数列中项数问题

初中奥数竞赛数列问题解析数列是数学中一个非常重要的概念和工具，常常在奥数竞赛中出现。

初中生们在学习数列的过程中，不可避免地会遇到一些数列问题。

本文将对一些常见的初中奥数竞赛数列问题进行详细解析。

1. 等差数列问题：等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。

解答等差数列问题的关键是找到公差，即相邻两项之差。

通常，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系来找到这个公差。

如果数列中的公差已知，则可以通过公式 an = a1 + (n-1)d 来计算第n 项的值，其中 an 表示第n项，a1 表示首项，d 表示公差。

如果只给出数列的前几项，我们可以使用多种方法来计算后面的项数。

2. 等比数列问题：等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。

解答等比数列问题的关键是找到公比，即相邻两项之比。

与等差数列类似，我们可以观察数列中相邻项之间的关系来找到这个公比。

如果数列中的公比已知，则可以通过公式 an = a1 * r^(n-1) 来计算第n项的值，其中 an 表示第n项，a1 表示首项，r 表示公比。

3. 斐波那契数列问题：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

解答斐波那契数列问题的关键是找到数列的递推关系。

通常，我们可以通过观察数列的前几项来发现其递推规律。

例如，前两项分别为1和1，后面的项数等于前两项之和。

我们可以使用递归或循环的方式来计算斐波那契数列的任意项。

4. 等差数列与等比数列的混合问题：有时候，在题目中会涉及到等差数列和等比数列的混合问题。

解答这种问题的关键是要分别找到等差数列和等比数列的递推关系，然后将两者的结果相加或相乘得到最终的结果。

在解答这类问题时，我们需要注意区分等差数列的公差和等比数列的公比。

5. 数列的和问题：数列的和是指数列中前n项之和。

对于等差数列而言，我们可以使用求和公式Sn = (n/2)(a1+an) 来计算前n项的和，其中 Sn 表示前n项的和，a1 表示首项，an 表示第n项。

微专题2：数列中的奇偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征如：等差、等比数列或其他特征求解原数列．题型一：等差等比数列的奇偶项特性例1-1：已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【解析】 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10.例1-2：已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.规律方法：若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则：①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则：①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .若等比数列{a n }中，公比为q .当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q .若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q1＋q(q ≠1且q ≠－1)．1. 在等差数列{a n }中，前2m (m 为正整数)项的和为155，其中奇数项的和为70，且 a 2m －a 1＝27，则该数列的通项公式为_____________.【解析】 由题得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶－S 奇＝md ＝85－70＝15，a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝27，解得d ＝3，m ＝5.又S 2m ＝S 10＝(a 1＋a 10)×102＝155，解得a 1＝2，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3n －3＝3n －1.2. 在等比数列{a n }中，已知a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两根，则a 5等于( )A. 1B. －1C. ±1D. 3【解析】 在等比数列{a n }中，因为a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，所以a 3＋a 7＝6＞0，a 3·a 7＝1＞0，所以a 3＞0，a 7＞0，a 5＞0.因为a 3·a 7＝a 25＝1，所以a 5＝1.题型二：奇偶分析求通项例2：设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈求n a 的通项式∵1(1)2nn n n S a =--∴当2n ≥时，11111(1)2n n n n S a ----=--两式相减得111111(1)(1)22n n n n n n n n S S a a -----=----+，即111(1)(1)2n n n n n n a a a --=---+ 当n 是偶数时，112n n n n a a a -=++，所以112n n a -=-，即n 是奇数时，112n n a +=-； 当n 是奇数时，1122n n n a a -=-+，1111222n n n n a a --=-+=，即当n 是偶数时，12nna =.1.,32,122,1n n a a a a ===+，求n a 的通项式2.,52,311+=+=+n a a a n n 求n a 的通项式题型三：奇偶分析求和例3：在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n . 解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列．因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n ，n ∈N *.(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a 2n＝⎝⎛⎭⎫12n ， 所以a n ＝11221,212n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，偶，为数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n ＝21233,2432n n n n +⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.，规律方法：对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .1. 数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3) ＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.2.设数列{}n a 满足123411,1,4,4a a a a ====，数列{}n a 前n 项和是n S ，对任意的*n N ∈，()()242122cos x n n n n n n n a af x x a a a x e a a +++++=++--，若()00f '=，当n 是偶数时，n S 的表达式是___________．【解析】()()242122sin x n n n n n n n a af x a a a x e a a +++++'=-+--， 因为()00f '=，所以2420n n n n a a a a +++-=，即242n n n n a aa a +++=，所以数列{}n a 中所有的奇数项成等比数列，所有的偶数项成等比数列，所以当n 是偶数时，n S 的表达式是22111114424111433214nn n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅- ⎪⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+=-+-⨯-． 3. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，即a 2n ＋1－a 2n －1＝2， 又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *. (2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0， 即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以 T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝⎣⎡⎦⎤n ×1＋12n (n －1)×2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *.题型四：由奇偶项分类讨论求参数例4：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n n －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n (2n －1)． 因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立， 所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p ][(－1)n (2n －1)－p ]<0.①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，解得1－2n <p <2n ＋1， 因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，可得－1<p <3.②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n )]<0，解得－1－2n <p <2n －1，因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，可得－5<p <3.联立⎩⎪⎨⎪⎧－1<p <3，－5<p <3，解得－1<p <3.所以实数p 的取值范围是(－1,3)．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32nn n nS a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【解析】当1n时，134a 当2n时，11111(1)42n n n n S a n ----=-++-，所以11(1)(1)12n n n n n na a a -=-+--+ 当n 为偶数时，1112n n a -=-； 当n 为奇数时，11212n n n a a -=--+，即1112122n n n a --=--+，1232n n a -=-. 所以113,211,2nn n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数.当n 为偶数时，1113,324n n a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当n 为奇数时，11311,24n n a +⎛⎤=-∈--⎥⎝⎦又因为1()()0n n t a t a +--<恒成立，1n n a t a +<<，所以31144t.。

数列的等差中项和等比中项数列（Sequence）是数学中一个非常重要的概念，在解决问题时往往需要用到数列的性质和特点。

本文将介绍数列中的等差中项和等比中项，探讨它们的定义、计算公式以及应用。

一、等差中项和（Arithmetic Mean）在数列中，如果相邻两项之差保持恒定，那么我们称这个数列为等差数列（Arithmetic Progression）。

等差数列可以用一个公式来表示，即：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示数列第n项的值，a1表示数列第一项的值，d表示公差（即相邻两项之差）。

在等差数列中，每一项都可以由前一项和公差计算得出。

而等差中项和即指数列中的某两项之和的一般形式表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示数列前n项和，n表示项数。

二、等比中项和（Geometric Mean）在数列中，如果相邻两项之比保持恒定，那么我们称这个数列为等比数列（Geometric Progression）。

等比数列可以用一个公式来表示，即：an = a1 * r^(n - 1)其中，an表示数列第n项的值，a1表示数列第一项的值，r表示公比（即相邻两项之比）。

在等比数列中，每一项都可以由前一项和公比计算得出。

而等比中项和即指数列中的某两项之和的一般形式表示为：Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)其中，Sn表示数列前n项和，n表示项数。

三、等差中项和与等比中项和的应用等差中项和和等比中项和在数学中具有广泛的应用。

在数学问题的求解中，我们经常需要计算数列前n项和来得到问题的答案。

例如，在财务规划中，我们需要计算某笔投资在多年后的价值。

如果投资收益率保持不变，我们可以用等比中项和来计算投资在未来多年的总价值。

在几何问题中，等比数列的应用也非常常见。

比如，我们可以用等比中项和来计算等比数列的前n项和，从而得到问题的答案。

总结：数列中的等差中项和和等比中项和是非常重要的概念，它们在数学中的应用非常广泛。

等差数列的中项与中值一、等差三数有中项一个等差数列至少有3项，否则它不能构成等差数列.若3个数a 1、a 2、a 3成等差数列，则a 2称作a 1、a 3的中项.若5个数a 1、a 2、a 3、a 4、a 5成等差数列，则a 3既是a 2、a 4的中项. 同时，也是a 1、a 5的中项，如此等等.夹在数列的两项之间，并且与两项等距的项，称作给定两项的中项.【例1】判断等差数列a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6中能充当中项的数【解答】首项a 1不能充当中项；a 2是a 1和a 3的中项；a 3是a 1和a 5、a 2和a 4的中项； a 4是a 2和a 6、a 3和a 5的中项；a 5是a 4和a 6的中项；未尾a 6不能充当中项.【说明】相邻两项无中项；中间间隔为偶数项的两项无中项. 如例1中，a 2、a 3无中项，a 1、a 6无中项等等.二、等差中项的性质和判断若3个数a p 、a q 、a r （或等差数列中的某3项）成等差数列，则称中间的一项a q 为前后两项a p 和a r 的等差中项.容易知道，a q 为a p 和a r 等差中项的完全条件是：2r p q a a a +=. 它的图形解释为：以a p 和a r 为梯形的上、下底线，则a q 是梯形的中位线.图1【例2】 等差数列{a n }的公差d 为正数.设a 1、a 2是方程x 2-a 3x +a 4=0的两根. 求和S =a 6+a 8+a 10+a 12+a 14.【解答】 联立⎩⎨⎧==+421321a a a a a a 得d =a 1=2 202929110=⨯+=+=d a a故有S =5a 10=100.【说明】 若将例2中的求和问题改作求S =a 6+a 9+a 10+a 11+a 14，这里a 6、a 9、a 10、a 11、a 14并不成等差数列，但其结果不变.其原因何在，留给读者思考.三、在2)(1n a a S n n +=里找中项等差数列{a n }前n 项和公式2)(1n a a S n n +=的图形意义是：以a 1，a n 分别为上、下底长，以n 为高长的梯形面积公式. 其中，21n a a +为梯形中位线.图2（1）当n 为奇数时，如n =2m -1. 则a 1,a n 间有中项：21n m a a a +=.亦即等差数列的中项.此时，S n =S 2m -1=(2m -1)a m .（2）当n 为偶数时，如n =2m . 则a 1,a n 间无中项，22121++=+m m m a a a a 不是中项，亦即等差数列无中项.可称为数列的“中值”.此时，S n =S 2m =m (a m +a m +1).显然，“中项”是“中值”的特殊情况.当数列的项数为奇数2n -1，则数列求和的梯形公式化为矩形公式：矩形的长是中项a n ，矩形的高是项数2n -1.即是等差数列前奇数项之和，等于项数与中项的积.【例3】（2004年福建卷）S n 为等差数列{a n }前n 项的和，若9535=a a ，求59S S 的值. 【解答】 题目所涉项数都是奇数，利用“矩形公式”可得S 9=5a 5、S 5=5a 3. 故有19559593559=⨯==a a S S （参考） 【说明】解题的捷径表现在“绕过了通项公式”.四、中值数列21n n a a +- 如果{a n }为等差数列，则由{a n }中依次相邻两项的“中值”21n n a a +-（n ≥2）所形成的数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-21n n a a 称作{a n }的“中值数列”.如数列{2,4,6,8}是数列{1,3,5,7,9}的中值数列. 易知中值数列{b n }=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-21n n a a 也是等差数列.其首项为211n n a a b +=-，其公差与{a n }的公差相等，即d d a a a a a a b b n n n n n n n n ==-=+-+=--+-+-2222211111 如果将数列{a n }的中值数列{b n-1}依次插入{a n }，则得到一个新的数列——中值插补数列 n n n a b a b a ，b a ,,,,,,112211--等差数列的中值插补数列也是等差数列，且首项为a 1，公差为d ,项数是（与n 的奇偶性无关的）奇数2n-1,另外，三个数列：（1）原数列{a n }，（2）中值数列{b n }；（3）中值插补数列有公共的中值.21n a a + 【例4】 设等差数列{c n }={c 1,c 2,…，c 2007}的首项c 1=a ,公差为d .求{c n }中奇数项和与偶数项和的差.【解答】 数列{c n }的奇数项组成以a 为首项，2d 为公差的等差数列.由2n -1=2007得其项数为n =1004，中值为c 1004.其和S 1004=1004c 1004数列{c n }的偶数项组成以a+d 为首项，2d 为公差的等差数列{b n },项数为2007-1004=1003.中项仍为c 1004其和T 1003=1003c 1004它们的差为S 1004-T 1003=1004c 1004-1003c 1004=c 1004=a +1003d【说明】 等差数列之和与它们中值数列之和的差正好是原等差数列的中值.五、中项求和深入到高考综合题【例5】 （2007年湖北题）已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ，则使得nn b a 为整数的正整数n 的个数是 A .2 B.3 C.4 D.5【解答1】 运用中值公式：2)(1n a a S n n += 3457++=n n B A n n =2)]1(22[2)]1(7262[2)3(2)457(n n nn n n n n -+⨯-+⨯=++， 可看出1,2;7,261111====d b d a11271197)1(2)1(726++=++=-+-+=n n n n n b a n n 可见，当且仅当n =1，2，3，5，11时，nn b a 为正整数. 【说明】 本解实际上是一种特值法，特值是a 1=26,b 1=2,d 1=7,d 2=1.如果将它们同时乘以一个不为0的实数k ，则为数列{a n }和{b n }的一般情况.【解答2】 运用中项定理，n n a n S )12(12-=-.()()()()212121721451438212132271912711n n n n n n n a n a A n b n b B n n n n n ----++====--+++==+++可见，当且仅当n =1，2，3，5，11时，nn b a 为正整数. 【说明】 这里，分别将数列{a n }、{b n }的项数设为奇数，是否代表问题的一般性？ 将a n 、b n 分别视作数列{a 2n -1}和{b 2n -1}的中项，这里具备一般性，至于分别从它们出发构造出来的和数列A 2n -1、B 2n -1，自然也具备着一般性.。

等差数列项数的公式
等差数列的项数公式是：
第n项=第1项+ (n-1) *公差
其中，第1项是等差数列的首项，n是等差数列的项数，公差是等差数列中相邻两项的差值。

拓展：
除了项数公式，还有其他一些与等差数列项数相关的公式和性质：
1.等差数列的前n项和公式：
等差数列的前n项和可以表示为：Sn = (n/2) * (第1项+第n项) 其中，Sn表示等差数列的前n项和。

2.等差数列的末项公式：
等差数列的末项可以表示为：第n项=第1项+ (n-1) *公差
3.项数公式的逆运算：
已知等差数列的第1项、末项和公差，可以使用项数公式的逆运算求得项数n。

具体步骤为：(第n项-第1项) /公差+ 1 = n
4.项数公式的特殊情况：
当等差数列的公差为1时，项数公式可以简化为：第n项=第1项+ (n-1) = n +第1项- 1
这些公式和性质都可以帮助我们在解决与等差数列项数相关的问题时进行计算和推导。

数列中的奇偶项问题例1、〔12一模〕数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. 〔1〕求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+〔2〕①证明：数列{}2n b +等比数列；②假设22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：〔1〕2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+〔2〕①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，那么12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、〔14二模〕设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．〔I 〕求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；〔II 〕设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ，求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：〔Ⅰ〕由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分〔Ⅱ〕14 32n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数．当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分 当n 为奇数时，〔法一〕1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++- ……………13分点评:根据结论1退而求之.〔法二〕132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分 12222,221n n n n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分 点评：分清项数，根据奇偶进展分组求和。

三年级等差数列例题一、等差数列基础概念例题。

1. 例题：求等差数列3，7，11，15，…的第10项是多少？- 解析：- 我们要确定这个等差数列的首项a_1 = 3，公差d=7 - 3=4。

- 根据等差数列的通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。

- 当n = 10时，a_10=3+(10 - 1)×4=3 + 9×4=3+36 = 39。

2. 例题：等差数列2，5，8，11，…，29，这个数列共有多少项？- 解析：- 已知首项a_1 = 2，公差d = 5-2 = 3，末项a_n=29。

- 根据通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得到29 = 2+(n - 1)×3。

- 化简方程29=2 + 3n-3，即29=3n - 1。

- 移项可得3n=30，解得n = 10，所以这个数列共有10项。

3. 例题：在等差数列{a_n}中，a_1 = 5，d = 3，求前5项的和S_5。

- 解析：- 根据等差数列求和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，先求a_5。

- 由通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，当n = 5时，a_5=5+(5 - 1)×3=5+12 = 17。

- 再代入求和公式S_5=(5×(5 + 17))/(2)=(5×22)/(2)=55。

4. 例题：已知等差数列1，4，7，10，…，求这个数列的第20项与前20项的和。

- 解析：- 首项a_1 = 1，公差d = 4 - 1=3。

- 第20项a_20=a_1+(20 - 1)d=1+(20 - 1)×3=1+19×3=1 + 57=58。

- 前20项和S_20=(20×(1 + 58))/(2)=10×59 = 590。

5. 例题：等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_1和d。

- 解析：- 根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。

等差数列中间项公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等差数列是数学中非常常见的一种数列形式，它每一项与前一项之间的差为一个常数，这个常数被称为公差。

等差数列的一般形式为：a，a+d，a+2d，a+3d，a+4d，……其中a是首项，d是公差，n是项数。

在等差数列中，我们经常需要求解的问题之一就是找出中间项的值。

这个问题可以通过等差数列的中间项公式来解决。

中间项公式是一种用于计算等差数列中间项的公式，可以帮助我们快速准确地找出中间项的值。

我们来看一下等差数列中中间项公式的推导。

设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n，要求等差数列的中间项。

设中间项为x，根据等差数列的性质，中间项前面有(n-1)/2项，后面也有(n-1)/2项。

那么中间项的前面一项为x-d，前面还有(n-1)/2-1项，可以表示为x-(n-1)/2*d，这样可以得到中间项前面的总项数为(n-1)/2。

同理，中间项的后面一项为x+d，后面还有(n-1)/2项，可以表示为x+(n-1)/2*d，这样可以得到中间项后面的总项数为(n-1)/2。

x=a+(n-1)/2*d。

这就是等差数列中间项公式的推导过程，通过这个公式我们可以方便地求解等差数列中的中间项。

接下来，让我们通过一个具体的例子来演示一下如何使用中间项公式。

例题：已知等差数列的首项为3，公差为2，求出第11项和中间项。

我们可以根据等差数列的通项公式an=a+(n-1)*d，求出第11项的值：a11=3+(11-1)*2=3+20=23。

第二篇示例：等差数列是数学中一种非常基础且重要的数列形式，其特点在于数列中的每一项之间的差都是相等的。

而等差数列中的中间项公式则是用来求解等差数列中任意两项之间的中间项的公式，它能够帮助我们快速准确地找到等差数列中任意位置的项的值。

在学习数学和解决实际问题中，掌握等差数列中间项公式是非常重要的。

让我们回顾一下等差数列的定义。

等差数列是指一个数列中，任意相邻的两项之间的差是相等的数列。

数列中的奇偶项问题题型一、等差等比奇偶项问题(1)已知数列{}n a 为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32/27，则这个数列的公差为________(2)等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为_______(3)已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为_________；项数为_____________题型二、数列中连续两项和或积的问题（()1n n a a f n ++=或()1n n a a f n +⋅=）1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为________，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为___________________2．若数列{}n a 满足：11a =，14n n a a n ++=，则数列{}21n a -的前n 项和是_____________3．若数列{}n a 满足：11a =，14n n n a a +=，则{}n a 的前2n 项和是___________4．已知数列{}n a 中，11a =，11()2n n n a a +⋅=，记n S 为{}n a 的前n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅲ）求n S .5．（2017年9月苏州高三暑假开学调研，19） 已知数列{}n a 满足()*143n n a a n n N ++=-∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；（2）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；6．（2015江苏无锡高三上学期期末，19）在数列{}n a ，{}n b 中，已知10a =,21a =,11b =,212b =，数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且满足21n n S S n ++=，2123n n n T T T ++=-，其中n 为正整数.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)问是否存在正整数m ，n ，使121n m n T mb T m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ，若不存在，请说明理由.题型三、含有()1n-类型1．已知()1123456..........1n n S n -=-+-+-+-，则173350S S S ++=_____________2．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则的前60项和为________3．数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，22a =，()211nn n a a +-=+-，*n ∈N ，则100S =______ 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()112nn n nS a =--，*n N ∈，则123100..........S S S S +++=____5．已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*22(1)()2n n n a a n N ++-=∈.（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ；题型四、含有{}2n a 、{}21n a-类型1．(2017.5盐城三模11)．设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则20S = ．2．（镇江市2017届高三上学期期末）已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-． （1）若数列{}n b 是公比为3的等比数列，求n S 2；（2）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．3．【2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前n 项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；4．（苏州市2018届高三第一学期期中质检，20）已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，{}221n n a pa ++成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．题型五、已知条件明确奇偶项问题1．（无锡市2018届高三第一学期期中质检，19）已知数列{}n a 满足1133,1,1,n n n a n n a a a n n ++ ⎧⎪==⎨---⎪⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*2,n n b a n =∈N . （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存正整数n ，使得212n n n S b S +＞＞成立？说明理由.2．已知数列{}n a 中，11a =，()()1133n n n n n a n a a n ++=-⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数，设232n n b a -=（1）证明数列{}n b 是等比数列（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，求2n S （3）探求满足0n S >的所有正整数n3．(2015江苏省连云港、徐州、宿迁三模19)．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n n n S a a =+，*n N ∈n ∈N *．正项等比数列{}n b 满足：22b a =，46b a =，（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()*,21,2n n na n k cb n k k N =-⎧⎪=⎨=∈⎪⎩，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求所有正整数m 的值，使得221nn T T -恰好为数列{}n c 中的项．。