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第二类曲线积分的计算方法与技巧摘要：第二类曲线积分是高等数学教学的重点和难点，是大学数学竞赛、研究生入学考试中的必考点，同时也是学生最难理解的内容之一。
本文通过对典型试题的分析，总结归纳了计算第二类曲线积分的各种计算方法和重要技巧，为第二类曲线积分计算提供了广阔的思路和计算便捷。
关键词：第二类曲线积分；计算方法；重要技巧0引言第二类曲线积分是高等数学微积分教学中的一个非常重要的知识点和难点，引例、概念抽象难懂，计算方法和技巧多种多样，给大多数学生造成非常大的学习困扰。
此外，每所高校高等数学教学要求不同，例如一些学校利用很少的学时只学习了计算第二类曲线积分的一些最基本的计算方法[1-4]，导致学生无法应对全国性的考试，例如考研数学、全国数学竞赛等。
本文首先总结归纳了计算第二类曲线积分的一些常用方法，并对每种方法的特点和适用范围作了注释。
其次，给出计算第二类曲线积分的一些重要技巧，这些技巧的使用，有利于简化计算，减少计算量。
最后，以两道考研和数学竞赛试题为例，结合上述方法和技巧，给出一题多解，并对各种解法做了比较。
1第二类曲线积分的计算方法1.1.直接积分法直接积分法是指将第二类曲线积分化为定积分进行计算，这是计算第二类曲线积分的最基本方法.基本原则就是“一求”，“二代”，“三定限”. 以平面第二类曲线积分为例，假设曲线的参数方程为，当参数单调地由变到时，点从的起点沿曲线移动到点。
“一求”是指根据曲线参数方程求出。
“二代”是指将曲线方程代入被积函数，即，。
“三定限”是指确定积分的积分限，遵循的原则是起点做下限，终点做上限，且不论与谁大谁小。
进而得到。
类似，可推广到空间曲线。
1.1.Green公式定理：设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线。
关于使用Green公式的说明：① 方向性问题。
闭区域的外边界逆时针为正，内边界顺时针为正。
② 是否封闭问题.若不封闭，则需要补线，使之封闭。
第二十二章 曲面积分§2 第二型曲面积分一 曲面的侧为了给曲面确定方向，先要阐明曲面的侧的概念。
设连通曲面S 上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M 为曲面S 上的一点，曲面在M 处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向。
设0M 为S 上任一点，L 为S 上任一经过点0M ，且不超出S 边界的闭曲线。
又设M 为动点，它在0M 处与0M 有相同的法线方向，且有如下特性：当M 从0M 出发沿L 连续移动，这时作为曲面上的点M ，它的法线方向也连续地变动。
最后当M 沿L 回到0M 时，若这时M 的法线方向仍与0M 的法线方向一致，则说这曲面S 是双侧曲面①；若与0M 的法线方向相反，则说S 是单侧曲面。
我们通常碰到的曲面大多是双侧曲面。
单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(M öbius)带。
它的构造方法如下：取一矩形长纸带ABCD(如图22-3(a))，将其一端扭转1800后与另一端粘合在一起(即让A 与C 重合，B 与D 重合。
如图22-3(b)所示)。
读者可以考察这个带状曲面是单侧的。
事实上，可在曲面上任取一条与其边界相平行的闭曲线L ，动点M 从L 上的点0M 出发，其法线方向与① 事实上，可以证明，只需对S 中某一点．．．0M 且又不超出S 的边界的任何闭曲线L 上 具有上述特性，则S 是双侧曲面。
0M 的法线方向相一致，当M 沿L 连续变动一周回到0M 时，由图22-3(b)看到，这时M 的法线方向却与0M 的法线方向相反。
对默比乌斯带还可更简单地 说明它的单侧特性，即沿这个带子上任一处出发涂以一种颜色，则可以不越过边 界而将它全部涂遍(即把原纸带的两面都涂上同样的颜色)。
通常由()y x z z ,=所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z 正向的夹角成锐角的一侧(也称为上侧)为正侧时，则另一侧(也称下侧)为负侧。
当S 为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。
