2014届皖南八校三模数学答案(数学)

安徽省皖南八校联考2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B3．（5分）计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．64．（5分）如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2 B．C．﹣D．﹣15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．（5分）在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM＜的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2B．2 C．4D．±49．（5分）已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不可能是（）A．1 B．2 C．4 D．810．（5分）在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0] C．（0，+∞）D．[0，+∞）二、填空题：每小题5分．11．（5分）已知平面向量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．12．（5分）若x，y满足约束条件，则z=8x﹣4y的最小值为．13．（5分）若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为．15．（5分）下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足=x+y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为（填写所有真命题的序号）．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四面体N﹣ABD的体积．18．（12分）某校2015届高三年级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估计总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的学生中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11 a12 a13 (1)a21 a22 a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M（c，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C的长轴长的，求直线ON的方程．安徽省皖南八校联考2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z+2=（z﹣2）•i，∴z+2=zi﹣2i，化为z（1﹣i）=﹣2（1+i），∴z（1﹣i）（1+i）=﹣2（1+i）2，化为2z=﹣2（2i），∴z=﹣2i．则复数z的共轭复数=2i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|0＜x＜3}，则B⊆A，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的判断，比较基础．3．（5分）计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．6考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算性质和幂的运算性质化简计算即可．解答：解：（log32﹣log318）÷81﹣=log3÷=﹣2÷=﹣6，故选：B．点评：本题考查了对数的运算性质和幂的运算性质，属于基础题．4．（5分）如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2 B．C．﹣D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=6时，不满足条件i ＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=2满足条件i＜6，s=，i=2满足条件i＜6，s=﹣1，i=3满足条件i＜6，s=2，i=4满足条件i＜6，s=，i=5满足条件i＜6，s=﹣1，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把平面图复原成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体是有一个棱长为2的正方体，在每个角上的三条棱的中点处截去一个三棱锥体，共截去8个小三棱锥．则：该几何体的体积为：V==故选：A点评：本题考查的知识要点：三视图与立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用．主要考查学生的空间想象能力和应用能力．6．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先判断命题p，q的真假，再根据真值表进行判断即可．解答：解：命题p：∀x∈R，2x＞x2；当x=﹣1时，2﹣1＜（﹣1）2，故命题p为假命题，则￢p为真命题，命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，当x=﹣1时，0＜1，故命题q为真命题，则￢q为假命题，故p∧q为假命题，p∨￢q为假命题，￢p∧q为真命题，￢p∧￢q为假命题，故选：C．点评：本题借助考查复合命题的真假判断，解题的关键是熟练掌握复合命题的真假规律．7．（5分）在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM＜的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意可得三角形的面积和扇形的面积，由几何概型的概率公式可儿的．解答：解：由题意该几何概型的总的基本事件的区域为边长为1的正三角形的面积S==，而满足AM＜的区域为扇形的面积S′==，∴所求概率P==故选：D点评：本题考查几何概型，涉及正三角形的面积和扇形的面积，属中档题．8．（5分）等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2B．2 C．4D．±4考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式，求出q的值，再求a6的值．解答：解：等比数列{a n}中，a3=16，a15=，∴=q12==，∴q3=±；∴a6=a3•q3=16×（±）=±4．故答案为：D．点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，也考查了学生灵活的计算能力，是基础题目．9．（5分）已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不可能是（）A．1 B．2 C．4 D．8考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题可得a=2，且a•k==π，k∈N*，求得ω=2k，从而得出结论．解答：解：根据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，可得a=2，而函数的相邻的2条对称轴之间的距离为=，故由y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，可得a•k==π，k∈N*，求得ω=2k，是偶数，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性、正弦函数的最值，属于中档题．10．（5分）在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0] C．（0，+∞）D．[0，+∞）考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C化成标准方程，得圆心为C（0，2），半径r=1，根据题意可得点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于t的不等式，解之得t的范围．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，∴整理得：x2+（y﹣2）2=1，可得圆心为C（0，2），半径r=1．又∵直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，∴点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，可得≥2，解之得t≤0．故选：B．点评：本题给出定圆与经过定点的直线，当直线与圆有公共点时求参数k的取值范围，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题：每小题5分．11．（5分）已知平面向量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件容易求出2，从而可以求出，从而求得||．解答：解：=；∴；∴；∴．故答案为：．点评：考查向量数量积的运算，掌握这种要求先求的方法，也可写成．12．（5分）若x，y满足约束条件，则z=8x﹣4y的最小值为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x﹣4y，得y=2x﹣表示，平移直线y=2x﹣，当直线y=2x﹣经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，解得，即A（，），此时z min=8×﹣4×=3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．13．（5分）若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，问题转化为∴a≤（2x2）min，求出函数y=2x2的最小值即可．解答：解：若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则f′（x）=2﹣≥0在[1，+∞）恒成立，∴a≤（2x2）min=2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查了导数的应用，考查了转化思想，考查函数的最值问题，是一道基础题．14．（5分）已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为p．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．解答：解：抛物线x2=2py的焦点F（0，）准线方程y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3p解得y1+y2=2p，∴线段AB的中点纵坐标为p∴线段AB的中点到x轴的距离为p．故答案为：p．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．15．（5分）下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足=x+y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为①②④（填写所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：①利用已知可得f（﹣2）=22=4，f（4）=22=4，即可判断出正误；②利用向量共线定理即可判断出正误；③由面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；④若△ABC是锐角三角形，则，可得，即可判断出正误；⑤f（x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，可得cosφ﹣sinφ=，cos（φ+）=，且φ∈（0，），解得φ=或．可得f（x）=±，分类讨论利用正弦函数的单调性即可判断出正误．解答：解：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=f（4）=22=4，因此正确；②由O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足=x+y．x+y=1，由共线定理可知：A、B、C三点共线，正确；③由平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的必要不充分条件，因此不正确；④若△ABC是锐角三角形，则，∴，∴cosA＜sinB，因此正确；⑤f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）=（cosφ﹣sinφ）（sin2x﹣cos2x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，∴cosφ﹣sinφ=，∴cos（φ+）=，且φ∈（0，），∴φ=或．∴f（x）=±，由或≤，解得kπ﹣≤x≤kπ+，或≤x≤kπ+（k∈Z），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）或（k∈Z），因此不正确．综上可得：真命题为①②④．故答案为：①②④．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、分段函数的性质、向量共线定理、面面垂直的判定与性质定理、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得sinA=sinCcosB，整理可得sinBcosC=0，结合B为内角，可求cosC=0，即可求得C的值．（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）利用三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式化简可得（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，结合b＜c，由（sinB+cosB）≠0，可解得sinC﹣cosC=0，即可求得C的值．解答：解：（Ⅰ）由a=c•cosB及正弦定理，可得sinA=sinCcosB，既有：sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，故：sinBcosC=0，而在△ABC中，sinB≠0，所以cosC=0，既得C=90°．…6分（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）得﹣cos（B+C）=sinBcosC﹣cosBsinC，即有：sinBsinC﹣cosBcosC=sinBcosC﹣cosBsinC，从而：（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，又因为b＜c，所以B＜C，所以（sinB+cosB）≠0，既有sinC﹣cosC=0，故解得：C=45°．…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四面体N﹣ABD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：NE AM，可得四边形AMNE是平行四边形，MN∥AE，即可证明MN∥平面PAB．（II）（i）由PA=PD，AM=MD，可得PM⊥AD，PM=．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2，利用PB2+BM2=PM2，可得PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，即可证明PB⊥平面ABCD，得到平面PBC⊥平面ABCD；（ii）利用V N﹣ABD=••S△ABD即可得出．解答：（I）证明：取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．∴AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，又MN⊄平面PAB，∴AE⊂平面PAB．∴MN∥平面PAB．（II）（i）证明：∵PA=PD，AM=MD，∴PM⊥AD，∴PM==2．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2=PM2+BM2﹣2PM•BMcos45°=2，∴PB2+BM2=PM2，∴PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，BD∩BM=B，∴PB⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD；（ii）解：∵N是PC的中点，PB⊥平面ABCD，∴点N到平面ABCD的距离h=PB．∴V N﹣ABD=••S△ABD=×=．点评：本题考查了线面面面平行与垂直的判定定理与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理、余弦定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）某校2015届高三年级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估计总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的学生中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得各组的频率，可得要求的人数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的学生人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，列举由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可知前四组的频率分别为，，，，∴分数在[80，90），[90，100]两组的频率是和，∴分数在[80，90）内的人数是×1200=240，分数在[90，100）内的人数是×1200=60；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的学生人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，从中抽取2人的情形为（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，c），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3），（1，2），（1，3），（2，3）共15种，其中两人平均分不超过60分的有（a，b），（a，c），（b，c）共3种，∴所求概率为P==．点评：本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（1）先求导，再根据函数的单调区间，即可求出a的值；（2）根据函数的零点判定定理，即可求出a的值范围．解答：解：（1）∵f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2，∴f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣3a）（x﹣a），∵函数f（x）的单调递减区间为（﹣3，﹣1），∴，即a=﹣1；（2）∵f（x）在（0，2a）上有两个零点，∴a＞0，且，解得故a3的取值范围为（，3）点评：本题考查了应用导数研究函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11 a12 a13 (1)a21 a22 a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．考点：数列的求和；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．由a11=1，a23=14，a32=16，可得，解得d，q．即可得出a n1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n﹣1）=3n﹣2．可得b n==，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T n．由T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，可得m2﹣7m＞（T n）max，解出即可．解答：解：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．∵a11=1，a23=14，a32=16，∴，解得d=3，q=2．∴a n1=2n﹣1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n﹣1）=3n﹣2．∴b n==，∴T n=1++…+，=…+，∴=1+﹣=﹣﹣2=，∴T n=8﹣．∵T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，∴m2﹣7m＞（T n）max，∴m2﹣7m≥8，m＞0，解得m≥8，∴最小的正整数m的值是8．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M（c，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C的长轴长的，求直线ON的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用点M（c，ce）在椭圆C上，建立方程，即可求e的大小；（Ⅱ）利用|FN|等于C的长轴长的，求出N的坐标，即可求直线ON的方程．解答：解：（Ⅰ）∵点M（c，ce）在椭圆C上，∴，∴b2=2c2，∴a2=3c2，∴e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）C的方程可化为，设N（x1，y1），则∵|FN|等于C的长轴长的，∴|FN|2=（x1+c）2+y12=，∴4x12+24cx1﹣45c2=0，∴x1=c，∴y1=±c，∴直线ON的方程为．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。

安徽省皖南八校2014届高三10月第一次联考数学（文科）试题一、选择题1．复数2(1)i +的虚部是A ．0B ．2C ．2-D ．2i 2．已知集合{}2121|log (1),|()2x A x y x B y y -⎧⎫==-==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂= A ．1(,1)2B ．(1,2)C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞ 3．“3a =”是“函数2()22f x x ax =-+在区间[3,)+∞内单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列函数，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是A ．1()f x x=B ．()f x =．()22x xf x -=- D ．()tan f x x =- 5．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ 2eＢ 22e Ｃ 24eＤ 22e6．已知向量||2,||2,1a b a b ==⋅=，则向量a 与a b -的夹角为 A ．4π B ．3πC ．56πD ．23π7．将函数()sin 22f x x x =的图象向左平移m 个单位（0m >），(,0)2π是所得函数的图象的一个对称中心，则m 的最小值为 A ．4π B ．6π C ．3πD ．12π8．设P 为曲线2:4ln 4x C y x =-上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为[0,]4π，则点P 的横坐标的取值范围为A ．(0,B ．(0,)+∞C ．[2,)+∞D ．[2,9．在ABC ∆中，P 是BC 边的中点，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若0cAC aPA bPB ++=，则ABC ∆的形状为A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形10．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间0t =时,点A的坐标是1(2,则当012t ≤≤时,动点A 的纵坐标y 关于t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 A 、[]0,5 B 、[]5,11C 、[11,12]D 、[]0,5和[11,12]二、填空题 11．11sin6π= 。

安徽省2014届皖南八校高三第一次联考数学（理科）试题一、选择题 1．已知复数21iz i-=+，则在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{1|,|()2x A x y B y y ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则R A C B ⋂=A ．{}|01x x <<B ．{}|1x x ≤C ．{}|1x x ≥D ．∅3．若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是A ．[1,0]-B ．(1,0)-C ．(,0][1,)-∞⋃+∞D ．(,1)(0,)-∞-⋃+∞ 4．设()4xf x e x =+-，则函数()f x 的零点位于区间 A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)5．已知(0,),cos 2a πα∈=cos()6πα+等于A ．12-．1 C ．12-+．1- 6．已知向量a 、b 满足||1,()(2)0a a b a b =+⋅-= ，则||b的取值范围为A ．[1,2]B ．[2,4]C ．11[,]42D ．1[,1]27．已知函数()f x 满足()()f x f x π=-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin x f x e x =+，则 A ．(1)(2)(3)f f f << B ．(2)(3)(1)f f f << C ．(3)(2)(1)f f f << D ．(3)(1)(2)f f f <<8．已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，设,P Q 满足,(1)()AP AB AQ AC R λλλ==-∈，若32BQ CP ⋅=-，则λ等于A ．12BCD9．已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+-+<<，将函数()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，且1()42g π=，则ϕ=A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π10．函数()f x 的定义域为D,若对于任意12,x x D ∈,当12x x <时都有12()()f x f x ≤,则称函数()f x 在D 上为非减函数,设函数()f x 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①(0)0f =;②1()()32x f f x =;③(1)1()f x f x -=-,则11()()38f f +等于 ( )A. 12B. 34C.1D.43二、填空题11．若(1,2),(1,0)a b ==-，则2a b -= 。

2014届皖南八校高三第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11． 5120- 12．24a π13．114． (,1]4,)-∞⋃+∞ 15． ②③⑤三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本题满分12分）已知ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集． （Ⅰ）求角C 的最大值； （Ⅱ）若72c =，ABC ∆的面积S =，求角C 取最大值时a b +的值． 解：（Ⅰ）显然0cos =C 不合题意， 则cos 00C >⎧⎨∆≤⎩，即2cos 016sin 24cos 0C C C >⎧⎨-≤⎩， 即cos 01cos 2cos 2C C C >⎧⎪⎨≤-≥⎪⎩或 解得：1cos 2C ≥ 故角C 的最大值为60︒． -------------------- 6分（Ⅱ）当C =60︒时，1sin 2ABC S ab C ∆===，∴6ab =， 由余弦定理得：22222cos ()22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--，∴22121()34a b c ab +=+=，∴112a b +=． -------------------- 12分C17．（本题满分12分）从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取两条，设ξ为两条面对角线所成的角（用弧度制表示），如当两条面对角线垂直时，2πξ=．（Ⅰ）求概率(0)P ξ=；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．解：（Ⅰ）当ξ＝0时，即所选的两条面对角线平行．则P (ξ＝0)2126C ==111．-------- 4分 （Ⅱ）ξ＝0，,32ππ； P (ξ＝0)=2126C =111， P (ξ＝3π )=21248C =811， P (ξ＝2π )=21212C =211；-------------------- 10分E ξ＝1820113112113πππ⋅+⋅+⋅=． -------------------- 12分18．（本题满分12分）已知ABCD 是正方形，直线AE ⊥平面ABCD ，且1==AE AB ， （Ⅰ）求二面角D CE A --的大小；（Ⅱ）设P 为棱DE 的中点，在ABE ∆的内部或边上是否存在一点H ，使PH ACE ⊥面，若存在，求出点H 的位置，若不存在说明理由． 解：方法一：（Ⅰ）因为(1,0,1)AC =∞，)1,1,1(--=，设平面ACE 的法向量为),,(1z y x n =，则⎩⎨⎧=-+-=+00z y x z x ，令1=x ，得)1,0,1(1-=n ，同理得平面CDE 的法向量为)0,1,1(2=n ，所以其法向量的夹角为︒60，即二面角D CE A --为60．---------------- 6分（Ⅱ）∵)0,21,21(P ，设),,0(z y H ，（0≥y ，0≥z ，1≤+z y ），则),21,21(z y PH --=．由⊥PH 面ACE ，得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CE PH ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-⇒02121021z y z 21==⇒z y ． ∴存在点)21,21,0(H （即棱BE 的的中点），使⊥PH 面ACE ．------------- 12分方法二：（Ⅰ）连结BD AC ,交于O ，则⊥DO 面ACE ，作CE OM ⊥于M ，连结DM ，则OMD ∠就是 二面角D CE A --的平面角．233222sin ===∠DM OD OMD ．OMD ∠= 60， ∴二面角D CE A --为 60．（Ⅱ）存在BE 的中点H ，使PH ⊥平面ACE ．PH 是△BDE 中位线，BD PH //，而⊥BD 面ACE ，故PH ⊥平面ACE ．19．（本题满分13分）数列{}n a ：满足16a =，2142,(*)n n n a a a n N +=++∈（Ⅰ）设2log (2)n n C a =+，求证{}n C 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设nn n n a a a b 41212+--=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1307<≤n T ． 解：（Ⅰ）由2*142,()n n n a a a n N +=++∈得21)2(2+=++n n a a ，212log (2)2log (2)n n a a ++=+，即12n n C C +=，∴{}n C 是以2为公比的等比数列；-------------------- 4分（Ⅱ） 由31=C ， 132n n C -= 即13222n n a -+= ， ∴13222n na -=--------------------- 8分C（Ⅲ）2121412112---=+--=+n n n n n n a a a a a b4214121212311--=---=∙+nn n a a T∴41307<≤n T ．-------------------- 13分20．（本题满分13分）已知命题“若点00(,)M x y 是圆222x y r +=上一点，则过点M 的圆的切线方程为200x x y y r +=”． （Ⅰ）根据上述命题类比：“若点00(,)M x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，则过点M 的切线方程为 ．”（写出直线的方程，不必证明）．（Ⅱ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且经过点（1，32）．（ⅰ）求椭圆C 的方程；（ⅱ）过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点A 、B 分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．解：（Ⅰ）00221x x y ya b+=； -------------------- 3分（Ⅱ）（ⅰ）22143x y +=； -------------------- 7分（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设为k ，直线l 的方程为(1)y k x =+，设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则椭圆在点A 处的切线方程为：11143x x y y+= ① 椭圆在点B 的切线方程为：22143x x y y+= ②联解方程① ②得：2121122112214()4()4(1)(1)y y k x x x x y x y x k x x k x --===--+-+，即此时交点的轨迹方程：4x =-．-------------------- 11分当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，此时A 3(1,)2-3(1,)2B --，经过AB 两点的切线交点为(4,0)-综上所述，切线的交点的轨迹方程为：4x =-． -------------------- 13分21．（本题满分13分）已知函数ln ()1xf x ax x=++，（a R ∈） （Ⅰ）若()f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()()g x xf x =有唯一零点，试求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）2221ln ln 1()x ax x f x a x x--+'=+=， ∴()0,0f x x '≥∀>，∴2ln 10,0ax x x -+≥∀>， ∴2ln 1x a x -≥， -------------------- 2分令2ln 1()x h x x -=，则24312(ln 1)32ln ()0x x x xx h x x x---'===有根：320x e =， 0(0,)x x ∈，()0h x '>，函数()h x 单增； 0(,)x x ∈+∞，()0h x '<，函数()h x 单减；-------------------- 5分∴max 031(())()2a h x h x e ≥==； -------------------- 6分（Ⅱ）方法一：由题2()()ln 0g x xf x ax x x ==++=，即2ln x xa x--=有唯一正实数根； 令2ln ()x xx x ϕ--=，即函数y a =与函数()y x ϕ=有唯一交点；----------- 9分 2431(1)(ln )212ln ()x x x xx x x x x xϕ------+'==； 再令()12ln R x x x =-+，2()10,0R x x x'=+>∀>，且易得(1)0R =，故，当(0,1)x ∈时，()0R x <，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0R x >，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增； 即()(1)1x ϕϕ≥=-， 又当0x →时，()x ϕ→+∞，而当x →+∞时，()0x ϕ→且()0x ϕ<，故满足条件的实数a 的取值范围为：{|0,1}a a a ≥=-或．-------------------- 13分方法二：2()()ln 0g x xf x ax x x ==++=有唯一正实数根，2121()21ax x g x ax x x++'=++=，记18a ∆=-；（ⅰ）若0a =，1()0,0x g x x x+'=>∀>，即函数()y g x =在定义域上单调递增， 又22()20g e e --=-<，(1)10g =>，即函数()y g x =有唯一零点； （ⅱ）若18a ≥即0∆≤，则2210,0ax x x ++≥∀>，从而()0,0g x x '≥∀>， 又当0x →时，()0g x <，而当x →+∞时，()0g x >； 故函数()y g x =有唯一零点； （ⅲ）若108a <<，则180a ∆=->，但方程2210ax x ++=的两根满足： 1212102102x x ax x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，即两根均小于0，故2210,0ax x x ++>∀>，从而()0,0g x x '>∀>， 由（ⅱ）同理可知，仍满足题意；（ⅳ）若0a <，同样0∆>，则方程2210ax x ++=的两根为：1104x a -=>，2104x a-=<（舍）； 当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1(0,)x 为增函数， 当1(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在1(,)x +∞为减函数， 故，当1x x =时，()g x 取得最大值1()g x ；则11()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，即2111211ln 0210ax x x ax x ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩， 所以112ln 10x x --+=，即112ln 10x x +-=；第 11 页 共 11 页 令()2ln 1x x x ϕ=+-，则2()10,0x x xϕ'=+>∀>，即()x ϕ为定义域上增函数， 又(1)0ϕ=，所以方程112ln 10x x +-=有唯一解11x =，故11x ==，解得1a =-； 综上，实数a 的取值范围为：{|0,1}a a a ≥=-或．。

安徽省皖南八校2010届高三第三次联考数学（理）（WORD版）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{1,0,1,5,8},{|1}A B x x =-=>，则A B =_____.A.{0,1,5,8}B.{1,5,8}C.{5,8}D.A2.复数2z i =（i 为虚数单位），则21z +=____.A.1i +B. 1i -C.12i +D. 12i -3.已知双曲线2212x y a -=的一条渐近线为y =，则实数a 的值为____.B. 2D. 44. 已知二次函数()f x 的图象如右上图所示，则其导函数()f x '的图象大致形状是_____.5.设,αβ为互不相同的两个平面，,m n 为互不重合的两条直线，且,,m m αβ⊥⊥n α⊥“”是n β⊥“”的____条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要 6.已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的ABC2211正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为____.7.在ABC中，AB =2AC =,若O 为ABC 内部的一点，且满足：0OA OB OC ++=则AO BC ∙=____.A.12B.25C.13D.148.一组数据(18)i x i ≤≤从小到大茎叶图如图：4|01334678，在右图所示的程序框图中x 是这8个数据的平均数，则输出的2S 的 值为____. A.7B.8C.9D.569.已知实数a 满足方程：22(1)(1)1x a y -++-=，当0()y b b R ≤≤∈时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线24y x =-的焦点到动点(,)a b 所构成轨迹上点的距离的最大值 为____.2 D.210.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0,M >使|()|||f x M x ≤对一切实数都成立，则称函数()f x 为“倍约束函数”.给出下列函数，其中是“倍约束函数”的为_____.A2B2 C2DA.()2f x =B.2,0,()(1),0.x x x f x f x x ⎧∙≤=⎨->⎩ C.2()f x x =D.()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x，均有1212|()()|2||f x f x xx -≤-成立.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11.某班要从8名同学中选4人参加校运动会的4100⨯M 接力比赛，其中甲、乙两名同学必须入选，而且甲、乙两人必须跑第一棒或最后一棒，则不同的安排方法共有_____种（用数字作答）.12.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：cos()13πρθ-=，,M N 分别为曲线C 与x点P 在平面直角坐标系中的坐标为______.13.设k 是一个正整数，(1)kx k +的展开式中3x 的系数为116则函数2y x =与3y kx =-的图象所围成的阴影部分(如图的面积为____.14.已知函数2()cos 2(0,0)f x A x A ωω=+>>的最大值为6， 其相邻两条对称轴间的距离为4，则(2)(4)(6)(20)f f f f ++++=_____.15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，线段1B C上有一个动点,P 线段11A C 有两个动点E F 、，且2EF a =，现有如下四个结论：1○1点E F 、在棱11A C上运动时，三棱锥B CEF -的体积为定值； ○2点P 在直线1B C 上运动时，直线1A P 与平面11AC D 所成角的大小不变； ○3点P 在直线1B C 上运动时，直线1AD 与1A P 所成角的大小不变；○4点M 是底面ABCD 所在平面上的一点，且到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则M 点的轨迹是抛物线.其中正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.16. （本小题满分12分）在ABC 中，,,a b c 分别为内角..A B C 的对边，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=∙.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2,c =求ABC 面积的最大值. 17.（本小题满分12分）某电视台为了宣传安徽沿江地带经济崛起的情况，特举办了一期有奖知识问答活动，活动随机对安徽1848岁的人群抽样了n 人，回答问题“沿江城市带包括哪几个城市”？统计数据结果如下图表： 组数分组回答正确的人数 占本组的频率第1组 [18,28)240 x第2组 [28,38)3000.6 第3组 [38,48]a0.4（Ⅰ）分别求出,,n a x 的值；（Ⅱ）若以表中的频率近似看作各年龄组回答正确问题的概率，规定年龄在[38,48]的回答正确得奖金200元，年龄在[18,28)的回答正确得100元.主持人随机请一家庭的两个成员（父亲46岁，孩子21岁）回答问题，求该家庭获得奖金ξ的分布列及期望（两人回答问题正确与否相互独立）. 18.（本小题满分13分） 如图正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，经过对角线1AB 的平面交棱11A C 于点D .（Ⅰ）试确定D 点的位置使平面11||AB D BC ，并证明你的结论；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角11A AB D--的大小.19.（本小题满分12分） 设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，且满足：254655,22a a a a =+=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 和为na ，数列{}n b 和数列{}n c 满足等式：2nn n c b =，求数列{}n c 的前n 项和nS .20. （本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中有一直角梯形ABCD ，AB 的中点为O ，,,AD AB AD BC ⊥4,3,1,AB BC AD ===以,A B 为焦点的椭圆经过点C . （Ⅰ）求椭圆的规范方程；（Ⅱ）若点(0,1)E ，问是否存在直线l 与椭圆交于,M N 两点且|||ME =直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分13分）设2()2,()ln .f x x g x a x bx =+=+ （Ⅰ）若()g x 在1x =处的的切线方程为210x y --=，求()()()2F x f x g x =--的单调区间；（Ⅱ）设()()()G x f x g x =-有两个不同的零点12,x x，且0122x x x =+，试探究0()G x '值的符号.参考答案1-5CBDCC 6-10BCABD 11、6012、13、4314、38 15、○1○3○416、（Ⅰ）3C π=（Ⅱ）11sin 42)222ABCSab C a b =≤⨯⨯===17、（Ⅰ）1000,80,0.8n a x === （Ⅱ）ξ的分布列如下：ξ0 100 200 300P 0.12 0.48 0.08 0.32所以160E ξ=18、（Ⅰ）D 为棱11A C的中点时满足（Ⅱ）4π19、（Ⅰ）21n a n =+（Ⅱ）222n n S +=+20、（Ⅰ）2211612x y +=（Ⅱ）11(,)22-21、（Ⅰ）()F x 的单调减区间为，单调增区间为[1,)+∞（Ⅱ）略。

皖南八校2011届高三第三次联考数 学 试 题（理）考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ） A ．i B ．-i C ．1 D ．-12．已知集合3{|0,}(1)x M x x R x =≥∈-，2{|31,}N y y x x R ==+∈，则M N =（ ）A ．φB ．{|1}x x ≥C ．{|1}x x >D ．{|10}x x x ≥<或3．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线22221(,0)x y a b b a b -=>>的离心率为2，则椭圆22221x y a b +=的离心率为（ ）A ．12BCD 5．在OAB ∆中，已知OA=4，OB=2，点P 是AB 的垂直一部分线l 上的任一点，则OP AB ⋅=（ ）A ．6B ．-6C ．12D ．-126．已知ABC ∆中，已知45,2,A AB BC ∠=︒==则C ∠=（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°7．已知320|1|,A x dx A =-=⎰则（ ） A ．0 B ．6 C ．8 D ．2238．一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为（ ）A ．112B ．118C ．136D ．71089．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为 （ ）AB．(4π+ C．(82π+ D．(86π+ 10．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则2294a b +的最小值为（ ）A ．12B ．1325C ．1D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2014年安徽省皖南八校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（50分） 1. 已知复数z =2+i 1−i（其中i 为虚数单位），则z =( )A 12+32i B 12−32i C 1+32i D 32+32i2. “不等式x(x −2)>0”是“不等式2x <1”成立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7+a 3a 8=27，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+...+log 3a 10=( )A 12B 10C 8D 2+log 354. 若直线l:{x =2t,y =1−4t （t 为参数）与曲线C:{x =√5cosθ,y =m +√5sinθ（θ为参数）相切，则实数m为（ ）A −4或6B −6或4C −1或9D −9或15. 设A(a, 1)，B(2, b)，C(4, 5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）A 4a −5b =3B 5a −4b =3C 4a +5b =14D 5a +4b =14 6. 如图的程序框图输出的结果为（ ）A 511B 254C 1022D 5107. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A5003cm 3 B10003cm 3 C 1000cm 3 D 2000cm 38. 已知sin2α=2425，0<α<π2，则√2cos(π4−α)的值为( ) A 15 B −15 C 75 D ±159. 命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是（ ）A 全等三角形的面积不一定都相等B 不全等三角形的面积不一定都相等C 存在两个不全等三角形的面积相等D 存在两个全等三角形的面积不相等10.如图，正方体AC 1中，DF DD 1=AE AA 1=23，CG CC 1=BH BB 1=13，点P 为平面EFGH 内的一动点，且满足∠PAA 1=∠C 1AA 1，则点P 的轨迹是（ ） A 抛物线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. (x 2−4x +4)5的展开式中x 的系数是________． 12. ∫√a 2−x 20−a dx =________．13. 已知点F 为双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与抛物线C 2:y 2=2px(p >0)的公共焦点，M 是C 1与C 2的一个交点，MF ⊥x 轴，则双曲线C 1的离心率为________． 14. 已知实数x ，y 满足{0≤x ≤√2y ≤2x ≤√2y，则z =2x+y−1x−1的取值范围是________．15. 设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大值整数，则y =[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________ ①[−x]=−[x] ②x −1<[x]≤x③∀x ，y ∈R ，[x]+[y]≤[x +y] ④∀x ≥0，y ≥0，[xy]≤[x][y] ⑤离实数x 最近的整数是−[−x +12]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，关于x 的不等式x 2cosC +4xsinC +6<0的解集是空集. (1)求角C 的最大值；(2)若c =72，△ABC 的面积S =32√3，求当角C 取最大值时a +b 的值．17. 从正方体的各个棱面上的12条面对角线中任取两条，设ξ为两条面对角线所成的角（用弧度制表示），如当两条面对角线垂直时，ξ=π2 (1)求概率P(ξ=0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．18. 已知ABCD是正方形，直线AE⊥平面ABCD，且AB=AE=1，（1）求异面直线AC，DE所成的角；（2）求二面角A−CE−D的大小；（3）设P为棱DE的中点，在△ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH⊥平面ACE？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由．19. 数列{a n}满足：a1=6，a n+1=a n2+4a n+2，(n∈N∗)（1）设C n=log2(a n+2)，求证：{C n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=1a n−2−1a n2+4a n，数列{b n}的前n项和为T n，求证：730≤T n<14．20. 已知命题“若点M(x0, y0)是圆x2+y2=r2上一点，则过点M的圆的切线方程为x0x+ y0y=r2”．（1）根据上述命题类比：“若点M(x0, y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，则过点M的切线方程为________”（写出直线的方程，不必证明）．（2）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−1, 0)，且经过点(1, 32)．(I)求椭圆C的方程；(II)过F1的直线l交椭圆C于A、B两点，过点A、B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．21. 已知函数f(x)=ax+1+lnxx，其中a∈R．（1）若f(x)的定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数g(x)=xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围．2014年安徽省皖南八校高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. C3. B4. A5. A6. D7. B8. C9. D10. C11. −512012. πa2413. 1+√214. (−∞, 1]∪[2√2+4, +∞)15. ②③⑤16.解：(1)∵ 不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集是空集．∴ {cosC>0，Δ≤0，即{cosC>0，16sin2C−24cosC≤0，即{cosC>0，cosC≤−2或cosC≥12，故cosC≥12，∴ 角C的最大值为60∘．(2)当C=60∘时，S△ABC=12absinC=√34ab=32√3，∴ ab=6，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2abcosC，∴ (a+b)2=c2+3ab=1214，∴ a+b=112．17. 解：(I)当ξ=0时，即所选的两条面对角线平行．则P(ξ=0)=6C122=111．(II)由题意知ξ=0，π3，π2，P(ξ=0)=6C122=111，P(ξ=π3)=48C122=811，P(ξ=π2)=12C122=211，∴ ξ的分布列为：Eξ=0×111+π3×811+π2×211=π3．18. 解：（1）建立空间直角坐标系如图：∵ AB =AE =1，四边形ABCD 为正方形，∴ A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)，E(0, 0, 1)．AC →=(1, 1, 0)，DE →=(0, −1, 1)， cos <AC →，DE →>=−1√2×√2=−12，故异面直线AC ，DE 所成的角为π3；（2）取DE 的中点P ，则P(0, 12, 12)，连接AP ，∵ 直线AE ⊥平面ABCD ，∴ AE ⊥CD ，又四边形ABCD 为正方形，CD ⊥AD ，∴ AP ⊥平面CDE ，∴ AP →为平面CDE 的法向量；∵ BD ⊥AC ，AE ⊥BD ，∴ BD ⊥平面ACE ，∴ BD →为平面ACE 的法向量， AP →=(0, 12, 12)，BD →=(−1, 1, 0)， cos <AP →，BD →>=12√22×√2=12．故二面角A −CE −D 为π3．（3）假设在平面ABE 内存在点H ，设H(m, 0, n)，PH →=(m, −12, n −12)，∵ PH ⊥平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴ PH ⊥AC ，PH ⊥AE ，∴ PH →⋅AC →=m −12=0⇒m =12；PH →⋅AE →=n −12⇒n =12， 即H(12, 0, 12)，∵ BH →=12BE →，H 为B 、E 的中点．故存在点H，H为B、E的中点，满足条件．19. （1）证明：由a n+1=a 2n +4a n+2，得a n+1+2=(a n+2)2，∴ log2(a n+1+2)=2log2(a n+2)，∵ C n=log2(a n+2)，即C n+1=2C n，∴ 数列{C n}是以2为公比的等比数列；（2）解：∵ a1=6，∴ C1=log2(a1+2)=log28=3，则C n=3⋅2n−1，即a n+2=23⋅2n−1，∴ a n=23⋅2n−1−2；（3）证明：把a n=23⋅2n−1−2代入b n=1a n−2−1a n2+4a n，得：b n=1a n−2−1a n+1−2，则T n=(1a1−2−1a2−2)+(1a2−2−1a3−2)+⋯+(1a n−2−1a n+1−2)=1a1−2−1a n+1−2=14−123⋅2n−4．∴ 730≤T n<14．20. 解：(1)x0xa2+y0yb2=1．(2)(I)∵ 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(−1, 0)，∴ 设椭圆C:x2a2+y2a2−1=1，∵ 椭圆经过点(1, 32)，∴ 1a2+94a2−4=1，整理，得4a4−17a2+4=0，解得a2=4，或a2=14，∴ 椭圆方程为：x24+y23=1．(II)当直线l的斜率存在时，设为k，直线l的方程为y=k(x+1)，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则椭圆在点A处的切线方程为：x1x4+y1y3=1，①椭圆在点B的切线方程为：x2x4+y2y3=1，②联立方程①②得：x=4(y2−y1)x1y2−x2y1=4k(x2−x1)x1k(x2−1)−x2k(x1+1)=−4，即此时交点的轨迹方程：x =−4．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =−1，此时A(−1, 32)，B(−1, −32)，经过AB 两点的切线交点为(−4, 0)．综上所述，切线的交点的轨迹方程为：x =−4． 21. 解：（1）f′(x)=a +1−lnx x 2=ax 2−lnx+1x 2，∴ f ′(x)≥0，∀x >0，∴ ax 2−lnx +1≥0，∀x >0， ∴ a ≥lnx−1x 2令ℎ(x)=lnx−1x 2，则ℎ′(x)=1xx 2−2x(lnx−1)x 4=3−2lnx x 3=0有根：x 0=e 32，当x ∈(0, x 0)，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单增； 当x ∈(x 0,+∞)，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单减∴ a ≥(ℎ(x))max =ℎ(x 0)=12e 3（2）由题g(x)=xf(x)=ax 2+x +lnx =0，即a =−x−lnx x 2有唯一正实数根；令φ(x)=−x−lnx x 2，即函数y =a 与函数y =φ(x)有唯一交点；φ′(x)=(−1−1x)x 2−(−x−lnx)2x=x−1+2lnxx 3；再令R(x)=x −1+2lnx ，R ′(x)=1+2x>0，∀x >0，且易得R(1)=0， 故当x ∈(0, 1)时，R(x)<0，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减； 当x ∈(1, +∞)时，R(x)>0，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增； 即φ(x)≥φ(1)=−1又当x →0时，φ(x)→+∞，而当x →+∞时，φ(x)→0且φ(x)<0，故满足条件的实数a 的取值范围为：{a|a ≥0, 或a =−1}．。

安徽省皖南八校2014届高三第三次联考数学文一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）1．设集合M ＝{(x,y )|y ＝lgx }，N ＝{x|y ＝lgx }，则在下列结论中正确的是( ) A.M ∩N ≠∅ B.M ∩N ＝∅ C.M ∪N ＝N D.M ∪N ＝M2.在空间直角体系Oxyz 中，点A （－1,2,3）关于平面Oxy 的对称点是B ，则|AB |＝( ) A.2 B.4 C.6 D.2 53.已知命题p:∃x ∈(0,＋∞)，x －1≤lnx ,则⌝p 为( )A .∃x ∈(0,＋∞),x －1＞lnxB . ∃x ∈(0,＋∞),x －1≥lnxC .∀x ∈(0,＋∞),x －1＞lnxD . ∀x ∈(0,＋∞),x －1≥lnx 4.若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ( )A. 3B.－ 3C. 33D.－335.用m,n 表示不同的直线，α,β表示不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A.若m ⊥α，n ∥α则m ⊥n B.若m ⊥n ，m ⊥α,n ⊥β则α⊥β C.若m ∥α，m ⊂β,α∩β＝n,则m ∥n D.若m ∥n ，m ⊂α,,则m ∥α6.设复数z ＝2＋ai （a ∈R,i 是虚数单位），则-zz （-z 是的共轭复数） 是纯虚数的一个充分不必要条件是（ ）A. a ＝2B. a ＝±2C. a ＝2D. a ＝±27.设抛物线x 2＝4y 的准线与双曲线C: x 2a 2 - y 2b 2 (a>0,b>0)的 渐近线相交于A,B 两点，若|AB |=1，则双曲线的离心率是（ ） A. 5 B .52 C .17 D.172 8.定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (1+x )=f (1-x )， 则函数y =f (x )在[0,10]内零点个数至少有（ ）个 A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图所示是用模拟数方法估计椭圆x 24+y 2=1面积S 近似值的程序框图，则图中空白框内应填入（ ） A.S=N 500 B.M 500 C.4N 500 D.4M 500 10.设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，S 6≥21且S 15≤120， 则a 10的最大值是（）A.12B.10C.8D.72二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知函数f (x )=⎩⎨⎧f (x ＋2)＋2 x ＜32x x ≥3,则f （log 23）=_________12.假设要考察某公司生产的500克袋装奶粉的质量是否达标，现从800袋奶粉中随机抽取10袋进行检测。