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ydy
a
dz
1a4
.
02
D yz
4 o
1
a
x
3
ay
6
同理 x2dzdx x2dzdx x2dzdx0.
3 4 Dxz
Dxz
z
a
5 2
4 o
1
a
3
ay
6
x
( y2 xz)dxdy
z
5 6
a
( y2 ax)dxdy y2dxdy
5 2
D xy
6
axdxdya
a
0
a
xdx0 dy
1a4 2
第七章 向量函数的积分
第一节 第二型曲线积分
第二节 第二型曲面积分
第三节
各种积分的关系及其 在场论中的应用
2.1 有向曲面的概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧 封闭曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面； 2.单侧曲面.
典
型
双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
Q( x, y,z)dxdz Q( x, y( x,z),z)dxdz
D xz
（右侧取正，左侧取负。）
将第二型曲面积分化为二重积分的方法
一代：将曲面 的 方 程 代入被积函数； 二投：将曲面 投影 到坐标平面。
（例如：积分中含dxdy ，则应向 xoy 面投影。）
三定号：由曲面的侧来决定取正号还是取负号； 四换域：改变积分域，曲面 变 为 投 影 域。
的第一型曲面积分。
例 4．计算 I (x2cos y2cos z2cos)dS ，
其中是 锥面 x2 y2 z2(0 zh) ，cos,cos,cos
为锥面的外法线的方向余弦。
解： ： z x2 y2 (0 zh) ，下侧。
在xoy面上的投影域为 Dxy ：x2 y2 h2 。
的外法向量 为{z x ,z y ,1} ， dS
x2
y 2 dxdy
6 a3
2a3 3
4
。
➢ 两类曲面积分的关系
设曲面 指向侧的单位法向量 n{cos, cos, cos} ，则有
AndS PdydzQdzdx Rdxdy
[PcosQcos Rcos]dS
即向量值函数 A( x, y,z) 在有向曲面 上的第二型曲面
积分等于数量值函数 PcosQcos Rcos 在曲面 上
上的投影区域i 的面积（仍记为i ）的近似值，
即 i cos iSi ；
i ni
z
Mi Si
i
i
令 d max {i的直径} ，当d 0 时，d 0 ，
1in
n
∴ R( x, y,z)dxdy lim R(i , i , i )cos iSi
d0i1
n
dlim0i1R(i
,
i
,
z(
i
,
i
00
2
Dxy
解法二（利用两类曲面积分的关系）
I (x2cos y2cos z2cos)dS
x2dydz y2dzdx z2dxdy
x2dydz y2dzdxz2dxdy
x2dydz x2dydz x2dydz
前
后
(z2 y2 )dydz (z2 y2 )dydz0,
D yz
D yz
y2dzdx y2dzdx y2dzdx
1
z
x
2
z
2 y
dxdy,
zx
x ,
x2 y2
zy
y ,
x2 y2
cos
zx
， cos
zy
，
1 zx2 z y2
1 zx2 z y2
cos
1
，
1
z
2 x
z
2 y
I [ x3 y3 ( x2 y2 )]dxdy
Dxy x2 y2 x2 y2
( x2 y2)dxdy
2
d
h3d h4.
z
ni vi
（4）取极限
Mi
Si
设 d max {Si的直径} ，
1in
o
y
则
n
lim vi
ni Si
。x
d0i1
二、第二型曲面积分的定义
设 是 向量函数 A(x, y,z)所在空间中的一个有向光滑曲面。
将 任意分成 n 小块 Si (i1,2, ,n) ，其面积亦记为 Si ， 设 d max {Si的直径} 。 Mi (i , i , i )Si ， 在点Mi
0
0
3
Dxy o 1
x
1y
z
（2） 12 ，
12
1 ： z x2 y2 ，0 z1 ，上侧；
1
2 ：z1 ， x2 y21 ，下侧； Dxy ： x2 y2 1 。
Dxy o 1
x
Байду номын сангаас
1y
zdxdy
1 2
x2
y 2 dxdy
dxdy
2 3
1 . 3
Dxy
Dxy
例 2．计算 I y( x z)dydz x2dzdx( y2 xz)dxdy ，
R( x, y,z)dxdy R( x, y,z( x, y))dxdy
Dxy
（上 侧 取 正，下 侧 取 负。）
若曲面为 ： x x( y,z) ，则有
P( x, y,z)dydz P( x( y,z), y,z)dydz
D yz
（前侧取正，后侧取负。）
若曲面为 ： y y( x,z) ，则有
A( x, y,z){0,0,R( x, y,z)} 在 上连续 ，则
R( x, y,z)dxdy
A(
x,
y,z)ndS
lim
n
R(i , i , i )cos iSi
d 0i 1
M i (i,i , i ) i z(i ,i ) ，
又∵ 取上侧，∴cosi 0 ，cosiSi 表示Si在 xy 平面
d0i1
注：（1）当
A(
x,
y,z
)
在有向曲面上
连续时，其第二型
曲面积分存在。 （2）流体v( x, y,z) 流向 有向曲面 指定侧的流量
v( x, y,z)ndS 。
三、第二型曲面积分的性质
设 A A( x, y,z) ， BB( x, y,z) ，
（1） (a AbB)ndSa AndSbBndS (a,b为常数) ；
右
左
(z2 x2 )dzdx (z2 x2 )dzdx0,
Dxz
Dxz
z2dxdy
(x2
y2)dxdy
2
d
h3d h4.
0
0
2
Dxy
故 I h4. 2
1in
处的单位法向量为 ni ，作和式 n A(i , i , i ) niSi ，如果
i1
当 d 0时 ， 对 的任意分法及点Mi的任意选取 ，上述和
式恒有同一极限，则称此极限值为 A(x, y,z)在有向曲面上
的第二型曲面积分，记为 A( x, y,z)ndS ，即
A( x, y,z)ndS lim n A(i , i , i ) niSi
A(
x,
y,
z)ndS
Pdy
dz
Qdz
dx
Rdx dy
dydz 是 dS 在 yoz 面上的投影 ；dzdx 是 dS 在
zox 面上的投影 ；dxdy 是 dS 在 xoy 面上的投影 。
它们的取值可正、可负、也可为零。如当 cos 0 时， dxdy 取正号；当 cos 0 时，dxdy 取负号。
x
6 ： z0 (0 xa, 0 ya) 的下侧；
I y( xz)dydz x2dzdx( y2 xz)dxdy
∵除 1 、2 外，其余四片曲面在yoz 面上的投影均为零，
∴ y( x z)dydz
1 2
y(az)dydz y(0z)dydz
z a
5 2
D yz
D yz
a
a
ydydza0
,
Dxy
4 o
1
a
3
ay
6
x
∴ I1a4 1a4a4 。 22
例
3．计算
I
xdy
dz
ydz
dx
zdx
3
dy
，
(x2 y2z2)2
其中 是 球面 x2 y2 z2 a2 的外侧。
解：由轮换对称性，得
I
xdy
dz
ydz
dx
zdx
3
dy
3
zdx dy
3
(x2 y2z2)2
(x2 y2z2)2
上 下 ，
有前侧与后侧下之侧分；
曲面 ： y y( x,z) 有左侧与右侧之分。n
一般o封闭曲面有内侧y与外侧之 o 分。
y
x
x
2.2 第二型曲面积分的概念与性质
一、流量问题
设一稳定流动的不可压缩流体（假定密度为 1）的
速度为
v(
x,
y,z)
P(
x,
y,z)i Q(
x,
y,z)
j
R(
x,
y,z)k
，
是 一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲 面 的
（2）近似
Mi (i , i , i )Si ， 以点 M i 处的流速vi v(Mi ) 和单位法向量ni 分别代替
Si 上其他各点处的流速和
