一元二次方程用配方法求最值

一元二次方程配方法求最值嘿，大家知道吗，一元二次方程的配方法求最值那可是相当厉害的呀！
配方法求最值的步骤其实并不复杂啦。

首先将一元二次方程化为一般形式，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式，右边就是一个常数啦。

哎呀呀，这就求出最值了呢！但要注意哦，配方的时候可别配错啦，不然就前功尽弃啦！
在这个过程中呀，那可是很安全很稳定的哟！就像走在平坦的大路上一样，只要按照步骤来，就不会出啥岔子。

它不会突然给你来个“惊喜”，让你不知所措。

那它的应用场景和优势可多了去啦！无论是在数学领域还是在实际生活中，都能大显身手呢。

比如在建筑设计中，可以用它来计算最优的结构参数；在经济领域中，可以帮助企业找到最佳的生产策略。

它就像是一把万能钥匙，能打开好多难题的大门呢！
给大家举个实际案例吧。

比如要建造一个矩形的花园，已知周长是一定的，要让面积最大，这时候就可以用配方法求最值来解决啦！通过计算得出最优的长和宽，就能让花园的面积最大化啦。

看，这效果多明显呀！
所以呀，一元二次方程配方法求最值真的是超级有用的呀，大家一定要好好掌握哦！。

初中数学几何模型与最值问题专题9 一元二次方程在实际应用中的最值问题【应用呈现】1、 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5x m . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

2、已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根，则（m +2）（n +2）的最小值是（ ） A ．7 B ．11 C ．12 D ．16二、配方法求最值1、设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值为_______。

2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA =5，AB =6，AB =1：3，则MD +的最小值为 ．三、 “夹逼法”求最值1、不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。

1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率．2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x，且第三年比第二年多销售了1200部，求x的值．5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过A分钟，那么这个月这名客户只要交10元通话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟元交费．（Ⅰ）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的A分钟，则超过部分应交通话费元（用含A的代数式表示）；（Ⅱ）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：月份通话时间/分钟通话费总数/元8月份80 259月份45 10根据上表的数据，求A的值．6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为9米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在墙DF上，点A在墙DE上，（篱笆只围AB，BC两边）．（Ⅰ）根据题意填表；BC（m） 1 3 5 7矩形ABCD面积（m2）（Ⅱ）能够围成面积为100m2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由．专题9 一元二次方程在实际应用中的最值问题 答案【应用呈现】2、 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．【解析】（1）设每年平均增长的百分率为x ． 60002)1(x +=8640，2)1(x +=1.44，∵1+x ＞0， ∴1+x =1.2， x =20%．答：每年平均增长的百分率为20%；（2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元． 故能实现目标．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5x m . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【解析】(1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x (2)由2(20－9x )＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x )＋(20－6x )]×4x ＝50得3x 2－8x ＋5＝0，∴x 1＝53，x 2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253米 【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

一元二次方程的解法二：配方法一元二次的解又叫做一元二次方程的根.我们知道一个一元二次方程可能有个实数根，也可能有个实数根，也可能实数根.我们知道，如果一个一元二次方程具有（x +h ）²=k 的形式.那么就可以用直接开方法求解.例如 （x -）2=x 2+6x +9=0 x 2+6x +9=2 4x 2-1=0思考:如何解关于x 的一元二次方程 x 2+6x +4=0 ？这种方法叫做配方法.例1．用配方法解下列关于x 的方程（1）x 2-8x +1=0 （2）x 2-2x -=0 （3）4x 2+16x =-7例2. 某种罐头的包装纸是长方形，它的长比宽多10cm ，面积是200cm ²，求这张纸的长与宽.例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，点P 的速度都是0.75m/s ，点Q 的速度是1m/s.（1） P 、Q 运动过程中，判断PQ 与AB 的关系 （2） 几秒后四边形APQB 的面积为Rt △ACB 面积的一半．235912C AQ P配方法练习小测一、选择题1．将二次三项式x 2-4x +1配方后得（ ）．A ．（x -2）2+3B ．（x -2）2-3C ．（x +2）2+3D ．（x +2）2-32．已知x 2-8x +15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x +（-4）2=31B ．x 2-8x +（-4）2=1C ．x 2+8x +42=1D ．x 2-4x +4=-113．如果m x 2+2（3-2m ）x +3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x -5=0的解是________．2．代数式的值为0，则x 的值为________． 3．已知（x +y ）（x +y+2）-8=0，求x +y 的值，若设x +y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x +y 的值，所以x +y 的值为______．三、解答题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x +3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x 2-4x +y 2，求（x y ）z 的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元（50的倍数）？2221x x x ---一元二次方程的解法二：配方法（2）配方法解方程x 2+2x -3=0 x 2+10x +20=0 x 2-6x =4x 2-x =1 x 2-8x =8 x 2+8x =-18在配方过程中，方程的两边总是加上的平方.思考：如如何解方程2x 2-5x +2=0 ？ （发现有什么不同？并思考该怎么办？）练习1 -3x 2+4x +1=0 2x 2-8x +2=121x 2+2x -1=02x 2-3x =0 3x 2-1=6x -2 x 2+21x +5=0练习3用配方法解方程x 4 +8x ²=-7 （1+x ）2+2（1+x ）-4=0代数式配方与方程配方的区别练习4求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0.练习5 一个小球，竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与跑出后小球运动的时间t （s ）关系为：h=24t-5t ².经过多长时间后，小球到上抛点的距离为16m.配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x +p)²=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x =-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．课堂小测试1．配方法解方程2x 2-x -2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x -）2=B ．（x -）2=0 C ．（x -）2= D ．（x -）2= 2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x +1）2=0C ．（2x +1）2+3=0D ．（x -a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x +4y-6z+14=0，则x +y+z 的值是（ ）．A ．1B ．2C ．-1D ．-24．如果16（x -y ）2+40（x -y ）+25=0，那么x 与y 的关系是．5．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2x （3）已知：x 2+4x +y 2-6y+13=0，求的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②设每件衬衫降价x 元时，用含x 的代数式表示出商场平均每天的利润w ，并分析当x 为多少时w 最大？4313892313891310912222x y x y-+。

一元二次方程配方法
一元二次方程配方法是解决一元二次方程的一种常见方法，通过配方法可以将一元二次方程变形为完全平方 trinomial，从而更容易求解。

下面我们来看一些例子，以便更好地理解一元二次方程配方法的应用。

例1：
将方程 x^2 + 6x + 9 = 0 进行配方法变形。

解：
首先，我们发现 x^2 + 6x + 9 是一个完全平方 trinomial，可以
写成 (x+3)^2。

所以，方程可以写成 (x+3)^2 = 0。

进一步化简可得 x+3 = 0，解得 x = -3。

例2：
将方程 x^2 - 4x + 4 = 0 进行配方法变形。

解：
同样地，我们可以发现 x^2 - 4x + 4 是一个完全平方 trinomial，可以写成 (x-2)^2。

所以，方程可以写成 (x-2)^2 = 0。

进一步化简可得 x-2 = 0，解得 x = 2。

通过以上两个例子，我们可以看到一元二次方程配方法的应用。

希望通过这些例子能够帮助大家更好地理解和掌握一元二次方程配方法。

一元二次方程配方法求最大值的方法总结一、确定变量和参数在一元二次方程中，通常设变量为x，参数为a、b、c。

其中，a、b、c为常数，且a≠0。

二、构建一元二次方程一元二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c为已知参数，x为变量。

三、进行配方转换配方法是一元二次方程求解中的一种常用方法。

通过配方，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而简化求解过程。

具体的配方步骤如下：1. 将方程的常数项移到等号的右边：ax^2 + bx = -c2. 为了使用配方法，我们需要使左边成为一个完全平方项，所以需要加上(b/2a)^2，这样左边的式子就可以写成一个完全平方的形式了：ax^2 + bx + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c3. 接下来，我们可以将左边的式子写成一个完全平方的形式：a(x + b/2a)^2 = (b^2/4a^2) - c4. 最后，我们得出方程的解为：x = [-b ±sqrt(b^2-4ac)] / (2a)四、求判别式并确定方程解的情况判别式Δ= b^2 - 4ac，根据判别式的值，我们可以确定方程解的情况：1. 当Δ> 0时，方程有两个不相等的实根；2. 当Δ= 0时，方程有两个相等的实根；3. 当Δ< 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。

五、利用配方法求解最值当一元二次方程代表的是开口向上的抛物线时（即a > 0），我们可以利用配方法求出抛物线的最大值。

最大值出现在顶点处，顶点的横坐标即为方程的解。

而纵坐标即为所求的最值。

当抛物线开口向下时（即a < 0），我们可以利用配方法求出抛物线的最小值，最小值同样出现在顶点处。