与圆有关的概念和性质
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《与圆有关的概念和性质》复习课学案
【学习目标】
1. 通过对与圆有关的概念和性质（垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理及其推论）的结构化整理，进一步理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念以及相互关系，掌握圆的基本性质；
2. 结合具体的问题情境，分析和解决与圆的概念和性质有关的问题，掌握常用辅助线作法：作半径、从圆心作一条与弦垂直的线段；理解此类问题可以通过圆的性质转化为一个三角形（特殊三角形）或者二个三角形（全等三角形或相似三角形）的问题来解决，进一步体会转化思想.
【学情分析】
本班学生在4月天河区前测中数学平均分约75分（满分120）. 学生对于与圆有关的概念和性质有基本了解，相关知识的掌握较为零散，未能搭建知识之间的联系，形成知识网络；能解决单个知识点的简单题目，而综合题解题能力较为薄弱.
【学习过程】
一、以题点知
1.如图1，☉O的半径为13，BC是☉O的一条弦，BC=24，则圆心O到BC的距离为
.
2.若点A、B、C在☉O 上，BC是☉O中最长的弦，则∠BAC= °.
3.如图2，已知点B、C在☉O上，点A在优弧BC上， ∠BOC=132°.
（1）∠BAC= °；
（2）若点D是圆上除A、B、C外某一点，则∠BDC= °；
（3）若点D为弧BC中点，则∠BOD= °.
设计意图：通过单个知识的题目，复习和回顾与圆有关的概念和性质，为下面梳理与圆有关的概念和性质进行铺垫.
二、经典再现 COB图1
COBA图2
设计意图：通过对与圆有关的概念和性质（垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理及其推论）的结构化整理，进一步理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念以及相互关系，掌握圆的基本性质.理解圆的有关概念和性质，提供了证明线段相等、弧相等、垂直关系的方法，为与圆有关问题的计算和证明提供了重要依据.
三、典例分析
已知：☉O是△ABC的外接圆，AD为☉O的直径，AD⊥BC，垂足为E.连接BO并延长交AC于点F.
（1）如图3，求证：∠BFC=3∠CAD；
（2）如图4，过点D作DG∥BF交☉O于点G，点H为DG的中点，连接OH.求证：BE=OH.
设计意图：此题考查了圆心角、圆周角之间的关系，垂径定理，三角形内角、外角关系，全等三角形的判定和性质.圆内角或圆外角可以通过三角形的性质转化为圆周角、圆心角解决.FEDAOBC图3 HGFEDAOBC图4 与圆有关的问题可以通过圆的性质转化为一个三角形（特殊三角形）或者二个三角形（全等三角形或相似三角形）的问题来解决，进一步体会转化思想.掌握常用辅助线：作半径、从圆心作一条与弦垂直的线段，
四、技能训练
1.点P是☉O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）.
A.3cm B .4cm C.5cm D.6cm
2.如图5，点A，B，C，D，E在☉O上，AB=CD，∠AOB=42°，则∠CED=（ ）.
A.48° B.24° C.22° D.21°
3.如图6，四边形ABCD是☉O的内接四边形，BE是☉O的直径，连接AE，若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE=（ ）.
A．30° B.35° C.45° D.60°
图5
图6
图7
图8
4.如图7，A，B，C是半径为1的☉O上三个点，若AB=√2，∠CAB=30°，则∠ABC= .
5.如图8，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC= .
6.如图9，☉O的半径为4，△ABC是☉O的内接三角形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补，求弦BC的长.
图9 五、课堂小结
六、作业
A组
1.如图10，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ）.
A.40° B.50° C.80° D.100°
2.如图11，已知⊙O是∠ ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（ ）.
A.116° B.32° C.58° D.64°
3.如图12，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（ ）
A.40° B.50° C.70° D.80°
图11
图12
图13
图14
4.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图13所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（ ）.
A.8cm B.10cm C.16cm D.20cm
5.如图14，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=110°，则∠ACB= .
6.⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离. BDOACBOACCOBA图10 B组
7.如图15，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC.
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），
连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长.
8.如图16-1，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
（1）求证：DE=DB；
（2）若AD与BC交于点P，求证：DE2=DP·DA；
（3）如图16-2，若∠BAC=90°，BD=5√2，AB=6，求△ABC外接圆的半径和弦AD的长.
图15
EDBCA图16-1 EDOBCA图16-2
