大学理论力学全套课件8

石河子大学物理系殷保祥
便于求解的优点，如果经过变换后形式变得复杂，即使有很多循环坐标， 方程也不一定就能求解。 正则变换不是任意坐标变换，必须满足一定要求：首先，新变量必须 必须满足一定要求 是正则变量，变换是2s个变量的变换；其次，在新的广义坐标系下， Hamilton正则方程具有不变性。 正则变换的目的是在新的正则变量中有更多的循环坐标。
§5.7 Hamilton正则变换 §5.7.1正则变换的目的
在矢量力学中，牛顿方程可以写不同坐标系中的分量式，如直角坐 标系、极坐标系、自然坐标系等。不同的坐标系对同一个力学问题 求解时的便捷程度是不同的。所以总是选取对力学问题求解最简便 的坐标系。 在分析力学中也是这样，如果所选的广义坐标中L或H中有更多的循 环坐标，则力学体系的Lagrange方程或Hamilton正则方程的求解就 容易。所以总是期望在广义坐标中有更多的循环坐标。 然而，在选取广义坐标时，事先我们并不知道其中有没有循环坐标， 有多少循环坐标。而是在选取之后才能确定。 解决这个问题的办法是进行坐标变换，将描述力学体系运动的广义 坐标从一个广义坐标系变换到另一个广义坐标系下，使得新的广义 坐标有更多的循环坐标。另外，正则方程具有形式简单，工整对称，
δ ∫t Ldt = 0 LL (113)
t2
1
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& = − ∂H ⎫ Pα ⎪ ∂qα ⎪ ⎬ (α = 1,2,3, L s ) LL (114) ∂H ⎪ & Qα = ∂pα ⎪ ⎭
& L = − H + ∑ Pα Qα
α =1
s
& δ ∫ ( − H + ∑ Pα Qα )dt = 0LL (115)
α =1
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对(117)求变分，得：
s dF & & & & δ ( ) = ∑ ( pα δqα + qα δpα − Pα δQα − QδPα ) + δ ( H − H ) LL (121) dt α =1
Qδ
s
dF d = δF , dt dt
∴ (120) = (121)
α =1
s dF1 dF2 & & =− + ∑ (qα pα + pα qα ) LL (7) 对（6）式求导，有： dt dt α =1
将（7）式代入（2）式， s s dF2 & & & & − + ∑ (qα pα + pα qα ) = ∑ ( pα qα − Pα Qα ) − ( H − H )LL (8) dt α =1 α =1
s
其中函数 F ( Pα , Qα )称为正则变换的母函数。（117）式或（118）式就 是正则变换的条件。它建立了新旧坐标间的关系，并且提示F是旧坐标 qα和新坐标Qα及时间t的函数。
§5.7.3 Hamilton正则方程是正则变换下的不变方程
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由正则变换的条件：
α =1
s
∑ ( pα dqα − Pα dQα ) + ( H − H )dt = dF LL (118)
Hamilton函数所满足的变换关系。
§5.7.4.2 当 F = F2 (Qα , pα , t ) 时的变换
这是将qα变换为pα的变换，在正则方程形式保持不变时，母函数间 的变换是Legendre变换，因而由Legendre变换得： s ∂F1 F2 (Qα , pα , t ) = − F1 (Qα , qα , t ) + ∑ qα LL (4) ∂qα α =1
Legendre变换，得 s ∂F F3 ( P , pα , t ) = − F2 (Qα , pα , t ) + ∑ Qα 2 LL (12) α Qα α =1
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此式成立的条件是：
& − ∂ H = 0, P + ∂ H → Q = ∂ H , P = − ∂ H & & & Q α α ∂Qα ∂Pα ∂Qα ∂Pα
这就是经正则变换后，用新变量表示的Hamilton正则方程， 显然方程的形式没有变化。即Hamilton正则方程是正则变换 下的不变方程。
t1
∂H & pα = − ∂qα ∂H &α = q ∂pα
t2 s t1
⎫ ⎪ ⎪ (α = 1,2,3,L s ) ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
& δ ∫ ( − H + ∑ pα qα ) dt = 0LL (112)
α =1
新变量也是正则的，设新正则变量的Hamilton函数 H ，Lagrange函 数 L ，同样有 ：
α =1
s
s
s
α =1
& & & & → ∑ (QδPα − Pα δQα ) − δ H = ∑ (qα δpα − pα δqα ) − δH
α =1
s
∂H ∂H = ∑( δpα + δqα ) − δH ∂qα α =1 ∂pα
s
α =1
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∂H ∂H Q δH 1 ∂qα
Q 要想变换是正则的，Pα 、 α 必须是正则变量。所以它必须满足一定 条件。
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在Hamilton正则变换中，旧变量 qα 、pα 是正则变量，与之对应的 Lagrange函数L和Hamilton函数H，变量满足Hamilton原理和正则方 程，即 ： t2
δ ∫ Ldt = 0
由（9）（10）式比较，得
∂ F2 ⎧ ⎪ Pα = ∂ Q α ⎪ ∂ F2 ⎪ (α = 1,2,3, L s )LL (11) ⎨ qα = ∂ pα ⎪ ∂ F2 ⎪ ⎪ H = H − ∂t ⎩ 这就是以 Qα , pα为自变量时的正则变换。
§5.7.4.3 当 F = F3 ( Pα , pα , t ) 时的变换 和第二种变换相比，它是将 Qα 替换为 pα的变换，因而由
s
s s & δP − P δQ ) − δ H = ∑ (QδP − P δQ ) − ∑ ( ∂ H δQ + ∂ H δP ) = 0 & & & ∴ ∑ (Q α α α α α α α α ∂Pα α =1 α =1 α =1 ∂Qα s & − ∂ H )δP − ∑ ( P + ∂ H )δQ = 0 & → ∑ (Q α α α ∂Pα ∂Qα α =1 α =1 s
§5.7.4 正则变换母函数的四种形式
在Hamilton正则变换中，新旧变量都是正则变量。设旧变量 为 pα , qα , (α = 1,2,3, L s ) ，Hamilton函数H，新正则变量 为 Pα , Qα , (α = 1,2,3,L S )，Hamilton函数 H ，正则变换母函数F是 新旧变量和时间的函数。除时间变量外，它还有4s个变量，而 其中独立变量只有2s个。
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当取不同的2s个变量为母函数 F 的独立变量时，正则变换后正则 方程也不同，在正则方程形式保持不变时，母函数间的变换是满 足Legendre变换的变换，因而由Legendre变换可以得到相应的变 换。根据新旧变量，母函数 F 有四种形式，这四种形式设为：
F1 = F1 (Qα , qα , t ), F2 = F2 (Qα , pα , t ), F3 = F3 ( Pα , pα , t ), F4 = F4 ( Pα , qα , t )
S dF1 & & = ∑ ( pα qα − Pα Qα ) − ( H − H )LL (2) 根据正则变换的条件： dt α =1
∂F1 ⎧ , Pα = − ⎪ ∂ Qα ⎪ ∂ F1 ⎪ , (α = 1,2,3, L s ) LL (3) (1) 式和（2）式比较，得 ： pα = ⎨ ∂qα ⎪ ∂F ⎪ H −H = 1, ⎪ ∂t ⎩ 这就是正则变换在母函数F=F1时新旧变量和新旧
α =1
Q δt = 0
(119)对时间求导，得： s d d d & & (δF ) = ∑ ( pα δqα + pα (δqα ) − Pα δQα − Pα (δQα ) dt dt dt α =1 s & & & & = ∑ ( pα δqα + pα δqα − Pα δQα − Pα δQα LL (120)
§5.7.2正则变换条件
设力学体系原来的正则变量为 pα 、qα ，经正则变换，新的正则变量 为 Pα 、Qα ，变换关系可以写为：
⎧ Pα = Pα ( pβ , qβ , t ) (α = 1,2,3, L s ), ( β = 1,2,3, L s )LL (111) ⎨ ⎩Qα = Qα ( pβ , qβ , t )
下面研究这四种母函数下的正则变换。
§5.7.4.1 当 F = F1 (Qα , qα , t ) 时的变换
Q F1 = F1 (Qα , qα , t ) dF1 s ∂F1 & ∂F ∂F & = ∑( Qα + 1 qα ) + 1 LL (1) ∴ dt α =1 ∂Qα ∂qα ∂t
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& ) − ( H − H ) = dF LL (117) ∑ & 则 α =1 ( pα qα − Pα Qα dt
s
或
α =1
& & ∑ [( pα qα − Pα Qα ) − ( H − H )]dt = dF (α = 1,2,3,L s)LL (118)
或