下载文档原格式
习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。
第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。
习题10.41. 利用Gauss 公式, 计算下列第二类曲面积分：(1) 222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(2) ()d d ()d d x y z y z x z x y ∑-+-⎰⎰, 其中∑为圆柱面221x y +=与平面0=z 和3=z 所围立体的表面, 并取外侧；(3) 333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取内侧； (4) 32()d d 2d d d d x yz y z x y z x z x y ∑--+⎰⎰，其中∑为圆柱面222R y x =+)(1≤≤0z , 并取外侧；(5) (2)d d d d x z y z z x y ∑++⎰⎰，其中∑为定侧曲面22+=y xz )10(≤≤z , 其法向量与z 轴正向夹角为锐角；(6) 24d d 2d d (1)d d xz y z yz z x zx y ∑-+-⎰⎰，其中∑为yOz 平面上的曲线e y z =(0)y a ≤≤绕z 轴旋转所成的曲面, 并取下侧；(7) 33311d d d d d d y y x y z f y z x f z x y z z y z ∑⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰, 其中函数)(u f 具有连续导数, ∑为球面1=++222z y x ，4=++222z y x 与锥面22+=z y x 所围立体的表面, 并取外侧.(8) 2∑0R >), 其中∑为下半球面z =并取下侧.2. 计算曲面积分2cos(,)d ||||S ∑⎰⎰r n r ，其中∑为一封闭光滑曲面，n 为∑上点),,(z y x 处的外法向量，),,(z y x =r . 讨论下列两种情况：(1) 曲面∑不包含原点；(2) 曲面∑包含原点.3. 计算下列向量场通过曲面∑指定侧的通量：(1) (,,)xz xy yz =A , ∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分, 并取上侧； (2) 333(,,)x y z =A , ∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取外侧.4. 求下列向量场的散度：(1) 2(4,2,)x xy z =-A , 求(1,1,3)div A ；(2) xyz =A r , 其中),,(z y x =r , 求(1,3,2)div A ；(3) 2223(,,2),xz y x y u x yz =-=A , 求div ()u A .(4) r =∇A , 其中r =求div A ；5. 求向量场 32222(2)()()z y z x y x x yz y z x y z x z x yz x y =+-+-+A i j k的散度div A 在点(1,1,2)M 处沿22=+-l i j k 方向的方向导数，并求div A 在点M 的方向导数的最大值.6. 利用Stokes 公式, 计算下列第二类曲线积分：(1) 222()d ()d ()d L xyz x y zx y z xy z -+-+-⎰, 其中L 是任一分段光滑的闭曲线；(2) 22322(e )d (e )d (e )d xy z Lx y z x y z y yz z ++-++⎰, 其中L 是圆周222,0,y z R x ⎧+=⎨=⎩且从x 轴的正向看去，L 取逆时针方向； (3) ()d ()d ()d Lz y x x z y x y z -+-+-⎰, 其中L 是椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩ 且从z 轴的正向看去, L 取顺时针方向；(4) 222222()d (2)d (3)d Ly z x z x y x y z -+-+-⎰, 其中L 是平面2=++z y x 与柱面||||1x y +=的交线，且从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向.7. 试由Stokes 定理推出空间曲线积分与路径无关的条件, 由此验证下列曲线积分与路径无关, 并计算积分值：(1)π3,2,3(0,0,0)(sin )d d cos d y z x x y x z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭+++⎰； (2) (,,)222(0,0,0)(2)d (2)d (2)d x y z x yz x y zx y z xy z -+-+-⎰.8. 求下列向量场A 沿定向闭曲线L 的环量：(1) (,,)y x a =-A (a 为常数), L 为圆周221,,x y z a ⎧+=⎨=⎩ 从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向；(2) ),,(2z y x xy +=A , L 为圆周222,1,x y z z ⎧+=-⎨=⎩ 其方向与z 轴的正向符合右手法则.9. 求下列向量场的旋度：(1) (,,)xyz xyz xyz =A , 求(1,3,2)rot A ；(2) 222()y z x =，，A , 求(1,1,1)rot A ；(3) 22(cos ,ln ,)x zy y x z =-A , 求rot A ；(4) 2(3,,2)xz yz x z =-+A , 求rot A .10. 设),,(z y x =r ，||||r =r ，)(r f 具有二阶连续导数，C 为常向量，试证： (1) []()rot ()()f r f r r'=⨯C r C ； (2) []{}div rot ()0f r =C .。
