曲面积分习题课2

第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注 高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解 把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解 补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧． 解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰． 又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧． 解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向． 解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解 用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。

曲线、曲面积分练习题二（一）利用积分与路径无关的条件求解对坐标的曲线积分1、计算cos cos [sin ln()]x xx x L e e e e xy dx dy x y-+⎰，其中L 是圆周22(2)(2)2x y -+-=沿正向从点(1,1)A 到点(3,3)B 的一段圆弧.2、设()f x 在(,)-∞+∞有连续导数，求2221()[()1]L y f xy x dx y f xy dy y y++-⎰，其中，L 是从点2(3,)3A 到点(1,2)B 的直线段. 3、计算22L ydx xdy x y -+⎰，其中L 为： （1）圆周22(1)(1)1x y -+-=的正向；（2）正方形边界1x y +=的正向.4、设函数)(x f 在),(∞+-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，起点为),,(b a 终点为),,(d c 记⎰++=L dx xy f y y I )](1[12,]1)([22dy xy f y yx - (1)证明曲线积分I 与路径无关；(2)当cd ab =时，求I 的值。

5、设函数)(y ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++L y x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为常数。

则(1)对右半平面0>x 内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰L y x xydy dx y ϕ；(2)求函数)(y ϕ的表达式。

（二）利用格林公式求解对坐标的曲线积分 6、设C 为曲线32y x =和直线y x =所围成的区域整个边界，沿逆时针方向，则曲线积分23C x ydx y dy +=⎰( )(A) 1;44 (B)1;44- (C)23;44 (D)23.44- 7、计算[sin ()](cos ),x x L I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数，L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.8、计算下列曲线积分[()cos ][()sin ]AMB I y x y dx y x dy ϕπϕπ'=-+-⎰，其中AMB 为连接点(,2)A π与点(3,4)B π的线段AB 之下方的任意曲线段，且该曲线与线段AB 所围图形面积为2.9、已知平面区域},0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D L 为D 的正向边界，试证sin sin sin sin 22y x y x L L xedy ye dx xe dy ye dx π---=-≥⎰⎰.（三）利用斯托克斯公式求解空间曲线上对坐标的曲线积分10、 计算333,z dx x dy y dz Γ++⎰，其中Γ是222()z x y =+与223z x y =--的交线，从Oz 轴的正向看Γ是逆时针方向的.（四）利用四个等价命题求解有关问题11、确定常数λ，使在右半平面0x >上，422422()()xy x y dx x x y dy λλ+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y .(五)第一类曲面积分12、计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分. 13、计算,zds ∑⎰⎰其中，∑为柱面222x y R +=被0,0,0x y z ===及1z =截得的第一卦限的部分. 14、计算2,z dS ∑⎰⎰其中∑为球面2222.x y z a ++= 15、计算,xdS ∑⎰⎰其中∑为圆柱面221x y +=被平面2z x =+及0z =所截得的部分. 16、计算22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是线段(01)0z y z x =⎧≤≤⎨=⎩绕Oz 轴旋转一周所得到的旋转曲面. 17、计算曲面积分⎰⎰∑,zdS 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的部分。