研究性学习(27)数列问题中的系列问题研究

数学研究性课题研究报告——高中生主题一、引言数学作为一门基础学科，对于高中生的学习发展至关重要。

高中数学不仅仅是基础知识的延伸，也包含了一定的研究性课题。

本文将探讨高中生可以选择的一些数学研究性课题，并对这些课题进行简要介绍和分析。

二、主题一：数列和数列的应用数列是高中数学中的重要内容。

通过研究数列，高中生可以深入理解数学中的各种规律，并将其应用于实际问题中。

例如，可以从数列的递推关系出发，探讨数列的极限性质；或者通过数列的求和公式，研究数列的累加性质。

更进一步，高中生还可以将数列的概念应用于金融投资、生物种群变化等实际场景中，进行数学建模和分析。

三、主题二：平面几何与立体几何几何是数学中的重要分支，而平面几何和立体几何则是高中数学中的重点内容。

通过研究各种几何性质和定理，高中生可以培养几何思维和空间想象能力。

在平面几何方面，高中生可以研究圆的性质、相似三角形、共线定理等；而在立体几何方面，可以研究球的性质、正多面体的特点等。

通过对这些内容的深入研究和应用，高中生不仅可以丰富自己的数学知识，还可以培养逻辑思维和问题解决能力。

四、主题三：概率与统计概率与统计是高中数学中的一门重要课程，也是数学在实际生活中应用的典型例子。

高中生可以选择一些有趣的概率和统计问题进行研究。

例如，可以研究掷硬币的概率问题，包括掷n次硬币出现正面的概率和连续出现正面的概率；或者研究一些实际统计问题，如人口普查数据的统计分析，或者某种疾病在不同年龄段的发生率。

通过对概率与统计的研究，高中生可以加深对随机事件和数据分析的理解，并将其应用到实际问题中。

五、主题四：数论和密码学数论是纯粹数学中的一门重要分支，与实际生活的联系也非常密切。

高中生可以选择一些数论和密码学问题进行研究。

数论问题可以包括素数性质、同余方程、中国剩余定理等；而密码学问题可以包括最大公约数的应用、RSA加密算法等。

通过研究这些问题，高中生可以发现数学在信息安全和加密领域的重要性，并学习到一些实用的数学方法。

高中数学数列试题的解题方法研究数列是高中数学中重要的一个概念，它在数学理论和实际问题中都有着重要的应用。

数列试题是高中数学考试中的一个重要组成部分，也是考察学生对数列概念理解和运用能力的重要手段。

本文将通过研究数列试题的解题方法，探讨数列在高中数学中的重要作用，并提出一些解题技巧和策略，帮助学生更好地掌握数列的解题方法。

一、数列概念回顾在开始研究数列试题的解题方法之前，我们首先需要回顾一下数列的基本概念。

数列是由一系列按照某种规律排列的数所组成的有序集合。

数列中的每一个数称为数列的项，用一般的表示形式来表示数列为{a1, a2, a3, ⋯ , an}。

根据数列中项与项之间的规律不同，数列可以分为等差数列、等比数列、或者其他特定规律的数列。

等差数列是指数列中相邻两项的差是一个常数的数列，等比数列是指数列中相邻两项的比是一个常数的数列。

二、数列试题解题方法研究1. 等差数列的解题方法等差数列是数学中比较基础的一种数列类型，在高中数学考试中也经常出现。

解等差数列的问题需要掌握等差数列的性质和公式，以及等差数列的求和公式。

对于等差数列{a1, a2, a3, ⋯ , an}来说，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为项数，d为公差。

利用这个通项公式，我们可以方便地求得等差数列中某一项的数值。

在解决等差数列试题时，一般需要首先根据已知条件写出等差数列的通项公式，然后利用这个公式进行计算，以求得问题中所要求的相关数值。

还需要注意对题目中的条件进行分析和利用，辅助求解。

对于等比数列的求和公式，常用的有两种形式：首先是常比项数求和公式Sn =(a1(1-q^n))/(1-q)，其次是无穷项求和公式Sn = a1/(1-q)。

掌握这两种求和公式，可以方便地求得等比数列的前n项和。

三、数列试题解题技巧和策略除了熟练掌握数列的基本性质和求和公式外，还有一些解题技巧和策略，可以帮助学生更好地解决数列试题。

对一道数列习题的研究性学习本站特约记者 俞新龙(浙江)1. 背景<<普通高中数学课程标准>>对研究性学习有这样的描述:学会自主学习,独立探究问题;能对知识学习的过程和解决问题的过程进行自我评判和调控,对知识进行系统整理;会对已有的知识经验进行反思、质疑,有发散思维的习惯和求异思维的心向,敢于提出自己独立的见解;…… .作为高考命题改革的领头雁,上海高考在2006年春季和夏季高考中各出了一道研究性问题的考题,进行了研究性问题进高考的有益尝试,值得全国各地的教育工作者重视!高考中原来可以考查研究性问题!既然高考要考研究性问题,那么提高学生的研究性学习能力就自然摆在了数学教师的面前,如何在教学中开展研究性学习显得较为迫切;当研究性试题成为高考一道亮丽的风景线时,研究性学习也成了教学的热点!郝老师在<<中数参>>2003年1~2期<<”研究性学习”的教学研究>>中说:随着教学改革的深入…….如何使用课本的教学内容,使用”研究性学习”的方法,在日常教学的过程中进行学生创新意识和应用意识的培养,就成了课堂教学改革的方向.那么如何用”研究性学习”的理念来改造、挖掘教材内容中适合学生研究和探索的素材?如何研究?研究什么?本文试就人教版高一教材第一册(上)<<数列>>一章中的一道习题的研究性学习为例来谈谈笔者的一点探索,是否合适请批评指正.2. 原始问题:一道数列习题119页习题3.3第9题:由数列1,121++,12321++++,1234321++++++,…前4项的值,推测第n 项123)1()1(321++++-++-++++= n n n a n 的结果,并给出证明.3. 对习题的研究性学习过程 3.1 解法研究可以从代数和几何意义两方面展开研究. 3.1.1 代数方面一般有下面两种常见方法.解法1: 22]1)1)[(1(2)1(]123)1[(])1(321[n n n n n n n n a n =+--++=++++-++-++++= . 解法2: 22)1(2])1(321[2n n n n n n n a n =-+⋅=-+-++++= . 注:还可联系组合数有关性质来寻求解题途径. 3.1.2 几何意义方面一般也有下面两种几何意义可供参考. 几何意义1:如图1中(1)、(2)、(3)、(4)、(5)正方形的个数分别代表1a 、2a 、3a 、4a 、n a 的值,且图中每一列小正方形的个数分别代表项n a 中对应的数,将右边黑线框小正方形倒置于左边虚线框小正方形,则分别得到111=⨯、422=⨯、933=⨯、1644=⨯、2n n n =⨯个正方形（虚线框圈中的大正方形）,即有2n a n =.…….………(1)(2)(3)(4) (5)图1几何意义2:如图2 (1)、(2)、(3)、(4)、(5) 中由数字1组成的菱形中数字1的个数分别代表1a 、2a 、3a 、4a 、n a 的值,且图中每一行(或列)数字1的个数分别代表项n a 中对应的数,因此其值显然就是菱形对角线上数字1的个数的平方,即分别为21、22、23、24、2n ,所以有2n a n =.注:上述几何图形或数字也可以用其它较规则的图形代替,特别是图2中的数字1若用小圆圈表示则几何意义也是非常明显的,但笔者认为数字的等分分拆更好,因为这是一种较有意义的解题方法.3.2 一般化研究通过仔细观察,能注意到原问题123)1()1(321++++-++-++++= n n n a n 中关于中间项n 成左右对称,且其前半部分1,,3,2,1-n 是等差数列,那么我们就可以思考原问题能推广到一般的等差数列中吗?即可以提出问题1:试将原问题进行推广,使原问题成为推广后问题的一个特例.参考答案:设数列}{n a 是首项为a 、公差为d 的等差数列,则数列1a ,121a a a ++,12321a a a a a ++++,,1234321a a a a a a a ++++++,第n 项12311321a a a a a a a a a b n n n n ++++++++++=-- 的结果为a an d n b n -+-=2)1(2.简证: n n n n a a a a a a b -+++++=-)(21321a an d n d n a d n n na -+-=-+--+=2)1(])1([]2)1([22. 3.3 类比研究等比数列与等差数列在许多方面有类似的性质,能否将上述问题推广到等比数列进行研究是顺其自然的,这也是一种类比能力的具体体现.问题2:试写出问题1类比到等比数列的结论.参考答案: 设数列}{n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列,则数列1a ,121a a a ++,12321a a a a a ++++,,1234321a a a a a a a ++++++,第n 项12311321a a a a a a a a a b n n n n ++++++++++=-- 的结果为11)1(2----⋅=n n n aq qq a b . 11 1 1 1 1 ……………1 …….. … 1 …………… 1 1 1 1 111 1 1 1 1 11 11 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) (2) (3)(4) 图2(5)简证: n n n n a a a a a a b -+++++=-)(21321 11)1(2----⋅=n n aq qq a . 注:①参考答案中的等比数列是公比不等于1的情况,若公比为1,则a n b n )12(-=.②可根据教学时间和学生的实际情况进行调整,例如讲问题2之前可先要求学生考察一个特殊的等比数列问题,不妨取首项为1、公比为2的等比数列.3.4 综合研究单独研究了等差数列与等比数列中的有关问题,那么等差数列与等比数列结合会怎样呢?一般可以考虑两者加、减、乘、除后所得数列中的类似问题.,即问题3: 设数列}{n a 是首项为a 、公差为d 的等差数列, 数列}{n b 是首项为b 、公比为q 的等比数列,则(1)数列11b a +,112211b a b a b a +++++,1122332211b a b a b a b a b a +++++++++,,11223344332211b a b a b a b a b a b a b a +++++++++++++,第n项1122331111332211b a b a b a b a b a b a b a b a b a c n n n n n n n +++++++++++++++++++=---- 的结果为+-+-=a an d n c n 2)1(211)1(2----⋅n n bq qq b . (2)数列11b a -,112211b a b a b a -+-+-,1122332211b a b a b a b a b a -+-+-+-+-,,11223344332211b a b a b a b a b a b a b a -+-+-+-+-+-+-,第n项1122331111332211b a b a b a b a b a b a b a b a b a c n n n n n n n -+-+-++-+++-++-+-+-=---- 的结果为--+-=a an d n c n 2)1(211)1(2-+--⋅n n bq qq b . (3)数列11b a ,112211b a b a b a ++,1122332211b a b a b a b a b a ++++, ,11223344332211b a b a b a b a b a b a b a ++++++,第n 项1122331111332211b a b a b a b a b a b a b a b a b a c n n n n n n n ++++++++++=---- 的结果为12])1([)1()1(21])1([2)(2-⋅-+---+-⋅-+--=n n n n bq d n a q q db q bq d n a b d a c . (4)数列11/b a ,112211///b a b a b a ++,1122332211/////b a b a b a b a b a ++++,,///////11223344332211b a b a b a b a b a b a b a ++++++,第n项1122331111332211/////////b a b a b a b a b a b a b a b a b a c n n n n n n n ++++++++++=---- 的结果为1221)1()1()1(2)()1(22)(2----+---+-----=n n n n n n n bqdn a q bq q d q q b d n a q d a c . 分析:该问题中(1)与(2)、(3)与(4)分别是同类型的,因此弄清(1)(3)即可,而(1)是一个等差数列与一个等比数列简单加法,由问题1和问题2结果马上就能得到结果,这是不难的,这里不多说了,对于(3),问题的关键是掌握等差与等比乘积复合后前n 项和的求法——错位相减法,即(3)可以这样求解:n n n n n n n b a b a b a b a b a b a c -+++++=--)(211332211 ,令n n n n b a b a b a b a b a s +++++=--11332211 ①,则q b a b a b a b a b a q b a q b a q b a q b a q b a qs n n n n n n n n +++++=+++++=---143322111332211 ②, ①－②得n n n n n n bq d n a db qq b d ab q b a db db db db b a s q ⋅-+----⋅+=-+++++=--])1([1)1()1(13211 (当然这里的公比1≠q ,若1=q 则问题较简单),所以2)1()1(1])1([)(q q db q bq d n a b d a s n n --+-⋅-+--=,则12])1([)1()1(21])1([2)(2-⋅-+---+-⋅-+--=n n n n bq d n a q q db q bq d n a b d a c .而对于(4),只要将(3)结果中b 用b1、q 用q1代入就可以了,即能得到(4)结果为1211])1([)11()11(121111])1([21)(2-⋅-+---+-⋅-+--=n nn n q b d n a qqb d q q b d n a b d ac ,整理得1221)1()1()1(2)()1(22)(2----+---+-----=n n n n n n n bqdn a q bq q d q q b d n a q d a c . 注:可供研究的问题还可以是上述数列的前n 项和与其它一些问题.为及时巩固和提高学生的研究性学习能力,笔者布置了一道作业题要求学生完成.作业题:(1)求数列1,43+,765++, ,10987+++的前n 项和;(2)根据你对(1)中数列的理解,请自己写出一个类似的问题,并使(1)是新问题的一个特例;(3)你还能写出其它类似的问题吗?要求简要写出自己的思考过程.(1)是高三一轮数列复习中的一个习题,学生都能解决.(2)和(3)是基于对(1)中数列特点的把握,学生能看出的特点有:①第n 项有n 个连续自然数相加;②各项第一个数为12-n 且成等差等.学生作业中反映出几种可喜的研究性成果,仅摘录三位学生的部分成果如下:学生A:注意到连续的自然数成等差,我试着将各项的第一个数不变,改变等差的公差为d ,有n dn d d n n n n d n n d n n a n )21()22(2)1()12(])1()12[(])12[()12(2+-+=-+-=-+-+++-+-= ,所以2)1()21(6)12)(1()22(++-+++=∑n n d n n n d a n .学生B:……按规律改变项的第一个数,后边仍取连续自然数有,……(这种比较简单,此处略) 学生C:我发现(1)中数列有两个特点,即各项第一个数成等差和每一项又是一个有限等差数列(原题中公差为1),如果分别将这两处的等差数列改为等比数列情况怎样呢?如果将两者进行组合,共有4⨯种情形,情况又如何?真值得我好好思考啊!现在才发觉数学有时也挺好玩的!......2=24. 结束语数学好玩.但学生却没有体会到多少, “现在才发觉数学有时也挺好玩的!”值得我们深思!看来这种研究性学习课真是多多益善啊!通过这节课的教学,笔者认识到研究性学习就在我们的身边,教材中的例题、习题和复习资料上的练习题只要肯研究,都能成为研究性学习极好的素材.看来研究性学习想说爱你是容易的!。

关于历届高考试题中数列问题的研究第一部分怎样理解和解决数列中的基本问题1、怎样理解数列概念，解等差、等比数列的问题？一、正确掌握数列的函数定义数列实际上是一类特殊的函数，定义在自然数N上或N的真子集上的函数。

如数列，有，此数列是一次函数，当时的一列有序函数值。

二、能利用与的关系解有关问题根据数列的前项和的定义，有，例1、已知数列的前项和，求数列的通项公式。

解：，当时，。

注意：1、只有在时才成立。

2、已知数列的通项公式，求前项和的问题难度较大，除等差、等比数列求和或能归结为等差、等比数列的数列求和外，其他数列的求和一般不作会考、高考的考查要求。

3、这类问题中，对于变形技巧较高，综合性较强的将在综合专题篇中作详细叙述。

三、掌握等差、等比数列的概念及有关公式1、正确掌握等差、等比数列的定义（1）等差数列：为常数)。

注意，是与项数无关的常数。

（2）等比数列：为非零常数）。

注意，是与项数无关的非零常数。

2、正确掌握等差、等比数列的递推形式（1）等差数列：。

（2）等比数列：。

3、熟练掌握等差、等比数列的通项公式（1）等差数列：，为公差。

（2）等比数列：，为公比。

4、熟练掌握等差、等比数列的前项和公式（1）等差数列：为公差，注意看作的二次函数式，。

（2）等比数列：，为公比。

特别注意：在没有明确公比的取值范围时，求等比数列前项和时要对的取值作分类讨论。

5、掌握等差（比）中项（1）等差中项：的等差中项，即的算术平均数。

（2）等比中项：的等比中项，注意当时，在实数范围内，没有等比中项。

四、会熟练掌握等差、等比数列中的“知三求二”问题等差、等比数列中，围绕，分别有两套公式，均含有五个量：。

已知其中三个量，可以求其余两个量。

例1、已知等差数列。

求：与。

解：由等差数列前项和公式，有，解得（舍去），例2、等比数列中，求：与解：由题意知，等比数列前项和公式，，整理得，，变形为，，解得，。

五、能灵活运用等差、等比数列的有关公式解计算题1、灵活应用等差（等比）数列的通项公式，灵活应用中项关系：等差数列中，若项数满足，则有（等比数列中，有）。

高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用篇一：研究性学习课题：数列在分期付款中的应用研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。

为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。

我在上星期天给学生预先布臵了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。

今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。

例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。

日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？二、研究成果展示学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：1、每期还款额的研究：现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：（1）等额本息法：每期还款额（本金和利息）相同。

将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。

推导公式：设每月还款额均为x元，每月还款在180月后的总值：x(1? 蓬勃范文网:高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用)42)179?x(1?0.0042)178?x(1?0.0042)177???x(1?0.0042)?x 贷款200000元在180月后的总值：200000(1?0.0042)180当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以x(1?0.0042)179?x(1?0.0042)178???x(1?0.0042)?x?200000(1?0.0042)180200000?0.0042?(1?0.0042)180整理得：x? (1?0.0042)180?1x?1585.76?1586元即每月需还款1586元。

高中数学数列教学中的探索性问题研究
本文旨在探究高中数学数列教学中的探索性问题。

通过对高中数学数列教学中的探索性问题进行深入研究，可以更好地指导教师在教学中培养学生的探索精神，提高学生的数学能力。

首先，要深入理解探索性问题的概念，探索性问题是指在解决问题时，学生有自主性地探索和探究的能力，而不是仅仅依靠教师的指导。

其次，要熟悉数学数列的基本概念，数学数列是指一系列有规律的数，可以用来表示一定规律的情况，比如等差数列、等比数列等。

最后，要深入了解数学数列教学中的探索性问题，可以分为三类：一是探索性的解决问题，二是探索性的构建问题，三是探索性的解释问题。

综上所述，本文探讨了高中数学数列教学中的探索性问题，通过深入理解探索性问题的概念、熟悉数学数列的基本概念以及了解数学数列教学中的探索性问题，可以更好地指导教师在教学中培养学生的探索精神，提高学生的数学能力。

高中数学数列解题方法研究数列是高中数学中非常重要的概念之一，其解题方法也是学生们必须掌握的技能之一。

数列的研究不仅有助于提高学生的数学能力，还可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将深入探讨高中数学数列解题方法的研究，希望能够为学生们提供一些帮助和指导。

一、数列的基本概念数列是由一系列数字按照一定的规律排列而成的序列。

在高中数学中，常见的数列有等差数列和等比数列。

等差数列是指一个数列中的相邻两项之间的差值是一个常数，而等比数列则是指一个数列中的相邻两项之间的比值是一个常数。

数列的基本概念包括首项、公差（或公比）、通项公式和前n项和公式等。

二、等差数列的解题方法研究1. 求首项和公差：在解等差数列的问题时，首先需要求出数列的首项和公差。

通常可以通过已知条件列出方程组，然后解方程组得出首项和公差的值。

2. 求通项公式：求出数列的通项公式是解等差数列问题的关键步骤。

可以根据首项和公差的值使用通项公式的定义来求解。

3. 求前n项和：对于等差数列，往往需要求前n项和。

可以利用前n项和的公式来进行计算，也可以通过一些技巧简化计算过程。

4. 求特殊问题：在实际问题中，经常会遇到一些特殊的等差数列问题，比如求出满足某种条件的首项或公差，或者求出满足某种条件的项数等。

对于这些特殊问题，需要使用一些技巧和方法来解决。

在解数列问题时，除了掌握基本的解题方法之外，还应该注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。

数列问题往往涉及到数学的推理和逻辑，因此学生需要在解题过程中不断地思考，总结方法，灵活运用。

数列问题也需要学生掌握数学知识与实际问题结合的能力。

许多数列问题都是由实际问题转化而来，学生需要能够将数学知识应用到具体问题中，找到问题的关键点，解决问题的关键难点。

为了提高学生解数列问题的能力，除了在课堂上进行理论知识的讲解和归纳总结之外，还可以通过大量的实践操作来提高学生的解题能力。

可以设计一些具体的数列问题，让学生自主解题，然后进行讲评，总结解题方法和技巧。

例谈高中数学数列教课中的研究性问题课改要求高中数学教课要能发挥学生的主体性和积极性，有一个创新思想活动的空间，重点在于教师怎样指引、启迪、点拨，可否真实地把学生引到这一领域。

教师在平常备课中，不只要吃透教材，并且要尽量地收集、制作与教材有关的知识、教具，又要擅长掌握学生的心理，使学生可以与老师产生共识。

数学学科与自然界密切相连，和生活、生产亲密有关，所以，在教课中教师要擅长指引学生从熟习的事物、现象出发，依据学生掌握的状况，创建情境提出问题，激励学生共同参加，发挥想象，踊跃思想来解决高考数学识题。

高考数学试卷中的研究性问题的内容波及面很广，几乎波及高中数学内容的各个方面，但其所采纳的研究性问题的种类比较集中，在解答题中主要有存在型、概括型和比较型三类研究性问题。

下边将例谈数列中的研究性问题：一存在型在存在型问题中，大多研究能否存在某个数值使题设结论建立。

三以讲堂教课为载体，采纳合作学习、研究学习、教师点拨的策略新课程理念下的讲堂教课是以问题为载体，以培育学生创新素质为中心，以学生着手实践、自主研究、合作沟通为主要学习方式，方才在预习指导环节谈的是提出问题，这里笔者要谈的是解决问题，即在自主研究基础上的进一步探究。

详细做法分三步进行：（ 1）组内怀疑。

让学生就近联合几个同学构成学习小组，每个小组的成员中既有优等生又有中等生和学困生。

即由不一样思想层次的学生构成。

先组内进行议论，畅所欲言，共同建立问题的结论。

（2）组间怀疑。

各小组派代表将本组看法进行陈说，各小组之间互相议论，沟通增补，逐渐减小分歧，完成共识。

（ 3）解决遗留问题。

经过组内、组间的沟通议论，由教师帮助学生认识问题的难点所在，一同找到解决问题的打破口，使全体学生完成共识。

即让学生在学习过程中独立自主地发现问题，并经过沟通、议论最后解决问题，经历一系列研究过程获取悉识与能力，掌握解决问题的方法，获取感情体验。

总之，在新课程背景下的高中数学讲堂教课中，每一位教师都有责任调整自己的心理状态，成为适应新时代学生发展的数学教师。