研究生矩阵理论共119页

矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲 线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换和坐标变换；3.子空间和维数定理；4.线性空间的同构线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“∙”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ∙=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=∙1；⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(；⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。

矩阵考研知识点总结一、矩阵的定义矩阵是由 m×n 个数排成的矩形阵列。

这 m×n 个数称为矩阵的元素，通常用aij (i=1,2,…,m；j=1,2,…,n) 表示矩阵的元素。

当 m=n 时，矩阵称为方阵，特别地，当 m=1 或 n=1 时，矩阵称为行矩阵或列矩阵。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法定义：设 A=(aij) 和 B=(bij) 是同型矩阵，那么 A+B 和 A-B 分别定义为A+B = (aij+bij) 和 A-B = (aij-bij) 。

性质：（1）交换律：A+B = B+A；A-B ≠ B-A（2）结合律：A+(B+C) = (A+B)+C；A-(B-C) ≠ (A-B)-C（3）0 矩阵：对任意矩阵 A 有 A+0=A 和 A-0=A2. 矩阵的数乘定义：数 k 与一个 m×n 阶矩阵 A=(aij) 相乘，得到一个 m×n 阶矩阵 kA=(kaij)。

性质：（1）k(A+B)=kA+kB（2）(k+l)A=kA+lA（3）k(lA)=(kl)A3. 矩阵的乘法定义：设 A 是一个 m×s 阶的矩阵，B 是一个 s×n 阶的矩阵，那么称 C=AB 为 A 和 B 的乘积，其中C=(cij) (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 且cij=a(i1)b(1j)+a(i2)b(2j)+…+a(is)b(sj)。

性质：（1）乘法不交换：一般情况下，AB≠BA。

（2）结合律：A(BC)=(AB)C（3）单位矩阵：对于任意 n 阶方阵 A，有IA=AI=A（4）分配律：A(B+C)=AB+AC4. 矩阵的转置定义：设 A=(aij) 是一个 m×n 阶矩阵，把它的行和列互换得到一个 n×m 阶矩阵，这个矩阵称为 A 的转置矩阵，记做 A^T。

性质：（1）(A^T)^T=A（2）(kA)^T=kA^T（3）(A+B)^T=A^T+B^T5. 矩阵的逆定义：设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=I，那么称 B 为 A 的逆矩阵，记做 A^{-1}。

双语国际教育版系统分析的数学工具——工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生）倪郁东编著合肥工业大学数学学院目录第一章线性空间与线性变换 1 §1.1 线性空间 1§1.2 线性变换及其矩阵 3§1.3 内积空间8§1.4 正交变换及其几何与代数特征§1.5 应用于小波变换的框架理论15 第二章矩阵的标准形理论§2.1 线性变换的特征值和特征向量29 §2.2 矩阵的相似对角化32 §2.3 特征矩阵的Smith标准形34 §2.4 矩阵的Jordan标准形34 §2.5 矩阵的最小多项式第三章矩阵分解29 §3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解29 §3.2 矩阵的QR分解32 §3.3 矩阵的满秩分解34 §3.4 矩阵的奇异值分解34§3.5 矩阵分解的应用第四章矩阵范数理论及其应用16 §4.1 范数与赋范线性空间§4.2 向量范数及其性质17 §4.3 矩阵的范数18 §4.4 范数的应用19 第五章矩阵分析及其应用20 §5.1 矩阵序列20 §5.2 矩阵级数21 §5.3 矩阵函数22 §5.4 矩阵的微分和积分25 §5.5 矩阵函数的一些应用26 §5.6 梯度分析和最优化27 第六章特征值估计及极性38 §6.1 特征值的估计38 §6.2 广义特征值问题40 §6.3 对称矩阵特征值的极性41 §6.4 广义特征值分析的应用42 第七章广义逆矩阵43 §7.1 投影矩阵43 §7.2 广义逆矩阵46 §7.3 总体最小二乘方法49第八章Matlab中的矩阵运算简介50 §8.1 基本矩阵运算50 §8.2 矩阵分解52 §8.3 广义逆矩阵和解线性系统54 参考文献57编著者说明1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。

§7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设 n n C B A ×∈.1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e !1!1对任何收敛。

因而可以逐项求导。

t ()∑∞=−−=∴01!11m mm At A t m e dt d ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=∑∞=−11!11m m At m A ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅−=∑∑∞=∞=−−−01111!11!11 可见，A 与使可以交换的，由此可得到如下几个性质 At e 2．设，则BA AB =①． At At Be B e =⋅②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=−=⇒+=+−=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t mAt e B ⋅=② 令 ()()A B t At B C t e e e +−−t =⋅⋅ 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =−⋅===000)0()1()(当时， …………………. （@） 1=t E e e e B A B A =⋅⋅−−+特别地 A B −= 有E e e e A A =⋅⋅−0∴ 有 ()A A e e −−=1∴同理有()B B e e −−=1代入（@）式 因而有 B A B A e e e ⋅=+3.利用绝对收敛级数的性质，可得①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A −−−=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos −=−=−4.E A A =+22cos sin ()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解AX dtdX= 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21"=∈×则有 ()K e t X At ⋅=其中()T n k k k K ,,,21"=1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+−=+−=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A ()T x x x X 321,,=由()(212−−=−λλλA E ) 得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=→100110002J A 1200000−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴P e e e e P e t tt tAt⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴−321120000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x X AXdt dX)0(,),0(),0(210" 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AX dtdX=的通解为 K e t X At ⋅=)(将初值代入，得)0(X )0(X k =)0(X e X At =∴由可的定解问题1Th ()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AX dt dX)(,),(),()(002010" 的唯一解为()()00)(t X e t X t t A ⋅=−2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,的解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1221A 解：由 0=−A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=231,1α ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=231,1i β 则，于是矩阵：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=23123111i i P 13300−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)( 练习：求微分方程组1132123313383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩满足初始条件的解。