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数列与级数解决数列与级数问题的方法与技巧在数学中，数列与级数是一个非常重要的概念。
数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成，而级数是由一个数列的部分和所组成的。
解决数列与级数问题需要掌握一些方法与技巧，下面将介绍一些常用的解题方法。
一、数列问题的解决方法与技巧1. 确定数列的通项公式：数列的通项公式表示了数列中第n项与n 的关系，是解决问题的关键。
要确定数列的通项公式，可以通过观察数列前几项之间的关系，找到规律，进而写出递推公式，再通过递推公式求得通项公式。
2. 求数列的前n项和：数列的前n项和也是解决问题中常需要求解的内容。
对于等差数列来说，可以使用求和公式：Sn = n(a1 + an) / 2来求解。
对于等比数列来说，可以使用求和公式：Sn = a1(1-q^n) / (1-q)来求解。
3. 求数列的极限：对于递推数列，极限是解决问题中的关键。
如果数列是收敛的，则可以通过求出极限值来得到数列的性质。
对于等差数列和等比数列来说，由于其性质已知，可以直接得出极限值。
二、级数问题的解决方法与技巧1. 判断级数的敛散性：级数的敛散性是解决问题中的基本问题。
对于正项级数，可以利用柯西收敛准则或者比较判别法来判断敛散性。
对于任意项级数，可以利用绝对收敛和条件收敛的概念进行判断。
2. 求级数的部分和：级数的部分和是指将级数的前n项相加得到的值。
求级数的部分和可以帮助我们判断级数的敛散性。
对于等差级数来说，可以使用求和公式：Sn = n(a1 + an) / 2来求解。
对于等比级数来说，可以使用求和公式：Sn = a1(1-q^n) / (1-q)来求解。
3. 求级数的极限：对于级数来说，极限是解决问题中的关键。
如果级数是收敛的，则可以通过求出极限值来得到级数的性质。
对于等差级数和等比级数来说，由于其性质已知，可以直接得出极限值。
以上是数列与级数解决问题的一些常用方法与技巧，希望对你能够有所帮助。
掌握这些方法与技巧，可以更好地解决数列与级数问题，并提升数学解题的能力。
数列解题方法与技巧
解题方法和技巧有很多种，以下是一些常见的数列解题方法和技巧：
1. 找规律：观察数列中的数字是否有一定的规律或者模式，例如等差数列、等比数列等。
通过找到规律可以推断出数列中的其他数字。
2. 列方程：将数列中的数字用变量表示，然后列出方程，通过求解方程来确定数列中的其他数字。
3. 递推关系：如果数列中的第n个数字可以通过前面的数字推断出来，可以利用递推关系来求解数列。
4. 数列求和公式：如果要求解数列的和，可以利用数列求和公式来计算。
5. 辅助数列：有些数列可以通过构造辅助数列来求解，例如斐波那契数列可以通过构造一个新的辅助数列来求解。
6. 数学工具：利用一些数学工具和技巧，例如数学归纳法、二项式定理等来求解数列。
7. 模拟计算：有时候可以通过模拟计算来求解数列，即通过计算数列中的前几个数字，找到数列中的规律，然后根据规律来计算其他数字。
8. 看题意：有时候可以根据题目中的提示和要求来判断数列的性质和规律，然后进一步求解。
以上是一些常用的数列解题方法和技巧，但具体的解题方法和技
巧还需要根据具体的数列问题来确定。
在解题过程中，还需注意审题、理清思路、细心计算等问题。
数列题解析常见的数学题型及解题技巧数列题解析：常见的数学题型及解题技巧数学中，数列是一种按照一定规律排列的数字序列。
数列题是中学数学常见的题型之一，考察学生对数列的理解和解题能力。
本文将介绍数列题的常见题型，并提供解题技巧。
一、等差数列1. 等差数列概念等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d。
2. 等差数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算。
(2) 求项数：已知等差数列的首项和公差，求第n项可以利用通项公式an = a + (n-1)d。
(3) 求公差：已知等差数列的首项和任意两项，可以利用公式d = an - a(n-1)来计算。
二、等比数列1. 等比数列概念等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
通常用字母a表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。
2. 等比数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等比数列的求和公式Sn = (a(1-q^n))/(1-q)来计算。
(2) 求项数：已知等比数列的首项和公比，可以利用通项公式an = a * q^(n-1)进行转化求解。
(3) 求公比：已知等比数列的首项和任意两项，可以通过求项数的方式来计算公比。
三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都由前一项递推而来的数列。
递推数列题型比较灵活，常见的有斐波那契数列、阶乘数列等。
解决递推数列题目的关键是找到递推关系式，将问题转化为数列的求解问题。
四、复合数列复合数列是指数列中同时具有等差和等比特征的数列。
可以通过将复合数列拆分成等差数列和等比数列两部分来解决问题。
解决复合数列题目的关键是根据题目给出的条件，分别求解等差数列和等比数列的部分，然后将结果综合起来。
五、其他常见数列题型除了上述三种常见的数列题型外，还有一些其他常见的数列题型，如费马数列、幂次数列等。
数学数列解题技巧数列问题在数学中是一个很重要的部分，解决这类问题需要的不仅仅是数学知识，还需要一些技巧和策略。
以下是几种能帮助你迅速解决数列问题的技巧。
第一种技巧：观察序列模式数列问题的解法通常有很多种，但最重要的一种解法就是分析数列中的规律。
有时候，数列的规律并不是那么显然，但如果我们能够仔细观察数列的模式，那么就可以发现一些有用的信息。
例如，考虑这样一个数列：1, 2, 4, 7, 11, 16, ...如果你能够看出这个数列的规律，那么你就能迅速解决这个问题。
观察到第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，第四项减去第三项等于3，以此类推。
因此，你可以猜到，第n项和前n-1项的差等于n-1。
如果我们将这个规律用数学语言表示出来，就是：a_n - a_n-1 = n-1其中，a_n 表示数列的第n项。
有些数列中的规律可能没有上面的数列那样显而易见。
但是，如果你有耐心，仔细观察，你就可能发现一些规律。
例如，你可能需要将数列的项数写下来，然后找出每一项之间的相对关系。
第二种技巧：使用标志数标志数是一种非常有用的数列解题技巧。
标志数是一个虚构的数，用于帮助你推导数列的规律。
标志数通常用字母表示，例如a、b、c等。
标志数可以用于表示某个地方的数列值，或是某个数列的差值等。
例如，考虑这个数列：2, 6, 12, 20, 30, ...如果你能够找到这个数列中的规律，则可以使用标志数帮助你推导答案。
因此，让我们设a为这个数列的第一项，然后逐一找出每个项之间的差值：6-2=4, 12-6=6, 20-12=8, 30-20=10这些差值看上去并不那么有规律，但是我们可以将它们再次相减:6-4=2, 8-6=2, 10-8=2这就让我们立刻看出了规律！相邻项的差值相等。
因此我们可以使用这个规律来生成您的解：a_1=2, a_2=a_1+4=6, a_3=a_2+6=12, a_4=a_3+8=20 以此类推。
高中物理数学高中数列10种解题技巧
当涉及到高中物理和数学中的数列问题时，以下是10种解题技巧：
确定数列类型：首先，确定数列是等差数列、等比数列还是其他类型的数列。
这将有助于你选择正确的解题方法。
寻找通项公式：对于等差数列和等比数列，寻找通项公式是解题的关键。
通过观察数列中的规律，尝试找到递推关系式，从而得到通项公式。
求和公式：对于需要求和的数列，使用相应的求和公式可以简化计算过程。
例如，等差数列的求和公式是Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，d表示公差。
利用递推关系求解：对于一些复杂的数列问题，可以利用递推关系式逐步求解。
通过已知的前几项，推导出后续项的值。
利用数列性质：数列有许多性质和特点，例如对称性、周期性等。
利用这些性质可以简化问题，找到解题的突破口。
利用数列图像：将数列表示为图像，有时可以更直观地理解数列的规律。
通过观察图像，可以得到一些有用的信息。
利用数列的性质进行变形：有时，对数列进行一些变形可以使问题更容易解决。
例如，将等差数列转化为等比数列，或者将复杂的数列转化为简单的数列。
利用数列的对称性：如果数列具有对称性，可以利用对称性来简化问题。
例如，利用等差数列的对称性可以减少计算量。
利用数列的周期性：如果数列具有周期性，可以利用周期性来简化问题。
通过观察周期内的规律，可以推断出整个数列的性质。
多角度思考：对于复杂的数列问题，尝试从不同的角度思考，采用不同的解题方法。
有时，换一种思路可能会带来新的启示。
高中数学数列方法及技巧1高中数学数列方法和技巧一.公式法如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.注意等比数列公示q的取值要分q=1和q≠1.二.倒序相加法如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.三.错位相减法如果一个数列的各项和是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.四.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.用裂项相消法求和时应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能前面剩两项,后面也剩两项,前后剩余项是对称出现的.五.分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和然后相加减.2高中数学数列问题的答题技巧高中数列，有规律可循的类型无非就是两者，等差数列和等比数列，这两者的题目还是比较简单的，要把公式牢记住，求和，求项也都是比较简单的，公式的运用要熟悉。
题目常常不会如此简单容易，稍微加难一点的题目就是等差和等比数列的一些组合题，这里要采用的一些方法有错位相消法。
题目变化多端，往往出现的压轴题都是一些从来没有接触过的一些通项，有些甚至连通项也不给。
针对这两类，我认为应该积累以下的一些方法。
对于求和一类的题目，可以用柯西不等式，转化为等比数列再求和，分母的放缩，数学归纳法，转化为函数等方法等方法对于求通项一类的题目，可以采用先代入求值找规律，再数学归纳法验证，或是用累加法，累乘法都可以。
总之，每次碰到一道陌生的数列题，要进行总结，得出该类的解题方法，或者从中学会一种放缩方法，这对于以后很有帮助。
3高考数学解题方法解题过程要规范高考数学计算题要保证既对且全，全而规范。
应为高考数学计算题表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。
高考数列解题技巧数列是高中数学的重要内容之一，也是高考数学的热点之一。
在解决数列问题时，学生需要掌握一些常用的解题技巧，以提高解题效率和准确性。
1. 公式法公式法是解决数列问题的基本方法之一。
对于等差数列和等比数列，学生需要熟记它们的通项公式和求和公式，以便在解题时能够迅速运用。
例如，对于等差数列{an}，其通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。
求和公式为S_n=n/2(a_1+a_n)。
2. 裂项相消法裂项相消法是一种常用的求和技巧，适用于一些看似复杂的数列求和问题。
通过将每一项都拆分成两个部分，然后抵消掉中间的部分，可以简化计算过程。
例如，对于数列1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n+1)，学生可以使用裂项相消法进行求和。
将每一项都拆分成两个部分，即分子和分母，然后抵消掉中间的部分，得到结果为1-1/(n+1)。
3. 错位相减法错位相减法是一种常用的求和方法，适用于一些周期性变化的数列。
通过错位相减法，可以将一个复杂的数列转化为一个简单的数列，从而简化计算过程。
例如，对于数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n，学生可以使用错位相减法进行求和。
将每一项都乘以10，得到数列10, 5, 3, 2, ..., 1/n，然后将两个数列相减，得到结果为9+4+2+...+1-1/n。
4. 倒序相加法倒序相加法是一种求解递推关系式的常用方法。
通过将一个数列的顺序倒过来，然后将正序和倒序的两个数列相加，可以得到一个常数列的和，进而求出原数列的和。
例如，对于数列a_n=S_{n-1}+S_n，学生可以使用倒序相加法求解。
将数列a_n的顺序倒过来得到a_n=S_n+S_{n-1}......(B)，然后将(A)式和(B)式相加得到2a_n=2S_n+S_{n-1}+S_{n-2}+......+S_2+S_1=S_n+S_{n-1}+......+S_2+S_1+ S_0=2^n-1。
数学中数列题解题技巧与关键知识点数列是数学中一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
解决数列题需要掌握一些关键的技巧和知识点。
本文将介绍数列题的解题技巧，并列举一些数列题的关键知识点。
一、等差数列的解题技巧等差数列是最常见的数列类型之一。
解决等差数列题可以运用以下技巧：1. 找出公差：公差是等差数列中相邻两项的差值，一般表示为d。
通过找出公差，可以帮助我们确定等差数列的规律。
2. 判断首项和通项公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
通过已知条件，可以确定首项和公差的值，并利用通项公式解决问题。
3. 利用等差数列的性质：等差数列具有一些特殊的性质，如任意三项的和等于三倍的中间项、前n项和的计算公式等。
在解题过程中，利用这些性质可以简化计算，提高解题效率。
二、等比数列的解题技巧等比数列是另一类常见的数列类型。
解决等比数列题可以运用以下技巧：1. 找出公比：公比是等比数列中相邻两项的比值，一般表示为q。
通过找出公比，可以帮助我们确定等比数列的规律。
2. 判断首项和通项公式：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。
通过已知条件，可以确定首项和公比的值，并利用通项公式解决问题。
3. 利用等比数列的性质：等比数列具有一些特殊的性质，如任意相邻三项的乘积相等等。
在解题过程中，利用这些性质可以简化计算，提高解题效率。
三、斐波那契数列的解题技巧斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项的和。
解决斐波那契数列题可以运用以下技巧：1. 理解斐波那契数列的定义：斐波那契数列的前两项分别为0和1，后面的每一项都是前两项的和。
通过理解这个定义，可以找出斐波那契数列的规律。
2. 利用递推关系求解：斐波那契数列可以通过递推关系an = an-1 + an-2求解，其中an表示第n项。
初中数学数列找规律题技巧汇总
数列找规律是初中数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。
以下是数列找规律题的一些技巧汇总：
1. 找通项公式
在数列中，如果我们能找到通项公式，就能根据公式求出任意
一项或多项的值。
找通项公式的方法有很多，如通过递推公式、差
分法、倍差法、画图法等。
2. 找首项和公差
如果数列是等差数列，可以通过找到首项和公差，从而求得任
意一项的值。
一些数列也可以通过等比数列的特点来求解。
3. 运用数学方法
有些数列的规律需要用到数学方法才能找出来，如利用余数、
最大公约数、质因数分解等。
4. 找规律
在找规律题中，找规律也是很重要的一步。
可以先列出前几项，观察它们之间的关系，找出规律后再利用规律解题。
5. 多做练
数列找规律需要不断地练才能熟练掌握。
平时多做练，同时认
真培养自己的逻辑思维能力和观察能力，相信你一定能在数列找规
律这方面获得很好的成绩。
记住这些技巧，相信数列找规律题在你心中不再是难题！。
数学必备技巧解决初中数列题的常用方法数列作为初中数学中的重要内容，经常在考试中出现。
解决数列题需要一些技巧和方法，本文将介绍几种常用的解题方法，帮助初中生们更好地应对数列题。
一、等差数列的解题方法等差数列是最常见的数列类型之一。
解决等差数列的题目，我们可以通过以下几种方法来进行推导和计算。
1. 特定项求解法：对于等差数列an=a1+(n-1)d，已知首项a1和公差d，如果要求第n项an的值，可以直接代入公式进行计算。
2. 公式法：等差数列有一个通用的求和公式Sn=n/2(a1+an)，利用这个公式可以快速求解等差数列的前n项和。
3. 差项法：对于等差数列，相邻两项之间的差值始终是一个固定的数字，即公差d。
因此，如果已知相邻两项的差值，可以通过差项来推导出其他项的值。
二、等比数列的解题方法等比数列也是常见的数列类型之一。
解决等比数列的题目，我们可以通过以下几种方法来进行推导和计算。
1. 递推法：对于等比数列，每一项都是前一项乘以相同的比率q。
因此，可以通过递推的方式求得第n项的值：an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 公式法：等比数列也有一个通用的求和公式Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
利用这个公式可以快速求解等比数列的前n项和。
3. 比值法：对于等比数列，相邻两项之间的比值始终是一个固定的数字，即公比q。
如果已知相邻两项的比值，可以通过比值来推导出其他项的值。
三、特殊数列的解题方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列类型，如等差数列与等比数列的混合、递推式中包含二次项等。
针对这些特殊数列的题目，我们可以采用以下方法来解题。
1. 混合法：对于混合数列，可以将其分解为等差和等比两个部分进行求解，再将结果合并。
2. 矩阵法：对于递推式中包含二次项的数列，可以使用矩阵的方法来求解。
将数列的递推式表示成矩阵形式，然后通过求矩阵的幂得到数列的通项式。
3. 倒推法：有时候，我们可以从题目给出的末项或者求和结果出发，逆向推导数列的各项的值。
第四讲数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例题例1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n 堆的乒乓球总数，则()f 3_____=；()_____f n =（答案用n 表示）. 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, …推测出第n 层的球数。
解答过程：显然()f 310=.第n 堆最低层（第一层）的乒乓球数，()n12n n n 1aa a a 2+=+++=L ，第n 堆的乒乓球数总数相当于n 堆乒乓球的低层数之和，即()()22212n n n 111f n aa a (12n ).222+=+++=++++⋅L L 所以：()()n n 1n 2f (n)6++=例2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1…第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ………………………………………思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。
解：第1次全行的数都为1的是第21-=1行，第2次全行的数都为1的是第221-=3行，第3次全行的数都为1的是第321-=7行，······，第n 次全行的数都为1的是第21n -行；第61行中1的个数是521- =32． 应填21n -，32考点2 数列的递推关系式的理解与应用在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。
如“逐差法”若n n 1a a n,--=且1a 1=；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列{}n a 的通项.再看“逐商法”即n 1na n 1a +=+且1a 1=，可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。
例3．（2007年北京卷理）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．思路启迪：（1）由123a a a ，，成公比不为1的等比数列列方程求c ；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an 与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为123a a a ，，成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=， LL ，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=L． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=L ，，． 当1n =时，上式也成立， 所以22(12)n a n n n =-+=L ，，．小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例4．（2006年广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=， 则 ( B )（Ａ） 32（Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程：n n 1n 12x x x --=+， n n 1n 2n x x x x --∴-=-.32134324n 1n 2n 3n 1n n 1n 2n x x x x x x x x x x x x x x x x -------=-⎫⎪-=-⎪⎪⎬⎪-=-⎪-=-⎪⎭L L L 相叠加n 212n n 1x x x x x x --=+--. 12x x 2=Q ， n n 112x x 2x -∴+=.()n n 11n n lim 2x x lim 2x -→∞→∞+=， n n lim x 2→∞=，12x 6∴= ，1x 3=.解答过程2：由()1212n n n x x x --=+得：n n 1n 1n 2211111x +x x x x x x 222---=+==+=L ， n n 11n 1lim x x x 2-→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为n n lim x 2→∞=. 所以：1x 3=.解答过程3：由()1212n n n x x x --=+得：()()2n n 1n 1n 2n 2n 311x x x x x x 22-----⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………()n 2n 121111x x x 22--⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L ，从而 23211x x x 2⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；34311x x x 2⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；……；n 1n n 111x x x 2--⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.叠加得：23n 1n 21111x x x 222-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L . n 2n 2111x x x 162-⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， n 2n 21n n 11lim x lim x x 162-→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=+--⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭. 11x 12x 26=+ ， 从而1x 3=. 小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。
对连续两项递推()n n-1a ka d n 2,k 1=+≥≠，可转化为n n 1d d a k a 1k 1k -⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭；对连续三项递推的关系()n 1n n-1a ka da n 2+=+≥如果方程2x kx d=0--有两个根αβ、，则上递推关系式可化为()n 1n n n 1a a a a αβ+--=-或()n 1n n n 1a a a a βα+--=-.考点3 数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系与应用n a 与n S 的关系：1n n n 1S n=1a S S n 2-⎧=⎨-≥⎩，数列前n 项和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式n n n 1a S S -=-时，一定要注意条件n 2≥，求通项时一定要验证1a 是否适合。
解决含n a 与n S 的式子问题时，通常转化为只含n a 或者转化为只n S 的式子. 例5．（2006年辽宁卷） 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
过程指引因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则 即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C.例6.已知在正项数列{an }中，S n 表示前n 项和且n a 1=+，求a n .思路启迪：转化为只含n a 或者只含n S 的递推关系式. 解答过程1：由已知n a 1=+，得当n=1时，a 1=1；当n ≥2时，an = S n －S n －1，代入已知有n n 1S S 1-=-+，n 1n S S 1-=-.)2n 1S 1-=，又nn n 1a0,S S ->>1.1=，是以1为首项，1为公差的等差数列，n 故n a 2n 1=-.解答过程2：由已知n a 1+，得当n=1时，a 1=1；当n ≥2时因为2n n a 1S 2+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22n n 1n a 1a 1a 22-++⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.22n n n n 1n 14a a 2a a 2a --=+--，22n n n 1n 1a 2a a 2a 0-----= ()()n n 1n n 1a a a a 20--+--=，因为n a 0>， 所以n n 1a a 2--=，所以n a 2n 1=-.考点4. 数列中与n 有关的等式的理解与应用对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为n 1-得到另外的式子。
