研究生“矩阵论”课程课外作业
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人口迁移问题和航班问题
(重庆大学 机械工程学院，机械传动国家重点实验室)
摘要：随着人类文明的进程，一些关于数学类的问题越来越贴近我们的生活，越发觉得数学与我们息息相关。本文将利用矩阵理论的知识对人口迁移问题和航班问题进行分析。
人口迁移问题
假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：
问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？
解 设n 年后北方和南方的人口分别为n x 和n y ， 我们假设最初北方有0x 人，南方有0y 人。则我们可得，1=n 时，一年后北方和南方的人口为
⎩⎨⎧+=+=001
00175.05.025.05.0y x y y x x (1-1)
将上述方程组(1-1)写成矩阵的形式
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0011y x A y x 其中 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=75.05.025.05.0A
2=n 时，两年后北方和南方的人口为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0021122y x A y x A y x
依次类推下去，n 年后北方和南方的人口为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x n n n (1-2) 现在只需求出n A 就可得出若干年后北方和南方的人口数。 下面将使用待定系数法[1]求n A
)1)(25.0(25
.025.125
.05.0)75.0)(5.0(75
.05.025
.05
.02--=+-=⨯---=----=
-λλλλλλλλλA E
所以 1,25.021==λλ
矩阵A 的最小多项式为 )1)(25.0()(--=λλλm 设A a E a A n 10+= 由此可得方程组
⎩⎨⎧=+=+125.025.01010a a a a n
解方程组得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=
+-=75.025.0175.025.025.010n
n
a a 所以
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⨯--⨯+=-++-=+=++11
1025.05.025.05.05.025.025.025.05.025.075.0175
.025.0175.025.025.0n n n n n
n n
A
E A a E a A 所以由式(1-2),我们得到n 年后北方和南方的人口
北方:01
075.025.025.075.025.05.025.0y x x n n n +-+⨯+=
南方:01
075
.025.05.075.025.05.05.0y x y n n n +++⨯-=
当∞→n 时，得
)(3
1
)75.025.025.075.025.05.025.0(lim lim 0001
0y x y x x n n n n n +=-+⨯+=+∞→∞→ ()000103
2
75.025.05.075.025.05.05.0lim lim y x y x y n n n n n +=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++⨯-=+∞∞→∞→ 由上面计算可以得到，如果移民过程持续下去，北方的人不会全部都到南方。最终北方的人口是移民前南北人口之和的1/3。南方人口是北方人口的两倍。
结论
本文论述的南北方人口迁移问题是一个比较理想化的问题，但还是有一些实际的参考价值，通过本问题的演算过程，我们可以推论，若一个地区有人口迁出(迁出率<1)，那么只要有人口迁入，则该地区始终有人口住居。
航班问题
一家航空公司经营A 、B 、C 、D 和H 五个城市的航线业务，其中H 为中心城市。各个城市间的路线见图1。
图 1
假设你想从A 城市飞往B 城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即
A →H 和H →
B 。如果没有中转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。那么问题如下：
(1)从A 到B ，有多少条路线刚好是三个相连的航班； (2)从A 到B ，有多少条路线要求不多于四个相连的航班。
解 为了方便计算，设1、2、3、4、5分别代表A 、B 、C 、D 、H 五个城市。令()ij a A =，其中ij a 表示i 城市到j 城市单连航班的路线条数()5,4,3,2,1,=j i ，若1=ij a 表示i 城市到j 城市的单连航班有1条，若0=ij a 表示i 城市到j 城市的单连航班有0条[2]。则表示i 城市到j 城市单连航班的路线条数用矩阵A 表示为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=01
111
1001011000
100011010
A 令()2A b
B ij ==，则ij b 表示i 城市到j 城市两个相连航班的路线条数
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==41111
1111211121
1121112111
2A B
令()3A c C ij ==，则ij c 表示i 城市到j 城市三个相连航班的路线条数
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==45555
5232252223
53222522323
A C
令()4A d D ij ==，则ij c 表示i 城市到j 城市四个相连航班的路线条数
