圆的概念和有关性质-知识总结和例题

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圆的概念和有关性质 知识总结和例题

圆的旋转定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．

确定一个圆的要素:一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．

同心圆:圆心相同，半径不同 等圆 : 圆心相同，半径不同

圆的集合定义:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径

注意：1.弦和直径都是线段.

2. 直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.

弧: 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆

劣弧与优弧：小于半圆的弧叫做劣弧. ;小于半圆的弧叫做劣弧. ;

等弧：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.

1.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是

2.下面3个命题：①半径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题的个数为( )

A．0个 B．1 C．2个 D．3个

3 .如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.

图4DBONMAC 图5DBONMAC

(3) (4) (5) (6）

4.如图，在扇形MON中， =45MON ，半径MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长

5.如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.

6,如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A＝63°，求∠B的度数．

圆的对称性：

圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2 / 5 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD

辅助线方法：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.

.DACBOMNEO.ACDB.ABO

1．下列说法正确的是(

)

A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心

C．过弦的中点的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦

2如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 ．

3．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 ．

4．⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是 ．

.5．如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.

(1)求证：点E是OB的中点；(2)若AB＝8，求CD的长．

6．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)．

(1)求证：AC＝BD；

(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．

OEDCBAOCDAB3 / 5 中心对称：所以圆是中心对称图形，圆是旋转对称图形，具有旋转不变性

圆心角：顶点在圆心的角，叫圆心角。

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD

1．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为（ ）

A．AB>CD B．AB＝CD C．AB

2．已知⊙O中，M为AB︵的中点，则下列结论正确的是 ( )

A．AB＞2AM B．AB＝2AM C．AB＜2AM D．AB与2AM的大小不能确定

3．如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.在下列结论中：①AM︵＝MN︵＝BN︵；②ME＝NF；③AE＝BF；④ME＝2AE.正确的有

4.如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD︵＝CE︵.BE与CE的大小有什么关系？为什么？

（1） （3） （4） （ 5） （6）

5．如图，M为⊙O上一点，OD⊥AM于点D，OE⊥BM于点E.若OD＝OE，求证：AM︵＝BM︵.

6．如图，AB是⊙O的直径，AC︵＝CD︵，∠COD＝60°.(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC∥BD.

7.如图，A，B，C为圆O上的三等分点．(1)求∠BOC的度数；(2)若AB＝3，求圆O的半径长及S△ABC.

（7） （8）

FEDCBAO4 / 5 8．如图，∠AOB＝90°，C，D是AB︵的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE＝BF＝CD.

圆周角定理

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴2AOBACB

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角

∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵90C

∴90C ∴AB是直径

圆周角和直径的关系：

1. 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°

2.如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为( )

A．65° B．75° C．50° D．55°

3.如图，已知A，2.B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.

（2） （3） （5） （6） （7）

4.已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为

5.如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为 ．

6.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的DCBAOCBAO5 / 5 中点．(1)求BC的长；(2)求BD的长

7.如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.

（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中， ∵四边形ABCD是内接四边形

∴180CBAD

180BDDAEC

1.如图所示，已知圆心角∠AOB＝100°，求∠ACD的度数．

（1） （2） （3） (4)

2.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．

4.如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.

(1)求证：∠E＝∠C；

(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．

5.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.

(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；

(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；

(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．

EDCBA