圆的概念和性质

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圆的基本概念

1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成

的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．

2． 弧与弦：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．

弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以AB、为端点的圆弧记作

AB，读作弧AB．

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

判断题

（1）直径是弦 ( )

（2）弦是直径 ( )

（3）半圆是弧 ( )

（4）弧是半圆 ( )

（5）长度相等的两条弧是等弧 ( )

（6）等弧的长度相等 ( )

（7）两个劣弧之和等于半圆 ( )

（8）半径相等的两个圆是等圆 ( )

（9）两个半圆是等弧 ( )

（10）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )

【例1】 如图，点ADGM、、、在半圆O上，四边形ABOCDEOFHMNO、、均为矩形，设BCa，EFb，

NHc则下列格式中正确的是( )

A．abc B．abc C．cab D．bca

ONM

HG

FED

CBA

【例2】 如图，直线2

12ll∥，点A在直线

1l上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线

12ll、于B、

C两点，连接ACBC、．若54ABC，则∠1的大小为________

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【例3】 如图，ABC内接于O，84ABACD，，

是AB边上一点，P是优弧

BAC的中点，连接PA、

PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．

专 题：圆

第一节 圆的有关概念和性质

一【知识梳理】

1.圆的有关概念和性质

(1) 圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．

②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

(2)圆的有关性质

①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

2.与圆有关的角

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．

3.正多边形和圆

（1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六；

正四、八边形的特殊画法）

（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、 O

r R

A P B 半径、中心角、边心距；

第二节 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

一【知识梳理】

1.点与圆的位置关系:

2.直线和圆的位置关系：

切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

3.圆与圆的位置关系

(1)同一平面内两圆的位置关系：（交点的个数）

①相离:没有公共点；

②相切:只有一个公共点；

③相交:有两个公共点；

圆的性质及相关定理

圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的基本性质

1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。

2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。直径的长度等于半径的两倍。

3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。

4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。直径是最长的弦。

5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。角度是以度为单位的度量，用符号°表示。

二、圆的定理

1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。

2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。 3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。

4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。

5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。

6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。

三、应用示例

1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。

4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。

总结：

本文介绍了圆的基本性质和相关定理。通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。

1 第一讲 圆中的概念和性质

【知识点一】圆的概念与性质

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，

另一端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点0叫做圆心，

线段OA 半径.

圆的表示法：习惯上用半径r表示，以点O为圆心，记作“⊙O”，读作“圆O”

同圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆.

同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.

等圆：半径相等（能够重合）的两个圆，叫做等圆.

注意：同圆或者等圆的半径相等.

同心圆的圆心相同，半径不同的圆.

弦：连接圆上任意两点的线段 如图中的EF，CD，AB.

直径：经过圆心的弦，如图中的AB

弧：圆上任意两点间的部分，简称弧.如图，以AB为端点的弧记

为AB读作“弧AB”.

优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示，如图中CAB

劣弧：小于半圆的弧，如图中AB与CB

半圆：任意一条直径把固分成的两条弧，如圆中AC

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，如图中BD=CB

例1.（1）下列说法正确的有_________________（填序号）．

①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④所对圆心角相等的两条弧是等弧；

⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）； ⑥两个半圆是等弧．

(2)下列结论错误的是（ ）

A：圆是轴对称图形

B：圆是中心对称图形

C：半圆不是弧

D：顶点在圆心的角叫做圆心角

2

练1-1.有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（ ）

A：1 B：2 C：3 D：4

练1-2.给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的有（ ）

A：1个 B：2个 C：3个 D：4个