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专题25新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1数列新定义（10年10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江苏卷2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力;以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。
题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。
压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式多角度的提问，考查学生的数学能力，新定义题型的特点是;通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。
考点2函数新定义（10年4考）2024·上海、2020·江苏、2018·江苏2015·湖北、2015·福建考点3集合新定义（10年3考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山东卷、2015·浙江卷考点4其他新定义（10年2考）2020·北京卷、2016·四川卷考点01数列新定义一、小题1．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（）A ．()()2n n ωω=B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nnω-=2．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)m i i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001二、大题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．2．（2024·北京·高考真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．3．（2023·北京·高考真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．4．（2022·北京·高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=；②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．6．（2020·北京·高考真题）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.7．（2020·江苏·高考真题）已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为Sn ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且an ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ~3”数列，且an ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，8．（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．9．（2018·江苏·高考真题）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．10．（2017·北京·高考真题）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n cM n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．11．（2017·江苏·高考真题）对于给定的正整数k ,若数列{an }满足a a a a a a a --+-++-++++++=1111......2n k n k n n n k n k nk 对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an }是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an }是“P(3)数列”；（2）若数列{an }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an }是等差数列.12．（2016·江苏·高考真题）记{}1,2,,100U = .对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ .例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D D S S S ⋂+≥.13．（2016·北京·高考真题）设数列A ：1a ，2a ,…N a (2N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出()G A 的所有元素；（2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则()G A ≠∅；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a -≤1（n=2,3,…,N ）,则()G A 的元素个数不小于N a -1a .14．（2016·上海·高考真题）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意{}1,n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.15．（2016·上海·高考真题）对于无穷数列{n a }与{n b }，记A={x |x =n a ，*N n ∈}，B={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B = ，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列．（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若n a =2n 且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式．16．（2015·北京·高考真题）已知数列{}n a 满足：*1a N ∈，136a ≤，且1218{23618n n n n n a a a a a +≤=->，，，()12n =⋯，，．记集合{}*|n M a n N =∈．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．考点02函数新定义一、小题1．（2015·湖北·高考真题）已知符号函数1,0,sgn {0,0,1,0.x x x x >==-<()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-2．（2015·福建·高考真题）一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,{0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于．二、大题1．（2024·上海·高考真题）对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2．（2020·江苏·高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()2222()f x x x g x x x D =+=-+=-∞+∞，，，，求h (x )的表达式；（2）若2()1()ln (),(0)f x x x g x k x h x kx k D =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()()()()422342248432(0f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[],D m n ⎡=⊆⎣，求证：n m -≤3．（2018·江苏·高考真题）记()(),f x g x ''分别为函数()(),f x g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =且()()00f x g x =''，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数()2f x x a =-+，()xbe g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“S 点”，并说明理由．考点03集合新定义一、小题1．（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素2．（2015·山东·高考真题）集合M ，N ，S 都是非空集合，现规定如下运算：M N S = ()()(){|x x M N N S S M ∈⋂⋃⋂⋃⋂且}x M N S ∉⋂⋂．假设集合{}A x a x b =<<，{}B x c x d =<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足：（1）0ab <，0cd <；0ef <；（2）b a d c f e -=-=-；（3）b a d c f e +<+<+．计算A B C =．3．（2015·浙江·高考真题）设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =⋃-⋂，其中card()A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立4．（2015·湖北·高考真题）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30二、大题1．（2018·北京·高考真题）设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．考点04其他新定义1．（2020·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭2．（2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y-++，当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A .②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．。
第20讲 数列中的新定义问题【目标导航】解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质．第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质． 【例题导读】例1、数学运算中，常用符号来表示算式，如nii a=∑=0123na a a a a +++++L ，其中i N ∈，n N +∈．（Ⅰ）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，公差1d =，求证：()0ni ini a C ==∑12n n -⋅；（Ⅱ）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=++++∑L ，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤对于*n N ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为n a n =，则()0ni ini a C ==∑12012n n n n n aa C a C a C ++++L 01120()(2)n nn n n n n n a C C C C C nC =+++++++L L因为11k k n n kC nC --=，所以122n n n n C C nC +++L 011111()n n n n n C C C ----=+++L ，所以()0ni ini a C ==∑1022n n an -⋅+⋅=12n n -⋅．（Ⅱ）令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑L ， 令1x =-，则20[(1)]0n ii i a =-=∑，所以20nn i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=-， 根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn n n n n n d C C C C C =--+---++--L01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+L L(14)(11)1(3)1n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+，将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n nt ⋅-≤-，当n 为偶数时，41()()33nnt ≤-，所以22415()()333t ≤-=； 当n 为奇数时，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-；综上所述，所以实数的取值范围是5[1,]3-．例2、若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ，1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”．（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -，31p b -，31p b +，33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列． 【解析】22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==．所以数列{}n a 是“()2R 数列”．（2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ，4b ，7b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ，数列2b ，3b ，8b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ，数列3b ，6b ，9b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d ． 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤，所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++， 所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②． 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =．同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===． 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=，则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-． 同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-，所以{}n b 是等差数列． 【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=，所以()3211n b b n d -=+- ()13213d b n =+-+， ()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113db n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313db n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n db b +-=，所以数列{}n b 是等差数列．例3、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N+=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；（3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列． 【解析】（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =，由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-==所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+L2222222111111111433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭L 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++ 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增，所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （3）2,212,2nn n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥．因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数． 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()21pi j p ≤<<，则1122222i ji j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =．又1122222j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾．又因为2k ≥，所以2k =，即偶数只有两项， 则奇数最多有3项，即s k +的最大值为5．设此等差数列为1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，则1d ，3d ，5d 为奇数，2d ，4d 为偶数，且22d =． 由13224d d d +==，得11d =，33d =，此数列为1，2，3，4，5． 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1． 例4、已知数列{}n a 满足1133,1,{1,n n n a n n a a a n n ++==---为奇数，为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =，*.n N ∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ，使得212n n n S b S +>>成立？说明理由． 【解析】（2）21221n n a a n +=---，所以21221n n a a n ++=--， 当n 为奇数时，可令*21,n k k N =-∈，则()()211232221......n k k k S S a a a a a ---==+++++()()()()()223211113 (211222)4k k n k k +--+=+-++-+=-=-=-，当n 为偶数时，可令*2,n k k N =∈，则()()21232221221......n k k k k k k S S a a a a a a S b ---==++++++=+()222234nn =---；（3）假设存在正整数n ，使得212n n n S b S +>> 成立，因为()22121n S n +=-+，()22223n n S n =---，所以只要()()()222123223n nn n -+>-->--- 即只要满足 ①：22n >，和②：()()22321nn -+>+，对于①只要2n ≥ 就可以； 对于②，当n 为奇数时，满足()22321n n -⋅+>+，不成立，当n 为偶数时，满足()22321nn ⋅+>+，即22123n n n +->，令2213n nn n c +-=， 因为()22222222321812160333n nn n n n n n n n n c c +++++++---+-=-=<， 即2n n c c +<，且当2n = 时，22123nn n +->， 所以当n 为偶数时，②式成立，即当n 为偶数时，212n n n S b S +>>成立． 例5、记{}1,2,100U =…，．对数列{}()*n a n N ∈和U的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++…．例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+．现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D D S S S +≥I ． 【解析】1）由已知得1*13,n n a a n N -=•∈．于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=． 又30r S =，故13030a =，即11a =． 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈． （2）因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-<L L ．因此，1r k S a +<．（3）下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I ． ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I ． ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I ． 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥． 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠． 由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤．又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤L L ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ， 即21C C D D S S S +≥+I ．综合①②③得，2C C D D S S S +≥I ．例6、设数列A ：1a ，2a ，…N a (N ≥)．如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2，3，…，N ），则)(A G 的元素个数不小于N a -1a ．【解析】（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}∅≠>≤≤∈*1,2a a N i N i i ． 记{}1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*，则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,． 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G ． （3）当1a a N ≤时，结论成立． 以下设1a a N >． 由（Ⅱ）知∅≠)(A G ．设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n ． 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210．对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{}i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*,．如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1． 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m ．又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G ． 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤． 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0．因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a ． 所以p a aa a a a i ip n pi n n N ≤-=-≤--∑=)(1111．【反馈练习】1．定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中131,7b b ==（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“(2)M 数列”，是否存在正整数,m n ，使得4039404020192019m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意可得21323,3b b b b -=-=，由数列{}n b 为“()M q 数列”可得()3221b b q b b -=-，即1q =，则{}1n n b b +-是公比为1的等比数列，即21*13,n n b b b b n N +-=-=∈，则{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，32n b n =-； （2）{}n b 是“()M q ”数列，理由如下：2n ≥时，由1122n n b S n λ+=-+，可得112(1)2n n b S n λ-=--+， 两式作差可得1122n n n b b b +-=-即113,22n n b b n +-=-≥，则21132n n b b ++-=-，两式作差可得21133n n n n b b b b +++-=-，即()2113,2n n n n b b b b n +++-=-≥，由32313,72b b b -=-=，可得252b =，则()3221933322b b b b -==⨯=-，则()2113n n n n b b b b +++-=-对任意*n N ∈成立，则{}1n n b b +-为首项是32，公比为3的等比软列，则{}n b 为()M q 数列；（3）由{}n b 是(2)M 数列，可得{}1n n b b +-是公比为2的等比数列， 即()11212n n n b b b b -+-=-，则()32212b b b b -=-，由131,7b b ==，可得23b=，则12n n n b b +-=，则()()()2112132122222n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-=+++=-L L ，则21nn b =-，若正整数,m n 满足4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由210,210n m ->->，则2121m n ->-，则m n >，若2m n ≥+，则22121344212121m n n n n +--≥=+>---，不满足40392140402019212019m n -<<-， 若1m n =+，则140392140402019212019n n +-<<-，则403914040222019212019n -<<--，即1122019212019n <<-， 则2021220202n <<，则正整数10n =，则11m =； 因此存在满足条件的,,11,10m n m n ==．2．设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列，（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 则由条件369a a a +=，可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，又由25796a a a +=，可得()()()21114668a d a d a d +++=+，将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=01n d d a n ≠∴=∴=Q由423n n S b += ①当2n ≥时，11423n n S b --+= ② ①-②得：14220n n n b b b -+-=11(2)3n n b b n -∴=≥又111142302b b b +=∴=≠ {}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1*1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫∴==∈ ⎪⎝⎭（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x K ， 因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，设公差为n d则11111112323(2)113(1)n n n n n nb b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-+-++， 则111233(1)n nk n n nkx b kd n -⎛⎫=+=-⎪+⎝⎭， 11111(1)233(1)23n nnk nn k n n nx n n -=+⎛⎫∴=⋅-⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333n n n nn n nT x x x x x x ∴=+++++++=+++L L L ①则231111133333n n n n nT +-=++⋯++ ②①-②得：2111111332111111133333323313nnn n n nn n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--⎪⎝⎭-L ， 13144323n n n n T -∴=--⋅⋅ ②若12m n ma T a +=，因为n a n =，所以m a m =， 则13111144323222n n n m m m -+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m---=⋅⋅， 从而3321432n nn m--=⋅， 故()23234623462323323323n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+------， 当1n =时，*10232m N =+=-∉-， 当2n =时，*14292m N =+=∈， 当3n =时，*213m N =+=∈，下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+， 即证3690n n -->， 设()369(4)xf x x x =--≥，则4()3ln 3636360xxf x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>即4601323nn n +<<--， 从而4n ≥时，m 不是整数故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3)．3．已知n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()112n n n T b n n b +=++，且12a b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设nn na cb =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1i j ≤<，i ，j *∈N ），使i j c c +仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()112n n n T b n n b +=++ ∴11b =，22b =由11n n S a a +=-，得()112n n S a a n -=-≥． ∴()122n n a a n -=≥，且121a a a =-，即212a a =． ∴数列{}n a 是首项为122a b ==，公比为2的等比数列∴2nn a =（2）∵()112n n n T b n n b +=++① 2n ≥时，()()11111112n n n T b n n b ---+=-+-+②①-②得()1111111222n n n n n b b b nb n b --+-=++--∴()114231n n n n b b nb n b ---=+--，()()1433n n n b n b ----=-3n ≥时，()()12543n n n b n b -----=-，∴()()()214428n n n n b n b n b ---+-=-∴212n n n b b b --+= ∴{}n b 为等差数列 ∴()111n b n n =+-⋅=（3）2n n c n=，假设{}n c 中存在不同的两项i c ，j c （1i j ≤<），使i j k c c c +=（k *∈N ）222i j k i j k ⇒+=注意到()()()()11121212220111n nn n n n n n n n c c n n n n n n +++⋅-+⋅-⋅-=-==≥+++． ∴{}n c 单调递增由22k jk j k j>⇒>，则1k j ≥+． ∴()()11222211j k j i j k j i j j +-≥⇒≥++ 令j i m -=（m 1≥），∴j m i =+ ∴()()()()()112211111j ij j m i m i m i j i m i i m i -++++⎛⎫⎛⎫≤==++ ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭∵2m i +≥ ∴2131m i +≤+-，而11mm i+≤+∴()231mm ≤+，231mm≤+令21nn C n =+，则()()()()()()11121222220211212n n n n n n n n n n C C n n n n n n ++++-+⋅-=-==>++++++ ∴{}n C 为单调递增，注意到3m =时，322313=<+，42163145=>+∴m 只能为1，2，3①当1m =时，11j i j i -=⇒=+∴()()222212323221i i i i i i i i ++++≤==++，故i 只能为1，2，3当1i =时，2j =，此时242442k k k =+=⇒=当2i =时，3j =，此时2814233k k =+=无整数解，舍当3i =时，4j =，此时2820433k k =+=，无正整数解，舍去②当2m =时，2j i =+，此时()()()2222346233601i i i i i i i i i+++≤⇒≥⇒--≤++ ∴1i =，此时3j =，2814233k k =+=⇒无解③当3m =时，3j i =+，此时()()()222348712816791202i i i i i i i i i i ++≤⇒++≥+⇒+-≤+，无正整数解，舍去．综上：存在1i =，2j =满足题意．4．已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =． 【解析】（1）当14n ≤≤，数列{}n a 是递减数列，最大为14a =， 又451n a a a ==⋯==⋯=， 所以4,1n n A B ==，1,2,3,n =⋯，所413n n n d A B =-=-=．（2）充分性：数列{}n a 单调递增，则12n a a a <<<<L L ， 则11,n n n A a B a +==，所以110n n n n d A B a a +=-=-<．必要性：对于数列{}n a ，*,0,0n n n n n N d d A B ∀∈<=-<即n n A B <，当1n =时，{}111212min ,,,n a A B a a α+==<≤L L ，所以12a a <， 当2n =时，222a A B =<，{}2313min ,,,n B a a a +=≤L L ，所以23a a <，同理34n a a a ⋯<<⋯<即数列{}n a 单调递增，故“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件．（3）当1n =时，11A a =，因为11d a =，所以10B =， 所以{}23min ,,,,0n a a a =L L ，若设23,,,,n a a a L L 全为零，则{}21234,min ,,,,0n A a B a a a ===L L ， 时22100d A a =-==，故0n a =，其中任意的*n N ∈．若23,,,,n a a a L L 不全为零，设诸23,,,,n a a a L L 中第一个为零．．．．．的记为0i a ， 则00231,,,,,i i a a a a -L L 中，{}11min ,,,,0m m m n B a a a ++==L L 即0m B =， 其中011m i ≤≤-，所以{}12max ,,,m m m d A a a a ==L ，因为m m d a =，所以{}12max ,,,m m a a a a =L 对任意的011m i ≤≤-总成立， 所以0121i a a a -≤≤≤L ，下面考虑0i A ，因为{}0001231max ,,,,,i i i A a a a a a -=L 即{}0002311max ,,,,0i i i A a a a a --==L ， 因为000i i d a ==，所以{}0000121min ,,,,0i i i n i B a a a a++-==>L L ，故对任意的01s i ≥+，总有010s i a a -≥>，则{}0000+1123111max ,,,,,0,i i i i A a a a a a a -++==L ，因为00+11i i d a +=， 所以{}000+123min ,,,,0i i i n B a a a ++==L L，这与任意的01s i≥+，总有010s i a a -≥>矛盾，所以23,,,,n a a a L L 不全为零不成立， 所以0n a =，其中任意的*n N ∈．5.已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11(0)n n a ka k +=-≠，数列{}1n a -是公比不为1的等比数列．（1）求实数k 的值；（2）设4,,1,,n nn n b a n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项．【解析】（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--， 因为{1}na -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =， 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}na -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-， 所以实数k 的值为2．（2）由（1）知12nn a -=，所以4,,2,,n nn n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+L2(41)(43)[4(21)]444mm =-+-++--++++L L 144(4)3m m m +-=-+，则212244(4)3m m m mS S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->， 且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,mt m S b t S -=>∈*N ， 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=mm S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3， 验证2173S S =，433S S =，658723S S =得，当2m =时，413S b S =成立．②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m mmm mm m S Sm m m m +---+==+--+--++，设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<； 当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<L ，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+，即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值为2．。
数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2) 最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若，则k S 最小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若，则k S 最大，若0k a =则1,k kS S -最大。
四、题型分析(一) 求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项． 【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的n 的值.【解法一】基本不等式法.， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为，且145,,2a a a -成等差数列，，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C【解析】，当2n ≥时，，由145,,2a a a -成等差数列可得，即，解得2m =-，故2nn a =，则，故，由20172018n T >得，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10.【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（ ）A ．338B ．337C ．336D ．335 【答案】D(四) 求满足条件的参数的最值【例4】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对恒成立,求实数t 的最大值.【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．(2)由32n a n =- ,可得.因为,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,所以,所以实数t 的最大值是1.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5 【解析】要使恒成立,只需.因,所以,，数列为等差数列，首项为，,,,,在数列中只有,,为正数的最大值为故选5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的的最小值是( )A．62 B．63C．126 D．127【答案】D6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】B【解析】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则， 由于，故：，解得：，∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减,结合函数f (x )＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.10.已知函数,且,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得． 由题意可得或解得a=1或a=-4, 当a=-1时, ,数列{a n }不是等差数列；当a=-4时,,,,当且仅当1311n n +=+,即1n =时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 11．已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式恒成立，则M 的最小值为__________． 【答案】625912．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若，则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且，所以，则，即，即，即3a 13．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得的最小正整数n 的值为__________．【答案】5【解析】，，两式相减，故， 112n n a ++=故，故n 的最小值为5.14．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=， 242b b +=,则12222n b b b 的最大值为________．【答案】512【解析】依题意有，解得，故.，故当3n =时，取得最大值为92512=.15．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >， 260S <，则数列的最大项是第________项.【答案】1316.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，，且11a =，设，则的最小值是________.【答案】9【解析】当2n ≥ 时，，即，展开化为：∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．则则当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为919.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且,记集合.（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数.由,可归纳证明对任意n k …,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数； 如果1k >,因为12k k a a -=或,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n …,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.。
微专题9 数列中的新定义性问题问题背景新定义数列题是指以学生已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情境，或定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规划，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的一类数列题型.由于新定义性数列题背景新颖，构思巧妙，而且能有效地考查学生的迁移能力和思维品质，充分体现“遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的特点，所以备受命题专家的青睐.高考命题方向：1.给出一种新数列的定义，要求构造出一个满足条件的数列或求出一个特殊数列的某些量；2.给出一种新数列的定义证明这种数列的某些性质. 思维模型说明：1.解决方案及流程①读懂定义，理解新定义数列的含义；②特殊分析，比如先对1,2,3n =…的情况进行讨论；③通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差与等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解；④联系等差与等比数列知识将新定义数列问题在转化为熟悉的知识进行求解. 2.失误与防范①不能正确理解新定义的含义；②不注重利用特殊化分析，寻找新定义的数列的性质； ③难以用文字将解题过程完整准确地表达出来. 问题解决一、典型例题例1 在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12,3,4,5,n n n a a a n --=-=⋅⋅⋅，则称{}n a 为“绝对差数列”.（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （2）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.例2 设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”.（1）若数列{}n a 的前n 项和()*2n n S n N =∈，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <.若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()*n n n a b c n N =+∈成立.例 3 如果数列{}n a 满足：1230na a a a +++⋅⋅⋅+=且123n a a a a +++⋅⋅⋅+=()*13,n n N ≥∈，则称数列{}n a 为n 阶“归化数列”.（1）若某4阶“归化数列”{}n a 是等比数列，写出该数列的各项； （2）若某11阶“归化数列”{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式； （3）若{}n a 为n 阶“归化数列”，求证：123111112322n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤-. 二、自主探究1.设数列{}n a 的各项均为正数.若对任意的*n N ∈，存在*k N ∈，使得2n k n n a a a υ++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列.（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且288,1a a ==，求2n a ；（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明：数列{}n a 是等比数列.2.已知数集{}()*1212,,,0,2,n n A a a a a a a n n N =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥∈具有性质:p i ∀，()1,i j i i j n a a ≤≤≤+与j i a a -两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集{}1,2,3,4是否具有性质p ，并说明理由； （2）证明：10a =；（3）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等差数列.3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n M 满足条件：11t M S =，当2n ≥时，1m m n t t M S S -=-，其中数列{}m t 单调递增，且*n t N ∈.（1）若n a n =.①试找出一组123,,t t t ，使得2213M M M =；②证明：对于数列n a n =，一定存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方.（2）若21n a n =-，是否存在无穷数列{}n t ，使得{}n M 为等比数列.若存在，写出一个满足条件的数列{}n t ；若不存在，说明理由.。
考点十二 数列综合问题一、选择题1．若数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，则数列{a n }的前20项的和为( ) A ．－100 B ．100 C ．－110 D ．110答案 A解析 由a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，得a 2＋a 1＝－1，a 3＋a 4＝－3，a 5＋a 6＝－5，…，a 19＋a 20＝－19，∴{a n }的前20项的和为a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝－1－3－…－19＝－1＋192×10＝－100.2．(2019·辽宁葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎨⎧2a n －1－1(n 为偶数)，2a n －1＋2(n 为奇数)，则解下4个环所需的最少移动次数为( ) A ．7 B ．10 C ．12 D ．22 答案 A解析 依题意a 4＝2a 3－1＝2(2a 2＋2)－1＝2[2(2a 1－1)＋2]－1＝7，故选A. 3．(2019·西藏拉萨中学第二次月考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋1 答案 A解析 由a n ＋1＝3S n 得a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，则a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)，即a 6＝3×44，故选A.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝125，a 2＋a 5＝4，设b n ＝[a n ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{b n }的前8项和S 8＝( )A ．24B ．20C ．16D ．12答案 C解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝125，2a 1＋5d ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25⇒a n ＝1＋(n －1)×25＝25n ＋35⇒b 1＝b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝2，b 6＝b 7＝b 8＝3⇒S 8＝16.5．已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4a n ＋1＋a n ，若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1＋a n 的前n 项和为5，则n ＝( )A ．35B ．36C ．120D ．121答案 C解析 用裂项相消法求数列的前n 项和．因为a n ＋1－a n ＝4a n ＋1＋a n，所以a 2n ＋1－a 2n ＝4，所以数列{a 2n }是首项为4，公差为4的等差数列，所以a 2n ＝4n ，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n ＝2n ，所以1a n ＋1＋a n ＝12×1n ＋1＋n＝12×(n ＋1－n )，所以S n ＝12×[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )]＝12×(n ＋1－1)＝5，解得n ＝120，故选C.6．(2019·安徽宣城第二次调研)已知正项等比数列{a n }满足a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 21，则1m ＋4n的最小值为( ) A ．2 2 B ．83 C ．3 D ．3 2答案 C解析 设等比数列的公比为q (q ＞0)，∵a 9＝a 8＋2a 7，∴a 7q 2＝a 7q ＋2a 7，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2或q ＝－1(舍去)，∵存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝2a 21，∴a 21qm －1＋n －1＝2a 21，2m ＋n －2＝2，m ＋n －2＝1，m ＋n ＝3，∴1m＋4n＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ＋5≥13×9＝3，当且仅当m ＝1，n ＝2时等号成立．故选C. 7．(2019·浙江三校联考二)已知数列{a n }满足a 1＝a >0，a n ＋1＝－a 2n ＋ta n (n ∈N *)，若存在实数t ，使{a n }单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 A解析 由{a n }单调递增，得a n ＋1＝－a 2n ＋ta n >a n ，又a 1＝a >0，则a n >0，所以t >a n ＋1(n ∈N *)．n ＝1时，t >a ＋1.①n ＝2时，t >－a 2＋ta ＋1，即(a －1)t <(a ＋1)(a －1)．② 若a ＝1，②式不成立，不符合题意；若a >1，②式等价于t ＜a ＋1，与①式矛盾，不符合题意．排除B ，C ，D ，故选A.8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则t 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞答案 D解析 ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，可得a n ＝22n －1，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，∵对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <t ，∴t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.二、填空题9．(2019·河北唐山二模)各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ·a n ＋2＝3a n ＋1(n ∈N *)，则a 5·a 2019＝________.答案 27解析 由a n ·a n ＋2＝3a n ＋1知n ≥2，a n －1·a n ＋1＝3a n ，两式相乘得a n －1·a n ＋2＝9，又a n ＋2·a n ＋5＝9，得a n －1＝a n ＋5，则数列周期为6，又a 1a 4＝9，则a 4＝9，故a 5·a 2019＝a 5·a 6×336＋3＝a 5·a 3＝3a 4＝27.10．已知a n ＝n －7n －52(n ∈N *)，设a m 为数列{a n }的最大项，则m ＝________.答案 8解析 因为函数y ＝x －7x －52在(－∞，52)，(52，＋∞)上单调递减，结合该函数图象可得a 8>a 9>…>1>a 1>a 2>…>a 7，即a 8为数列{a n }的最大项，故m ＝8.11．(2019·湖南株洲二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4,4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1(n ≥1)，则a n ＝________.答案 ⎩⎨⎧4(n ＝1)，3×4n －1(n ≥2) 解析 当n ≥2时，由4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1，得4S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n ，∴4S n －4S n －1＝a n ＋1，即4a n ＝a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝4(n ≥2)，又4S 1＝4a 1＝a 1＋a 2，a 1＝4，∴a 2＝12，∴当n ≥2时，a n ＝12×4n －2＝3×4n －1.又a 1＝4，不满足上式，所以所求通项公式为a n ＝⎩⎨⎧4(n ＝1)，3×4n －1(n ≥2).12．(2019·山东聊城三模)我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数字之和为N n ，如图三阶幻方的N 3＝15，那么N 9的值为________．答案369解析根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，N3＝13×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝15，N4＝14×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16)＝34，N5＝15×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24＋25)＝65，…，∴N n＝1n×(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n2)＝1n×n2(1＋n2)2＝n(n2＋1)2，故N9＝9×(92＋1)2＝9×41＝369.三、解答题13．(2019·辽宁丹东质量测试二)数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝14a n－1，求数列{b n}的前n项和．解(1)因为a n＋1＝a n＋2n＋1，所以当n≥2时，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 由于a1＝1满足a n＝n2，所以所求{a n}的通项公式为a n＝n2.(2)因为b n＝14n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以数列{b n}的前n项和为T n＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＝n2n＋1.14．(2019·山东烟台适应性练习)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－2(n∈N *)，{b n }是等差数列，且a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)S n ＝2a n －2，当n ＝1时，得a 1＝2， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2， 作差得a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n .设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4， 所以8＝3d －b 1,16＝5d ＋b 1， 所以d ＝3，b 1＝1，所以b n ＝3n －2.(2)T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝3(b 1＋b 2)＋3(b 3＋b 4)＋…＋3(b 2n －1＋b 2n ) ＝3(b 1＋b 2＋…＋b 2n )， 又因为b n ＝3n －2，则T 2n ＝3×2n (b 1＋b 2n )2＝3n [1＋3×(2n )－2]＝18n 2－3n .一、选择题1．已知数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝4，b n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2，则该数列的前23项的和为( )A ．4194B ．4195C ．2046D ．2047答案 A解析 由题意，得当n 为奇数时，b n ＋2＝2b n ，数列为以2为公比的等比数列，当n 为偶数时，b n ＋2＝b n ＋1，数列为以1为公差的等差数列，∴S 23＝(b 1＋b 3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝1－2121－2＋11×4＋11×(11－1)2×1＝212－1＋44＋55＝4194.2．(2019·浙江金华十校模拟)等差数列{a n}，等比数列{b n}，满足a1＝b1＝1，a5＝b3，则a9能取到的最小整数是()A．－1 B．0C．2 D．3答案 B解析设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a5＝b3，可得1＋4d＝q2，则a9＝1＋8d＝1＋2(q2－1)＝2q2－1>－1，可得a9能取到的最小整数是0，故选B.3．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸答案 C解析设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1＝130.0，a13＝14.8，则130.0＋12d＝14.8，解得d＝－9.6，∴a6＝130.0－9.6×5＝82.0，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．4．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＋2(n >8)，a n －7(n ≤8)，若对于任意的n ∈N *都有a n >a n＋1，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 D解析 ∵对于任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1，∴数列{a n }单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧13－a <0，0<a <1，即13<a <1.又由题意知a 9<a 8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a ×9＋2<a 8－7，解得a >12，故12<a <1.5．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足10011000<S 2n S n<1110的n 的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 A解析 由2a n ＋1＋S n ＝2得2(S n ＋1－S n )＋S n ＝2，即S n ＋1＝12S n ＋1，S n ＋1－2＝12(S n －2)，且S 1－2＝a 1－2＝－1，所以S n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S 2n S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫10011000，1110，即11000<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110，4≤n ≤9，所以n 的最大值为9，故选A.6．(2019·陕西西安4月联考)已知函数f (x )＝21＋x 2，若等比数列{a n }满足a 1a 2019＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝( )A ．2019B ．20192C ．2D ．12答案 A 解析 ∵f (x )＝21＋x 2，∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝21＋x 2＋21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝2.∵a 1a 2019＝1，∴f (a 1)＋f (a 2019)＝2，∵{a n }为等比数列，则a 1a 2019＝a 2a 2018＝…＝a 1009a 1011＝a 21010＝1.∴f (a 2)＋f (a 2018)＝…＝f (a 1009)＋f (a 1011)＝2，f (a 1010)＝1，即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝2×1009＋1＝2019.7．(2019·江西新八校联考二)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 2017－1)2019＋2019a 2017＋(a 2017－1)2021＝2000，(a 2020－1)2019＋2019a 2020＋(a 2020－1)2021＝2038，则S 4036＝( )A ．2020B ．2038C ．4034D ．4036答案 D解析 由(a 2017－1)2019＋2019a 2017＋(a 2017－1)2021＝2000得 (a 2017－1)2019＋2019(a 2017－1)＋(a 2017－1)2021＝－19，① 由(a 2020－1)2019＋2019a 2020＋(a 2020－1)2021＝2038得 (a 2020－1)2019＋2019(a 2020－1)＋(a 2020－1)2021＝19，② 令f (x )＝x 2019＋2019x ＋x 2021， 则①式即为f (a 2017－1)＝－19， ②式即为f (a 2020－1)＝19，又f (－x )＋f (x )＝0，即f (x )是奇函数，则(a 2017－1)＋(a 2020－1)＝0，即a 2017＋a 2020＝2，∴S 4036＝2018(a 1＋a 4036)＝2018(a 2017＋a 2020)＝4036.故选D.8．(2019·广东韶关模拟)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，设数列{b n }满足b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，则实数λ的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫38，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫38，＋∞答案 D解析 因为a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2＋n ，所以当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，则1n a n ＝2n ，故a n ＝2n 2(a 1＝2满足此式)，所以b n ＝2n ＋14n 2(n ＋1)2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋1)2，则T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋1n 2－1(n ＋1)2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2，由于T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，故14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2<n n ＋1λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1在n ∈N *上单调递减，故当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14n ＋4max ＝38，所以λ>38，故选D.二、填空题9．(2019·辽宁沈阳质量监测三)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1，则数列b n ＝a 2n －7a n ＋6的最小值为________．答案 －6解析 由S n ＝2n －1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，∴a n ＝2n －1.则b n ＝a 2n －7a n ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －722－254，∴当a n ＝4时，(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－254＝－6.10．(2019·辽宁沈阳东北育才学校第八次模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意的r ，t ∈N *，都有S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t 2，则a n ＝________.答案 2n －1解析 若r ＝n ，t ＝n ＋1，n ∈N *，则S n S n ＋1＝n 2(n ＋1)2，令S n ＝n 2k ，S n ＋1＝(n ＋1)2k ，则a 1＝S 1＝k ＝1，∴S n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1＝2(n ＋1)－1，∴a n ＝2n －1，经验证，n ＝1时，满足a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝________.答案 78解析 因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.12．(2019·河北衡水四月大联考)历史上数列的发展折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }，又记数列{c n }满足c 1＝b 1，c 2＝b 2，c n ＝b n －b n －1(n ≥3，n ∈N *)，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019的值为________．答案 3解析 记“兔子数列”为{a n }，则数列{a n }每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }为{1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…}，可得数列{b n }构成一周期为6的数列，由题意得数列{c n }为{1,1,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1，…}，观察数列{c n }可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019＝(c 1＋c 2)＋(c 3＋…＋c 2018)＋c 2019＝1＋1＋1＝3.三、解答题13．(2019·河北廊坊期中联合调研)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋22n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋22n ，∴当n ＝1时，a 1＝2－32＝12；当n ≥2，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1＝2－n ＋12n －1， ∴na n ＝2－n ＋22n －⎝⎛⎭⎪⎫2－n ＋12n －1＝n 2n ，可得a n ＝12n ， 又∵当n ＝1时也成立，∴a n ＝12n .(2)∵b n ＝1a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＋1， ∴b n ＝2n (1＋2n )(1＋2n ＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1， ∴T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1. 14．(2019·河北石家庄二中二模)已知等比数列{a n }满足a n <a n ＋1，a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意得2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8， 解得⎩⎨⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32，又数列{a n }单调递增，则⎩⎨⎧ q ＝2，a 1＝2，故a n ＝2n .(2)∵b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0， 对任意正整数n 恒成立，m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立，∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．。
专题25数列中的新定义问题以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点，考查频次较高．解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，主要考察综合分析能力，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，在新环境下灵活应用已有知识，从而找到恰当的解决方法.a n各项均不相同，a1＝1，定义b n(k)＝a n＋(－1)k a n已知数列{}，其中n，k∈N*.＋k(1)若b n(1)＝n，求a5；a n的前n项和为(2)若b n＋1()k＝2b n()k对k＝1,2均成立，数列{}a n的通项公式．S n.求数列{}数列新定义问题是近几年高考的热点，解题的关键在于在“新”上做文章，解题前应深刻理解“新数列”的含义，并将其进行转化，使“新数列”问题变成一个熟知的常规题型．本题从数列“b n(k)”的构造入手，找到它与原数列{a n}之间的关系，再利用条件中n，k的任意性，应用特殊化思想解决第(1)题；第(2)题则是从已知出发，先得到两个关于递推关系式，然后通过代数恒等变形及消元方的关系，从而证得最终结果.法，推出a n与a n＋1(2019·南京二模)设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n＋k＝a n·a n＋2k成立，则称数列{a n}为“J k 型”数列．(1)若数列{a n}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；(2)若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{a n }是等比数列．已知数列{}a n 、{}b n 、{}c n ，对于给定的正整数k ，记b n ＝a n －a n ＋k ，c n ＝a n ＋a n ＋k (n ∈N *)．若对任意的正整数n 满足：b n ≤b n ＋1，且{}c n 是等差数列，则称数列{}a n 为“H (k )”数列．(1)若数列{}a n 的前n 项和为S n ＝n 2，证明：{}a n 为H (k )数列；(2)若数列{}a n 为H (1)数列，且a 1＝1，b 1＝－1，c 2＝5，求数列{}a n 的通项公式；(3)若数列{}a n 为H (2)数列，证明：{}a n 是等差数列．(2020·徐州模拟)设数列{}a n 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为S n ，我们称满足条件“对任意的m ，n ∈N *，均有(n －m )S n ＋m ＝(n ＋m )(S n －S m )”的数列{}a n 为“好”数列．(1)试分别判断数列{}a n ，{}b n 是否为“好”数列，其中a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，n ∈N *，并给出证明；(2)已知数列{}c n 为“好”数列，若c 2 017＝2 018，求数列{}c n 的通项公式．设数列{}a n 的首项为1，前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，均有S n ＝a n ＋k －k (k 是常数且k ∈N *)成立，则为“P (k )数列”．(1)若数列{}a n 为“P (1)数列”，求数列{}a n 的通项公式；(2)是否存在数列{}a n 既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{}a n 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；(3)若数列{}a n 为“P (2)数列”，a 2＝2，设T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋an 2n ，证明： T n <3.(2020·苏州模拟)定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{}x n 中的项，则称数列{}x n 为“回归数列”．(1)己知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{}a n 是否为“回归数列”，并说明理由；(2)若数列{}b n 为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立．①求数列{}b n 的通项公式；②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b s 2＋3s －1＝b t 成立．(本小题满分16分)(2019·南京三模)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若存在正整数r ，t 且r <t ，使得S r ＝t ，S t ＝r 同时成立，则称数列{}a n 为“M ()r ，t 数列”．(1)若首项为3，公差为d 的等差数列{}a n 是“M (r ,2r )数列”，求d 的值；(2)已知数列{}a n 为等比数列，公比为q .①若数列{}a n 为“M (r ,2r )数列”，r ≤4，求q 的值； ②若数列{}a n 为“M (r ，t )数列”，q ∈(－1,0)，求证：r 为奇数，t 为偶数．(1)d ＝－1；(2)①q ＝－12或q ＝－132；②略．(1)因为{a n }是M (r ,2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r .由S r ＝2r ，得3r ＋r (r －1)2d ＝2r .因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2 (*)；由S 2r ＝r ，得6r ＋2r (2r －1)2d ＝r ，因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5 (**)；………………………2分(从条件中得到关于r ，d 的方程组(*)，(**))由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1.………………………4分(解方程(*)(**)) (2)①(i)若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1.因为{a n }是M (r ,2r )数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)，由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1 (5)分(讨论q ＝1的情形)(ii)当q ≠1，因为{a n }是M (r ,2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ， 即a 1(1－q r )1－q ＝2r (*)，a 1(1－q 2r )1－q＝r (**)，由(*)和(**)，得q r ＝－12. ………………………………………………6分(求出q 的值)当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2,4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132. 综上，q ＝－12或q ＝－132.………………………8分(分类讨论确定r 、q 的值)②证明：因为{a n }是M (r ，t )数列，q ∈(－1,0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ，即a 1(1－q r )1－q ＝t ，且a 1(1－q t )1－q ＝r ，两式作商，得1－q r 1－q t ＝t r ，即r (1－q r )＝t (1－q t )．(i)若r为偶数，t为奇数，则r(1－|q|r)＝t(1＋|q|t)．因为r＜t,0＜1－|q|r＜1,1＋|q|t＞1，所以r(1－|q|r)＜t(1＋|q|t)，这与r(1－|q|r)＝t(1＋|q|t)矛盾，所以假设不成立．………………………………………………10分(证明r为偶数，t为奇数时，导出矛盾不成立)(ii)若r为偶数，t为偶数，则r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)．设函数y＝x(1－a x)，0＜a＜1，则y′＝1－a x－xa x ln a，当x＞0时，1－a x＞0，－xa x ln a＞0，所以y＝x(1－a x)在(0，＋∞)为增．因为r＜t，所以r(1－|q|r)＜t(1－|q|t)，这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立.………………………………………………………………………12分(证明r，t均为偶数也产生矛盾)(iii) 若r为奇数，t为奇数，则r(1＋|q|r)＝t(1＋|q|t)．设函数y＝x(1＋a x)，0＜a＜1，则y′＝1＋a x＋xa x ln a.设g(x)＝1＋a x＋xa x ln a，则g′(x)＝a x ln a(2＋x ln a)，令g′(x)＝0，得x＝－2ln a.因为ax＞0，ln a＜0，所以当x＞－2ln a，g′(x)＞0，则g(x)在区间(－2ln a，＋∞)递增；当0＜x＜－2ln a，g′(x)＜0，则g(x)在区间(0，－2ln a)递减，所以g(x)min＝g(－2ln a)＝1－a 2ln a.因为－2ln a＞0，所以a 2ln a＜1,所以g(x)min＞0，从而g(x)＞0在(0，＋∞)恒成立，所以y＝x(1＋a x)，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递增．因为r＜t，所以r (1＋|q |r )＜t (1＋|q |t )，这与r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )矛盾，所以假设不成立.………………………………………………14分(证明r 为奇数，t 为偶数时，也产生矛盾)(iv) 若r 为奇数，t 为偶数．由①知，存在等比数列{a n }为“M (1,2)数列”．综上，r 为奇数，t 为偶数.………………………16分(由①推证过程，导出结论)第一步：利用条件列出关于r 、d 的方程组；第二步：解第一步中的方程组，求出r 、d 的值；第三步：先考虑公比q ＝1的特殊情形、导出矛盾，此时无解；第四步：解方程组得q r＝－12； 第五步：将r ＝1,2,3,4代入验证，求得q 的值；第六步：验证r 为偶数，t 为奇数时，导出矛盾；第七步：验证r ，t 均为偶数时，也导出矛盾；第八步：验证r 为奇数，t 为偶数，也导出矛盾；第九步：验证r 为奇数，t 为偶数时，存在满足题设的数列并得出结论．作业评价若数列{a n }满足 1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6的最大值是_________．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n＝0，n ∈N *，p 为非零数列，则称数列{a n }为“放飞”数列．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“放飞”数列，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是________．若数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1≥2a n (n ≥2)，则称数列{a n }为凹数列．已知等差数列{b n }的公差为d ，b 1＝4，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为凹数列，则d 的取值范围是________．对于数列A ：a 1，a 2，a 3，…，定义{a n }的“差数列”ΔA ：a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…(Ⅰ)若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的通项公式a n ＝2n －1＋1，写出ΔA 的前3项；(Ⅱ)试给出一个数列A ：a 1，a 2，a 3，…，使得ΔA 是等差数列； (Ⅲ)若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的差数列的差数列Δ(ΔA )的所有项都等于1，且a 19＝a 92＝0，求a 1的值．若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为 “等比源数列”．(1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1. ①求数列{a n }的通项公式；②试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2)已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)．求证：{a n }为“等比源数列”(2020·苏州期中)已知数列{a n }的首项为1，定义：若对任意的n ∈N *，数列{a n }满足a n ＋1－a n >3，则称数列{a n }为“M 数列”．(1)已知等差数列{a n }为“M 数列”，其前n 项和S n 满足S n <2n 2＋2n (n ∈N *)，求数列{a n }的公差d 的取值范围；(2)已知公比为正整数的等比数列{a n }为“M 数列”，记数列{b n }满足b n ＝34a n ，且数列{b n }不为“M 数列”，求数列{a n }的通项公式．。
