归纳法的各种例子(7)

初中物理归纳法的例子
1. 哎呀，你看研究声音的时候，我们可以通过归纳法！比如敲不同的东西，听听声音有啥不一样，像敲铁锅和敲木板，那声音能一样吗？这就是归纳法呀！
2. 哇塞，说到光的折射，我们找不同的介质试试，看光射进去角度怎么变的，这不就是在运用归纳法嘛，你想想是不是这个道理呀！
3. 嘿！在研究摩擦力的时候也可以用呀！在不同表面上拉同一个物体，感受摩擦力大小，这不就慢慢归纳出规律了嘛！
4. 哟呵，热胀冷缩现象也可以这样呀！试试各种材料，看看它们遇热遇冷后的变化，是不是在巧妙运用归纳法呢？
5. 你想想，探究浮力的时候，用不同形状、不同材质的物体放到水里，观察浮力情况，这不是归纳法在发挥作用吗？
6. 哎呀呀，研究电流和电阻的关系，换不同电阻试试呗，这不就是归纳法在帮忙嘛！
7. 嘿呀嘿呀，研究透镜成像规律，多换几种透镜，多观察观察，这可是典型的用归纳法去发现呀！
8. 哇哦，研究物体的运动状态，改变各种条件，然后归纳出规律，是不是超有趣呀！
9. 哈哈，归纳法真的在初中物理里无处不在呢！就像一个神奇的工具，帮助我们一点点揭开物理世界的奥秘呀！。

数学归纳法4/27数学归纳法是证明与数的无限集合（特别是正整数集合）有关的命题的一种方法．其常见的形式有：第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法等． 数学归纳法的应用．例1设数列{}n a 满足关系式：（1）112a =，（2）n n a n a a a 221=+++ )1(≥n ，试证数列通项公式为1(1)n a n n =+．说明：本例可以使用第一和第二数学归纳法证明．第二数学归纳法的证明可以概括为：“1对”；假设“k ≤对”，那么“1k +也对”． 详细地说，它分为以下三步： (1)奠基：证明1n =时命题成立； (2)归纳假设：设n k ≤时命题成立；(3)归纳递推：由归纳假设推出1n k =+时命题也成立．例2 求证：第n 个质数（将质数由小到大编上序号，2算作第一个质数）n p 小于22n． 分析：首先注意到121k p p p + 没有质因数k p p p ,,,21 ，因此它的质因数都不小于1k p +，这就是说1121k k p p p p +≤+ ．于是我们设想通过证明121212k k p p p ++< （1）来达到证明1212k k p ++<的目的，但（1）式的证明必然要用到),,2,1(22k i p ii =<．所以，我们不得不改用第二数学归纳法．因为k p p p ,,,21 都不能整除121k p p p + ，所以121k p p p + 的质因数q 不可能是k p p p ,,,21 ，而只能大于或等于1k p +．121122222211212+122kk k k k p p p p +++++-+≤+<≤<例3 已知n m ,是任意非负整数，证明：若规定1!0=，则)!(!!)!2()!2(n m n m n m +是正整数．分析：命题与两个参数n m ,有关．我们把m 看作常数，对n 进行归纳．就得到以下证法．提示： 0=n 时，原式=mm C m m m 2!!)!2(=是正整数，其中m 是非负整数． 设当k n =时命题成立，即)!(!!)!2()!2(k m k m k m +是正整数，其中m 是任意非负整数．则当1+=k n 时，(2)!(22)!(2)!2!(21)(22)(2)!(2)!(22)!(2)!4!(1)!(1)!!!()!(1)(1)!!()!(1)!!(1)!m k m k k k m k m k m k m k m k m k k m k m k m k m k m k ++++=∙=∙-+++++++++++评注：在上面的证明中，我们所用的归纳形式是：“m n ,0=任意时对”；假设“m k n ,=任意时对”，那么“m k n ,1+=任意时也对”．这里，m 被看作常数，但又是一个带有任意性的常数．我们有时把这种常数称为“活化了的常数”．这是多参数处理的一个常用方法．例4 设正数数列{}n a 满足关系式21n n n a a a +≤-，证明:对一切正整数n 有1n a n<．例5 证明：对一切正整数n ，不定方程22n x y z +=都有正整数解．例6 证明:对任何非空有限集合，都可将它的所有子集排成一列，使得每两个相邻的子集，或者是前一个仅比后一个多一个元素，或者是后一个仅比前一个多一个元素． 证：当1n =时，{}A a =，它仅有两个子集：A ∅与，怎么排都行，可见断言成立．假设n k =时断言也成立，即可按规则将},,{1k a a A =的所有子集排成一列． 下证1n k =+时断言也成立．先考虑n=2，n=3的情形： 2n =时，可将12{,}a a 的所有子集排成：1122,{},{,},{}a a a a ∅．3n =时，可将123{,,}a a a 的所有子集排成：112223123133,{},{,},{},{,},{,,},{,},{}a a a a a a a a a a a a ∅．可以看出，3n =时的前4个子集与2n =时12{,}a a 的全部子集的排法完全相同．再看看3n =时的后4个子集，就可以发现，如果从这4个子集中都划去3a ，则它们刚好就是前4个子集的逆序排列！设已将},,{1k a a 的所有的2k 个子集按照规则排成一列：k A A A 221,,, ．于是，我们只要将},,,{11+k k a a a 的所有子集排列如下：,},{,,,,12221 +k a A A A A k k },{},{1112++k k a A a A则不难验证这种排法确实合乎规则．所以当1n k =+时断言也成立．于是由数学归纳法原理知，断言对一切非空的有限集合都成立．例7 对怎样的正整数n ，集合{1, 2, …, n }可以分成5个互不相交的子集，每个子集的元素和相等．解 先找一个必要条件：如果{1, 2, …, n }能分成5个互不相交的子集，各个子集的元素和相等，那么)1(2121+=+++n n n 能被5整除．所以n ＝5k 或n ＝5k －1．显然，k ＝1时，上述条件不是充分的．下用数学归纳法证明k ≥2时，条件是充分的．当k ＝2，即n ＝9，10时，我们把集合{1, 2,…, 9}和{1, 2, …, 10}作如下分拆：{1, 8}，{2, 7}，{3, 6}，{4, 5}，{9}；{1, 10}，{2, 9}，{3, 8}，{4, 7}，{5, 6}；当k ＝3时，即n ＝14，15时，有{1, 2, 3, 4, 5, 6}，{7, 14}，{8, 13}，{9, 12}，{10, 11}；{1, 2, 3, 5, 6, 7}，{4, 8, 12}，{9, 15}，{10, 14}，{11, 13}．因为若集合{1, 2, …, n }能分成5个互不相交的子集，并且它们的元素和相等，那么{1, 2, …, n , n ＋1, …, n ＋10}也能分成5个元素和相等但互不相交的子集．事实上，如果{1, 2, …, n }＝54321A A A A A ⋃⋃⋃⋃，那么{1, 2, …, n , n ＋1, …, n ＋10}＝54321B B B B B ⋃⋃⋃⋃，其中⋃=11A B {n ＋1, n ＋10}，⋃=22A B {n ＋2, n ＋9}，⋃=33A B {n ＋3, n ＋8}，⋃=44A B {n ＋4, n ＋7}，⋃=55A B {n ＋5, n ＋6}。

归纳与演绎的具体例子
归纳和演绎是逻辑推理中的两种方法。

下面是具体的例子：
1. 归纳：根据过去的经验，看到每只鸟都有翅膀，我们可以推断出所有的鸟都有翅膀。

2. 演绎：如果所有的哺乳动物都是动物，而人类是哺乳动物，那么我们可以推断出人类也是动物。

3. 归纳：小明发现自己所有的朋友都喜欢吃巧克力，因此他推断出每个人都喜欢吃巧克力。

4. 演绎：如果所有的哺乳动物都有胎生的能力，而袋鼠是哺乳动物，那么我们可以推断出袋鼠也有胎生的能力。

5. 归纳：一个萝卜和一个豌豆都在个人蔬菜列表的前三名，那么我们可以推断出其他蔬菜也可能很受欢迎。

6. 演绎：如果所有的鸟都有翅膀，而企鹅没有翅膀，那么我们可以推断出企鹅不是鸟类。

归纳法的各种例子（7） 习题与评注1．将级数+++=+++=--543213211arcsin ,44321211)1(522212x ••x •x x ••x •x x相乘，你会得到展开的前两项++=-=-321232arcsin )1(x x x x y 。

(a)再算出若干项，并尝试猜测其一般项。

(b)验证y 满足微分方程1)1(2=-'-xy y x ，利用此方程证明你的猜测。

2．将级数+∙++=42214222x x e x ，-∙+-=-⎰542132115322x •x •x dt et x相乘，你会得到展开式的前两项++==-⎰3223122x x dt ee y t x x 。

(a)再算出若干项，并尝试猜测其一般项。

(b)如果你的猜测是正确的，它将引出一个念头，y 满足一个简单的微分方程。

建立此方程，证明你的猜测。

3．幂级数+++++=864216384122525625649411)(x x x x x f 满足函数方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=x x f xx f 1211)(。

检验这些系数，如果必要，再导出一些来，尝试猜测其一般项。

4．幂级灵敏f (x )=1+x +x 2+2x 3+4x 4+…+a n x n +…满足函数方程()[])(2)()(3)(61)(323x f x f x f x f xx f +++= 证明a n 等于C n H 2n +1OH （醇类）同分异构化合物的数目。

在n=4的场合，答案是正确的。

丁醇C 4H 9OH 的种数是a 4=4，它们表示在图5·1，每一种化合物描画成一个“树”箭头；H 略去了。

检验n 的其他值。

图5·1 C 4H 9OH 化合物5．证明：当n=0，1，2，3，4，5（mod6）时，分别有0,1,1,0,1,1)1(2••••••••••k n k nk k--=⎪⎭⎫⎝⎛--=∑。

6．一个椭圆绕它的长轴或短轴旋转时，分别形成一长旋转椭球面或扁旋转椭球面。

归纳法的经典例子
1. 你看哈，咱就说那太阳每天都会升起，这不是一次两次，而是天天如此啊，这就是归纳法呀！这不就跟你每次去那个面包店都能买到面包一样嘛。

2. 每次下雨前蚂蚁都忙着搬家，哎哟喂，这都成规律啦，这就是归纳法的体现呀！就好比你每次饿了就会找东西吃一样明显。

3. 鸟会飞，所有的鸟几乎都会飞呀，这多典型的归纳法例子呀！这不就和你知道冬天会冷是一个道理嘛。

4. 夏天总是很热，每年都这样，这就是归纳法在起作用呀！这不就跟你知道老师每次上课都会点名一样嘛。

5. 狗狗见到主人总是很开心很兴奋，总是这样的表现哦，这就是归纳法啊！就好像你每次回家看到自己舒服的床就想躺上去一样。

6. 花到了春天就会开放，每年都不会例外呀，这就是归纳法哟！这跟你每年生日都会许愿差不多呀。

7. 一到过年大家就会很开心地团聚，每一年都这样呢，这就是归纳法呀！这不类似你每次拿到零花钱就会很高兴嘛。

8. 人们每天都要吃饭，顿顿都少不了，这就是归纳法的有力证明呀！这跟你每天都要和朋友聊天交流不是一样的嘛。

结论：归纳法在我们生活中无处不在呀，通过这些常见的例子就能清楚地感受到它呢！。

归纳推理法的例子
以下是 7 条关于归纳推理法的例子：
1. 你看那些科学家们，每次做实验不都是在运用归纳推理法嘛！就好比牛顿观察苹果落地，他就归纳出了万有引力定律呀！这多神奇！难道不是吗？
2. 咱们生活中也经常会用到的呀！比如你发现每次吃了巧克力就会心情变好，那你不就可以归纳出巧克力能让人心情愉悦这个结论嘛！这不是很明显的例子吗？
3. 警察叔叔查案的时候也是呀！他们通过收集各种线索，然后归纳出犯罪的模式和嫌疑人的特征，这不就是用归纳推理法来找真凶嘛！厉害吧？
4. 医生诊断病情也是一样的道理呀！通过病人的各种症状归纳判断是什么病，就像看到发烧、咳嗽，归纳出可能是感冒啦！多直接呀！
5. 再看看我们学习知识，每次做了好多道数学题，然后归纳出解题方法和规律，下次不就会做类似的题了嘛！多有用啊！
6. 老师们评价学生也是有归纳推理在里面的哟！看到某个学生经常认真听讲、积极回答问题，就归纳出这个学生学习态度好呀！像不像？
7. 企业做市场调研也是呀！分析大量的数据和消费者反馈，然后归纳出市场趋势和消费者需求，不然怎么做出受欢迎的产品呢！就是这样的呀！
我的观点结论就是：归纳推理法无处不在，在各个领域都发挥着重要作用，我们要善于运用它来更好地理解和解决问题。

归纳推理例子
1. 你看那些鸟儿，每次看到虫子就会去啄食，难道这不就是归纳推理吗？就像我们看到天阴了，就会推测可能要下雨一样。

2. 咱就说小孩子学说话，他听到大人总说某个词，自己也就跟着说了，这就是通过一次次观察归纳出的呀！这不是很明显的归纳推理例子嘛！
3. 你想想，街上的路灯总是天黑就亮了，我们是不是每次都会觉得天黑路灯就该亮啦，这就是在我们心里形成的归纳推理呀！难道不是吗？
4. 就好像每次去动物园，看到狮子都很凶猛，那我们就会归纳出狮子都是凶猛的，多简单的归纳推理例子啊！
5. 家里的宠物狗每次听到开饭的声音就会跑过来，时间久了我们是不是自然就归纳出它听到这声音就会有这个反应呢？这简直太常见了吧！
6. 同学们每次上课铃响了就进教室，这不就是大家归纳出来的行为模式嘛，这就是归纳推理的体现呀！
7. 你观察那些职业运动员，他们长期训练某种动作，然后在比赛中就会下意识地使用，这不就是通过归纳推理知道这样做有效才一直做的嘛！
8. 去市场买菜，经常看到某个摊位生意好，就会觉得他家菜肯定好，这就是归纳推理嘛，我们都经历过的呀！
9. 每次感冒了吃某种药有效，下次感冒就还会找这种药吃，这不就是归纳推理在生活中的应用吗？
我觉得归纳推理在我们生活中无处不在呀，我们就是通过这样一次次的归纳来理解和适应这个世界的呀！。