曲面积分习题课2

第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注 高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解 把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解 补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧． 解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰． 又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧． 解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向． 解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解 用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。

曲线、曲面积分练习题二（一）利用积分与路径无关的条件求解对坐标的曲线积分1、计算cos cos [sin ln()]x xx x L e e e e xy dx dy x y-+⎰，其中L 是圆周22(2)(2)2x y -+-=沿正向从点(1,1)A 到点(3,3)B 的一段圆弧.2、设()f x 在(,)-∞+∞有连续导数，求2221()[()1]L y f xy x dx y f xy dy y y++-⎰，其中，L 是从点2(3,)3A 到点(1,2)B 的直线段. 3、计算22L ydx xdy x y -+⎰，其中L 为： （1）圆周22(1)(1)1x y -+-=的正向；（2）正方形边界1x y +=的正向.4、设函数)(x f 在),(∞+-∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，起点为),,(b a 终点为),,(d c 记⎰++=L dx xy f y y I )](1[12,]1)([22dy xy f y yx - (1)证明曲线积分I 与路径无关；(2)当cd ab =时，求I 的值。

5、设函数)(y ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++L y x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为常数。

则(1)对右半平面0>x 内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰L y x xydy dx y ϕ；(2)求函数)(y ϕ的表达式。

（二）利用格林公式求解对坐标的曲线积分 6、设C 为曲线32y x =和直线y x =所围成的区域整个边界，沿逆时针方向，则曲线积分23C x ydx y dy +=⎰( )(A) 1;44 (B)1;44- (C)23;44 (D)23.44- 7、计算[sin ()](cos ),x x L I e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数，L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.8、计算下列曲线积分[()cos ][()sin ]AMB I y x y dx y x dy ϕπϕπ'=-+-⎰，其中AMB 为连接点(,2)A π与点(3,4)B π的线段AB 之下方的任意曲线段，且该曲线与线段AB 所围图形面积为2.9、已知平面区域},0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D L 为D 的正向边界，试证sin sin sin sin 22y x y x L L xedy ye dx xe dy ye dx π---=-≥⎰⎰.（三）利用斯托克斯公式求解空间曲线上对坐标的曲线积分10、 计算333,z dx x dy y dz Γ++⎰，其中Γ是222()z x y =+与223z x y =--的交线，从Oz 轴的正向看Γ是逆时针方向的.（四）利用四个等价命题求解有关问题11、确定常数λ，使在右半平面0x >上，422422()()xy x y dx x x y dy λλ+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y .(五)第一类曲面积分12、计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分. 13、计算,zds ∑⎰⎰其中，∑为柱面222x y R +=被0,0,0x y z ===及1z =截得的第一卦限的部分. 14、计算2,z dS ∑⎰⎰其中∑为球面2222.x y z a ++= 15、计算,xdS ∑⎰⎰其中∑为圆柱面221x y +=被平面2z x =+及0z =所截得的部分. 16、计算22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是线段(01)0z y z x =⎧≤≤⎨=⎩绕Oz 轴旋转一周所得到的旋转曲面. 17、计算曲面积分⎰⎰∑,zdS 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的部分。

第二十二章曲面积分2 第二型曲面积分一、曲面的侧概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。

设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。

动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面.默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。

取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图).注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧.二、第二型曲面积分的概念引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E.分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则 单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点,cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又△S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上 投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是 单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy ,∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10ixy i i i ni izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ.定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}, 以△S iyz ,△S izx ,△S ixy 分别表示S i 在三个坐标面上的投影区域的面积, 它们的符号由S i 的方向来确定.若S i 的法线正向与z 轴正向成锐角时, S i 在xy 平面的投影区域的面积 △S ixy 为正. 反之，若S i 的法线正向与z 轴正向成钝角时, △S ixy 为负. 在各小曲面S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ). 若存在以下极限∑∑∑=→=→=→∆+∆+∆ni ixy iiiT ni izx iiiT ni iyz iiiT S R S Q S P 111),,(lim),,(lim),,(limζηξζηξζηξ，且与曲面S 的分割T 和(ξi ,ηi ,ζi )在S i 上的取法无关，则称此极限为 函数P , Q, R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作：⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(, 或⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.注：1、流体以v=(P ,Q,R)在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量E=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.2、若空间磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),), 则通过曲面S 的磁通量(磁力线总数) H=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.性质：1、若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P(i=1,2,…,k)存在，则有dxdy R c dzdx Q c dydz P c k i i i k i i i S k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=dxdy R dzdx Q dydz P c i i S i ki i ++⎰⎰∑=1,其中c i(i=1,2,…,k)是常数.2、若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块S 1,S 2,…,S k 所组成，且⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz(i=1,2,…,k)存在，则有⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =∑⎰⎰=++ki S Rdxdy Qdzdx Pdydz i1.三、第二型曲面积分的计算定理22.2：设连续函数R 定义在光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D xy 上, 以S 的上侧为正侧(即S 的法线方向与z 轴正向成锐角)，则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.证：由第二型曲面积分定义得⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni iiiT S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ=ixy ni i i i i d S z R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，其中d=max{S ixy 的直径}. ∴由T =ni ≤≤1max {S i 的直径}→0, 可推得d →0, 又R 在S 上连续，z 在D xy 上连续(即曲面光滑)，根据复合函数的连续性, R(x,y,z(x,y))在D xy 上也连续. 由二重积分的定义，有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=ixyni iiiid Sz R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.注：同理可得，当P 在光滑曲面S ：x=x(y,z), (y,z)∈D yz 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((.这里S 是以S 的法线方向与x 轴正向成锐角的那一侧为正侧. 当Q 在光滑曲面S ：y=y(z,x), (z,x)∈D zx 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(.这里S 是以S 的法线方向与y 轴正向成锐角的那一侧为正侧.例1：计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1在x ≥0, y ≥0部分并取球面外侧.解：S 在第一、五卦限部分分别为：S 1：z 1=221y x --; S 2：z 2=-221y x --; D xy ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0}, 依题意积分沿S 1上侧和S 2下侧进行， ∴⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221-⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221=2⎰⎰-201023cos sin 1πθθθdr r r d =⎰2022sin 151πθθd =152.注：如果光滑曲面S 由参量方程给出：S: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D.若在D 上各点的函数行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂不同时为0，则有 ⎰⎰SPdydz =⎰⎰∂∂±Ddudv v u z y v u z v u y v u x P ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SQdzdx =⎰⎰∂∂±Ddudv v u x z v u z v u y v u x Q ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SRdxdy =⎰⎰∂∂±Ddudv v u y x v u z v u y v u x R ),(),()),(),,(),,((, 其中正负号分别对应S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 的所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.例2：计算⎰⎰Sdydz x 3,其中S 为椭球面222222cz b y a x ++=1的上半部并选取外侧.解：把曲面表示为参数方程：x=asin φcos θ, y=bsin φsin θ, z=ccos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π. 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕc b b -=bcsin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 3=⎰⎰⋅20202333cos sin cos sin ππθθϕθϕϕd bc a d=⎰⎰2020453cos sin ππθθϕϕd d bc a =52πa 3bc.四、两类曲面积分的联系定理22.3：设S 为光滑曲面，正侧法向量为(cos α,cos β,cos γ), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.证：⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni i i i T S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 又△S i =dxdy ixyS ⎰⎰γcos 1. 由S 光滑知cos γ在区域S ixy 上连续. 应用中值定理，在S ixy 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角γi °满足 △S i =ixy i S ∆°cos 1γ,即△S ixy =cos γi °△S i .∴R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy =R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi °△S i . 于是ixy ni i i i S R ∆∑=1),,(ζηξ=i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ. 以cos γi 表示曲面S i 在点(x i ,y i ,z i )的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，由cos γ的连续性，知当T →0时，i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ的极限存在, ∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰SdS z y x R γcos ),,(. 同理可证：⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰SdS z y x P αcos ),,(; ⎰⎰S dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰SdS z y x Q βcos ),,(.∴⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.注：当改变曲面的侧时，左边积分改变符号，右边积分中的角要加减π以改变余弦的符号.定理22.4：设P , Q, R 是定义在光滑曲面S: z=z(x,y), (x,y)∈D 上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.证：cos α=221yx x z z z ++-, cos β=221yx y z z z ++-, cos γ=1, dS=221y x z z ++dxdy.∴⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰++SdS z y x R z y x Q z y x P )cos ),,(cos ),,(cos ),,((γβα=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.例3：计算⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中S={(x,y,z)|z=x 2+y 2, z ∈[0,1]},取上侧.解：∵z x =2x, z y =2y,∴⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y x x x )]()2(2[2222=⎰⎰++-+-Ddxdy y x x x )])(12(4[222=⎰⎰+-+-πθθθ2010323])1cos 2(cos 4[drr r r d=⎰+--πθθθ202)41cos 52cos (d =2π-.注：由于x(x 2+y 2)是奇函数，∴⎰⎰+Ddxdy y x x )(22=0，又由对称性有⎰⎰Ddxdy x 2=⎰⎰Ddxdy y 2，∴例3中也可化简⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y xx x )]()2(2[2222=⎰⎰-Ddxdy x y )3(22=-⎰⎰Ddxdy x 22=-⎰⎰πθθ20123cos 2dr r d =-⎰πθθ202cos 21d =2π-. 习题1、计算下列第二型曲面积分：(1)⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a 六个平面围成的立方体表面并取外侧为正向； (2)⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 为以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向； (3)⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为由x=y=z=0, x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向； (4)⎰⎰Syzdzdx ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向；(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2并取外侧为正向. 解：(1)∵⎰⎰-Sdydz z x y )(=⎰⎰⎰⎰+-aaaazdz ydy dz z a ydy 0000)(=24a ;⎰⎰Sdzdx x 2=⎰⎰⎰⎰-a aa a dx x dz dx x dz 002002=0;⎰⎰+Sdxdy xz y)(2=⎰⎰⎰⎰-+a aa a dy y dx dy ax y dx 022)(=24a .∴⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22=24a +24a =a 4.(2)∵⎰⎰+Sdydz y x )(=⎰⎰⎰⎰----+--+11111111)1()1(dz dy y dz dy y =8,⎰⎰+Sdzdx z y )(=⎰⎰+Sdxdy x z )(=8,∴⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=24.(3)∵⎰⎰Sxydydz =⎰⎰---yydz z y dy 1010)1(=241,⎰⎰S yzdzdx =⎰⎰Szxdxdy =241. ∴⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz =81.(4)令x=sin φcos θ, y=sin φsin θ, z=cos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂x z =θϕθϕϕsin sin cos cos 0sin -=sin 2φsin θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Syzdzdx =⎰⎰ππθθϕϕϕ202320sin sin cos d d =4π.(5)令x=Rsin φcos θ+a, y=Rsin φsin θ+b, z=Rcos φ+c, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕR R R -=R 2sin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 2=⎰⎰+ππθθϕθϕϕ202220cos sin )cos sin (d R a R d=⎰⎰++ππθθϕθϕθϕϕ202222333440)cos sin cos sin 2cos sin (d R a aR R d=⎰πϕϕπ033sin 2d aR=338aR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π. 解法二：令x=rcos θ+a, y=rsin θ+b, 则⎰⎰Sdxdy z 2=rdr r R c d R ⎰⎰-+022220)(πθ-rdr r R c d R⎰⎰--022220)(πθ=4c dr r R r d R⎰⎰-02220πθ=338cR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π.2、设某流体的流速为v=(k,y,0), 求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量.解：E=⎰⎰+Sydzdx kdydz , 又⎰⎰S kdydz =⎰⎰S dydz k -⎰⎰Sdydz k =0(注：球前+球后).∴E=⎰⎰Sydzdx =⎰⎰ππθθϕϕ20230sin sin 8d d =π332.3、计算第二型曲面积分I=⎰⎰++Sdxdy z h dzdx y g dydz x f )()()(, 其中S 是平行六面体0≤x ≤a, 0≤y ≤b, 0≤z ≤c 的表面并取外侧为正向, f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数.解：⎰⎰Sdydz x f )(=⎰⎰-cbdz f a f dy 00)]0()([=bc[f(a)-f(0)],同理有：⎰⎰Sdzdx y g )(=ac[g(b)-g(0)],⎰⎰Sdxdy z h )(=ab[h(c)-h(0)],∴I=bc[f(a)-f(0)]+ac[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)].4、设磁场强度为E(x,y,z)=(x 2,y 2,z 2), 求从球内出发通过上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0的磁通量.解：设磁通量为φ, 则φ=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz .利用球坐标变换有⎰⎰Szdxdy =⎰⎰ππθϕϕϕ202320sin cos d a d =323a π.又由变换后的对称性，有φ=3zdxdy=2πa3.S。