矩阵理论研究生课程大作业

考博必、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿

“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：姓名：学号：专业：机械设计及理论类别：上课时间： 2013年2月至2013年5月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)利用矩阵论相关知识求解传动轴固有频率的有限元分析法摘要：在结构力学中，求解结构自由振动的固有频率是十分重要的内容。

本文通过对某机器传动轴各个单元进行单元刚度矩阵、单元质量矩阵等特性分析，再把各个单元的特性矩阵组集起来组成结构的总刚度矩阵、总质量矩阵，从而形成结构的自由振动方程式。

最后利用矩阵论相关知识求解自由振动方程式的广义特征值，并通过广义特征值与固有频率的关系求得传动轴的固有频率。

正文一、问题描述已知某机器传动轴两端固定，其传动轴受扭长度L为1500mm，传动轴的横截面积是环形，其外径D为50mm，内径d为45mm，弹性模量E为52。

利2.110/N mm用矩阵论及有限元分析法求解传动轴的固有频率。

二、方法简述1.建立传动轴的有限元分析模型由于传动轴两端固定，采用平面梁单元分析该传动轴。

考虑到本次计算是手算，为了简化计算，将该传动轴划分为（1）、（2）两个单元，共1、2、3三个结点。

由于该结构中一个结点有两个自由度，故总共有1、2、3、4、5、6六个自由度。

建立有限元分析模型及各个部分编号如图1所示。

图1 传动轴有限元分析模型2.平面梁单元的单元刚度矩阵由《机械结构有限元分析》[1]中形状函数N 的构造方法可知，对于该结构的平面梁单元，它有两个节点，四个自由度，采用自然坐标系，通过构造计算可得单元的形函数为()()()()v iiv j j N N N N N θθ⎡⎤=⎣⎦23232332(132)(2)(32)()ξξξξξξξξξ⎡⎤=-+-+--⎣⎦ （1）其中,i j 为结点编号，v 为结点位移，θ为结点转角，xlξ=，l 为梁单元的长度。

平面梁单元的单元刚度矩阵T lk E I B B d x=⎰ （2） 其中E 为弹性模量，I 为惯性矩。

中科院矩阵分析与应用大作业1. 研究背景矩阵是数学领域中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。

在计算机科学中，矩阵常常用于图像处理、计算机视觉等领域；在数据分析中，矩阵则被用来描述数据之间的关系。

因此，深入研究矩阵的相关算法和应用，对于提高计算机科学和数据分析领域的研究水平具有重要意义。

2. 研究目的本次研究的主要目的是掌握矩阵分析的基本概念和相关算法，并将其应用于实际问题中，进一步提高对于矩阵分析的理解和应用能力。

3. 研究内容3.1 矩阵分解矩阵分解是矩阵分析中的一项重要任务，它将一个矩阵分解成为多个小的矩阵，从而更方便的进行处理。

常见的矩阵分解算法有：1.奇异值分解（SVD）2.QR分解3.LU分解4.特征值分解3.2 矩阵重构矩阵重构是指将矩阵进行转换、组合等操作，旨在从不同的角度探索和发现矩阵的内在规律。

常见的矩阵重构算法有：1.矩阵乘法2.矩阵转置3.矩阵拼接4.矩阵切片3.3 矩阵应用矩阵在各个领域的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用场景：1.图像处理：将图像转化成为矩阵，对其进行矩阵分解、矩阵重构等操作，从而实现图像降噪、图像识别等功能。

2.推荐系统：利用矩阵分解的方法将原始数据转化为矩阵，再对其进行推荐系统的处理，从而为用户提供更好的推荐服务。

3.聚类分析：将大量数据转化为矩阵，从而利用聚类算法对其进行分析，发现数据之间的关系，进一步深入研究数据的内在规律。

4. 研究通过对于矩阵分解、矩阵重构、矩阵应用等领域的研究，我们可以得到以下：1.奇异值分解、QR分解、LU分解、特征值分解等矩阵分解算法各有优缺点，在实际应用中应该根据具体情况选用不同的算法。

2.矩阵乘法、矩阵转置、矩阵拼接、矩阵切片等矩阵重构算法可以帮助我们从不同的角度分析和处理矩阵，从而深入研究矩阵的内在规律。

3.矩阵在图像处理、推荐系统、聚类分析等领域有着广泛的应用，掌握矩阵分析算法可以帮助我们更好地解决实际问题。

2 1 − 2 3 1 0 4 1 1 0 −1 2 1 −1 0
0 5 0 1 1 0 4 1 1 0 −1 −2 0 −2 0
→
1 1 1 −2 −1 −1
0 5 0 1 1 0 4 1 1 0 1 2 0 2 0
同一向量的三种范数之间的大小关系 习题#5-4:对n维线性空间的任意向量x成 习题#5维线性空间的任意向量x #5
‖x‖∞ ≤‖x‖2 ≤‖x‖1 ≤ n‖x‖∞ ≤ n‖x‖2 ≤ n‖x‖1 ≤ n2‖x‖∞ ≤ …
立
证: |,…,|x ‖x‖∞= max{|x1|, ,|xn|} ≤(Σi=1n|xi|2)1/2 = ‖x‖2 |+…+|x ≤((|x1|+ +|xn|)2)1/2 = ‖x‖1 |,…,|x ≤ n max{|x1|, ,|xn|} = n‖x‖∞
习题#5是正定矩阵,x ,x∈ 习题#5-6A∈Cn×n是正定矩阵,x∈Cn #5
是向量范数. •证明:‖x‖=(x*Ax)1/2 是向量范数. 证明:‖x‖=(x
解1:因A是正定Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵B 是正定Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵B Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵 使得A=B B.则 的上述表示式可写为: 使得A=B*B.则x的上述表示式可写为: (Bx)) ‖x‖=(x*Ax)1/2 =((Bx)*(Bx))1/2 =‖Bx‖2 其中‖‖ 是向量2 范数.再注意可逆矩阵B 其中‖‖2 是向量2-范数.再注意可逆矩阵B的性 Bx=0,即可直接推出非负性 即可直接推出非负性. 质:x=0 ⇔ Bx=0,即可直接推出非负性. ‖kx‖=‖B(kx)‖2=|k|‖Bx‖2=|k|‖x‖ 推出齐次性;三角不等式则由下式推出: 推出齐次性;三角不等式则由下式推出: ‖x+y‖=‖B(x+y)‖2≤‖Bx‖2+‖By‖2

习题二1 2 （1）J 1 2 2 20 0 0 0 0 2（2）0 ( 1)2 02 0 03 2 2 3 2 1 （3）4 235 322422343 6(4) 0611 3 3 1 22解：（ 1） 对矩阵 作初等 变换1 2c 1 c31 22 21 0 0c 22c 1 0c3 c 10 0(1) 则该矩阵为 Sm ith 标准型为1．化下列矩阵为 Smith 标准型： 20 0 02 2 323 4;11 222 00 00 01212r3r 02 2r11001 0c 3 c2 r 1( 1)0，0 0( 1)( 1)2）矩阵的各阶行列式因子为 D 4( )4( 1)4,D 3( )( 1)2( 1)2,D 2( ) ( 1),D 1( ) 1,从而不变因子为 1)4() D 3() D 2()1),d 4()D 4() D 3()2(1)1 0 0 (1)0 00 0(3)对矩阵作初等变换3 2 2 3 2 1 22 3 4 235 3 2234 242 147 263r 2 r1片(22)「32 1 2247 2 632q ( 2)03 °? ( 2)C3213213q ( 1)°2321 0H ( 25) r 2r 1 ( 1)0 d i ( ) 1阳)D 2^-)( D i () 故该矩阵的Smith 标准型为 故该矩阵的Smith 标准型为0 0 0 0 (1) 02 20 ( 1)3 2 2 21 22 C 1 03“4 2 3 322222 2 12 245 010 2 1 2 245 0 10 0 1 2 245 01 010 10 01 0r 1r 31C 30 1 010 (1)2(111(1)2( 1)(4)对矩阵作初等变换2 3 01143 62 2 C l2 C52 2 062 0 C2 3C 32 01 010 110 3 31223 3 12 20 10 01C 1 3C 2 02 2 「2 2r 10 C 3 2C 220 C 3 C 1211 0 010 00 0110 1 01 0「12C30 0 0 02C1C40 2C 40 0C2C50 01 0 0 0 00 0 01 00 10 0 00 00 1在最后的形式中，可求得行列式因子11；（2）；1 01；（32 1 0（1） 0 2 11 0 0 00 1 0 00 0 10 0 0 （1）0 0 0 02•求下列矩阵的不变 :因子:故该矩阵的Smith 标准形为0 0 02（ 1）D 5（ ） 3（ 1）2,D 4（）1）,D 3（） D 2（ ） D !（ ） 1, D 4（）1）,d 5（） D 5（）D 4（） 2（ 1）于是不变因子为0 0 15 4 3 20 0 1 20 1 2 0（4） 1 2 0 0.2 0 0 0解：1）该矩阵的右上角的 2 阶子式为 1，故（D1( ) D2( ) 1,而D3( ) ( 2)3，所以该矩阵的不变因子为d1( ) d2( ) 1,d3( 2) ( 2)2;（2）当0由于时，D4( ) ( )4,D3( ) () 2，D2( ) D1( ) 1，故不变因子为d1( ) d2( ) 1，d3( )()2,d4( ) ( )2当0 时，由于D4( ) [( )2 2] ，且该矩阵中右上角的 3 阶子式为2( ),且( 2( ),D4( )) 1，则 D 3( ) 1，故 D 2( ) D 1( ) 1 ，所以该 矩阵的不变因子为22 d 1( ) d 2( ) d 3( ) 1, d 4( ) [()22];3)该 矩阵的右上角的 3 阶子式为 1，故D 1( ) D 2( )D 3( ) 1,而D 4 ( ) 4233 245 ，所以该矩阵的不变因子为d 1( ) d 2( ) d 3( )1, d 4( ) 4 2 3 3 2 45;(4)该矩阵的行列式因子为D 1( ) D 2( )D 3()1,D 4( ) ( 2)4,所以该矩阵的不变因子为d 1( ) d 2( )d 3()41, d 4( ) ( 2)4 .3．求下列 矩阵的初等因子：3231(1)2323 2 32；2(2)3222 1 22 1232 2 2 1 222解：(1)该矩阵的行列式因子 为D 1( ) 1 ,D 2()2( 1)( 1)2 ，故初等因子为1,( 1)2；故不变因子为(2) 该矩阵的行列式因子为D 1( )1,D 2(1)( 1)2， d 1( ) 1,d 2( ) ( 1)( 1),解：（ 1）设该矩阵为 A ，则1 0 0E A 0 10，0 0(1)2( 3)故 A 的初等因子为(1)2( 3)，则 A 的 Jordan 标准形为300 0 1 1 0 0 12）设该矩阵为 A ，则1 0 0EA0 1 0，0 0( 1)3故 A 的初等因子为（ 1）3 ， 从而 A 的 Jordan 标准形为110 0 1 1 ； 00113 16 16 4 52 3 731）5 76 ；（2） 2 2 1； （ 3） 2 5 26871 1 14 1031 2 3 41 1 10 33 0 1 2 3 4） 3 3 3 ；（5） 18 6 ；（6）0 0 1 22 2 221410 0 0 0 14．求下列矩阵的 Jordan 标准形：1 0 0EA 0 1 00 0 (1)( 2 1) 故A 的初等因子为1i ,i,,从而A 的 Jordan 标准形为1 0 00 i 0 J0 0 i（4）设该矩阵为A ，则1 0 0E A 0 0,0 0 2故A 的初等因子为2从而A 的 Jordan 标准形为0 0 00 0 1 J0 0 0（5）设该矩阵为A，则1 0 0EA 0 1 00 0( 1)2故A 的初等因子为,( 1)2，从而A 的 Jordan 标准形为(6)设该矩阵为A ，则E A该矩阵的各阶行列式因子为D i ( ) D 2( 则不变因子为d i ( ) d 2(故初等因子为0 01 1 ；0 0112 3 41 230 1 21)D 3() 1,D 4()( 1)4,)d 3( ) 1,d 4() ( 1)4,(1)4,110 0 0 110 00 1 1.0 0 0 1故A 的特征值为11, 5.则A 的Jordan 标准形为5•设矩阵属于特征值 1 1的特征向量为 1 (1,0,0) T,求 A 的 Jordan 标准形 J，并求相似变换矩阵P ，使得 1P 1AP J .解 :(1) 求 A 的 Jordan 标准形 J .2111 00IA2 1 20 101120 ( 1)故其初等因子为1,(1)2，故 A 的 Jordan 标准形1 0 0J0 1 1.0 0 1(2)求相似变换矩阵 P . 考虑方程组属于2 35 的特征向量为 设P [ 1, 2, 3] 则 A P P 1.,故A 5 P 5P 16.设矩阵A2(2,1,2)T , 3(1, 2,1)T.12 1 1 0 0 01 2 , 0 5 0 , 02 10 0 5441 4 54 3 54 1440 3 54 4 54440 4 54 3 542 1 1 2 1 2 ，11 1 x1(I A)X 0, 即2 2 2 x2 0,11 1 x3解之 ,得1 0X1 0 ,X2 1.1 1其通解为k1k1X1 k2 X2=k2Jk1 k2其中k i,k2为任意常数考虑方程组1 11 x1 k12 22 x2 k211 11 x3k1 k21 1 1 k1 1 1 1 k12 2 2 k2 0 0 0 2k1 k21 1 1 k1 k2 0 0 0 2k1 k2 故当2k1 k2 0 时,方程组有解 .取k1 1,k2 2 ,解此方程组 ,得X3 01则相似变换矩阵1 0 0P [X1,X2,X3] 0 1 01 1 17•设矩阵试计算2A8 3A5A A2 4I .解：矩阵A的特征多项式为f A() I A 3 2 1, 由于2 83 54 2 4 ( 3 202 1)f( ) (24 3710)其中f( ) 2 5 4 3 5 29 14.且A3 2A I O, 故证明:设矩阵A的特征多项式为f A() I A n na1 1 na22 L an 1a n3 48 262A8 3A5 A4 A2 4I=24A2 37A 10I 0 95 610 61 34 8•证明：任意可逆矩阵A的逆矩阵A 1可以表示为A的多项式则A n a1A n 1a2A n 2 L a n 1A a n I O, 即A(A n1 a1A n 2 區n 3a?A L a n 1I) a n I , 因为A可逆,故a n ( 1)n A 0,则11n 1 n 2 n 3A(A a i A a ?A L a n J)a n9•设矩阵2 1A,1 3试计算(A 45A 36A 26A 8I) 1.解：矩阵A 的特征多项式为f A ( ) | I A 257,则A 2 2A 7I O ,而故143211111 21(A 5A 6A 6A 8I) (A I )-23 1 1解：矩阵A 的特征多项式为f A ( ) I A (1)( 1)( 2),则设由 f (1) 0, f( 1) 0, f (2) 0,得a b c 1, a b c 1,2n4a2b c 2 .解之，得7)( 21)1,10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为11，2，试将A 2n表示为A 的二次式.2n2f( )g( ) a bc ,a 3(22n 1)，b °,c£(22n 4), 33因此A 2n aA bA cI -(22n 1)A 2 ^(22n 4)I 3 3(3) n 阶单位阵I n 的最小多项式为 m() ⑷因为3 1 14 2 2 (1) 0 2 0 ；( 2)5 7 5 1 1 16 7 4a 。

求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 Jordan
由行列式因子定不变因子和初等因子:( :(参看 ①由行列式因子定不变因子和初等因子:(参看 0 λ − 2 0 第二章有关定义及结果). ).如 第二章有关定义及结果).如 λE-A= −1 λ −1 −1 )=λ行列式因子:D 行列式因子:D1(λ)=1; D2(λ)=λ-2;
第六章 矩阵函数
•矩阵函数一般定义:矩阵函数是从Cm×n到Cu×v的一 矩阵函数一般定义:矩阵函数是从C 个对应规则f:C 使对每个x 个对应规则f:Cm×n→Cu×v,使对每个x∈Cm×n,都 对应于唯一 f(x)∈ 唯一的 对应于唯一的f(x)∈Cu×v. 例如:det:C ,det(A)∈ 例如:det:Cn×n→C1×1,∀A∈Cn×n,det(A)∈C1×1; ,f(A)=2Af:Cn×n→Cn×n,∀A∈Cn×n,f(A)=2A-E∈Cn×n. 矩阵函数的概念十分广泛, •矩阵函数的概念十分广泛,其应用也相应地十分 广泛. 广泛. 我们仅限于讨论从C •我们仅限于讨论从Cn×n到自身的函数 f:Cn×n→Cn×n. 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 矩阵多项式函数和由 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 幂级数定义的矩阵函数. 幂级数定义的矩阵函数.
0 1 1 1 0 0 1 0 −1
. P -1=
0 1 0 1 −1 1 0 1 − 1
2 0 0 2 0 0 0 A − 2E = 1 1 1 − 2 = 1 −1 1 1 −1 3 2 1 −1 1 0 0 x = 1 , ( A − 2E)x = 1 1 1 1 0 z = 0 , ( A − 2E)z = 1 −1 1 0 00 −1 1 1 = 0 −1 1 1 0 0 1 −1 1 0 = 0 −1 1 −1

A = ∑∑ aij Fij ，故 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , L , Fnn 是 R n×n 中全体对称矩阵所构
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ， 则 Gij 是 反 对 称 矩 阵 ， 易 证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +

如图所示为估算某机翼固有特性的模型。假设������1 = ������2 = ������,机翼弯曲刚度为EJ，仅考 虑与弯曲变形有关的微小位移，试求机翼弯曲振动的固有特性与模态矩阵。
（由于图形是利用工程制图软件 CAXA 完成的，所以比较粗陋。上边是机翼模型，下边 是其简化模型。图中标注部分的长度均为������⁄2，两个质点的集中质量均为������，左边质点的位 移设为������1，右边质点位移设为������2，方向均向上。） 基本术语
=
1 2
[������̇1
������̇2] [���0���1
���0���2] [������������̇̇12]
U
=
1 2
[������1
������2] [������������1211
������������1222] [������������12]
将动能、势能代入拉格朗日方程，即可得到二自由度系统的运动方程：
矩阵特征值与特征向量在振动力学中 求解多自由系统阵型的应用
报告人信息 姓名：侯怡鑫 学号：20153113019 组序：5 组 学院：航空航天学院
摘要 工程中的动力系统基本都包含多个自由度，对于多自由度系统的振动求解问题需要用到
微分方程组的求解，而矩阵作为一个强有力的数学工具，在这方面发挥着重要的作工程模型，运用矩阵论的理论知识求解 微分方程组，再结合初始条件与边界条件，最终确定出系统各阶振动形态。 题目内容
固有频率：系统在自身物理性质确定的情况下，振动的频率是固定的，不随外界条件改 变，称之为固有频率。多自由度系统的自由度数目对应着固有频率的个数，最小的固有频率 为该系统的基频。
主振型：多自由度系统中，每一个固有频率都对应着一个单自由度的振动，当该振动的

证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
2 5
5 0 1 5
0 1 0
1
5
0
2 5
习题3-9
#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则 A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.
证: A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1
=((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E
∴ A+B是正定Hermite矩阵.
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*,
其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 其中1,…, ArA=n是=UUdAdi的iaag特g((征1r1,,值…….,,于nn是r))U,U**,=0 蕴∴涵Air==U0d,iia=g1(,0…,…,n,.0后)U者*=又0.蕴涵 1=…=n=0.

（2.10）
矩阵论
������21 =
− ������2 + ������1
|
+ =0 ������2
（2.5）
− 从������11 = ������22 = 0的事实出发可知，当端口 2 端接有������0 =50Ω 时������1 =0，并有 + + − ������2 =0，在这情况下就有������1 = ������1，������2 = ������2。所以在端口 1 上施加电压������1并使用 − 二次分压，就可求出������2 = ������2，他是在端口 2 上跨接在 50Ω 负载电阻上的电
[������] = [ 0 0.707
0.707 ] 0
下面说明如何从阻抗矩阵来确定[������]矩阵，或反之。首先，我们必须嘉定所 有端口的特征阻抗������0������ 是相等的。为方便起见可设������0������ =1。可知端口 n 的总电压 和电流可写为
+ − ������ ������ = ������ ������ + ������ ������ + − + − ������������ = ������������ − ������������ =������ ������ − ������ ������
− − ������3 ，������3
图 1，任意端口微波网络 图 1 中的端口可以是某种形式的传输线或单一波导传播模式的等效传输 线。在第 n 个端口上的一个指定点处，定义一个端平面������������ ，并定义了等效的入
+ + 射波电压和电流（������ ������ ，������������ ）。现在，我们给出第 n 个端平面上的总电压和电

按范数收敛
定义:赋范空间V的序列{x(n)|n=1,2,…}按范数 ‖‖α收敛于aV,如果 limn‖x(n)-a‖α=0 命题:对赋范空间V的任意两个等价向量范数 ‖‖α, ‖‖β, 都有 limn‖x(n)-a‖α=0 limn‖x(n)-a‖β=0 (即按任意两个向量范数的收敛实质上等价) 因 0 limn‖x(n)-a‖α d limn‖x(n)-a‖β 0 limn‖x(n)-a‖β(1/c)limn‖x(n)-a‖α
1=|yk|(i=1n|yi|p)1/p =‖y‖p n1/p (*) (i|yi|=|xi|/|xk|1) 1=limp1limp‖y‖p limpn1/p=n0=1 1=limp‖y‖p=limp‖x‖p/‖x‖ ‖x‖=limp‖x‖p
同一向量的三种范数之间的大小关系
Frobenius 矩阵范数
例5.2.2:矩阵的Frobenius范数定义为 ‖A‖F=(i=1mj=1n|aij|2)1/2. (ACmn的向量2-范数蕴含前3条公理)不难证明4 条范数公理全部满足.因非负性和齐次性是显 然的;③的证明见课本.我们只讲④的证明. ‖AB‖F2=i=1mj=1n|k=1paikbkj|2 i=1mj=1n((k=1p|aik|2)(k=1p|bkj|2))(C-S不等
则

n
1 ak 1 bk a k bk a b p q q b p a
1 a k bk a b k 1 pa
p

n k 1
ak
p
1 qb
q

b k 1 k
n q
1 1 ab ab q xn|}=|k‖x‖; ‖x+y‖= max{|x1+y1|,…,|xn+yn|} max{|x1|+|y1|,…,|xn|+|yn|} max{|x1|,…,|xn|}+max{|y1|,…,|yn|} =‖x‖+‖y‖

2 3 0 1 3 ， 0 2 3 0 。
如果豌豆初始位置在 #2，#4 ，经过奇数无穷多次移动后，概率分布为
运用 Hamilton-Cayley 定理求解

f ( ) I A
1
1 2 0 1 2 0 0
0 1 2

1
0 0 1 1 ( 1)( 1)( )( ) 1 2 2 2
1 0 0 0 1 2 0 1 2 0 p4 (k 1) 0 1 2 0 1 2 0 1 0 0
P(k 1) A ， k 1,2,3,
以此类推，则有
P(k ) P(k 1) A P(k 2) AA P(k 2) A2 P(k 3) A2 A P(k 3) A3 P(2) Ak 2 P(1) Ak 1 P(0) Ak
0 2 3 0 1 3 1 3 0 2 3 0 。 lim P(k ) P(0) k 0 2 3 0 1 3 1 3 0 2 3 0 也就是说，如果豌豆初始位置在 #1，#3 ，经过奇数无穷多次移动后，概率 分布为
0 1 3
方法 2 首先，A 的特征多项式为：
把 A 的四个特征值带入上式，得出方程组：
(1) k q 0 q1 q 2 q3 1k q 0 q1 q 2 q3 1 k 1 1 1 ( ) q 0 q1 q 2 q3 2 4 8 2 1 1 1 1 ( ) k q 0 q1 q 2 q3 2 4 8 2
一、欲解决的题目内容：
如图所示， 一颗豌豆被放置在四个壳里中的其中一个的里面，一个敏捷的操 纵者通过一系列迅速的移动将它们重新排列。每一次的移动，含有豌豆的壳要么 向左或向右移壳在位置#1 时，就只能移动到位置#2，如果含有豌豆的壳在 位置#4 时，就只能移动到位置#3。当含有豌豆的壳在位置#2 或#3 时，就有可能 向左或右移动。 问题 1：假定我们知道含有豌豆的壳的初始位置，那么经过 k 次移动后，含 有豌豆的壳在这四个位置的概率各是多少？ 问题 2：经过无数次（ k ）移动后，含有豌豆的壳出现在每个位置的概 率又是多少？

（1）从大到小的顺序的计算程序：function y=snd(n)format longy=0;if n<2disp('请输入大于1的数！')elses=0;i=2;while i<=ns=single(s+(1/(i^2-1))); i=i+1;endy=s;end（2）从小到大的顺序的计算程序：function y=snx(n)format longy=0;if n<2disp('请输入大于1的数！')elses=0;i=n;while 1s=single(s+(1/(i^2-1)));i=i-1;if i==1breakendendy=s;end（3）按两种顺序分别计算并指出有效位数（编制程序时用单精度）S的计算结果：①210S的计算结果：②410S的计算结果：③610计算时的有效位数为七位数。

① 秦九昭算法计算程序：function y=qjz(a,x) j=3; i=size(a,2); switch i case 1 y=a(1); case 2y=a(1)*x+a(2); otherwise p=a(1)*x+a(2); while j<=i p=p*x+a(j); j=j+1; end y=p; end② 计算在点23的值。

计算结果如下：当23=x 时()86652=x f 。

①Gauss法计算程序和结果：程序：A(1,:)=[31,-13,0,0,0,-10,0,0,0]; A(2,:)=[-13,35,-9,0,-11,0,0,0,0]; A(3,:)=[0,-9,31,-10,0,0,0,0,0];A(4,:)=[0,0,-10,79,-30,0,0,0,-9]; A(5,:)=[0,0,0,-30,57,-7,0,-5,0]; A(6,:)=[0,0,0,0,-7,47,-30,0,0];A(7,:)=[0,0,0,0,0,-30,41,0,0];A(8,:)=[0,0,0,0,-5,0,0,27,-2];A(9,:)=[0,0,0,-9,0,0,0,-2,29];B=[-15;27;-23;0;-20;12;-7;7;10]; [a,b]=gauss(A,B);j=size(a,2);while j>=1k=j+1;s=b(j);while k<=9s=s-x(k)*a(j,k);k=k+1;endx(j)=s/a(j,j);j=j-1;enddisp(x)function [x,y]=gauss(a,b)num_i=size(a,1);j=1;while j<=(num_i-1)i=j+1;while i<=num_ir=a(i,j)/a(j,j);a(i,:)=a(i,:)-r*a(j,:);b(i,:)=b(i,:)-r*b(j,:);i=i+1;endj=j+1;endx=a;y=b;运行的结果为：()T 289.0-345.0.0=。

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

矩阵奇异值分解在图像压缩上的应用摘要矩阵的奇异值理论提出至今己经有很长的一段时间。

奇异值分解理论由Beltrami和Jordan于十九世纪七十年代提出至今，由于其内在的一些良好特性，奇异值分解正成为应用数学和数学模型领域的一个极有价值的工具。

奇异值分解在很多领域得到了应用，它在数据挖掘及搜索引擎中被用来对数据库文件进行规类，近年来，它在图像压缩方面的应用也越来越受到相关学者的重视。

关键字：图像压缩；奇异值分解第一章总论数字图像处理技术中的数字图像压缩，或者叫图像编码。

二维形式呈现的数字图像，其信息量很大，给传输、处理、储存、显示等都带来了不少的问题。

另一方面，图像中又有很多冗余信息，根据香农(Shannon)的率失真理论。

无论在传输或者储存时，都可对数字图像进行一定方式编码，删除其中冗余信息，实现不失真压缩，或在容许失真限度内进行有失真压缩，以换取更大的压缩率。

对于供人观看的图像，如电视信号，这时人是通信系统中的一环，人的视觉特征，如掩盖效应，对灰度分辨率和空间分辨率的有限性等，也可以用来为压缩服务。

数字图像以数据矩阵形式储存在存储器中，这就使得通过操作数据矩阵的方式压缩图像成为可能。

事实上矩阵的奇异值本身具有可降维的特性，若能合理的利用矩阵奇异值的这一特性，SVD方法在图像压缩领域必将会有广阔的应用前景。

矩阵的奇异值分解(SVD)目前在信号处理、模式分析等领域得到了较为广泛的应用。

由于数字图像矩阵通常是由数据量较大的阵列矩阵所构成，这就给基于SVD变换的算法构造添加了很大的难度，所以SVD变换目前在数据压缩领域得到的应用还不是很多，从SVD变换算法的研究着手，研究大矩阵奇异值的分布情况以及他们在图像恢复时所起到的作用，并在此基础上展开对SVD变换算法在数据压缩领域应用的研究，构造能将SVD变换实际应用到数据压缩领域的快速、高效的算法是十分必要的。

第二章 矩阵奇异值分解理论2.1奇异值分解及其解释2.1.1奇异值分解奇异值分解最早由Beltrami 在1873年针对实正方矩阵提出来的。