例谈不完全归纳法在初中数学中的运用

数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。

（2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。

（3）归纳—猜想—证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。

（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。

典型例题：例1．证明：=-n(n+1)(4n+3)。

证明：①当n=1时，左，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。

②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。

n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式成立。

由①②知，当n∈N′时等式成立例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。

证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。

②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。

综上所述：命题成立。

点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。

例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。

证明：设适合条件的n个平面把空间分成p n个部分，∴p n=n2-n+2①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。

归纳思想在初中数学教学中的运用方法在初中数学中，几何部分主要采用推理论证的研究方法，代数中由于尚未学习掌握数学归纳法，所以较多地采用了不完全归纳的方法。

因此，初中代数教学中渗透归纳的思想方法有着大量机会。

正确地进行归纳，首先依赖于所举的具体事例是否具有代表性；其次依赖于对这些事例的观察、比较是否细致、准确，能否揭示事物的本质。

初中代数教学中渗透归纳思想方法，应该十分注意这两个方面。

在数学教材中采用归纳的地方很多，就表述方式上有以下几种：一、“看下面的例子……（若干个具体例子）综合以上各种情况，得到……”这种叙述方式较为典型地体现了归纳的思想方法在“有理数及其运算”这一章中，探索有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方法则的过程均采用这种叙述方式。

明确地告诉学生：这里使用的就是一种归纳的方法。

所谓“综合以上各种情况”，一是要把“各种情况都列举出来，不能有遗漏。

这又依赖于正确地对事物进行分类；二是要会“综合”，即准确地透过现象认识本质，进行归纳。

如，在探索有理数加法法则时，要引导学生观察课本所举的六种情况中，“和”的符号，绝对值对加数的符号，绝对值之间有什么关系。

再如，对于有理数乘法法则，课本共举了五种情况，具体处理时，则先提出并解决两个问题：3×2＝6，（-3）×2＝-6，通过比较这两种情况得到结论——把一个因数换成它的相反数，所得积是原来的积的相反数，然后，再利用这个结论研究其他情况，直到归纳得到法则。

在具体教学实践中，我们应该体会到这样编排的作用。

二、“从……可以看出……”这种叙述方式的特征是，借助一到两个例子，由具体到抽象得到某个结论以“去括号”的法则为例，课本通过计算验证两个算式，得到了去括号法则。

教师在教学中可向学生指出：如果把这些等式的左边看成4+（+3）（x-1）＝4+3x-3，与4+（-1）（x-1）＝4-x+1，那么不难根据乘法分配律得到正确结论，这种已有知识联系，将有助于学生的思维从合情合理到更加确信并掌握了去括号法则。

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１浅谈数学归纳法在中学数学中的应用浅谈数学归纳法在中学数学中的应用Һ李英爽㊀郭㊀微㊀（北华大学数学统计学院，吉林㊀吉林㊀１３２０１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ在中学数学中，数学归纳法是比较常用的证明方法，虽然它仅适用于一些与正整数相关的数学命题，但是在中学数学中的地位十分重要．为了帮助学生更好地了解数学归纳法的主要应用，本文首先介绍了数学归纳法的概念，然后给出了数学归纳法在解决问题时采用的步骤，最后列出数学归纳法在中学数学中的主要应用并举出相关的例子进行说明．ʌ关键词ɔ数学归纳法；中学数学；应用数学归纳法表面看着很简单，形式固定，但是很多学生难以理解其本质．有的同学在使用数学归纳法时完全靠生硬的记忆，不能掌握其真正的思想．那么，应该怎样理解数学归纳法的主要思想，解决问题时数学归纳法分哪几步，在中学数学中它都有哪些应用？本文就是在理解数学归纳法的概念，了解数学归纳法解题步骤的基础上，论述数学归纳法在中学数学中的主要应用，帮助学生使用数学归纳法证明一些复杂的命题．一㊁数学归纳法的概念数学归纳法是一种数学证明方法，主要用于证明某个命题在自然数范围内成立．在自然数之外的一些数学定理的证明也可以使用数学归纳法．数学归纳法在中学数学中是一种比较严谨的推理方法，主要用来解决与整数相关的数学问题，如证明一些等式和公式成立．二㊁数学归纳法的步骤数学归纳法在应用时分两步进行：第一步，证明命题在常数的情况下成立．从数学的角度看，命题在常数的情况下成立，那么命题在特殊的情况下也成立，这是证明命题成立的基础，是最基本的步骤，在实际解决问题中，通常用 １ 作为证明命题的起点．第二步，证明命题在任意常数下都成立．在实际解决问题中，我们通常采用未知数ｋ来代表一般情况．在ｎ＝ｋ的情况下命题成立，然后推导出ｎ＝ｋ＋１的时候命题也成立．这是证明命题成立关键的一步，同时它也代表着所要证明的结论具有普遍性．在归纳分析的时候，要将特殊的情况推广到一般的情况才能证明命题的正确．总的来说，数学归纳法的基本思路就是通过归纳总结来证明命题的成立．数学归纳法的第一步是很容易进行验证的，就是证明命题在特殊情况下成立．但归纳法的第二步是有点难度的，也是最核心的步骤．利用数学归纳法证明命题时，只有在这两步同时成立的情况下，才能证明命题正确．下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中比较常见的应用，加深学生对数学归纳法的理解．三㊁数学归纳法的应用数学归纳法可以解决很多类型的问题．下面主要介绍数学归纳法在恒等式和不等式证明中的应用，以及在数列㊁几何问题㊁整除性问题中的应用．（一）数学归纳法在恒等式证明中的应用利用数学归纳法进行恒等式证明时，整个过程只需做到等式两侧的数值相等．例１㊀证明：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋ ＋（３ｎ－２）＝（２ｎ－１）２（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，左边＝１＝（２ˑ１－１）２＝右边，等式成立．假设当ｎ＝ｋ时，等式同样成立，即ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＝（２ｋ－１）２，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＋（３ｋ－１）＋３ｋ＋（３ｋ＋１）＝［ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）］＋８ｋ＝（２ｋ－１）２＋８ｋ＝４ｋ２＋４ｋ＋１＝（２ｋ＋１）２＝［２（ｋ＋１）－１］２，也就是说，当ｎ＝ｋ＋１时等式成立，所以等式对于任意一个正整数ｎ都满足．（二）数学归纳法在不等式证明中的应用应用数学归纳法解决不等式的证明问题时，可以对不等式两边的形式观察分析，特别是不等式左边的形式，然后再找出当ｎ＝ｋ和ｎ＝ｋ＋１时左式的差异，弄清这些是解决这类问题的关键．例２㊀证明：１＋１３＋１５＋ ＋１２ｎ－１ɤ２ｎ－１（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，不等式显然成立．假设当ｎ＝ｋｋȡ１，ｋɪＮ∗()时，不等式同样成立，即１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１ɤ２ｋ－１，则当ｎ＝ｋ＋１时，左边＝１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１＋１２ｋ＋１ɤ２ｋ－１＋１２ｋ＋１＝２ｋ－１２ｋ＋１＋１２ｋ＋１ɤ（２ｋ－１）＋（２ｋ＋１）２＋１２ｋ＋１. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１＝２ｋ＋１２ｋ＋１＝２ｋ＋１，即ｎ＝ｋ＋１时，不等式成立．所以不等式对于任意一个正整数ｎ都成立．（三）数学归纳法在数列中的应用有时应用数学归纳法解决数列的有关问题时，相对于其他方法思路可能要更通畅一些．例３㊀设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ．已知ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），求：（１）ａ２的值；（２）数列｛ａｎ｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（３）求数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ．解㊀（１）将ｎ＝１代入２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），得ａ２＝４．（２）由于ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），可以求出ａ２＝４，ａ３＝９，ａ４＝１６，ａ５＝２５，ａ６＝３６， 由此猜想：ａｎ＝ｎ２．下面用数学归纳法进行证明：１）当ｎ＝１时，ａ１＝１２＝１，命题成立．２）假设当ｎ＝ｋ（ｋɪＮ∗）时命题成立，即ａｋ＝ｋ２成立，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀ａｋ＋１＝２Ｓｋｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ａ１＋ａ２＋ ＋ａｋ()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２１２＋２２＋ ＋ｋ２()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ｋˑｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）６＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝ｋ２＋２ｋ＋１＝（ｋ＋１）２．即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立．综上可知，ａｎ＝ｎ２对于任何ｎɪＮ∗都成立．（３）由（２）知ａｎ＝ｎ２（ｎɪＮ∗），则ａｎ＋１＝ｎ＋１()２＝ｎ２＋２ｎ＋１，又因为２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３，则Ｓｎ＝ｎ２㊃ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃ｎ２＋２ｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃２３ｎ２＋ｎ＋１３()＝１３ｎ３＋ｎ２２＋ｎ６．（四）数学归纳法在几何问题中的应用数学归纳法不仅适用于平面的几何问题，也适用于部分立体几何问题．下面举例说明数学归纳法在几何问题中的应用．例４㊀设多个圆心在同一条直线且两两相交的半圆，试求：这些半圆的交点最多将半圆分割成多少个圆弧？解㊀设半圆个数为ｎ，最多分割圆弧的个数为函数ｆ（ｎ），如图１所示，可知当ｎ＝２时，ｆ（ｎ）＝ｆ（２）＝４＝２２．当ｎ＝３时，为了让三个半圆相交得到的圆弧最多，就应该让第三个半圆和前两个半圆都相交，如图２所示，可得ｆ（３）＝９＝３２．同理可知，当ｎ＝４时，ｆ（４）＝１６＝４２．因此猜想有ｎ个半圆时，最多可以将半圆分割成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．图１㊀㊀㊀图２用数学归纳法进行证明：当ｎ＝２时命题成立．假设当ｎ＝ｋ时命题成立，即ｆ（ｋ）＝ｋ２．也就是说，当直线一边有ｋ个两两相交的半圆时，最多可以分割成ｋ２个圆弧．当ｎ＝ｋ＋１时，求第ｋ＋１个半圆与之前的ｋ个半圆都相交时可以得到最多的圆弧．此时，原来前ｋ的半圆都被第ｋ＋１个半圆割出了一条新圆弧，有ｋ条圆弧，第ｋ＋１个半圆都被原来所有的半圆分割成了ｋ＋１个圆弧，因此ｆ（ｋ＋１）＝ｋ２＋ｋ＋ｋ＋１＝（ｋ＋１）２，故当ｎ＝ｋ＋１时命题成立．即当有ｎ个半圆时，可以将半圆最多分成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．（五）数学归纳法在整除性问题中的应用利用数学归纳法解决整除性问题，首先需要知道一些整除性方面的知识，即如果ａ能被ｃ整除，那么ａ的倍数ｎａ也能被ｃ整除；如果ａ，ｂ都能被ｃ整除，那么它们的和或差ａʃｂ也能被ｃ整除．例５㊀证明：ｆ（ｎ）＝（３ｎ＋１）㊃７ｎ－１（ｎɪＮ∗）能被９整除．证明㊀当ｎ＝１时，ｆ（１）＝（３＋１）㊃７－１＝２７，２７显然能被９整除，故命题成立．假设当ｎ＝ｋ时，原命题成立，即ｆ（ｋ）＝（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１能被９整除，则ｆ（ｋ＋１）－ｆ（ｋ）＝［（３ｋ＋４）㊃７（ｋ＋１）－１］－［（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１］＝９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ，故ｆ（ｋ＋１）＝ｆ（ｋ）＋９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ能被９整除．综上可知，对于一切ｎɪＮ∗原命题都恒成立．结束语数学归纳法是中学数学中比较重要的学习内容，是证明命题成立的重要方法之一，它的核心就是递推思想，它可以很好地弥补不完全归纳法的不足，在多个教学环节得到了广泛应用．ʌ参考文献ɔ［１］田定京．数学归纳法在高考数列题中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１３，（２１）：７９．［２］王治平．例谈数学归纳法的应用［Ｊ］．高中数学教与学，２０１７，（１）：４５－４６．［３］张搏翰．数学归纳法在几何解题中的应用［Ｊ］．中学数学，２０１７，（１１）：７３－７４．. All Rights Reserved.。

浅析数学归纳法原理及应用举例陕西省延安市第一中学 王雪娟 （邮编：727400）【摘 要】数学归纳法是中学数学中一种重要的证明方法，在不少问题的证明中，它有着其他证明方法所不能替代的作用。

本文一方面浅谈数学归纳法原理；另一方面浅析在理解原理的前提下如何进行灵活应用。

【关键词】数学归纳法 递推 归纳假设 证明归纳法是指由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，它分为不完全归纳法和完全归纳法。

不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法，其结论不一定正确。

完全归纳法是通过研究事物的所有特殊情况得出结论的推理方法，其结论一定正确，但对于无穷多个实例的情况，我们不可能做到一一验证。

而数学归纳法它不仅克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，又克服了完全归纳法的繁杂不可行，充分体现了利用“有限”的手段解决“无限”的问题，将无穷的归纳过程转化为有限的特殊演绎过程。

在具体的教学实践中，学生往往只知其然不知其所以然，只是机械套用两个步骤，而对其真正内涵并不理解。

本文就结合教学实践浅谈数学归纳法的来源、理论根据及具体应用。

一、 数学归纳法的来源最初人们对于正整数只是处理有限个的问题，但正整数集是一个无限集，人们不可能写出所有的正整数，无法对其作无限次的操作，因此人们只有通过某种方法沟通有限与无限，来研究涉及无限集的问题，那就是数学归纳法。

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolycos 的Arithmeticorum libriduo （1575年），Maurolycos 利用递推关系巧妙地证明了“前n 个奇数的和是2n ”但他仅仅是用例子加以说明并未对方法作出清晰地表述。

最先明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家帕斯卡，他在《论算数三角形》（1645年）中用数学归纳法证明了“帕斯卡三角形”等命题，他最先清楚而明确的指出数学归纳法的两个步骤，即第一引理：该命题对于第一个底成立，这是显然的；第二引理：如果该问题对任一底成立，它必定对其下一个底也成立。

不完全归纳法在中招数学中的应用
作者：李慧英
来源：《硅谷》2008年第24期
[摘要]不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。

不完全归纳法又叫做普通归纳法。

近几年，利用不完全归纳法探求规律题成为中招热点问题。

就中招数学考试中碰到的一些问题提出解决方案。

[关键词]不完全归纳法中招数学
中图分类号：O1-0文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）1220152－01
方法叫不完全归纳法。

由于一般结论是特殊情况下通过一定的抽象、概括、直觉等思维归纳得到的，因此，归纳法在发现规律上应用广泛，在考查学生的创新能力和实践能力方面有广阔的天地。

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论，解题的思路是实施特殊向一般的简化，具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。

下面通过举例来说明这些问题。

一、数字排列规律题
1．（05江苏省宿迁市）观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（）。

A．1B．2 C．3 D．4（答案是A）
2．（05枣庄市）100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

”。

例谈不完全归纳法在初中数学中的运用郧西县城关镇城北中学 徐华进不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。

这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明．在初中数学教材中，经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导．学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力，发现、探索问题的能力。

下面略举几例说明它的运用；一. 在推导法则、定理中的运用1．利用不完全归纳法推导分式乘方的运算法则 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得：①222)(b a bb aa b a == ②bbb aaa b a =3)(=33b a ③777)(b a bbbbbbb aaaaaaa b a ==……由此可推出，当n 为正整数时，=nba)( ban b a b a b a 个···⋯⋯=nn bn a n ba b bb a aa =⋯⋯⋯⋯ 个个····(b ≠0)即分式乘方要把分子、分母分別乘方２．利用不完全归纳法推导凸多边形内角和定律 将教材的推导过程整理成下表：通过引导学生填写上表内容,分析概括,总结归纳出多边形内角和定理:n 边形内角和等于1800×(n-2). 说明：本定理的推导，还可以在多边形内（或一边上）取任一点，分别连接多边形的顶点，也可仿照上述方法，得到同样的结论，可让学有余力的学生在课外去探讨。

二.在解题中的应用1 . 从计算结果中探究规律例 计算:⑴211- = 3 ⑵221111-=33 ⑶222111111-=333 ⑷222211111111-=3333 请根据上述规律写出下式的结果:21222....222211......11111个个n n -=______________. 分析：①从⑴至⑵式的左边可以看出：被开方数中被减数1的个数是减数2的二倍，其结果中3的个数是减数2的个数。