完全归纳法

一、基础知识：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k包含于N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

这种证明方法就叫做数学归纳法。

5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）验证n取第一个值n0时命题的正确性。

（递推基础）（2）证明“由n＝k时命题正确可推得n＝k＋1时命题也正确”。

（递推的依据）（3）由以上两步骤得出结论。

以上的第一步与第二步缺一不可。

如果只有第一步证明，缺少第二步的证明，那么就只能保证当n＝n0时，命题成立，至于n取其他自然数的情形，则并未证明，这种“以一代全”的证明显然有误；而如果只证明第二步，而不证明第一步，乍看似乎能由递推的特性把n取所有自然数的情形都证明了。

但细细想来，还是有问题的，试想，当n＝n0时命题成立与否并未确认，那么第二步涉及的递推的基础又去哪儿寻找呢？即便有第二步的递推关系成立，则因缺少递推的基础，就使得第二步的证明尤如“空中楼阁”，很不可靠，二、数学归纳法疑难点归纳难点1：对象的无限性。

常见的证明方法有综合法、分析法、反证法、归纳法、类比法等。

分析法分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。

分析法的证明路径与综合法恰恰相反。

反证法由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。

反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：1）归谬法：若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。

2）穷举法：若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。

前三种方法也叫演绎法。

都是按照“从一般到特殊”的思维过程进行推理的。

归纳法归纳法或归纳推理，有时叫做归纳逻辑，是从个别性知识,引出一般性知识的推理,是由已知真的前提,引出可能真的结论。

它把特性或关系归结到基于对特殊的代表的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式的有限观察的规律。

归纳法有如下几类：1）不完全归纳法所谓不完全归纳法就是通过对某类事物的真子集逐个进行考察，发现它们具有某种性质，就大胆预见某类事物具有某种性质。

2）完全归纳法完全归纳法也叫枚举归纳法。

某类事物可分为有限种情况，如果通过逐个考察，各种情况都具有某种性质，则可以归纳地得出结论，某类事物均具有某种性质。

3）数学归纳法如果某类事物有可数无限多种情况，就无法逐个考察各种情况都具有某种性质。

数学归纳法是一种用递推的办法，通过“有限”解决“无限”的一种方法，它是用归纳法证明命题的巨大飞跃。

类比法它也叫“比较类推法”，类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。

简称类推、类比。

或者由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。

其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。

完全归纳法范文在我们这个充满活力的班级里，我决定用完全归纳法来向大家证明一个非常有趣的命题：我们班同学都很有趣。

从坐在教室前排的同学说起。

我们班的学霸小李，那可是相当有趣。

每次老师提问，他不仅能给出正确答案，还会附带一些超级冷的科学小知识。

就像上次生物课问关于细胞结构的问题，他回答完后，还补充说：“你们知道吗？细胞要是会说话，估计都在喊‘我好忙，我好忙’，因为里面各种细胞器都在不停地工作呢。

”这独特的脑回路，让全班哄堂大笑，你说有趣不有趣？再看看前排的文艺委员小王。

她是个绘画和唱歌都很棒的才女。

有一次学校组织文艺活动，她自告奋勇要给我们班的合唱设计舞台造型。

她的创意简直绝了，把我们全班同学都打扮成了各种各样的小动物，还编了一个超级搞笑的故事背景。

她说我们是“森林音乐会”，但是这个森林里的动物都有点“二”，于是我们就带着兔子耳朵、狐狸尾巴，在台上一边唱一边表演那些“二货”小动物的滑稽动作，把台下观众笑得眼泪都出来了。

这小王的有趣点子就像泉水一样，源源不断啊。

接着来到教室中间的“运动健将”小张。

这哥们儿在体育课上那可是焦点人物。

有一次我们进行接力比赛，他跑最后一棒。

前面我们班还稍微落后一点，只见他接过棒后，大喊一声：“看我超级无敌旋风腿！”然后像一阵风似的冲了出去。

可是跑着跑着，可能是太激动了，他的鞋子竟然飞出去了一只。

他也不管不顾，光着一只脚继续跑，还一边跑一边喊：“我的鞋要自己去终点啦！”最后我们班虽然没拿第一，但是他这个小插曲让整个比赛充满了欢乐，大家都记住了这个有趣的小张。

再瞧瞧坐在教室后排的“搞笑担当”小赵。

他可是我们班的段子手。

不管什么话题，到他嘴里都能变成一个超级搞笑的段子。

有一天课间，大家在讨论吃什么，有人说想吃汉堡。

小赵立马接话：“汉堡啊，那可是面包夹着肉和菜的‘建筑’，一层一层的，就像盖房子，我们吃汉堡就是在搞‘拆迁’呢。

”他这么一说，大家都笑得肚子疼，连本来不饿的同学都想去买个汉堡体验一下“拆迁”的感觉了。

二、归纳法的分类并举例说明⑴完全归纳法定义：是根据某类事物的每个分子都具有（或不具有）的某种属性，从而推出该类事物一般性结论的归纳方法。

特征：①前提考察了该类事物的全部分子，那么它的结论必然是真实的、可靠的；②完全归纳法的结论所断定的范围未超出前提的范围，因此他不是人们开拓新知识的理想方法。

运用规则：①前提确实考察了一类事物所包括的每一个体对象，不能遗漏；②每一个前提都必须是真实的，不能有一个例外。

作用：①通过完全归纳法能给人们提供新的概括性知识，使知识由局部、个别上升到全部、一般；②完全归纳法不仅是人们认识不可缺少的一种方法，同时也是一种重要的论证方法。

人们经常在议论中引用某类事物的每一个个别事物的情况来论证、说明这一类事物所具有的共性或规律，这一过程就是完全归纳法的运用。

⑵不完全归纳法定义：是根据某类事物的部分对象具有某种属性，而作出该类事物都具有某种属性的一般性结论的归纳法。

我们日常在科学研究中所使用的归纳法就是不完全归纳法。

分类：不完全归纳法主要有两种：①枚举归纳法：就是通过枚举已经考察过的对象都有某种属性，而无一相反，于是推及该类对象的全体。

在这种方法里，前提是已被考察过的对象的属性，而结论则是属于关于同类全体对象的属性。

枚举法不能提供一个确实的根据，因此，通过枚举法归纳的出的结论，只能作为一种猜想或假设，并不可靠。

为了避免结论可能出现的误差，最重要的办法是尽可能多搜集大量证实这一结论的事实材料。

事实材料越多，结论越可靠，或然性就越高。

②科学归纳法：是根据某类事物不分对象与其属性之间的必然联系，而做出关于该类所有事物的一般性结论的不完全归纳方法。

科学归纳法需要找到对象与属性之间的因果关系，而因果关系则是事物所固有的联系之一。

事物之间的联系，有偶然的也有必然的。

由于科学归纳法是基于前提的考察中分析了对象及属性间的因果必然联系，因此概括出的一般性质的结论具有必然性。

只要前提正确无误，结论也必然是正确的。

归纳法归纳法的类型1、完全归纳法是从一类事物中每个事物都具有某种属性，推出这类事物全都具有这种属性的推理方法。

例如：锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡三角形的面积都等于底乘高的一半。

完全归纳法有两个规则：一是，前提中被判断的对象，必须是该类事物的全部对象；二是，前提中的所有判断都必须是真实的。

2、不完全归纳法它包括简单枚举法和科学归纳法两类：（1）简单枚举法简单枚举法是根据某类事物的部分对象具有某种属性，从而推出这类事物的所有对象都具有这种属性的推理方法。

例如：“金导电、银导电、铜导电、铁导电、锡导电；所以一切金属都导电”。

前提中列举的“金、银、铜、铁、锡”等部分金属都具有导电的属性，从而推出“一切金属都导电”的结论。

运用简单枚举法要尽可能多地考察被归纳的某类事物的对象，考察的对象越多，结论的可靠性越大。

要防止“以偏概全”的逻辑错误。

（2）科学归纳法科学归纳法是依据某类事物的部分对象都具有某种属性，并分析出制约着这种情况的原因，从而推出这类事物普遍具有这种属性的推理方法。

简介：归纳法或归纳推理，有时叫做归纳逻辑，是论证的前提支持结论但不确保结论的推理过程。

它把特性或关系归结到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察的规律。

例如，使用归纳法在如下特殊的命题中:冰是冷的。

在击打球杆的时候弹子球移动。

推断出普遍的命题如:所有冰都是冷的。

或: 在太阳下没有冰。

对于所有动作，都有相同和相反的重做动作。

人们在归纳时往往加入自己的想法，而这恰恰帮助了人们的记忆。

物理学研究方法之一。

通过样本信息来推断总体信息的技术。

要做出正确的归纳，就要从总体中选出的样本，这个样本必须足够大而且具有代表性。

比如在我们买葡萄的时候就用了归纳法，我们往往先尝一尝，如果都很甜，就归纳出所有的葡萄都很甜的，就放心的买上一大串。

完全归纳法名词解释完全归纳法是由德国数学家柯尔莫哥洛夫创立的一种推广统计方法，这种方法又称为科学归纳法。

该方法的要点是把大量的观察或实验所获得的事实和资料集中在一起，经过对这些事实资料的加工整理和分析综合，找出其内部的规律性。

完全归纳法的步骤为：(1)将事实按出现频率分成若干等级，确定各等级的频率范围;(2)按频率范围由高到低排列事实; (3)用等级顺序求得每一事实发生的概率。

(2)根据事实间的某些属性进行概率估计，这个步骤称为概率计算。

(3)概率计算可以用公式计算，也可以根据数学上的几何级数来表达，即先把事实分成n个等级，计算各等级的频率，再从高到低依次用上述方法计算各事实发生的频率。

(4)按照对事实的综合程度，将归纳法划分为完全归纳法和不完全归纳法两类。

完全归纳法是指根据许多有限次的观察或实验所得的事实资料，经过加工、整理和分析而总结出的一般原则。

它是从已知的大量个别事实出发，通过分析、综合、抽象，形成概念，从而得出一般结论的归纳方法。

不完全归纳法只是将观察或实验所得到的事实归纳在一起，而没有提出明确的假说。

柯尔莫哥洛夫关于概率的著作就是最早的归纳法教材。

(3)运用概率计算出相应的频率，这个步骤称为频率计算。

(4)按照对事实的综合程度，将归纳法划分为完全归纳法和不完全归纳法两类。

完全归纳法是指根据许多有限次的观察或实验所得的事实资料，经过加工、整理和分析而总结出的一般原则。

不完全归纳法只是将观察或实验所得到的事实归纳在一起，而没有提出明确的假说。

例如古希腊的阿基米德，他曾将人体的构造归纳为20块骨头和60条肌肉。

另外还有近代西方的哲学家笛卡儿、欧拉、康德、马克思等人都提出了各自的归纳主张。

(5)频率计算方法：将事实按频率从高到底分成若干组，然后在各组内依次取出一定数目的样本量，计算各样本量的频率;频率计算方法有顺序计算法、比较计算法、时间计算法。

(6)抽样检验方法：对事实进行检验，以确定样本是否合乎标准。

完全归纳和不完全归纳的例子一、完全归纳的例子1. 证明所有正整数的和公式完全归纳法是证明所有正整数的和公式的最佳方法。

该公式是：1 +2 +3 + ... + n = n(n+1)/2证明：基础步骤：当n=1时，1=1(1+1)/2，公式成立。

归纳步骤：假设公式对于n=k成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

我们需要证明公式对于n=k+1也成立。

1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)= (k^2 + k)/2 + (2k+2)/2= (k^2 + 3k + 2)/2= (k+1)(k+2)/2因此，公式对于所有正整数n成立。

2. 证明所有正整数的平方和公式完全归纳法也可以用于证明所有正整数的平方和公式。

该公式是：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6证明：基础步骤：当n=1时，1^2=1(1+1)(2×1+1)/6，公式成立。

归纳步骤：假设公式对于n=k成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。

我们需要证明公式对于n=k+1也成立。

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2= (k^3 + 3k^2 + 2k)/6 + (6k^2 + 12k + 6)/6= (k^3 + 9k^2 + 23k + 18)/6= (k+1)(k+2)(2k+3)/6因此，公式对于所有正整数n成立。

3. 证明所有正整数的阶乘公式完全归纳法也可以用于证明所有正整数的阶乘公式。

该公式是：n! = 1×2×3×...×n = n(n-1)!证明：基础步骤：当n=1时，1!=1，公式成立。

归纳步骤：假设公式对于n=k成立，即k!=1×2×3×...×k。