泛函，求最短程线问题是求泛函的极值 问题，也就是变分问题。
2、最速落径问题
求重力场中的自由质点，从 固定点A由静止出发到达固定点 B的所有可能运动中时间最短的 和最短程线问题类似， 运动。
o
A
x s
y
B
Q ds = (dx) 2 + (dy ) 2 = 1 + y ′ 2 dx ds v = 2 gy dt = v 石河子大学物理系殷保祥
上述的变分意义如何用数学的形式表示出来呢？
设 y = y (x )是满足边界条件的任一函数，
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若有任意无穷小量 ε >0，
φ = φ (x ) 是和 y = y (x ) 同类的函数（满足同样的边界条件），
εφ (x) 表示的是和 y = y (x) 同类的无穷小函数，则 y = y (x) 的
= 0 为前提的。
下面看它的几何意义，如图。
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y
y + δy
y = y ( x) + εϕ ( x)
y = y(x)
dy
y
x
§6.1.3 变分的运算特征
x + dx
x
变分的运算法则和微分的运算法则基本上是相同的，另外 还有两个运算特征：
dy ( x) d LL (92) （1） δy ( x ) = δ dt dt
t2
s =
∫
t1
Ldt LL (94)
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其中L是力学体系的Lagrange函数。
Hamilton提出的作用量，它的物理意义何在呢?
& s = ∫t L ( qα , qα , t ) dt
1
t2
从作用量的表示式知，s是qα的泛函。在Lagrange函数中，广义坐 标和时间是独立变量，而广义速度不是独立变量，也就是说力学 体系运动是在位形空间中描述的。它的物理含意是：力学体系满 足约束条件和边界条件的所有可能运动的L沿位轨线的定积分。 如果将广义速度也作为独立变量，它的意义和上面类似，只不过 这时对力学体系运动是在状态空间中描述的，它所给的绘景是L 沿一切可能运动的状态曲线上的定积分。
∫
x2
x1
∂F ∂F δy ϕ ′( x)dx = ∂y′ ∂y′ ε
x2
x1
−∫
x2
x1
d ∂F [ ( )]ϕ ( x)dx dx 石河子大学物理系殷保祥 ∂y′
ε
在固定边界的两个端点上都有 δ y = 0 ，所以
∫
x2
x1
x2 d ∂F ∂F ϕ ′( x)dx = − ∫ [ ( )]ϕ ( x)dx x1 dx ∂y ′ ∂y′
1、最短程线问题：
求质点由固定点A到B的所有运动中求路程最短的运动问题。 问题中的A、B点是运动的边界，是运动满足的边界条件。 对任意可能的运动，在任意位置（x，y）的dt内，瞬时路径 ds， 石河子大学物理系殷保祥
′ 2 dx ds = ( dx ) + ( dy ) = 1 + y
2 2
s = s[ y ( x)] = ∫ ds = ∫
J [ y ( x)] = ∫ F ( x, y′, y )dx
x1
x2
的极值。
由于是固定边界，所以
[δy ]x = x1 = 0, [δy ]x = x2 = 0
解决这个问题仍要从J=J[y(x)]的改变率入手。
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设y=y(x)有一个无穷小的变更，则由于变更招致 的 F = F ( x, y′, y ) 的变更为
ε 是无穷小量，所以含 ε 2以上的项都可略去。得
∂F ∂F δF = ε [ ϕ ( x ) + ϕ ′( x)] ∂y ∂y′
因而泛函J的变分为
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δJ = δ ∫ F ( x, y′, y )dx = ∫ δF ( x, y′, y )dx
=ε∫
x2 x1
x2
x2
∂F ∂F [ ϕ ( x) + ϕ ′( x)]dx ∂y ∂y′
由于x是独立变量，上式成立时被积函数为零，
d ∂F ∂F )− =0 即有： ( dx ∂y′ ∂y
这就是欧拉方程。由于 F = F(x, y, y ′)，并且注意 y=y(x), y ′ = y ′(x)，所以欧拉方程还可以写为：
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∂ 2 F dy ∂ 2 F d 2 y ∂F ∂2F + + 2 =0 − 2 ∂y′∂x ∂y′∂y dx ∂y′ dx ∂y
当F不显含x时，可得欧拉方程的第一积分。
d ∂F ∂F y′ − ( ) y′ = 0 用 y′乘欧拉方程各项，得 ∂y dx ∂y′ d ∂F d ∂F ∂F ( y′) = ( ) y′ + y′′ 由于 dx ∂y dx ∂y′ ∂y′ d ∂F ∂F ∂F ∴ ( y′) − ( y′ + y′′) = 0 dx ∂y′ ∂y ∂y′
C是积分常数，是由边界条件决定的。 欧拉方程的意义是：在固定边界条件下，泛函J存在 极值的必要充分条件是F满足欧拉方程。或说欧拉方 程是在固定边界条件下，泛函J存在极值的必要充分 条件。
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上面讨论的是一维形式的变分问题，不难将它推广 到变数多元函数的情形。 设 J = J [ y1 ( x), y2 ( x),L yα ( x),L y s ( x)] 则其欧拉方程为
& 如果L是用正则变量表示的，则 s = ∫t1 [ − H + ∑ pα qα ]dt
α =1
t2
S
这时的运动在相空间表述，表示的是L沿可能运动的相轨线的积分。
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Hamilton指出：完整、保守的力学体系在相同时间内，由某 一初位形到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的作 用量的变分为零（真实运动的作用量到达极值）。即 用量的变分为零（真实运动的作用量到达极值）
∂F d ∂F ( )− = 0(α = 1,2, L, s ) ′ dx ∂yα ∂yα
和我们曾讨论的保守系Lagrange方程形式是相同的。
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§6.2 Hamilton 原理
整个分析力学可以独立于牛顿定律，从一种变分原理出发来 建立。由于它具有公理性的特点，更容易将这个原理向其它 学科领域推广。这个原理就是我们要讲的Hamilton原理。 自然界中许多物理现象都服从某些极值原理。早在光学理论 还没有建立的时候，一位叫费马(P.Fermat)的法国法官就指出， 介质中不同两点之间的光线总是走花时间最少的路线。这便 是光学中有名的费马原理。由此可以导出光学中的反射定律 和折射定律。它也是变分的极值问题。 1843年，Hamilton利用变分法提出了力学体系的作用量
x1
x1
在变分中，函数的改变是由函数的变更 ε 引起的，所 以，其变化率可以仿照微分时的变化率来求。 再用分步积分法处理一下:
∫
x2
x1
x2 d x2 d ∂F ∂F ∂F ϕ ′( x)dx = ∫ ( ϕ ( x))dx − ∫ [ ( )]ϕ ( x)dx x1 dx ∂y ′ x1 dx ∂y ′ ∂y′ δy 利用 δy = y ( x ) − y ( x ) = εϕ ( x ) → ϕ ( x ) =
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凡是用变分表示的力学原理都称为变分原理。虚功原理是变分 凡是用变分表示的力学原理都称为变分原理 原理的微分形式，Hamilton原理是变分原理的积分形式。另外
S ∂L & & H = − L + ∑ qα = − L + ∑ pα qα LL (96) & ∂qα α =1 α =1 S
2
x ∂F δJ d ∂F = ∫ [ ϕ ( x) − ( )ϕ ( x)]dx 将上式代入 x ε ∂y dx ∂y′ δJ x ∂F d ∂F = ∫x [ − ( )]dx 则 ∂y dx ∂y′ εϕ ( x)
1 2 1
利用 δy = y ( x ) − y ( x ) = εϕ ( x )
§5.6 Hamilton 原理 §6.1 变分法基本知识
§6. 1.1 泛函与变分概念
变分法是研究泛函极值问题的数学理论，是确定泛函极值问题的 普遍方法。泛函的极值问题指泛函的极大值、极小值和稳定值问 题。泛函，通俗地讲是以函数为自变量的函数。或者说它是这样 一类变量，若此变量的值是由一个或几个函数的选取所决定，此 类变量就叫泛函。变分问题是由古老的力学问题引出来的。
y = y (x ) 的定积分 J
定义为
B
y = y (x ) 的泛函。即：
J = J [ y ( x)] = ∫ F ( x, y, y ′)dx LL (90)
A
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§6.1.2 变分定义
在讨论函数微分时，函数
y = y (x )是一个确定不变的函
数，函数的改变量是由于自变量的改变引起的。在泛函中， 函数 y = y (x ) 是变化的一族。 在泛函的等时变分中，函数的自变量不变，是由于函 数自身的变更引起函数变化。由此引起的变化，就是变分 的含意。 当函数有上述微小的变更时，变更后的函数叫原来函数 的近旁曲线。记为 y = y (x ) ，这时的函数变化表示为 δ y， 叫作该函数的等时变分。
一条近旁曲线可以写为
y = y ( x ) + εφ ( x )
当函数由 y = y (x ) 变化到 y = y ( x ) + εφ ( x ) 时，y = y (x ) 的改 变量就是它的等时变分 δ y 。记为
δy = y ( x ) − y ( x ) = εφ (x) LL (91)
这就是变分的定义式。需要注意的是，它是以 δx
S ∂L & & L = − H + ∑ qα = − H + ∑ pα qα LL (97) & ∂qα α =1 α =1 S
δF = F [ x, y′ + εϕ ′( x), y + εϕ ( x)] − F ( x, y′, y )
等式右边的第一项按泰勒级数展开，即
F [ x, y′ + εϕ ′( x), y + εϕ ( x)] ∂F ∂F ′, y ) + ε ′( x) + ε 2以上项L = F ( x, y ϕ ( x) + ε ϕ ∂y ∂y′
δJ x ∂F d ∂F = ∫x [ − ( )]dx 则 ∂y dx ∂y′ δy
2 1
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δJ =0 当泛函 J = J [ y ( x)] 有极值时，必有 δy
得
∫x
x2
1
∂F d ∂F [ − ( )]dx = 0 ∂y dx ∂y′ ∂F d ∂F ∴ − ( )=0 ∂y dx ∂y′
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dF ∂F ∂F 另外 F = F ( y′, y ) → = y′′ y′ + dx ∂y ∂y′ d ∂F dF d ∂F ( = ( y′) − y′ − F ) = 0 dx ∂y′ dx dx ∂y′ ∂F y′ − F = c 从而得到欧拉方程的第一积分： ∂y′
δ （2）
∫
x2
x1
F ( x, y, y′)dx = ∫ δF ( x, y, y′)dxLL (93)
x1
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x2
和微分一样，泛函 J = J [ y ( x )] 在 δJ = 0 时有极值。
※§6.1.4
欧拉方程
一维形式的变分问题： 设A( x1)、B(x2)是固定边界，在两个边界之间寻求 一条曲线y=y(x)能使函数 F = F ( x, y′, y )的线积分具 有极值。也就是寻求简单的基本泛函
ds t = t[ y ( x)] = ∫ dt = ∫ =∫ A A v x1
B B
x2
1 + y′2 2 gy
dx
=∫
x2
Leabharlann Baidu
x1
1 + y′2 dx 2 gy
t是一个泛函，这也是求泛函的极值问题。 有了上面的认识，就可以给泛函一个定义： 已知函数 F = F ( x, y , y ′) 沿固定边界A、B 间的任意函数
δ
∫
t2
t1
L dt = 0 LL (95)
这就是Hamilton原理。它不需要证明。在提出时没有与牛顿三 定律发生关系，是独立于牛顿三定律的原理。 Hamilton原理具 有更加高度的简明性和更高度的概括性，是力学理论的最高形式。 在经典力学中它的数学表示可以和牛顿方程、Lagrange方程等价 运用，用来描述力学体系的运动。对于有n个质点的约束力学体 系，用牛顿方程求解运动有3n二阶微分方程，用Lagrange方程求 解运动有s 个二阶微分方程，用Hamilton正则方程有2s 一阶微分 方程，用Hamilton原理只有一个方程。它的应用范围也很容易扩 大到无限多自由度体系。