高三数学第一轮复习 函数的概念及表示教案 文 教案

三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。

年级高三学科数学版本人教版（文）内容标题函数的单调性编稿老师孙力【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性1. 概念：设函数)(xf的定义域为I（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf<，那么称函数)(xf在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf>，则称)(xf在这个区间上是减函数。

（3）单调区间：如果函数)(xfy=在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(xfy=在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(xfy=的单调区间。

注：①中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21xfxf≤或)()(21xfxf≥②单调性刻画的是函数的“局部”性质。

如xy1=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数，不能说xy1=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数。

③单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）（1）定义法[例1] 证明函数1)(31-=xxf在R上是增函数证：设21xx<，则3223123113212131231121)()(xxxxxxxxxfxf++-=-=-而分子021<-=xx分母043)21(3222312311322312311321>++=+⋅+=xxxxxxx故0)()(21<-xfxf得证补：讨论函数22)(x xaxf-=的单调性)10(≠<a解：设1>a时，对任Rx∈，022>-xxa，设121<<xx2112222212)()(x x x x a x f x f +--=，而)](2)[(221212211222x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增，同理在),1(+∞单减 当10<<a 时，同理在（1,∞-）单减，在（1，∞+）单增[例2] 讨论xx x f +=1)(的单调性解：设21x x <，则)11)((11)()(2112112212x x x x x x x x x f x f --=+-+=-21212112)()1)((x x x x x x x x +--=（1）当1021≤<<x x 时，1021<<x x ，0)()(12<-x f x f （2）当211x x <≤时，211x x <，0)()(12>-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数[例3] 试求函数xpx x f +=)(（p 0≠）的单调区间 分析：考虑到212112112212)()()()(x x p x x x x x px x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 （1）当p 0>时① 若p x x -≤<21，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增 ② 若021<<≤-x x p ，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减③ 若p x x ≤<<210，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减④ 若21x x p <≤，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增（2）当0<p 时① 若021<<x x ，则0)()(12>-x f x f 增 ② 若210x x <<，则0)()(12>-x f x f 增综上所述，0>p 时，)(x f 在)0,[p -或],0(p 上是减函数)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数时，在或上是增函数在)0,[p-及],0(p上分别单调递减另法，利用导数21)(xpxf-=')(122pxx-=（1）若0>p则))((1)(2pxpxxxf-+='（2）若0<p，则0)(>'xf下证高考分式函数试题类型与解法研究[例4] 讨论分式函数xbaxxf+=)(的单调性（0≠ab）以下只研究0,0>>ba与0,0<>ba两种情形对于0,0><ba与0,0<<ba可利用对称性得到。

第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。

祝你取得优异的成绩！。

第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。

一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。

第二章 函数——第7课时：函数的概念一．课题：函数的概念二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程： （一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义； 2．函数的传统定义和近代定义； 3．函数的三要素及表示法． （二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键； 3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．（三）例题分析：例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+； （3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应（2）是A 到B 的映射．例2．已知集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)x y ，则集合N = （ D ）()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> ()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>> ()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<< ()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>解法要点：因为2x y +=，所以2222xyx y+⋅==．例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是 （ D ）()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个解法要点：∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f 的个数是9218⨯=．第二章 函数——第7课时：函数的概念例4．矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE CF x ==，（1）将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式； （2）求S 的最大值． 解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x SS S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯- 22113113169()22228x x x =-+=--+．∵CE CB CD ≤≤，∴05x <≤，∴函数()S f x =的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤； （2）∵()f x 在(]0,5x ∈上单调递增，∴max (5)20S f ==，即S 的最大值为20．例5．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =， （1）求(0)f 的值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=，又∵(1)0f =，∴(0)2f =-．（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2x ∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，当1a >时，21log log 2a ax <,显然不成立． 当01a <<时，21log log 2a a x >，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩1a ≤< ∴a的取值范围是[4．（四）巩固练习：1．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66-的原象是11(,)32-或12(,)43-．2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ C ）()A2xyx=()B2y=()C lg10xy=()D2log2xy=3．设函数3,(10)()((5)),(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f＝8．五．课后作业：《高考A计划》考点7，智能训练5，7，9，10，13，14．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

1．理解函数奇偶性的定义，以及几何意义．2．能够准确的判断函数的奇偶性，并能利用函数奇偶性求函数解析式，函数值等．1．奇函数、偶函数的代数特征（1）一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫做奇函数；（2）一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫做偶函数． 2．奇函数、偶函数的几何特征 （1）奇函数图象关于原点成中心对称； （2）偶函数图象关于y 轴成轴对称． 注意：1．具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称． 2．若奇函数()f x 在原点处有定义，则()00f =．3．既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x D ∈，其中定义域D 是关于原点对称的集合．【例1】（1）已知下面四个函数中：①412x x y +=，②(ln 2y x =，③2ln 2x y x -=+，④()x xy x e e -=-，是奇函数的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【解析】对①，函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()411412222x x xx x x f x f x --++-==+==，故函数为偶函数；对②，20x >恒成立，故函数定义域为R ，关于原点对称， 且()(22ln 2x x f x x --=-=(()lnln 2x f x ==-=-，故函数为奇函数；对③，由202xx->+可解得22x -<<，即函数定义域为()2,2-，关于原点对称， 且()()22lnln 22+--==-=--+x xf x f x x x，故函数为奇函数； 对④，函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()x x x xf x x e e x e e f x ---=--=-=，故函数为偶函数，综上，②③为奇函数，故选B ． （2）下列函数中：①2y x =，②21(1)y x =+，③21y x =+，④1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩偶函数的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】①2y x=，定义域是{|0}x x ≠，满足()()f x f x -=-，所以是奇函数； ②21(1)y x =+，定义域是{|1}x x ≠-，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；③21y x =+，定义域是R ，满足()()f x f x -=，所以是偶函数；④1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，定义域是{|0}x x ≠，当0x <时，()1()1()f x x x f x -=--=+=； 当0x >时，()1()1()f x x x f x -=+-=-=，满足()()f x f x -=，所以是偶函数， 故选C ．（3）判断下列函数的奇偶性．（1）()f x =（2）()22,0,0x x x f x x x x ⎧+>=⎨-<⎩；（3）()22f x x x a =--+．【答案】（1）函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；（2）函数是偶函数；（3）答案见解析．【解析】（1）因为函数()f x =32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不关于坐标原点对称，所以函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）易知函数的定义域为()(),00,-∞+∞，关于原点对称，又当0x >时，()2f x x x =+，则当0x <时，0x ->，故()()2f x x x f x -=-=； 当0x <时，()2f x x x =-，则当0x >时，0x -<，()()2f x x x f x -=+=，故原函数是偶函数．（3）函数()f x 的定义域为R ，当0a =时，()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数．当0a ≠时，()22f a a =+，()222f a a a -=-+，()()f a f a ≠-，且()()()2217222022f a f a a a a ⎛⎫+-=-+=-+≠ ⎪⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数．【变式1．1】（多选）下列函数是奇函数的是（）A ．()cos f x x x =B ．()21x xf x x -=-C ．()lg f x x =D ．()x xf x e e -=-【答案】AD【解析】对于A ，定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，()f x 是奇函数； 对于B ，定义域为()(),11,-∞+∞，不关于原点对称，()f x 是非奇非偶函数；对于C ，定义域为()(),00,-∞+∞，()()lg lg f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数；对于D ，定义域为R ，()()()x x x xf x e e e e f x ---=-=--=-，()f x 是奇函数，故选AD ．【变式1．2】（多选）下列函数中，是奇函数且在()0,1上单调递减的函数是（） A ．1112x y e =-+B ．3sin 3sin y x x =+C ．1lg1xy x-=+D ．1,00,01,0x x y x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-->⎩【答案】ACD【解析】对于A ，设()1112xy f x e ==-+，该函数的定义域为R ， 且()()111121210x x f x f x e e --+=-+-=++，所以该函数为奇函数， 又函数10x y e =+>在()0,1上恒成立且单调递增， 所以函数1112x y e =-+在()0,1上单调递减，故A 正确； 对于B ，设()3sin 3sin y g x x x ==+，该函数的定义域为R ，且()()()()33sin 3sin sin 3sin g x x x x x g x -=-+-=--=-，所以该函数为奇函数，又sin y x =在()0,1上单调递增，所以函数3sin 3sin y x x =+在()0,1上单调递增，故B 错误；对于C ，设()1lg1xy h x x-==+，该函数的定义域为()1,1-， 且()()11lglg 11x xh x h x x x+--==-=--+，所以该函数为奇函数， 又12111x y x x-==-+++在()0,1上单调递减， 所以函数1lg1xy x-=+在()0,1单调递减，故C 正确； 对于D ，设()1,00,01,0x x y p x x x x -+<⎧⎪===⎨⎪-->⎩，定义域为R ， 且当0x >时，()()1p x x p x -=+=-；当0x <时，()()1p x x p x -=-=-， 所以该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()1p x x =--，单调递减，故D 正确， 故选ACD ．1．函数奇偶性的判断方法 （1）定义法①判断函数的定义域是否关于原点对称 ②计算()f x -③判断()f x -与()f x 的关系：当()()f x f x -=或()()0f x f x --=时，()f x 为偶函数； 当()()f x f x -=-或()()0f x f x -+=时，()f x 为奇函数； 当()()f x f x -≠或()()0f x f x --≠时，()f x 为非奇非偶函数． （2）奇偶性的“运算”①奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数②奇函数⨯奇函数=偶函数，奇函数⨯偶函数=奇函数，偶函数⨯偶函数=偶函数 2．常见的奇偶性模型①()x x f x a a -=+()0,1a a >≠且为偶函数； ②()x x f x a a -=-()0,1a a >≠且为奇函数；③()x xx x a a f x a a ---=+()0,1a a >≠且为奇函数；④()log a b xf x b x-=+()0,1,0a a b >≠≠且为奇函数；⑤())log af x x=()0,1a a >≠且为奇函数；⑥类似于()432f x ax bx cx dx e =++++这种由幂函数乘以一个系数再相加形式的函数， 当()f x 为奇函数时，偶次项系数都为0，即0,0,0a c e ===； 当()f x 为偶函数时，奇次项系数都为0，即0,0b d ==． 3．分段函数的奇偶性判断判断分段函数的奇偶性，应判断每段期间上()f x 与()f x -的关系，只有每段函数都满足相同的奇偶关系，我们才能说函数具有奇偶性．【例2】已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22xf x =+，则()1f =（）A ．4-B ．52-C ．4D ．52【答案】B【解析】由题设知：15(1)(1)(22)2f f -=--=-+=-，故选B ．【变式2．1】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，并且当()0,x ∈+∞时，()2xf x =，那么21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】5-【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2211log log 055f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2log 5221log log 5=255f f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，故答案为5-．【例3】已知3()1f x ax bx =++，且()57f =，则()5f -的值是（） A ．－5 B ．－7 C ．5 D ．7【答案】A【解析】因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+，则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-， 所以()()551615f g -=-+=-+=-，故选A ．【变式3．1】已知()()tan 6x xe f x x e -=⋅++，()8f t =，则 ()f t -=______．【答案】4【解析】∵()()6tan x xe f x x e --=⋅+，∴()()()6tan()tan ()[()6]x x x x e f x x ex e f e x ------=-⋅+=-⋅+=--， 即()6f x -为奇函数，∴()6()6f t f t --=-+，故()12()1284f t f t -=-=-=， 故答案为4．【变式3．2】已知函数()22421x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于___________． 【答案】8 【解析】()2244244212121x xx xx x x xf x +++⋅++===++++，()21x xg x =+， 因为()()2121xxx x g x g x ---==-=-++，所以函数()21xx g x =+是奇函数，因此()min max ()0g x g x +=，因此max min ()4()48M m g x g x +=+++=， 故答案为8．【变式3．3】已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=__________．【答案】32-【解析】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=， 即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-， 故答案为32-．【变式3．4】已知3sin x x m +=，311sin 288y y m +=-，且π,4π,,4x y m ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭R ，则πtan 23x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭_________．【解析】设3()sin f x x x =+，因为()()()33()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以3()sin f x x x =+是奇函数，又331(2)8sin 28sin 28f y y y y y m ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，()(2)0f x f y m m ∴+=-=，20x y ∴+=，tan 2ππtan33x y ⎛⎫∴++== ⎪⎝⎭【例4】已知函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，()()23x f x g x +=⋅，则函数()f x =__________． 【答案】33x x -+【解析】因为()()23x f x g x +=⋅，所以()()23x f x g x --+-=⋅， 又(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=-=-；所以()()()()23xf xg x f x g x --+-=-=⋅，则()()()()2323xx f x g x f x g x -⎧+=⋅⎪⎨-=⋅⎪⎩， 两式相加得()22323x x f x -=⋅+⋅，所以()33x xf x -=+，故答案为33x x -+．【变式4．1】已知函数)(f x 是定义在R 上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当)(,0x ∈-∞时，)(f x =_________． 【答案】21x x --+【解析】函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，当)(0,x ∈+∞时，)(21f x x x =--，则当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()()()2211f x x x x x -=----=+-，故()()21f x f x x x =--=--+，故答案为21x x --+．【例5】已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23f x x x =--，则当0x <时，()f x =_________． 【答案】23x x -【解析】当0x ≥时，()23f x x x =--，当0x <时，则0x ->，∴()()()2233f x x x x x -=----=-+， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则当0x <时，()22()()33x x x x f x f x =--=--+=-，故答案为23x x -．【变式5．1】定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()f x g x +=432421x x x +-+，若()2522f x a a ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．31,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．31,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．13,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()432421f x g x x x x +=+-+，所以()()()()432432421421f x g x x x x f x g x x x x ⎧+=+-+⎪⎨-+-=--+⎪⎩， 所以()()()()432432421421f xg x x x x f x g x x x x ⎧+=+-+⎪⎨-=--+⎪⎩，所以()42421f x x x =-+， 因为x ∈R ，所以20x ≥，令2t x =，则0t ≥，()()2421f x h t t t ==-+，由二次函数的性质知()h t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()211134214444h t h ⎛⎫⎛⎫≥=⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 因为()2522f x a a ≥-恒成立，所以253224a a -≤，解得1342a -≤≤，所以实数a 的取值范围为13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ．【例6】已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且()3f a -=，则a =（） A ．12B ．12-C ．2log 3D ．2【答案】B【解析】函数()f x 为奇函数，(3)(3)f f a ∴-=-=．又2()log (1)f x x ax =++，则2(3)log 43f a a =+=-，解得12a =-，故选B ．【变式6．1】已知()g x 是定义在R 上的奇函数，()()2f xg x x =+，若()2f a =，2(2)f a a -=+，则a =（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．2或1【答案】C【解析】()g x 是奇函数，()()0g x g x ∴+-=，2()()2f x f x x ∴+-=， 而()2f a =，2(2)f a a -=+，所以2422a a +=，解得2a =或1-， 故选C ．【例7】已知函数()()x xf x e ae a -=+∈R 的图象关于原点对称，则()f a =（）A ．1e e-B ．1C ．1e e -D ．1e e+【答案】A【解析】函数()()x xf x e ae a -=+∈R 的图象关于原点对称，可得()f x 在定义域R 上为奇函数， 根据奇函数性质()()f x f x -=-， 令0x =，可得()00f =， 又()0000f e ae =+=，1a ∴=-，()x x f x e e -∴=-，故()()1111f e e a f e e--==-=-，故选A ．【变式7．1】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()log (2)f x x t =++，()6f -=__________． 【答案】2- 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，又当0x ≥时，2()log (2)f x x t =++，()2log (02)00f t =∴++=，1t ∴=-，∴当0x ≥时，2()log (2)1f x x =+-，()()[]()322log (626)1log 2621f f +-=-∴-=-=--=-， 故答案为2-．【例8】已知函数()()222f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式()()20x f x -<的解集为（）A．(()2,+∞B．()+∞C ．()2,+∞D．()2【答案】A【解析】因为函数()()222f x ax a x a =+++为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()()222222ax a x a ax a x a -++=+++，所以2(2)0a x +=，所以20a +=，得2a =-，所以()224f x x =-+，所以不等式()()20x f x -<可转化为20()0x f x -<⎧⎨>⎩或20()0x f x ->⎧⎨<⎩，即22240x x <⎧⎨-+>⎩或22240x x >⎧⎨-+<⎩，解得x <<或2x >，故原不等式的解集为(()2,+∞，故选A ．【变式8．1】已知函数()22x xa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于__________． 【答案】13-或3【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即2222x xx xa a a a ----=-++， 212212212212x x x x x x xx a a a a a a ⋅--⋅-∴==⋅++⋅+，整理可得222222x x x x a a -⋅=⋅-， 21a ∴=，解得1a =±．当1a =时，()1212xx f x -=+，()()1211123f a f -∴===-+； 当1a =-时，()1212x xf x +=-，()()11213112f a f +∴=-==-， 综上所述：()13f a =-或3，故答案为13-或3．【变式8．2】已知函数())lnf x x =是奇函数，则a =_________．【答案】1【解析】函数())lnf x x =是奇函数，()()f x f x ∴-=-，))lnln x x ∴=-，即))ln ln 0x x +=， )ln 0x x =，)1x x ∴=，1a ，故答案为1．【例9】已知()21f x ax bx =-+是定义域为[],1a a +的偶函数，则2b a a -=（）A ．0B ．34CD ．4【答案】B【解析】∵()21f x ax bx =-+在[],1a a +上是偶函数，∴1a a -=+，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()2112f x x bx =--+，∵()f x 在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以有1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，代入解析式可解得0b =， ∴213144b a a -=-=，故选B ． 【变式9．1】已知函数()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，则a =（） A ．1- B ．12C ．12- D ．1【答案】D【解析】函数的定义域为{1x x ≠-且}x a ≠， 因为()()()sin 1xx f x a x =+-为奇函数，所以定义域关于原点对称，则1a =，所以()()()2sin sin 111x xx x x f x ==+--，因为()22sin()sin ()()11x xf x x x f x --===-----，满足()f x 为奇函数，故选D ．【变式9．2】设函数()f x ，()g x 均是定义在241,22m m m --++⎡⎤⎣⎦上的偶函数和奇函数，且满足()()2221x f x g x x +=++，则()f m 的值为（）A ．12 B ．32C ．134D ．174【答案】D【解析】∵函数()f x ，()g x 均是定义域为241,22m m m --++⎡⎤⎣⎦的偶函数和奇函数，即有24122m m m +=++，解得1m =，∵()()()()()22221221x xf xg x x f x g x x -⎧+=++⎪⎨-+-=+-+⎪⎩， ∴有()()()()22221221x x f x g x x f x g x x -⎧+=++⎪⎨-=++⎪⎩，解得()()2122212x x f x x -=+++， ()()1714f m f ∴==，故选D ． 【例10】已知奇函数()22,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩，则不等式()13x f x ++≤的解集为________． 【答案】(],1-∞【解析】因为()f x 是奇函数且()10f =，所以()10f -=，所以1a =-，所以不等式()13x f x ++≤等价于()()210113x x x x +≥⎧⎪⎨++-+≤⎪⎩或()()210113x x x x +<⎧⎪⎨-+-+≤⎪⎩，所以1x ≤，所以不等式()13x f x ++≤的解集为(],1-∞，故答案为(],1-∞．【变式10．1】已知函数22sin ,0(),[0,2π)3cos(),π0x x x f x x x x αα⎧⎛⎫++>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪-++<⎩是奇函数， 则α=__________． 【答案】7π6【解析】函数22sin ,0(),[0,2π)3cos(),π0x x x f x x x x αα⎧⎛⎫++>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪-++<⎩是奇函数， 设0x <，则0x ->，()2sin(π)3x f x x +-+-=，()()2sin(π)3f x x f x x -=--∴=--+，即22cos()sin()3πx x x x α---++=-+，πcos()sin()sin()π32x x x αα∴+=-=++，故π2ππ23x x k α-=+++，5π2π,6k k α∴=--∈Z ， 当1k =-时，满足7π6α=， 故答案为7π6．1．利用函数的奇偶性求参数值的方法（1）若函数定义域含有参数，则可以利用奇（偶）函数定义域关于原点对称的性质求解；（2）若函数解析式含参数①对于在0x =处有定义的奇函数，利用()00f =求解； ②可以利用奇（偶）函数()f x 与()f x -的关系求解．一、选择题．1．若函数()2f x x =，()cosg x x x =，则（）A ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数B ．()f x 与()g x 均为偶函数C ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数D ．()f x 与()g x 均为奇函数【答案】C【解析】22()()()f x x x f x -=-==且定义域为R ，则()f x 为偶函数；()()cos()cos ()g x x x x x g x -=--=-=-且定义域为R ，则()g x 为奇函数， 故选C ． 2．设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数， 故选B ．3．已知函数()1lg 1x f x x +=-，()(),11,x ∞∞∈--+，()f a b =，则()f a -=（）A ．bB ．b -C ．1bD ．1b-【答案】B【解析】由题得()(),11,x ∞∞∈--+，()111lglg lg ()111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-，所以函数()f x 是奇函数，所以()()f a f a b -=-=-，故选B ． 4．若函数()(1)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．1-【答案】A【解析】因为函数()(1)()xf x x x a =+-为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，由题意得100x x a +≠⎧⎨-≠⎩，即1x x a ≠-⎧⎨≠⎩，所以1a =，又当1a =时，2()(1)(1)1x xf x x x x ==+--，满足()()f x f x =--，函数()f x 是奇函数，所以1a =成立， 故选A ．5．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1xf x e =-，则当0x <时，()f x =（）A ．1x e +B ．1x e -C ．1x e -+D ．1x e --+【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，()1x f x e -∴-=-，设()f x 为奇函数，()1x f x e -∴-=-，即()1x f x e -=-+，故选D ．6．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，1()3x f x a +=-（a 为常数）则(1)f -的值为（） A ．6- B ．3-C ．2-D ．6【答案】A【解析】由题意知：(0)0f =，即30a -=，则3a =， ∴0x ≥时，1()33x f x +=-，由奇函数对称性知：2(1)(1)(33)6f f -=-=--=-，故选A ． 二、填空题．7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)2f =，(1)3f =．写出()f x 的一个解析式为__________．【答案】2()2f x x =+（答案不唯一）【解析】二次函数2()f x ax b =+，显然满足()()f x f x -=，所以该函数是偶函数， 由(0)22f b =⇒=，由(1)3231f a a =⇒+=⇒=，所以2()2f x x =+， 故答案为2()2f x x =+． 8．函数2()21xxf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________． 【答案】1【解析】因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 222121x x x x ax ax ---=+--，222121x x a a ---=+--，222202121xxx a ⨯+-=--， 即22a =，所以实数1a =， 故答案为1．9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12xx a x f =+-，则()()3f f =________． 【答案】11【解析】()010f a =-=，1a =，当0x <时，0x ->，()()12xx f f x x -=-+-=--，即()12xf x x -=-+，()12,00,012,0x x x x f x x x x -⎧+->⎪==⎨⎪-+<⎩， ()34234f =-=-，()414521f =-+=-，()()311f f =， 故答案为11．10．函数22(1)22()1x xx f x x -++-=+在区间[2021,2021]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=___________．【答案】2【解析】222(1)22222()111x x x xx x f x x x --++-+-==+++， 设2222()1x x x g x x -+-=+，则()2222()1x xx g x g x x --+-==-+-，则()g x 为奇函数， ∴函数()f x 的最大值为1T +，最小值为1T -+，则1M T =+，1m T =-+，2M m ∴+=， 故答案为2．11．函数()()()2x a bx a f x -=+（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为[)10,-+∞，则该函数的解析式()f x =__________． 【答案】2210x -【解析】()()()()22222x a bx a bx a b x a f x -+=-=+-，定义域为R ，()()2222bx a f b x a x -=---，因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()20a b -=，即0a =或2b =．当0a =时，()2f x bx =，值域不是[)10,-+∞，舍去； 当2b =时，()222222f x a x a =-≥-，所以2210a -=-，则()2210f x x =-，故答案为2210x -． 三、解答题．12．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-． （1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式； （2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．【答案】（1）2()2f x x x =+；（2）1或1 【解析】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+．（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =1m =-．13．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时，()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-，()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-．【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦． 所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩． （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+， 所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-， 由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-，()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-．。

函数的概念与表示(教案)一、知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义： （2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。

4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域1.(郑州模拟)函数0()A.{x|x<0}B.{x|x>0}C.{x|x<0且x ≠-1}D.{x|x ≠0且x ≠-1,x ∈R} 解析:依题意有x+1≠0|x|-x>0,解得x<0且x ≠-1,故定义域是{x|x<0且x ≠-1}.答案:C2、若函数f(x+1)的定义域是[1,2],则函数)的定义域为________.解析:∵f(x+1)的定义域是[1,2],∴f(x)的定义域为[2,3],对于函数)满足23,∴4≤x ≤9.∴的定义域为[4,9]. 答案:[4,9] 3、函数y=253x x --的值域是{y|y ≤0或y ≥4},则此函数的定义域为________. 解析:∵y ≤0或y ≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x ≤72. 答案:52≤x<3或3<x ≤72.探究二：求函数的解析式 例2．（1）已知3311(f x x xx +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()(3f x f x x+=，求()f x ．解：（1）∵3331111()(3()f x x x x x x x x+=+=+-+，∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-． （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．（4）12()()3f x f x x += ①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+=②，①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-．注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．三、方法提升1、判断一个对应是否为映射关键在于是否“取值任意性，成象唯一性；判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．四、 反思感悟五、课时作业课时训练 函数的解析式与定义域【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.（2010江苏南京一模，2）函数y=322--x x +log 2(x+2)的定义域为（ ）A.（-∞,-1）∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪［3,+∞）C.(-2,-1]D.(-2,-1］∪［3,+∞) 答案：D解析：⎩⎨⎧->-≤⇒⎩⎨⎧>+≥--,2,1,02,0322x x x x x 或x ≥3⇒-2<x ≤-1或x ≥3.2.若f(x+1)=21f(x),则下列函数中f(x)为（ ） A.2x B.x+21C.2-xD.21log x 答案：C3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=221x x -(x ≠0),则f(21)等于（ ）A.1B.3C.15D.30答案：C解析：令g(x)=21,则x=41,∴f(21)=22)41()41(1-=15. 4.设函数f(x)=lgx,g(x)=4x -2x+1-3,则函数f ［g(x)］的定义域是（ ） A.（-∞,2） B.(2,+∞) C.(log 23,+∞) D.(-∞,log 23) 答案：C解析：f ［g(x)］=lg ［g(x)］=lg(4x -2x+1-3),由4x -2x+1-3>0,得（2x +1）(2x -3)>0,又2x +1>0,∴2x >3,即x>log 23,故选C.把上表反映的数据关系，用一个函数来近似地表达出，其中数据最接近的一个是（ ） A.S=1+2t-3 B.S=23log 2t C.S=21(t 2-1) D.S=-2t+5.5 答案：B解析：分别取近似数对（2，1.5）,(3,2),(4,3),(8,4.5)代入验证即可选B. 6.已知函数y=f(x)的图象如下图,那么f(x)等于（ ）A.122+-x x B.1||22+-x x C.|x 2-1|D.x 2-2|x|+1 答案：B解析：C 、D 表示二次函数故首先排除.又∵f(-1)=0,故排除A ，故选B. 7.（2010全国大联，8）已知函数y=f(2x )的定义域是［-1，1］，则函数y=f(log 2x)的定义域是（ ）A.（0,+∞）B.(0,1)C.［1，2］D.［2，4］ 答案：D解析：∵x ∈［-1，1］，∴2x ∈［21，2］，故log 2x ∈［21，2］，∴x ∈［2，4］. 二、填空题（每小题5分，共15分） 8.函数f(x)=xx -++211的定义域为_______________. 答案：［-1，2）∪（2，+∞） 解析：∵⎩⎨⎧≠-≥+.02,01x x ∴x ≥-1且x ≠2.9.已知f(x+1)的定义域是［1，2］，那么函数f(x )的定义域为___________________.答案：［4，9］解析：∵x ∈［1，2］，∴x+1∈［2，3］. ∴f(x )中的x 满足2≤x ≤3，即4≤x ≤9.10.设函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),函数g(x)=-x 2+bx+c 且f(2+2)-f(2+1)=21,g(x)的图象过点A （4，-5）及B （-2，-5），则a=____________;函数f ［g(x)］的定义域为_______________. 答案：2 -1<x<3解析：log a (2+2)-log a (2+1)=21⇒log a 2=21,a=2. 由g(4)=g(-2)=-5,知g(x)+5=-(x-4)(x+2),故⎩⎨⎧==.3,2c b∴f ［g(x)］=log 2(-x 2+2x+3),由-x 2+2x+3>0，得-1<x<3.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.已知函数f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且f ［f(a)］=3,求a 的值. 解析：令x=0，f(a)=|-2|-|2|=0. ∴f ［f(a)］=f(0)=|-a-2|-|-a+2|=3. ∴|a+2|-|a-2|=3.当a>2时，有a+2-(a-2)=3无解； 当-2≤a ≤2时，有a+2+(a-2)=3⇒a=23； 当a ≤-2时，有-(a+2)+(a-2)=3无解. ∴a=23. 12.已知函数f(x)=34723++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围.解析：当a=0时，函数定义域为R . 当a ≠0时，要使ax 2+4ax+3≠0对一切x ∈R 恒成立，其充要条件是Δ<0,即16a 2-12a<0,∴0<a<43.因此a 的取值范围为［0，43）. 13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计?解析：设半圆的半径为x,则窗户的面积y=21πx 2+2x ·)26(26ππ+-=--x x l x 2+l x, 由⎪⎩⎪⎨⎧>-->,026,0x x l x π解得0<x<π+6l .∴y=-(6+2π)x 2+lx(0<x<π+6l ).当x=π+12l 时y 有最大值.这时半圆的直径为π+122l ,大矩形的另一边长为π+123l.14.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数). （1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围; （3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围. 解析：（1）函数f(x)的定义域为（-1，+∞），值域为R . （2）∵2x+t>0,x ∈［0，1］,∴t>0. （3）当0≤x ≤1时，f(x)≤g(x)⇔⎩⎨⎧+≤+>+⇔,21,02t x x t x t ≥1+x -2x(0≤x ≤1)⇔t ≥(1+x -2x)max . 设U=-+1x 2x,m=1+x ,则1≤m ≤2,x=m 2-1, ∴U=m-2(m 2-1)=-2m 2+m+2=-2(m-41)2+81+2. ∴当m=1(x=0)时，U max =1.∴t ≥1.附加题：1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为(,0]-∞．2．函数1sin 21sin 2xy x +=-的定义域为{|(1),}6k x x k k Z ππ≠+-∈． 3、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．解：设每月用水量为x 3m ，支付费用为y 元，则有8,0(1)8(),(2)c x ay b x a c x a+≤≤⎧=⎨+-+>⎩由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量153m ，223m 均大于最低限量a 3m ，于是就有198(15)338(22)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩，解之得2b =，从而219 (3)a c =+再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a 3m ，不妨设9a >，将9x =代入（2）式，得982(9)a c =+-+，即217a c =+，这与（3）矛盾．∴9a ≤． 从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有89c +=，得1c =． 故10a =，2b =，1c =．4．（2010山东理）(11)函数y =2x-的图像大致是2x5．山东卷理)函数的图像大致为 ( ).答案 A解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.x xx xe e y e e--+=-0xxe e--≠{}0|≠x x 22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---0x >A。

§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。