2019-2020学年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)有答案

2020年高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π34．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣15．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．1710．设双曲线C：x 2a −y2b=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．5411．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω＞14，x∈R)，若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（）A．[12，54]B．[12，2]C．(14，54]D．(14，2]12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为 ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ ． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ．（请将所有正确结论的序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝（4c ﹣b ）cos A ． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若b ＝4，点M 在线段BC 上，且AB →+AC →=2AM →，|AM →|=√6，求△ABC 的面积．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价x i 和月销售量y i （i ＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据： 月销售单价x i （元/件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量y i （万件）1110865（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．19．如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为2，∠B 1BA =π3． （Ⅰ）证明：B 1C ⊥AC 1；（Ⅱ）若平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，M 为A 1C 1的中点，求B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝（a+2）x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝x2−2x3，若∀x1∈（0，1]，∃x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）3成立，求实数a的取值范围．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数1．2（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过坐标原点O的直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C上异于A，B的点P满足．直线AP的斜率为−32（ⅰ）求直线BP的斜率；（ⅱ）求△ABP面积的最大值．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（φ为参数），将曲线C1 22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＜x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 【分析】先解出A＝{x|﹣1＜x＜2}，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：C．【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（z﹣1）i＝3+i，得z=3+i i+1=(3+i)(−i)−i2+1=2−3i，∴z=2+3i．则z的虚部为3．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π3【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得α的范围以及正切值，可得α的值．解：角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，α为第三象限角，则tanα=cos7π6sin7π6=cot7π6=cotπ6=√3，∴α＝π+π3=4π3，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1【分析】设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，运用等差数列的求和公式，以及等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简整理，解方程可得首项和公差，即可得到所求值．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由S5＝﹣5，可得5a1+12×5×4d＝﹣5，即a1+2d＝﹣1，①由a3，a4，a6成等比数列，可得a42＝a3a6，即（a1+3d）2＝（a1+2d）（a1+5d），化为a1d+d2＝0，由d≠0，可得a1＝﹣d，②由①②解得d＝﹣1，a1＝1，则a7＝1+（7﹣1）×（﹣1）＝﹣5．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．解：函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，就是方程x12=x﹣1，log12x＝x﹣1，(12)x=x﹣1方程的的解，在坐标系中画出函数y=x12，y=log12x，y=(12)x，与y＝x﹣1的图象，如图：可得b＜c＜a，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查数形结合的应用，属于中档题．6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行【分析】采用举反例方式，逐一排除，从而可得到正确答案．解：由题可知，直线l和平面α要么相交，要么平行．当平面α与直线l平行时，在α内就不存在直线与直线l相交，则A错；当平面α与直线l相交时，在α内就不存在直线与直线l平行，则C错；当平面α与直线l相交时，过直线l的平面与平面α都会相交，则D错；不论直线l和平面α相交还是平行，都会在α内存在直线与直线l异面，则B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了点线面位置关系，考查了学生的直观想象能力，属于基础题．7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3【分析】根据（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），求得含x4的项的系数．解：∵（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），含x4的项的系数为3﹣6×3+12＝﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π【分析】直接利用三视图，判断几何体的构成，进一步利用几何体的表面积公式求出结果．解：根据几何体的三视图：该几何体是由底面半径为3，高为4的圆柱，挖去一个底面半径为3，高为4的倒圆锥构成的几何体．所以：S＝32•π+6π×4+12×6π×5＝48π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．17【分析】显然取法总数为C83，要取出的球的编号互不相同可先选编号数C43，再定颜色有C21C21C21，则有C43C21C21C21种取法，相比即可．解：从8个球中随机取出3个的取法有C83=56种；其中取出的球的编号互不相同的取法有C43C21C21C21=32种，则取出的球的编号互不相同的概率P=3256=47．故选：A．【点评】本题考查乘法原理，组合数公式与概率相结合，属于基础题．10．设双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．54【分析】设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理可得|PF1|＝4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式计算即可得到结果．解：设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，则|OM|＝a，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|＝|F1F2|＝2c，则NF2⊥PF1，|NP|＝|NF1|，由|NF2|＝2|OM|＝2a，则|NP|=√4c2−4a2=2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即4b2＝（c+a）2＝4（c2﹣a2），整理得3c＝5a，则e=ca=53．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线性质、等腰三角形的三线合一、中位线定理、勾股定理及双曲线的定义、离心率计算，属于中档题．11．已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω＞14，x ∈R)，若f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54]B ．[12，2]C ．(14，54]D ．(14，2]【分析】先利用辅助角公式，将函数f （x ）化简为f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，观察选项，可以找两个特殊值ω＝2和ω=13，进行试验排除．具体做法是，将ω＝2和ω=13分别代入函数f （x ），求出对称轴，给k 赋值，判断对称轴是否能在区间(π2，π)即可得解．解：f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，∵f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，∴T2=πω≥π−π2=π2，∴ω≤2，即14＜ω≤2，若ω＝2，则f(x)=√2sin(2x +π4)，令2x +π4=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π8+kπ2，k ∈Z ， 当k ＝1时，对称轴为x =5π8∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠2，排除选项B 和D ，若ω=13，则f(x)=√2sin(13x+π4)，令13x+π4=π2+kπ，k∈Z，得x=3π4+3kπ，k∈Z，当k＝0时，对称轴x=3π4∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠13，排除选项C．故选：A．【点评】本题考查辅助角公式和正弦函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力、分析能力和运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】先由对称性求出g（x），然后由已知可设f（x1）＝g（x2）＝a，则分别表示x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），代入后结合导数及极值存在的条件可求．解：由题意可得g(x)=e x2+1．设f（x1）＝g（x2）＝a，则x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），∴2x1﹣x2＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，令h（a）＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，则h′(a)=2e a−2−2a−1=2（e a−2−1a−1）在（1，+∞）上单调递增且h′（2）＝0，故当a＞2时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，当1＜a＜2时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，故当a＝2时，h（a）取得极小值h（2）＝2﹣2k，由题意可知2﹣2k ＝﹣2， 故k ＝2． 故选：B ．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数极值存在的条件，解题的关键是利用已知表示出极值的条件． 二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为2π3．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，由数量积的运算性质可得a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2，变形解可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，若a →•（b →−a →）＝﹣2，则a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2， 即2cos θ﹣1＝﹣2，解可得cos θ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3； 故答案：2π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题． 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ 8 ． 【分析】直接利用数列的递推关系式，逐步求解数列的项即可． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），n ＝1时，2a 1﹣S 1＝1．可得a 1＝1，n ＝2时，2a 2﹣S 2＝1，即2a 2﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 2＝2，n ＝3时，2a 3﹣S 3＝1，即2a 3﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 3＝4， n ＝4时，2a 4﹣S 4＝1，即2a 4﹣a 4﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 4＝8，故答案为：8．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，是基本知识的考查． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 √2 ．【分析】根据题意作图，结合抛物线性质可得|PA||PF|=1sin ∠PAM，则当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，即当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大，设P （a ，a 24），利用导数求得斜率求出a 的值即可解：由题意可得，焦点F （0，1），A （0，﹣1），准线方程为y ＝﹣1 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |， 则|PA||PF|=|PA||PM|=1sin ∠PAM，∠PAM 为锐角．故当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，故当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大可设切点P （a ，a 24），则PA 的斜率为k =14a 2−1a，而函数y =x 24的导数为y ′=x2，则有a2=14a 2−1a，解得a ＝±2，可得P （2，1）或（﹣2，1），则|PM |＝2，|PA |＝2√2， 即有sin ∠PAM =|PM||PA|=√22， 则|PA||PF|=√2，故答案为：√2【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．（请将所有正确结论的序号都填上）【分析】①取DC的中点N，连接NM、NB，可得MN∥A1D，NB∥DE，且MN、NB 和∠MNB均为定值，由平面与平面平行的判定可得面MNB∥面A1DE，则MB∥面A1DE；②用反证法，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再由线面垂直的判定定理可知，DE⊥面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾；③由①可知MN，NB，∠MNB，在△MNB中，由余弦定理可知，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB，计算得线段BM的长是定值；④当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，得CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，由勾股定理求外接球的半径OE，．代入球的表面积公式可得外接球的表面积为13π3解：如图，∵AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，∠BAD＝60°，∴△ADE（A1DE）为等边三角形，则DE＝1．①取DC的中点N，连接NM、NB，则MN∥A1D，且MN=1=A1D=12；2NB∥DE，且NB＝DE＝1，∵MN⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，则MN∥平面A1DE，同理NB∥平面A1DE，又NM∩NB＝N，∴平面NMB∥平面A1DE，则MB∥平面A1DE，故①正确；②假设存在某个位置，使DE⊥A1C．∵DE＝1，可得CE=√3，∴CE2+DE2＝CD2，即CE⊥DE，∵A1C∩CE＝C，∴DE⊥面A1CE，∵A1E⊂面A1CE，∴DE⊥A1E，与已知∠DA1E＝60°矛盾，故②错误；，NB＝1．③由①知，∠MNB＝∠A1DE＝60°，MN=12由余弦定理得，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB=1+1−2×12×1×12=34，4，故③正确；∴BM的长为定值√32当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，∴CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，则外接球的半径OE=(3)2+(32)2=√1312，3∴外接球的表面积S＝4π×(√13)2=13π3，故④正确．12∴正确命题的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝（4c﹣b）cos A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）若b＝4，点M在线段BC上，且AB→+AC→=2AM→，|AM→|=√6，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝4sin C cos A，结合在△ABC中，sin C≠0，可求cos A的值．（Ⅱ）解法一：由AB→+AC→=2AM→，两边平方，利用余弦定理可解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，由AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段，利用余弦定理中点，|AM→|=√6，可求CN=2√6，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（Ⅰ）因为a cos B＝（4c﹣b）cos A，由正弦定理得：sin A cos B＝（4sin C﹣sin B）cos A，即sin A cos B+sin B cos A＝4sin C cos A，可得sin C＝4sin C cos A，在△ABC中，sin C≠0，．所以cosA=14（Ⅱ）解法一：∵AB→+AC→=2AM→，两边平方得：AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2=4AM→2，，由b＝4，|AM→|=√6，cosA=14可得：c2+2c⋅4⋅1+16=4×6，解得c＝2或c＝﹣4（舍）．4，又sinA=√1−cos2A=√154所以△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，∵AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段中点，|AM→|=√6，∴CN=2√6，又∵b＝4，cosA=14，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14，∴CN2＝AC2+AN2﹣2AC•AN•cos∠CAN，即24=16+c2−2c⋅4⋅(−14)，解得：c＝2或c＝﹣4（舍），又sinA=√1−cos2A=√154，∴△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式以及平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：月销售单价x i（元/件）99.51010.511月销售量y i （万件） 11 10 8 6 5（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．【分析】（Ⅰ）求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，然后求解y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）利用过后直线方程，求出当该产品月销售单价为7元/件时，求出预测数据，通过判断由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值说法超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，说明（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想．（Ⅲ）设销售利润为M ，则M ＝（x ﹣5）（﹣3.2x +40）（5＜x ≤11）M ＝﹣3.2x 2+56x ﹣200，求解x ＝8.75时，M 取最大值，得到结果．解：（Ⅰ）因为x =15(11+10.5+10+9.5+9)=10，y =15(5+6+8+10+11)=8． 所以b ̂=392−5×10×8502.5−5×102=−3.2，所以a ̂=8−(−3.2)×10=40，所以y 关于x 的回归直线方程为：y ̂=−3.2x +40． （Ⅱ）当x ＝7时，y ̂=−3.2×7+40=17.6，则|17.6﹣18|＝0.4＜0.5，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M，则M＝（x﹣5）（﹣3.2x+40）（5＜x≤11）M＝﹣3.2x2+56x ﹣200，所以x＝8.75时，M取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=π3．（Ⅰ）证明：B1C⊥AC1；（Ⅱ）若平面ABB1A1⊥平面ABC，M为A1C1的中点，求B1C与平面AB1M所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．证明B1C⊥BC1．B1D⊥AB，CD⊥AB．得到AB⊥平面B1CD．推出AB⊥B1C．即可证明B1C⊥平面ABC1，得到B1C⊥AC1．（Ⅱ）说明DB，DB1，DC两两垂直，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DB1为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面AB1M的法向量，利用空间向量的数量积求解B1C与平面AB1M所成的角的正弦值即可．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．∵三棱柱的所有棱长均为2，∠B1BA=π3，∴△ABC 和△ABB 1是边长为2的等边三角形，且B 1C ⊥BC 1． ∴B 1D ⊥AB ，CD ⊥AB ．∵B 1D ，CD ⊂平面B 1CD ，B 1D ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面B 1CD ． ∵B 1C ⊂平面B 1CD ，∴AB ⊥B 1C ．∵AB ，BC 1⊂平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．（Ⅱ）∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知B 1D ⊥AB ，∴B 1D ⊥平面ABC ．则DB ，DB 1，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，DB 1为z 轴， 建立空间直角坐标系．则D （0，0，0），A （﹣1，0，0），B 1(0，0，√3)，C(0，√3，0)，C 1(−1，√3，√3)，A 1(−2，0，√3)∵M 为A 1C 1的中点，∴M(−32，√32，√3)，∴B 1C →=(0，√3，−√3)，AB 1→=(1，0，√3)，AM →=(−12，√32，√3)，设平面AB 1M 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{AB 1→⋅n →=x +√3z =0AM →⋅n →=−12x +√32y +√3z =0，取z ＝1，得n →=(−√3，−3，1)． 设B 1C 与平面AB 1M 所成的角为α，则sinα=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=4√3√6⋅√13=2√2613．∴B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值为2√2613．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝（a +2）x 2+ax ﹣lnx （a ∈一、选择题）． （Ⅰ）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）设g （x ）＝x 2−23x 3，若∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a ＝0时，求出f ′(x)=4x −1x，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ．求出g '（x ）＝2x ﹣2x 2，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解函数的最小值，同理求解f （x ）min ，利用转化不等式，构造函数，转化求解即可．解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝2x 2﹣lnx ，f ′(x)=4x −1x，则f （1）＝2，f '（1）＝3，故曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为3x ﹣y ﹣1＝0．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ． 由g(x)=x 2−23x 3得g '（x ）＝2x ﹣2x 2，由g '（x ）＝2x ﹣2x 2≥0得0≤x ≤1，所以在[0，1]上，g（x）是增函数，故g（x）min＝g（0）＝0．f（x）定义域为（0，+∞），而f′(x)=2(a+2)x+a−1x =2(a+2)x2+a−1xx=(2x_1)[(a+2)x−1]x．当a≤﹣2时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，1]上是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；当a＞﹣2时，由f'（x）＜0，得0＜x＜1a+2；由f'（x）＞0，得x＞1a+2，所以f（x）在(0，1a+2)单调递减，在(1a+2，+∞)单调递减．若1a+2＞1，即﹣2＜a＜﹣1时，f（x）在（0，1]是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；若0＜1a+2≤1，即a≥﹣1时，f（x）在x=1a+2处取得最小值，f(x)min=f(1a+2)=1+ ln(a+2)−1a+2，令h(a)=1+ln(a+2)−1a+2(a≥−1)，则h′(a)=1a+2+1(a+2)2=a+3(a+2)2＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，所以h（a）在[﹣1，+∞）是增函数且h（a）min＝h（﹣1）＝0，此时f(x)min=f(1a+2)≥0成立，满足条件．综上所述，a≥﹣1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性，函数的最值的求法，转化思想的应用，是难题．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数12．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为−32． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求△ABP 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点M （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和它到直线x ＝4的距离的比是常数12，列出方程化简求解即可．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，利用平方差法求解AP 的斜率，BP 的斜率即可．（ⅱ）说明S △ABP ＝2S △OAP ，设直线AP ：y =−32x +m ，代入曲线C ：x 24+y 23=1化简得：3x 2﹣3mx +m 2﹣3＝0，设A （x 1，y 1），P （x 2，y 2），利用韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离公式，转化求解三角形面积的表达式，然后求解最值即可． 解：（Ⅰ）由已知得√(x−1)2+y 2|x−4|=12，两边平方并化简得3x 2+4y 2＝12，即点M 的轨迹C 的方程为：x 24+y 23=1．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，①设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，②由①﹣②得：(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，∵k AP =y 1−y 2x 1−x 2−=−32，k BP =y 1+y2x 1+x 2，∴k BP =y 1+y2x 1+x 2=12．（ⅱ）∵A，B关于原点对称，∴S△ABP＝2S△OAP，设直线AP：y=−32x+m，代入曲线C：x24+y23=1化简得：3x2﹣3mx+m2﹣3＝0，设A（x1，y1），P（x2，y2），由△＞0得：m2＜12，x1+x2＝m，x1x2=m2−33，|AP|=√1+94|x1−x2|=√1+94√(x1+x2)2−4x1x2=√1+94√4−m 23，点O到直线AP的距离d=√1+94，∴S△ABP =2S△OAP=2×12×|AP|⋅d=|m|√4−m23=√4m2−m43，∴S△ABP =√−m43+4m2=√−13(m2−6)2+12，当m2＝6时，∴S△ABP取到最大值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法以及距离公式的应用，三角形面积的最值的求法，是中档题．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ（φ为参数），将曲线C1向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）由题意：{x =1+cosφy =sinφ⇒{x −1=cosφy =sinφ⇒(x −1)2+y 2=1．∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 因曲线C 1是圆心为（1，0），半径为1的圆， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1． ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． （Ⅱ）设A （ρ1，α），B （ρ2，α），则|AB|=|ρ1−ρ2|=2|sinα−cosα|=2√2|sin(α−π4)|=√2． 所以sin(α−π4)=±12，因为2kπ＜α＜2kπ+π2，所以α−π4=2kπ±π6(k ∈Z)．所以α=2kπ+π12(k ∈Z)或α=2kπ+5π12(k ∈Z)．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |（a ＞0，b ＞0）． （Ⅰ）当a ＝b ＝1时，解不等式f （x ）＜x +2； （Ⅱ）若f （x ）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．【分析】（Ⅰ）由绝对值的定义分段脱绝对值求解．（Ⅱ）由绝对值不等式求函数f （x ）的值域可确定a +b ＝2，再配凑均值不等式的形式，两次用均值不等式即可证明．解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，不等式为|x﹣1|+|x+1|＜x+2，当x＜﹣1时，不等式化为−2x＜x+2⇒x＞−23，此时不等式无解；当﹣1≤x＜1时，不等式化为2＜x+2⇒x＞0，故0＜x＜1；当x≥1时，不等式化为2x＜x+2⇒x＜2，故1≤x＜2．综上可知，不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（Ⅱ）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，当且仅当x﹣a与x+b同号时，f（x）取得最小值|a+b|，∵f（x）的值域为[2，+∞），且a＞0，b＞0，故a+b＝2．故1a+1+1b+1+1ab=14(1a+1+1b+1)[(a+1)+(b+1)]+1ab=14(2+b+1a+1+a+1 b+1)+1ab≥14(2+2√b+1a+1⋅a+1b+1)+(2a+b)2=1+1=2（当且仅当a＝b＝1时取等号）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式证明不等式，属于中低档题．。

2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+32．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．816．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．248．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π29．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有： =32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有： =24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有： =8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有： =1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π2【考点】67：定积分．【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8==4π，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc 即可求出结果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈=e2﹣=（x﹣2），当x∈．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma可得m＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4， 5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e a﹣1+a，当a≥2时，h （x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。

2019年高中毕业年级第三次质量预测理科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）1．D 2．D 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.B 12.B二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡上．13．．14．. 15.．16．．三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17.解：（1）在中,由正弦定理得：,分在中,由正弦定理得：分因为,故分（2）在中,由余弦定理得分在中,由余弦定理得分又,解得分又,故分18.解:（1）分别为边的中点,所以………….1分因为,所以……….3分又因为所以．…………4分（2）取的中点,连接,由（1）知,,所以平面因为,所以,又因为,平面所以. ……….6分过作交于,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示.,…….8分为线段上一动点设,由,得, ………..9分设平面的法向量为,则即取……..10分设直线与平面所成角,…..11分直线与平面所成角的正弦值的最大值为……….12 分19．解：（1）由题知………2分则…3分故与的线性相关程度很高,可用线性线性回归模型拟合………4分（2）①顾客选择参加两次抽奖,设他获得100元现金奖励为事件.……………6分②设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数,由于顾客每次抽奖的结果相互独立,则………………8分所以……………10分由于顾客每中一次可获得100元现金奖励,因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为……………11分由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120小于直接返现的150元,所以专营店老板希望顾客参加抽奖……………12分20．解:（1）抛物线的焦点为,……………1分由知,……………2分代入抛物线方程得,故抛物线的方程为：…………4分（2）当直线的斜率不存在时,过点的直线不可能与圆相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为,则所求的直线方程为,所以圆心到直线的距离为,当直线与圆相切时,有,所以所求的切线方程为或…………6分不妨设直线,交抛物线于两点,联立方程组,得.所以,,………………….8分假设存在点使,则. 所以即故存在点符合条件………………10分当直线时,由对称性易知点也符合条件………………11分综上存在点使………………12分21.解析：（1）,定义域………………1分当时,,由于在恒成立,……………4分故在单调递减,在单调递增.故………………5分（2）当时,在单调递减,在单调递增. ,只有一个零点………………6分当时,,故在恒成立,故在单调递减,在单调递增.故当时,没有零点.………………8分当时,令,得,,,在单调递减,在单调递增. ,………………10分在有两个零点,，在单调递减,在单调递增,在单调递减,在单调递增，,又,此时有两个零点，综上有两个零点,则………………12分22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为,,，的方程可化为,设点的坐标为,,………………5分（2）曲线的直角坐标方程为：，直线的标准参数方程为,代入得：，设,两点对应的参数分别为,,故,异号，………………10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当时,当时解得当时恒成立，当时解得综上可得解集………………5分（2）当,即时,无最小值；当,即时,有最小值；当且,即时,当且,即时,综上：当时,无最小值；当时,有最小值；当时,当时, ………………10分。

2019-2020年高三下学期三模考试数学（理）试题含答案理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2,|x 5x 60U R A x ==-+≥，则U C A =A.{}|2x x >B. {}|32x x x ><或 C. {}|23x x ≤≤ D. {}|23x x << 2.设复数z 满足()25i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知,a b R ∈，则"01a ≤≤且01"b ≤≤是"01"ab ≤≤的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知向量,a b 的夹角为60，且1,23a a b =-=，则b =A. 1B.D.25.在一次数学竞赛中，30名参赛学生的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：若将参赛学生按成绩由高到低编为1—30号，再用系统抽样法从中抽取6人，则其中抽取的成绩在[]77,90内的学生人数为A. 2B. 3C. 4D.56.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法，执行该程序框图，则输出的结果S 表示的值为 A.0123a a a a +++ B. ()30123a a a a x +++C. 230123a a x a x a x +++D. 320123a x a x a x a +++ 7.已知函数()()sin 20f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移个4π单位长度后，若所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于A.2B. 4C.6D. 8 8.给出以下四个函数的大致图象：则函数()()()()ln ln ,,,x xx e f x x x g x h x xe t x x x====对应的图象序号顺序正确的是 A.②④③① B.④②③① C.③①②④ D.④①②③9.在一次抽奖活动中，8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中抽取2张，则不同的获奖情况有 A.24种 B.36种 C.60种 D.96种10.已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为,B A ，若1ABF 为等边三角形，则椭圆的离心率为A.1B. 1C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分.11.若存在实数x 使4x a x -+≤成立，则实数a 的取值范围是 .12.已知函数()1x xe mf x mx e -=++是定义在R 上的奇函数，则实数m = . 13.圆心在x 轴的正半轴上，半径为双曲线221169x y -=的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是 .14. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 . 15.已知函数()2h x x ax b =++在()0,1上有两个不同的零点，记{}()()min ,m m n m n n m n ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则()(){}min 0,1h h 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3c o s c o s 13s i n s i n cAB A B +=+ （1）求C（2）若ABC 的面积为5b =，求sin .A17.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是直角梯形，190,//,2,2A D C ABCD A DD C ∠===平面PBC ⊥平面A B C D .（1）求证：;AC PB ⊥（2）若PB PC ==，问在侧棱PB 上是否存在一点M ，使得二面角M AD B --的余弦值为9？若存在,求出PMPB的值;若不存在，说明理由.18.(本小题满分12分)某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课10人进行分析.（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率； （2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X ，选择数学1的人数为Y ，设随机变量X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.19.(本小题满分12分)下表是一个由2n 个正数组成的数表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知113161351,9,48.a a a a =+==（1）求1n a 和4n a ； （2）设()()()()4144121nn n n n n a b a n N a a +=+-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系中内动点(),P x y 到圆()22:11F x y +-=的圆心F 的距离比它到直线2y =-的距离小1.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，过点F 的直线l 的斜率为k ，直线l 交曲线E 于,A B 两点，交圆F 于C,D 两点（A,C 两点相邻）.①若BF tFA =，当[]1,2T ∈时，求k 的取值范围；②过,A B 两点分别作曲线E 的切线12,l l ，两切线交于点N ，求ACN 与BDN 面积之积的最小值.21.(本小题满分14分) 已知函数()()l n1.a fx x x a Rx=-++∈ （1）讨论()f x 的单调性与极值点的个数；（2）当0a =时，关于x 的方程()()f x m m R =∈有2个不同的实数根12,x x ，证明：12 2.x x +>。

2020年河南省郑州市高考（理科）数学三模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x≤0或x＞2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|x＜2或x≥4} 2．已知复数z满足（1+√3i）z＝1+i，则其共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数f（x）＝2sin x+sin|x|+|sin x|在[﹣2π，2π]的图象大致为（）A．B．C．D．4．两个非零向量a→，b→满足|a→+b→|＝|a→−b→|＝2|a→|，则向量b→与a→−b→夹角为（）A．56πB．π6C．23πD．π35．执行如图所示的程序框图，输入n＝5，m＝3，那么输出的p值为（）A．360B．60C．36D．126．已知a=(12)12，b=(13)13，c=log1213，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A．25B．12C．34D．568．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为（ ） A ．丙酉年B ．戊申年C ．己申年D ．己亥年9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．√6πB ．8√6πC ．32√3πD ．64√6π10．若将函数f （x ）＝cos （2x +φ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π611．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作直线y =−ba x 的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若FN →=2FM →，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．√5C ．2D ．√312．已知函数y ＝f （x ）在R 上可导且f （0）＝1，其导函数f '（x ）满足f′(x)−f(x)x−1＞0，对于函数g(x)=f(x)e x，下列结论错误的是（ ） A ．函数g （x ）在（1，+∞）上为单调递增函数B ．x ＝1是函数g （x ）的极小值点C ．函数g （x ）至多有两个零点D ．x ≤0时，不等式f （x ）≤e x 恒成立二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m +n ＝ ．14．已知x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x +2y ≥0x ≤1，则z ＝3x +y 的最大值为 ．15．点A （3，2）是圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9内一点，则过点A 的最短弦长为 ． 16．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为−12，前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A≤3S n −1S n≤B 恒成立，则B ﹣A 的最小值为 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分 17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设2（sin B ﹣sin C ）2+cos （B ﹣C ）＝2sin 2A ﹣cos A ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）求b+c a的取值范围．18．依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》（以下简称《办法》），自2019年1月1日起施行，该《办法》指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除．简单来说，2018年10月1日之前，“应纳税所得额”＝“税前收入”﹣“险金”﹣“基本减除费用（统一为3500元）”﹣“依法扣除的其他扣除费用”；自2019年1月1日起，“应纳税所得额”＝“税前收人”﹣“险金”﹣“基本减除费用（统一为5000元）”﹣“专项附加扣除费用”﹣“依法扣除的其他扣除费用． 调整前后个人所得税税率表如表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）级数全月应纳税所得额税级全税率（%）数月应纳税所得额率（%）1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至1200元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过1200至2500元的部分20………………………………某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，扣除险金后，制成下面的频数分布表：收入（元）[3000，5000）[5000，7000）[7000，9000）[9000，11000）[11000，13000）[13000，15000）人数102025201510（Ⅰ）估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少？（Ⅱ）若小李在该月扣除险金后的收入为10000元，假设小李除住房租金一项专项扣除费用1500元外，无其他依法扣除费用，则2019年1月1日起小李的个人所得税，比2018年10月1日之前少交多少？（Ⅲ）先从收入在[9000，11000）及[11000，13000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率．19．如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°．（Ⅰ）若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G﹣ABE与三棱锥G﹣ADF的体积之比．20．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2x﹣2，直线l与E的交点为A，B．同时|AF|+|BF|＝8，直线m∥l．直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P．（I）求抛物线E的方程；（Ⅱ）若CP→=4DP→，求|CD|的长．21．已知函数f（x）＝lnx﹣a√x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）存在正实数k使得函数g（x）＝kx﹣1+f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分。

2019-2020年高三数学三模试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3}B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z xx为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．13．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．244．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．465．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A． B． C．1 D．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．2169．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B． C． D．11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C． D．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对xx1月﹣xx12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取100为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2 295%A xx参考公式：．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP是否过定点？21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．xx重庆市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3}B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】首先化简集合A和B，然后根据V enn图求出结果．【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}图中的阴影部分表示集合N去掉集合M∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}故选：B．2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z xx为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，然后利用复数单位的幂运算求解即可．【解答】解：复数z=1+=1+=i．1+z+z2+…+z xx=1+i+i2+…+i xx=1．故选：D．3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．24【考点】二项式系数的性质．【分析】由于|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1，即可求得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值．【解答】解：由题意（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得，|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=45=1024，故选：A．4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．46【考点】程序框图．【分析】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n ﹣1，然后判断p＞xx是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n﹣1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于xx 时，输出n的值．【解答】解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，执行n=1+1=2，p=1+（2×2﹣1）=1+3=4；判断4＞xx不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3﹣1）=1+3+5=9；判断9＞xx不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4﹣1）=1+3+5+7=16；…由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，由p=＞xx，且n∈N*，得n=45．故选：C．5．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故为假命题，故错误；②若x，y∈R，当“x≥2或y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，当“x2+y2≥4”时，“x≥2或y≥2”不一定成立，故“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故正确；③当x=0时，y=log a（x+1）+1=1恒成立，故函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1），故正确；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1，故错误；故选：C6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A． B． C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，进而可得其侧视图的面积．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，分2步讨论，首先分析甲，因为甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外1人参加同一个社团，2种情况讨论，由加法原理，可得第二步的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A44=24种情况，若甲是1个人参加一个社团，则有C42•A33=36种情况，则除甲外的4人有24+36=60种情况；故不同的参加方法的种数为3×60=180种；故选C．9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos （β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B． C． D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】解：根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|F1A|﹣|F2A|=2a，而|F1A|+|F2A|=2c，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|=2a，得（x+c）﹣（c﹣x）=2a，解得x=a，∵|OA|=a，∴在△F1CF2中，OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）==a，∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．故选：A．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】二次函数的性质．【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，当x=1时，使F（1）=≠0；当x≠1时，解得a=，∴a′==0，x=2x=1∴当时，最大，所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=9．【考点】等差数列的性质；定积分的简单应用．【分析】先利用定积分求得，再根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵=（x2+x）|02=5，∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为8千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【分析】利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程y=bx+a，通过x=2，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由题意知，n=10，==8，=y i=2，b===0.3，a=﹣b=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴线性回归方程为y=0.3x﹣0.4，当y=2时，x=8，故答案为：8．16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，可得公共弦的方程为（2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，即（﹣2a）x+（﹣2•ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣a），当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，即：2ax+2by=a2+8．O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9 ①．令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）把A+3C=B代入A+B+C=π得B=+C，可得sinB=cosC＞0，由条件和正弦定理化简后，利用平方关系求出cosC的值；（2）由条件求出边c的值，由（1）和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA的值，代入三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意得A+3C=B，则A=B﹣3C，代入A+B+C=π得，B=+C，所以sinB=cosC＞0，∵，∴由正弦定理得，，则，①又sin2C+cos2C=1，②由①②得，cos2C=，则cosC=；（2）∵，b=3，∴c=，由（1）知sinB=cosC=，且B=+C，∴cosB=﹣=﹣，同理可得sinC=，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+（﹣）×=∴△ABC的面积S===．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对xx1月﹣xx12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2 295%A xx参考公式：．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈=…．K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…所以有95%的把握认为A市本xx空气重度污染与供暖有关．…19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM 是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PDC，图1所示．∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD．∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP是否过定点？【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），从而得到满足题意的定点只能是（，0），设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此得到BP恒过定点（，0）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，∴由题设，得，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），当A（1，），B（1，﹣）时，P（4，），直线BP：y=x﹣，当A（1，﹣），B（1，）时，P（4，﹣），直线BP：y=﹣x+，∴满足题意的定点只能是（，0），设为D点，下面证明P、B、D三点共线．设A（x1，y1），B（x2，y2），∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y1）在直线BD上，由，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，∵△=144（1+m2）＞0，∴，，①∵k DB﹣k DP=﹣=﹣==，①式代入上式，得k DB﹣k DP=0，∴k DB=k DP，∴点P（4，y1）恒在直线BD上，从而P、B、D三点共线，即BP恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．【解答】证明：（1）连接OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AD．…∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，∴AM•MB=DF•DA…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．把代入上述方程即可化为直角坐标方程．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2=4x．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）f（x）=|x﹣4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）+（x+5）|=|2x+1|，当且仅当（x﹣4）（x+5）≥0，即x≤﹣5或x≥4时取等号．所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[4，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）﹣（x+5）|=9，所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，即a的取值范围是（9，+∞）．xx7月29日。

2019年河南省郑州市高考第三次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+32．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．816．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．248．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π29．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有： =32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有： =24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有： =8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有： =1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π2【考点】67：定积分．【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8==4π，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc 即可求出结果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈=e2﹣=（x﹣2），当x∈．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma可得m＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4， 5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e a﹣1+a，当a≥2时，h （x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。

河南郑州2019高三第三次质量预测试题及解析—数学理本试卷分第I卷(选择题〕和第II卷〔非选择题〕两部分.考试时间120分钟，总分值150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.第I卷【一】选择題(本大题共12小每小題5分,共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1.设集合U={-1,1,2,3}M={x|x2-5x+p=0),假设={-1,1}，那么实数p的值为A.-6B.-4C.4D.62.复数z-1+i,那么=A, B. C. D.3.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(l,2),那么a b=A.-8B.-6C.-1D.54.集合M，P，那么“x或M，或”是“"的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.递减的等差数列满足，那么数列前n项和S n取最大值时n=A.3B.4C.4或5D.5或66.某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，依照图中的数据可得此几何体的体积为A/ B.C. D.7.设函数,且其图象相邻的两条对称轴为x=OX=，那么A.y=f(x)的最小正周期为，且在(0，〕上为增函数B y=f(x)的最小正周期为，且在(0，〕上为减函数C. y=f(x)的最小正周期为，且在〔0，〕上为增函数D. y=f(x)的最小正周期为，且在(0，〕上为减函数8.某算法的程序框图如右边所示，那么输出的S的值为A. B.C. D.9.在圆内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，那么四边形ABCD的面积为A. B.C. D.10.设x，y满足约束条件,假设目标函数〔其中b>a〉0)的最大值为5，那么8a+b的最小值为A.3B.4C.5D.611.，实数a、b、c满足，且0<a<b<c，假设实数x0是函数f(x)的一个零点，那么以下不等式中,不可能等成立的是A. B. C.D,12.ΔABC的外接圆圆心为O，半径为2，，且，向量在方向上的投影为A. B. C.3D.—3第I I卷本卷包括必考題和选考题两部分。