2020年上海市浦东新区高考数学三模试卷(有答案解析)

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（三模）一、填空题1．已知集合{}{}1,1,1,3,5A xx B =≤=-∣，则A B = __________.【正确答案】{}1,1-【分析】化简A ，根据交集运算得解.【详解】因为{}{}1[1,1],1,1,3,5A xx B =≤=-=-∣，所以{}1,1A B ⋂=-，故答案为.{}1,1-2．复数12i 3iz -=+的模为__________．【正确答案】2【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i ,3i 3i 3i 102z z ----===∴=++-．故23．不等式301x x +≥-的解集为__________.【正确答案】(](),31,∞∞--⋃+【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于()()31010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得3x ≤-或1x >,故答案为.(](),31,∞∞--⋃+4．已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f -=________【正确答案】18-【分析】设幂函数()f x x α=，将1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，求得3α=-，进而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以311822α-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得3α=-，所以()()()331,22,8f x x f --=-=-=-故答案为18-.本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5．已知函数()2sin2f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期是__________．【正确答案】π【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.【详解】()2sin2sin22sin 23f x x x x x x π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，故π．6．方程42log 17x x +=的解为_________．【正确答案】4x =【分析】设函数()42log x f x x =+，()0,x ∈+∞，由函数的单调性，结合特殊值，即可求得方程42log 17x x +=的解.【详解】设函数()42log x f x x =+，()0,x ∈+∞，由于函数42,log x y y x ==在()0,x ∈+∞上均为增函数，又()4442log 416117f =+=+=，故方程42log 17x x +=的解为4x =.故答案为.4x =7．81(x的展开式中含x 项的系数为______.【正确答案】28【分析】化简二项式定理展开式通项()()38218C 1k k k T x -+=⋅-⋅，求出k 值，代入即可.【详解】设展开式中第1k +项含x 项，则(()()83821881C C 1k k k k k k k T x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令3812k -=，解得6k =，代入得，()6678C 128T x x=⋅-⋅=故28.8．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是___．【正确答案】8.5/172【分析】根据百分位数的定义即可求出结果.【详解】党员人数一共有61098740++++=，4040%16⨯=，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16和17个数分别为8，9，所以第40百分位数是898.52+=，故8.59．若存在实数a，使得1x =是方程2()3x a x b +=+的解，但不是方程x a +则实数b 的取值范围是__________.【正确答案】()3,-+∞【分析】根据1x =是2()3x a x b +=+的解，不是x a +.【详解】由题意知，2(1)3a b +=+，且1a +≠()1a =-+，显然30b +≥，即3b ≥-，若3b =-，此时显然不满足题意，故()3,b ∞∈-+.故()3,-+∞10．随机变量()2N 105,19X，()2N 100,9Y ，若()()P X A P Y A ≤=≤，那么实数A 的值为__________.【正确答案】95.5【分析】由正态分布性质可得()105N 0,119X -，()100N 0,19Y -，由此可利用对称性构造方程求得结果.【详解】()2N 105,19X ，()2N 100,9Y ，()105N 0,119X -∴，()100N 0,19Y -，()()P X A P Y A ≤=≤ ，105100199A A --∴=，解得.95.5A =故答案为.95.511．已知曲线1C ：2y x =+与曲线2C ：22()4x a y -+=恰有两个公共点，则实数a 的取值范围为__________.【正确答案】(){}4,02-⋃【分析】根据2y x =+与22()4x a y -+=的位置关系分析可得.【详解】如图：2y x =+与x 轴焦点为()2,0A -，当点A 在圆2C 外，则2y x =+表示的两条射线与圆相切与2C 相切时恰有两个公共点，联立22()4x a y -+=得()222420x a x a +-+=，由()2242420a a ∆=--⨯⨯=，得2a =-±因2y x =+，所以2x ≥-，故2a =-+当点A 在圆2C 上，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有3个或1个交点不符合题意，当点A 在圆2C 内，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有2个交点符合题意，此时，22(2)04a --+<，得40a -<<综上a 的取值范围为.(){}4,0222-⋃-故答案为.(){}4,0222-⋃12．函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x ⋯满足120n x x x ≤<<< ，且()()()()()()122312023n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n n x +最小值为__________.【正确答案】1518.5【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，再利用函数的周期性求解.【详解】解： 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21,f x x =+∴函数的值域为[]3,1-，对任意(),,1,2,3,,i j x x i j m = ，都有()()min ()()4i j max f x f x f x f x -≤-=，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，()()()()()()12122310,2023n nn x x x f x f x f x f x f x f x -≤<<<-+-++-= ，n ∴的最小值估计值为20231506.754+=，故n 的最小值取507，相应的n x 最小值为1011.5，则n n x +的最小值为1518.5.故1518.5二、单选题13．设R λ∈，则“1λ=”是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.【详解】若直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行，则()()3110λλλ---=，解得1λ=或3λ=-，经检验1λ=或3λ=-时两直线平行．故“1λ=”能得到“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”，但是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”不能得到“1λ=”故选：A14．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．15．已知函数()21f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．∅B ．()()1,00,1-UC ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】B 【分析】先求得参数a 的值，再去求不等式()0f x >的解集【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，即2a a a a++=+解之得1a =-，经检验符合题意.则()2f x x x=-+由20x x -+>，可得()()1,00,1x ∈-U 故()20f x x x =-+>的解集为()()1,00,1-U ，故选：B.16．已知*n ∈N ，集合πsin N,0k A k k n n ⎧⎫⎛⎫=∈≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合A 恰有8个子集，则n 的可能值有几个（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n 的取值.【详解】由题意易知，π2ππsin0,sin ,sin ,,sin n n n n ，均是集合A 中的元素，又集合A 恰有8个子集，故集合A 只有三个元素，有πsin0sin sin πn n==，则结合诱导公式易知，n 可取的值是4或5.故选：B三、解答题17．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：22*1()n n n S S S n N ++∈<；【正确答案】(1)n a n =，12n n b -=；(2)证明见解析【分析】（1）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；（2）利用（1）的结论首先求得数列{}n a 的前n 项和，然后利用作差法证明即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，11a =，5435()a a a =-得，145=+a d d ，故1d =，于是1(1)n a n n =+-=；由11b =，5434()b b b =-得，4324()q q q =-，又等比数列公比0q ≠，得到2244(2)0q q q -+=-=，故2q =，于是12n n b -=.（2）由（1）得，(1)2n n n S +=，故2(1)(2)(3)4n n n n n n S S ++++=，2221(1)(2)4n n n S +++=，作差可得[]221(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)042n n n n n n n n n n n S S S ++++++=+-++--=<，即221n n n S S S ++<得证.18．如图，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，,90,222AB CD ADC PD CD AD AB ∠===== ∥.(1)求异面直线AB 与PC 所成角的大小；(2)求二面角B PC D --的余弦值.【正确答案】(1)π433【分析】（1）根据AB DC 可得异面直线所成的角，利用直角三角形求解即可；（2）以点D 为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角B PC D --的余弦值.【详解】（1）由AB CD ，则异面直线AB 与PC 所成角即为PCD ∠，由题意知，PD ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，故PD CD ⊥，所以tan 1PD PCD CD ∠==，即π4PCD ∠=，即异面直线AB 与PC 所成角为4π.（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，又PD DC ⊥，AD DC ⊥，所以以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2D A B C P ，则()()()()0,2,2,1,1,0,0,0,2,1,0,2PC BC DP PA =-=-==- ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r ，则2200n PC y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，得1,1y z ==，得()1,1,1n = ，取平面PDC 的法向量为()1,0,0DA = ，设二面角B PC D --的大小为θ，由图形知，θ为锐角，所以cos n DA n DAθ⋅== ，所以二面角B PC D --19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为248mm ，经过3分钟覆盖面积为264mm ，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y （单位：2mm ）与经过时间x （单位：min ）的关系现有三个函数模型：①x y ka =0k >1a >，②log b y x =（1b >），③y q =（0p >）可供选择.（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm ？（结果保留到整数）【正确答案】(1)答案见解析；(2)至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择x y ka =，并求出解析式；（2）根据题意，4273003x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，求出x 的取值范围，进而得出结果.【详解】（1）因为x y ka =0k >1a >的增长速度越来越快，log b y x =（1b >）和y q =（0p >）的增长速度越来越慢，所以应选函数模型x y ka =0k >1a >.由题意得234864ka ka ⎧=⎨=⎩，解得4327a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以该函数模型为4273xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（0x ≥）；（2）由题意得4273003x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，即410039x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以43100log 9x >，又341001g100221g3220.4779log 8.3684921g2lg320.3010.4771g 3--⨯==≈≈-⨯-.所以至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .20．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22:143x y E +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B.（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线4x =相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标.【正确答案】（1）6；（2）4-；（3）()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由椭圆方程的性质可求12AF F ∆的周长；（2）设(),0P t ，求出直线AP 方程，解出Q 点坐标，计算OP QP ⋅ ，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：M 到直线AB 距离2d 是O 到直线AB 距离1d 的3倍，求出2d 的值，则点M 的坐标为与直线AB 平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点M .【详解】解：（1）由椭圆方程可知.2,1a c ==所以12AF F △的周长为1212226AF AF F F a c =++=+；（2）由椭圆方程得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),0P t ，则直线AP 方程为()321y x t t=--，又4x =，所以直线AP 与4x =的交点为344,21t Q t -⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭，()22,0344,214(2)44t t t OP QP t t t t -⎛⎫--⋅= ⎪-⎝⎭⋅=⋅-=--≥- ，当2t =时，()min 4OP QP ⋅=- （3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111322AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯⨯，即213d d =，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为()314y x =+，所以135d =，295d =.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，求得6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，联立方程：223460143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得27120y y +=，解得()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当12m =时，直线l 为34120x y -+=，联立方程：2234120143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2724270y y ++=，∆<0此时方程无解.综上所述，M 点坐标为()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.21．记()(),f x g x ''分别为函数()(),f x g x 的导函数.若存在，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“兰亭点”.(1)证明：函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“兰亭点”；(2)若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“兰亭点”，求实数a 的值；(3)已知函数()()2e ,x bf x x ag x x =-+=.对存在实数0a >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，求实数b 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)e2(3)()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题中“兰亭点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“兰亭点”的定义列两个方程，解方程组可得a 的值；（3）通过构造函数以及结合“兰亭点”的定义列两个方程，再由方程组有解即可求得结果.【详解】（1）函数()()2,22f x x g x x x ==+-，则()()1,22f x g x x '='=+.由()()f x g x =且()()f x g x ⅱ=，得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，()f x 与()g x 不存在“兰亭点”.（2）函数()()21,ln f x ax g x x =-=，则()()12,f x ax g x x''==.设0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”，由()0f x =()0g x 且()0f x '=()0g x '，得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎨=⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则2121e 22e a -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”.因此，a 的值为e 2.（3）()()()()2e 12,0x b x f x x g x x x -=-='≠'，函数()y f x =与()y g x =在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，记为x t =，所以()22e e 12tt b t a t b t t t ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得()3233121e t t t a t t b t ⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，由于0a >，解得01t <<或3t >，而()321e t t b t =-，所以()()2222330(1)1et t t t b t t '-+=>≠-，所以函数()321e t t b t =-在(0,1),(3,)∞+上为增函数，因为0=t 时0b =，1t →时，b →+∞，3t =时，327e b =-，t →+∞时，0b →，所以01t <<时，()0,b ∈+∞；3t >时，327,0e b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上，实数b 的取值范围是()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭.方法点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。

浦东高三数学C 答案20.061．2.2． (]2,∞-. 3． 2. 4.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππ. 5. 1. 6.-20. 7. 12-n . 8.10. 9. 92π.10. 132y 324x 22=--.11.[]72,8-12.1t >-.13.A 14.B 15.C 16.D 17.解：(1) 解法一：如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为()001,,B ，()2011,,B ，()2111,,C ，()100,,E ，所以，()01011,,C B =，()1011--=,,E B ．… ……………………(3分)设平面E C B 11的法向量()w ,v ,u n =1， 则由111C B n ⊥且E B n 11⊥得，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111E B n C B n ⎩⎨⎧=+=⇒00w u v ， 于是平面E C B 11的一个法向量为()1011-=,,n ．………… (5分) 且()2001,,BB =，所以，点B 到平面E C B 11的距离为()2101210010222=-++⨯-⨯+⨯==d ．……………… (7分)解法二：用等体积法，参照解法一给分．(2) 因为()2111,,C ，()100,,E ，()011,,C ，所以，()2001,,CC =，()111,,CE --=………………… (10分)设平面E CC 1的法向量()w ,v ,u n =2，则由12CC n ⊥且CEn ⊥2得，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00212CE n CC n ⎩⎨⎧=+--=⇒002w v u w ⎩⎨⎧==+⇒00w v u ， 于是平面E CC 1的一个法向量为()0112,,n -=．……………………… (12分)设平面E C B 11的一个法向量()1011-=,,n 与平面E CC 1的一个法向量 为()0112,,n -=的夹角为ϕ，则21==ϕcos ，………………… (13分) 所以，23=ϕsin ．……………………… (14分) 所以二面角C EC B --11的正弦值为23．18. 解：（1）由三角函数的图像可知，直线y m =与正弦函数图像相交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期 ……………………… (3分) 则5()236T πππ=--=………………………(4分) 所以2125T πω== . ………………………（6分） （2）由OA 、OB 、OC 成等差数列得2=OB OA OC + …………………（7分）在同一周期内，不妨设0B x ωϕ+=， πA x ωϕ+=，2πC x ωϕ+=…………（9分） 得π2π,,B A C x x x ϕϕϕωωω--=-==，………………………（11分） 由2=OB OA OC +，得3π22ϕϕωω-=，解得3π4ϕ=. …………………（14分）19.解：（1）有题意可知该商品的利润函数为：()()10()180=-⋅-f x Q x x ，*0100,<≤∈x x N ，……………………………（2分） 则由()*10()18000100,⎧-⋅->⎪⎨<≤∈⎪⎩Q x x x x N解得63≥x ． ………………………（5分）所以至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利． ………………………（6分）（2）法一：由(1)可知，当产量060<≤x ，*x N ∈时，无法实现盈利. ……………（7分）当产量60100<≤x ，*x N ∈时，由题意可知利润函数为()()10()60(60)180=-⋅---f x Q x x …………………（9分）化简得135()18160(1)18011⎡⎤=-⋅++≤-=⎢⎥+⎣⎦f x x x ， 当且仅当89=x 时等号成立 ………………………（13分）所以可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．………………………（14分）法二：由(1)可知，当产量060<≤x ，*x N ∈时，无法实现盈利．…………………(7分) 当产量60100<≤x ，*x N ∈时，由题意可知利润函数为()()10()60(60)180=-⋅---f x Q x x ……………………(9分) 则由()*10()60(60)180060100，⎧-⋅--->⎪⎨<≤∈⎪⎩Q x x x x N解得8099<<x ，*x N ∈．……………… (12分) 所以可以实现盈利，比较(81),(82),...,(98)f f f 可知，当产量为89台时，利润最大．………………………(14分)法三：由(1)可知，当产量060<≤x ，*x N ∈时，无法实现盈利．…………………(7分) 当产量60100<≤x ，*x N ∈时，由题意可知利润函数为()()10()60(60)180=-⋅---f x Q x x ……………………(9分) 则由计算器TAB 键功能，列出60100<≤x ，*x N ∈的所有值，发现当产量为89台时，利润最大．………………………(14分)20. 解：（1）B =10.22A B A B p p A AF BF x x x x p +=+++=++= ………… (4分) （2）① 当直线设AB 的斜率存在时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，则1212003,22x x y y x y ++===， ………… (5分) 21212221212108488AB y y y y k y y x x y y y --====-+- . ………… (7分)线段AB 的垂直平分线的方程是00(3)4y y y x -=--，即0(7)4y y x =--. ……… (9分) ② 当直线设AB 的斜率不存在时，此时线段AB 的垂直平分线的方程是0y =.所以线段AB 的垂直平分线经过一个定点()7,0C . ………… (10分)（3）设()0,m Q ，过Q 点直线方程为m ty x +=，联立088822=--⇒⎩⎨⎧+==m ty y mty x x y ， 则032642>+=∆m t ，t y y 821=+，m y y 821-=. ………… (12分) 则()()212212121y t y m x AQ +=+-=，()()222222221y t y m x BQ +=+-=，…… (13分) 所以，()()22221222111111y t y t BQ AQ +++=+ ()()()()()()164166412122222122122122122221++=+-+=++=t m m t y y t y y y y y y t y y ，………………(15分) 所以当4=m 时，1611122=+BQ AQ ，故Q 点的坐标为()0,4， 并且满足032642>+=∆m t .……………… (16分)21.解：（1）()x x g cos =是()x x f sin =的关联平方差函数，………………………(2分)()()()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin f x y f x y x y x y x y x y x y x y +-=+-=+-()()2222222222sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos x y x y y x y x x y =-=---()()2222cos cos y x g y g x =-=-………………………(4分)（2）()f x 是非常值函数，所以存在(),0a f a ≠，………………………(5分)下证对任意实数b ，()()f b f b -=- 令,22a b a b x y +-==可得()()2222a b a b f a f b g g -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 再令,22a b a b x y -+==可得()()22+22a b a b f a f b g g -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………(8分) 两式相加可得()()()0f a f b f b +-=⎡⎤⎣⎦，()0f a ≠，()()f b f b ∴-=-，所以()f x 为奇函数 ………………………(10分)（3）令0y =可得()()()()222201f x g g x g x =-=-，即()()221f x g x +=，………………………(11分)()()()21,220,g f f =-∴=-= ……………………(12分)令2y x =+，()()()()2222220f x f g x g x +-=+-=，………………………(13分)令2y =，()()()2221f x f x g x +-=-，………………………(14分)用2x +替换x 可得()()()()()2224121f x f x g x g x f x +=-+=-=，[1]若()0f x ≠，那么()()4f x f x =+；[2]若()0f x =，那么()()()()()2222211224f x g x g x f x f x =-=-+=+=+；所以()()40f x f x =+= ………………………(16分) 综上可知4T =满足要求，下证4T =是满足要求的最小正数，用反证法，若存在004T <<也满足要求，令00,2T x y ==可得()2200000222T T T f fg g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 000000,,0222222T T T T T T f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-∴-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 所以4T =是满足要求的最小正数 ………………………(18分)。

2024年高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减2．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 3．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13- B ．13 C ．12-D ．124．设12,x x 为()()cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 5．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12CD． 6．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 7．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B 213C ．926D 31311．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝12．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届上海市浦东新区高三下学期教学质量检测数学试题一、单选题1．“a b =”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充要关系定义进行判断选择. 【详解】若a b =，则a b =，所以充分性成立；若a b =，则a b =不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立； 故选：A 【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8978aa a a +=+（） A ．1B ．1+C ．3+D ．3-【答案】B【解析】根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果. 【详解】因为1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+设{}n a 公比为21201qq qq q ∴=+>∴=+从而89781a a q a a +==++故选：B 【点睛】本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若a b >，则22am bm >； ②若a b >，则a ab b ；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+； ④若 0a b >>，且ln ln a b =，则(2,)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】举例说明①错误；根据不等式性质证明②成立；利用作差法证明③成立；根据对勾函数性质说明④成立. 【详解】若,0a b m >=，则22am bm =,所以①错误； 若a b >，则当0a b >≥时a a b a b b a a b b当0a b ≥>时0a a b b a ab b 当0a b >>时0aba ab a b ba ab b ，因此②成立；若0b a >>，0m >，则()0()a m a b a m a m ab m b b b m b m b+-+-=>∴>+++，所以③成立； 若 0a b >>，且ln ln a b =，则ln ln ln()0,11ab b a a b a ∴==∴=>-，1a b a a ∴+=+在(1,)+∞上单调递增，即12a b a a+=+>，因此④成立. 故选：C 【点睛】本题考查根据不等式性质比较大小、作差法比较大小、对勾函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．数学试卷的填空题由12道题组成，其中前6道题，每道题4分；后6道题，每道题5分．下面4个数字是某教师给出的一位学生填空题的得分，这个得分不可能是（ ） A ．17 B ．29C ．38D ．43【答案】D【解析】根据得分情况可说明ABC 成立，再说明D 一定不成立. 【详解】因为17=34+15,296415,382465⨯⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以得分可能是ABC;因为432475=⨯+⨯，而满足个位数为3的只有这一种，但每道题5分的只有6道题，因此D 得分是不可能的， 故选：D 【点睛】本题考查简单推理，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式的值是____________． 【答案】2【解析】根据代数余子式定义列式求解,即得结果. 【详解】在行列式12011213a-中，元素a 的代数余子式为401(1)0(2)221--=--= 故答案为：2 【点睛】本题考查代数余子式，考查基本求解能力，属基础题. 6．函数y =的定义域为____________．【答案】(]2-∞，【解析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得指数不等式得结果. 【详解】2933032x x x ≥∴≤∴-≤,故定义域为(]2-∞， 故答案为：(]2-∞，【点睛】本题考查定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知x 、R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 1i x y -+=-+，则x y +=____________． 【答案】2【解析】根据复数相等列方程组，解得,x y ，即得结果.【详解】()212i 1i 1x x y y -=-⎧-+=-+∴⎨=⎩121x x y y =⎧∴∴+=⎨=⎩故答案为：2 【点睛】本题考查复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.8．函数()sin cos R y x x x =-∈的单调递增区间为____________．【答案】()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求单调区间. 【详解】sin cos )4y x x x π=-=-22()242k x k k Z πππππ∴-≤-≤+∈322()44k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈ 故答案为：()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知02x <<_______ 【答案】1【解析】配方后利用二次函数求最值可得结果. 【详解】==,又因为02x <<所以1x =时 1. 故答案为:1 【点睛】本题考查了二次函数求最大值,属于基础题.10．61()x x-的展开式中的常数项是： ．(请用数字作答) 【答案】-20 【解析】621661()(1)r n rr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令620r -=，则3r =，所以常数项为3620C -=-．11．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________. 【答案】12n - 【解析】解：因为221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 12．一支田径队有男运动员40人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为19的样本，则抽取男运动员的人数为____________． 【答案】10【解析】由样本容量与总体容量的比值相等计算． 【详解】设抽取的男运动员人数为n ，则由分层抽样定义得40194036x =+，解得10x =． 故答案为：10． 【点睛】本题考查分层抽样，利用分层抽样中样本容量与总体容量的比值相等求解即可． 1336的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ． 【答案】92π 【解析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O ,球心为O ,一个顶点为A ,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为12,O O,则球心O 是12O O 的中点.∴正六棱柱底面边长为3,侧棱长为61Rt AO O ∴中,1136,AO O O ==,可得221132AO AO O O =+=因此,该球的体积为3439322V ππ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 故答案为92π. 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.14．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323+=+，则双曲线2C 的方程为____________．221= 【解析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221= 221-= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知A 、B 、C 是半径为5的圆M 上的点，若6BC =，则AB AC ⋅的取值范围是____________． 【答案】[]8,72-【解析】由正弦定理求出sin A ，由平方关系得cos A ，然后利用余弦定理和基本不等式求出bc 的范围，最后由数量积的定义可得结论． 【详解】记,,A B C 所对边长分别为,,a b c ， 由正弦定理得2sin a R A=，即63sin 2255a A R ===⨯，所以4cos 5A =±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，4cos 5A =时，228836255b c bc bc bc =+-≥-，90bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 90725AB AC bc A ⋅=≤⨯=，4cos 5A =-时，228836255b c bc bc bc =++≥+，10bc ≤，b c =时等号成立，所以4cos 1085AB AC bc A ⎛⎫⋅=≥⨯-=- ⎪⎝⎭，综上[8,72]AB AC ⋅∈-． 故答案为：[8,72]-． 【点睛】本题考查求平面向量数量积的取值范围，考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．16．对数列{}n a ，{}()*n b n N∈，如果存在正整数k ，使得1kk ab >+，则称数列{}n a 是数列{}n b 的“优数列”，若32222n a n n tn t =+-+，3241n b n n n =+++，并且{}n a 是{}n b 的“优数列”，{}n b 也是{}n a 的“优数列”，则t 的取值范围是____________． 【答案】1t >-．【解析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围. 【详解】因为{}n a 是{}n b 的“优数列”， 所以存在正整数k ，1k k a b >+即3223222411k k tk t k k k +-+>++++，22(24)20k t k t --++> 显然成立，所以t R ∈； 因为{}n b 是{}n a 的“优数列”， 所以存在正整数m ，1m m b a >+即3232241221m m m m m tm t +++>+-++，22(24)0m t m t -++<22(24)401t t t ∴∆=+->∴>-当1t >-时，由于对称轴21m t =+>，所以必存在正整数m ，使得22(24)0m t m t -++<综上，1t >- 故答案为：1t >- 【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 为棱1AA 的中点，1AB =，12AA =．（1）求点B 到平面11B C E 的距离； （2）求二面角11B EC C --的正弦值． 【答案】（1）2；（2）3． 【解析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离； （2）用空间向量法求二面角的余弦值，再求正弦值． 【详解】解：（1）如图所示，建立直角坐标系，则有关点的坐标为()1,0,0B ，()11,0,2B ，()11,1,2C ，()0,0,1E ，所以，()110,1,0B C =，()11,0,1B E =--．设平面11B C E 的法向量()1,,n u v w =， 则由111n B C ⊥且11n B E ⊥得，11111000v n B C u w n B E ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩．取1u =，于是平面11B C E 的一个法向量为()11,0,1n =-． 且()10,0,2BB =，所以，点B 到平面11B C E 的距离为()11222010*******n BB d n⋅⨯+⨯-⨯===++-．（2）因为()11,1,2C ，()0,0,1E ，()11,1,0C ， 所以，()10,0,2CC =，()1,1,1CE =--设平面1CC E 的法向量()1112,,n u v w =，则由21n CC ⊥且2n CE ⊥得，11211111122000000w w n CC u v w u v n CE ⎧⎧==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+=+=⋅=⎪⎩⎪⎩⎩．取11u =于是平面1CC E 的一个法向量为()21,1,0n =-．设平面11B C E 的一个法向量()11,0,1n =-与平面1CC E 的一个法向量 为()21,1,0n =-的夹角为ϕ，则12121cos 2n n n n ϕ⋅==， 所以，3sin ϕ=． 所以二面角11B EC C --的正弦值为3． 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离，求二面角．在图形中已有两两相互垂直的三条直线时，如长方体，可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，距离，研究（或证明）空间线面位置关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<．（1）如图所示，函数()f x 的图象与直线()1 1 y m m =-<<三个相邻交点的横坐标为3π-、6π、2π，求ω的值； （2）函数()()sin 0,0y x ωϕωϕπ=+><<的图象与x 轴的交点A 、B 、C ，且满足OA 、OB 、OC 成等差数列，求ϕ的值． 【答案】（1）125ω=；（2）34πϕ=． 【解析】（1）先确定周期，再求ω的值；（2）根据等差数列性质得2OB OA OC =+，再利用A 、B 、C 坐标表示，解得ϕ的值． 【详解】（1）由三角函数的图象可知，直线y m =与正弦函数图象相交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期则5236T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 所以2125T πω==． （2）由OA 、OB 、OC 成等差数列得2OB OA OC =+ 在同一周期内，不妨设0B x ωϕ+=，A x ωϕπ+=， 2C x ωϕπ+= 得B x ϕω=-，A x πϕω-=，2C x πϕω-=， 由2OB OA OC =+，得322πϕϕωω-=，解得34πϕ=． 【点睛】本题考查根据三角函数图象与性质求参数、等差数列应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．某企业准备投产一款产品，在前期的市场调研中发现： ①需花费180万元用于引进一条生产流水线；②每台生产成本Q （x ）（万元）和产量x （台）之间近似满足Q （x ）＝51351x ++，x ∈N ；（注每台生产成本Q （x ）不包括引进生产流水线的费用） ③每台产品的市场售价为10万元； ④每年产量最高可达到100台；（1）若要保证投产这款产品后，一年内实现盈利，求至少需要生产多少台（而且可全部售出）这款产品；（2）进一步的调查后发现，由于疫情，这款产品第一年只能销售出60台，而生产出来的产品如果没有在当年销售出去，造成积压，则积压的产品每台将亏损1万元，试判断该企业能否在投产第一年实现盈利．如果可以实现盈利，则求出当利润最大时的产量；若不能实现盈利，则说明理由．【答案】（1）至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）可以实现盈利，利润最大时，产量为89台．【解析】（1）由题意可得利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，由f （x ）＞0求解不等式得答案；（2）把利润函数f （x ）变形，再由基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意可知该商品的利润函数为：f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅x ﹣180，0＜x ≤100，x ∈N ，则由()1018000100*Q x x x x N ⎧⎡⎤-⋅-⎪⎣⎦⎨≤∈⎪⎩＞＜，，解得x ≥63． ∴至少生产并销售63台这款产品，才能实现盈利；（2）由（1）可知，当产量0＜x ≤60，x ∈N 时，无法实现盈利； 当产量60＜x ≤100，x ∈N 时，由题意可知利润函数为f （x ）＝[10﹣Q （x ）]⋅60﹣（x ﹣60）﹣180． 化简得f （x ）＝181﹣[()1356011x x ⋅+++]1801≤-=． 当且仅当x ＝89时等号成立．∴可以实现盈利，利润最大时，产量为89台． 【点睛】本题考查分式函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题. 20．已知点F 是抛物线2:8C y x =上的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的两个动点．（1）若直线AB 经过点F ，且126x x +=，求AB ；（2）若126x x +=，求证:线段AB 的垂直平分线经过一个定点C ，并求出C 点的坐标；（3）若线段AB 与x 轴交于Q 点，是否存在这样的点Q ，使得2211AQBQ+为定值，若存在，求出这个定值和Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）证明见解析，经过一个定点()70C ，；（3）存在Q 点满足题意，坐标为()4,0，2211116AQBQ+=． 【解析】（1）根据抛物线定义求焦点弦弦长；（2）先考虑直线AB 的斜率存在情况，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线的方程，确定定点，再验证直线AB 的斜率不存在情况也过此定点；（3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，与抛物线联立方程组，结合韦达定理化简2211AQBQ+，确定定值取法，即可确定定点与定值.【详解】（1）1022A B A B p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=． （2）①当直线AB 的斜率存在时，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则12032x x x +==，1202y yy +=，21212221212108488AB y y y y k y y x x y y y --====-+-．线段AB 的垂直平分线的方程是()034y y y x -=--，即()074y y x =--． ②当直线设AB 的斜率不存在时，此时线段AB 的垂直平分线的方程是0y =．所以线段AB 的垂直平分线经过一个定点()70C ，． （3）设()0Q m ，，过Q 点直线方程为x ty m =+，联立228880y xy ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，则264320t m ∆=+>，128y y t +=，128y y m =-．则()()222221111AQ x m y t y =-+=+，()()222222221BQ x m y t y =-+=+，所以，()()22222212111111t y t y AQBQ+=+++()()()()()()222212121222222212122641664111y y y y y y t mm t t y y t y y +-++===+++， 所以当4m =时，2211116AQBQ+=，故Q 点的坐标为()4,0， 并且满足264320t m ∆=+>． 【点睛】本题考查抛物线焦点弦、抛物线中定点与定值问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.21．定义在R 上的非常值函数()f x 、()g x （()f x 、()g x 均为实数），若对任意实数x 、y ，均有()()()()22f x y f x y g y g x +⋅-=-，则称()g x 为()f x 的关联平方差函数．（1）判断()cos g x x =是否是()sin f x x =的关联平方差函数，并说明理由； （2）若()g x 为()f x 的关联平方差函数，证明：()f x 为奇函数；（3）在（2）的条件下，如果()01g =，()21g =-，当02x <<时()11g x -<<，且f x Tf x 对所有实数x 均成立，求满足要求的最小正数T 并说明理由．【答案】（1）是；理由见解析；（2）证明见解析；（3）4T =是满足要求的最小正数，理由见解析．【解析】（1）根据关联平方差函数定义直接化简判断；（2）结合关联平方差函数定义，证明()()f b f b -=-恒成立； （3）结合关联平方差函数定义先探求4T =，再用反证法证4T =是满足要求的最小正数. 【详解】（1）()cos g x x =是()sin f x x =的关联平方差函数，()()()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin f x y f x y x y x y x y x y x y x y +-=+-=+-()()2222222222sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos x y x y y x y x x y =-=---()()2222cos cos y x g y g x =-=-（2）()f x 是非常值函数，所以存在a ，()0f a ≠， 下证对任意实数b ，()()f b f b -=- 令2a b x +=，2a b y -=可得()()2222a b a b f a f b g g -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再令2a b x -=，2a b y +=可得()()2222a b a b f a f b g g +-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加可得()()()0f a f b f b +-=⎡⎤⎣⎦，()0f a ≠，()()f b f b ∴-=-，所以()f x 为奇函数（3）令0y =可得()()()()222201f x g g x g x =-=-，即()()221fx g x +=，()21g =-，()()220f f ∴=-=，令2y x =+，()()()()2222220f x f gx g x +-=+-=， 令2y =，()()()2221f x f x gx +-=-，用2x +替换x 可得()()()()()2224121f x f x g x g x f x +=-+=-=，[1]若()0f x ≠，那么()()+4f x f x =； [2]若()=0f x ，那么()()()()()2222211+2+2+4fx g x g x f x f x =-=-==；所以()()+40f x f x == 综上可知4T=满足要求，下证4T =是满足要求的最小正数，用反证法，若存在004T <<也满足要求，令0x =，02T y =可得()2200000222T T T f f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0022T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，00022T T f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！ 所以4T=是满足要求的最小正数.【点睛】本题考查函数新定义、证明奇函数、函数周期、反证法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。

2020年上海市浦东新区高三练习数学试卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数1lg )(-=x x f 的定义域为 . ),1(+∞2．若行列式124012x -=，则x = . 23．若椭圆的一个焦点与圆2220x y x +-=的圆心重合，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为 . 22154x y += 4．若集合{}1A x x x =<∈R ，，{}2B y y x x ==∈R ，，则I A =B C R .()1,0-5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则+=x y . 6 6．已知b n n an n =++∞→)1(lim （其中b a ,为常数），则=+22b a . 1 7．样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 648． ()51x +展开式中不含．．3x 项的系数的和为 . 229．在ABC ∆中，若1AB =，5BC =,且552sin=A ，则sin C = . 25410成绩（分） 50 61 73 85 90 94 人数221212则总体标准差的点估计值为 （结果精确到11．甲乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中至少有1人射中的概率为 . 0.9812．在极坐标系中，定点π1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在曲线θρcos 2=上移动，当线段AB 最短时，点B 的极径为 22-13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”。

则原点)0,0(O 与直线052=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是52. 14．如图放置的边长为1的正方形ABCD 沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的轨迹方程是()y f x =，则()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积 为 . π+1AA 1 DC BD 1 C 1B 1EFPQ• • ••二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 二. 选择题15．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 （ ） （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个.16．若ABC ∆的面积333ABC S ∆∈⎣⎦，且3AB BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB u u u r 与BC uuur 夹角的取值范围是 （ ）（A ）[,]32ππ. （B ）[,]43ππ. （C ）[,]64ππ. （D ）[,]63ππ. 17．如图，正方体1111的棱长为6，动点E F 、在棱11A B 上，动点P Q 、分别在棱AB CD 、上，若2EF =,DQ x =，，则四面体的体积 （ ）（A ）与y x ,都无关. （B ）与x 有关，与y 无关.（D ）与x 无关，与y 有关.18．已知关于x 的方程20ax bx c ++=r r r r ，其中a r 、b r 、c r都是非零r r （ ）（A ）至多有一个解 （B ）至少有一个解 （D ）可能有无数个解 三、解答题 19．（本题满分12分）第一题满分6分，第二题满分6分． 已知虚数ααsin cos 1i z +=， ββsin cos 2i z +=，（1）若55221=-z z ，求)cos(βα-的值； （2）若21,z z 是方程0232=+-c x x 的两个根，求实数c 的值。

2020年上海市浦东新区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 下列各运算中，正确的运算是( ) A. 5√3+3√5=8√8 B. (−3a 3)3=−27a 9C. a 8÷a 4=a 2D. (a 2−b 2)2=a 4−b 42. 如果a <b ，那么下列结论不正确的是( )A. a +3<b +3B. a −3<b −3C. 3a <3bD. −3a <−3b3. 成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为( )A. 46×10−7B. 4.6×10−7C. 4.6×10−6D. 0.46×10−54. 若数轴上表示−1和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是( )A. −4B. −2C. 2D. 45. 已知长方体ABCD −EFGH 如图所示，那么下列各条棱中与棱GC 平行的是( )A. 棱EAB. 棱ABC. 棱GHD. 棱GF6. 如图，已知△ABC 与△BDE 都是等边三角形，点D 在边AC 上(不与点A 、C 重合)，DE 与AB 相交于点F ，那么与△BFD 相似的三角形是( )A. △BFEB. △BDCC. △BDAD. △AFD二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. −8的立方根是______．8. 方程组{x −y =3xy =−2的解是______． 9. 直线y =−2x −3的截距是______．10. 某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是______元(结果用含m 的代数式表示)．11. 已知函数f(x)=x−12−x ，那么f(−2)= ______ ．12. 在五张完全相同的卡片上，分别画有：线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆，如果从中随机抽取一张，那么卡片上所画的图形恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是______．13. 进球数1 2 3 4 5 7 人数 1 1 4 2 3 1 这名同学进球数的众数是．14. 已知扇形的弧长为8，如果该扇形的半径长为2，那么这个扇形的面积为______．15. 如图，点G 是△ABC 的重心，过点G 作EF//BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，如果BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，那么FE⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16.如果直角梯形的两腰长分别为8厘米和10厘米，较长的底边长为7厘米，那么这个梯形的面积是______平方厘米．17.如图，已知在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC三边所得弦长相等，那么∠BOC=______度．18.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.解方程：2x−1x −3x2x−1=2．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.计算：(√3)0+√2(√2−1)+(−13)−2+812．21.甲、乙两辆汽车沿同一公路从A地出发前往路程为100千米的B地，乙车比甲车晚出发15分钟，行驶过程中所行驶的路程分别用y1、y2(千米)表示，它们与甲车行驶的时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．(1)分别求出y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；(2)乙车行驶多长时间追上甲车？22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长的值．线段BM交边AC于点G，求EFDF23.已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF=BE，线段EF与边CD相交于点G．(1)求证：DF//AC；(2)如果AB=BE，DG=CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．24.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)和点B，与y轴相交于点C(0,3)，抛物线的顶点为点D．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；(3)如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位(m>0)，使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．25.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4.D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点(与点A、C不重合)，过点E作EF//AB，交边BC于点F.联结DE、DF，设CE=x．(1)当x=1时，求△DEF的面积；(2)如果点D关于EF的对称点为D′，点D′恰好落在边AC上时，求x的值；(3)以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、5√3与3√5不能合并，所以A选项错误；B、(−3a3)3=−27a9，所以B选项正确；C、a8÷a4=a4，所以C选项错误；D、(a2−b2)2=a4−2a2b2+b4，所以D选项错误．故选：B．根据二次根式的加减法对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B进行判断；根据同底数幂的除法法则对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.也考查了整式的运算和二次根式的加减法．2.【答案】D【解析】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A结论正确；B、两边都减3，不等号的方向不变，故B结论正确；C、两边都乘以3，不等号的方向不变，故C结论正确；D、两边都乘以−3，不等号的方向改变，故D结论不正确．故选：D．根据不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3.【答案】C【解析】【分析】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好．本题用科学记数法的知识即可解答．【解答】解：0.0000046=4.6×10−6．故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了数轴以及绝对值，主要利用了两点间的距离的表示，需熟记．根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解．【解答】解：AB=|−1−3|=4．故选D．5.【答案】A【解析】解：观察图象可知，与棱GC 平行的棱有AE 、BF 、DH ．故选：A ．首先确定与GC 平行的棱，再确定选项即可求解．本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题． 6.【答案】C【解析】解：∵△ABC 与△BDE 都是等边三角形，∴∠A =∠BDF =60°，∵∠ABD =∠DBF ，∴△BFD∽△BDA ，∴与△BFD 相似的三角形是△BDA ，故选：C ．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7.【答案】−2【解析】解：∵(−2)3=−8，∴−8的立方根是−2．故答案为：−2．利用立方根的定义即可求解．本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a(x 3=a)，那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a ”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．8.【答案】{x 1=2y 1=−1，{x 2=1y 2=−2【解析】解：{x −y =3 ①xy =−2 ②， 由①得x =y +3③，把③代入②式，整理得y 2+3y +2=0，解得y 1=−1，y 2=−2．把y 1=−1代入x =y +3，得x 1=2，把y 2=−2代入x =y +3，得x 2=1． 故原方程组的解为{x 1=2y 1=−1，{x 2=1y 2=−2． 故答案为：{x 1=2y 1=−1，{x 2=1y 2=−2． 观察方程组，选用代入法，即可达到降次的目的．此题考查了二元二次方程组，关键是熟练掌握运用代入法解二元二次方程组的方法． 9.【答案】−3【解析】解：∵b =−3，∴直线y =−2x −3的截距为−3．故答案为：−3．利用截距的定义，可找出直线y =−2x −3的截距．本题考查一次函数的性质，牢记截距的定义是解题的关键．10.【答案】100(1−m)2【解析】解：第一次降价后价格为100(1−m)元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100(1−m)(1−m)元，即100(1−m)2元．故答案为：100(1−m)2．现在的价格=第一次降价后的价格×(1−降价的百分率)．本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．根据降低率问题的一般公式可得：某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是100(1−m)2．11.【答案】−34．【解析】解：f(−2)=−2−12−(−2)=−34，故答案为−34．将−2代入已知的函数解析式即可求得函数值．本题主要考查求函数值，此题比较简单，注意(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；(2)函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．12.【答案】35【解析】解：∵在线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆这一组图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是：线段、矩形、圆共3个，∴卡片上所画的图形恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是35．故答案为：35．先判断出线段、正三角形、矩形、等腰梯形、圆中既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．本题考查的是概率公式及中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．13.【答案】3【解析】解：观察统计表发现：1出现1次，2出现1次，3出现4次，4出现2次，5出现3次，7出现1次，故这12名同学进球数的众数是3．故答案为：3．根据统计表找出各进球数出现的次数，根据众数的定义即可得出结论．本题考查了众数的定义以及统计表，解题的关键是找出哪个进球数出现的次数最多．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据统计表中的数据，结合众数的定义找出该组数据的众数是关键．14.【答案】8【解析】解：根据扇形的面积公式，得S 扇形=12lR =12×8×2=8． 故答案为：8． 直接根据扇形的面积公式S 扇形=12lR 进行计算．本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．15.【答案】−23a⃗【解析】解：如图，连接AG 延长AG 交BC 于T ．∵G 是△ABC 的重心，∴AG =2GF ，∵EF//BC ，∴AE BE =AG TG =2，∴AE AB =23，∴EFBC =AE AB =23， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ， ∴FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ ， 故答案为−23a⃗ ． 如图，连接AG 延长AG 交BC 于T.由G 是△ABC 的重心，推出AG =2GF ，由EF//BC ，推出AE BE =AG TG =2，推出AE AB =23，推出EF BC =AE AB =23，由此即可解决问题．本题考查三角形的重心，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】32【解析】解：如图，作DE ⊥BC ，已知AB =8，CD =10，BC =7，∴CE =√CD 2−DE 2=6，∴AD =BC −EC =1，∴梯形的面积是：12(AD +BC)⋅DE =12×(7+1)×8=32(cm 2)，答：这个梯形的面积是32平方厘米．故答案为：32．如图，作DE ⊥BC ，根据勾股定理得到CE =√CD 2−DE 2=6，根据梯形的面积公式即可得到结论． 本题考查了梯形，勾股定理，梯形面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.【答案】125【解析】解：过点O 作OH ⊥DE 于H ，OK ⊥FG 于K ，OP ⊥MN 于P ，如图， ∵DE =FG =MN ，∴OH =OK =OP ，∴OB 平分∠ABC ，OC 平分∠OCB ，∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠ACB)=12(180°−∠A)=90°−12∠A ， ∴∠BOC =180°−(∠OBC +∠OCB)=180°−(90°−12∠A) =90°+12∠A =90°+12×70° =125°．故答案为125．过点O 作OH ⊥DE 于H ，OK ⊥FG 于K ，OP ⊥MN 于P ，如图，由于DE =FG =MN ，利用弦、圆心角和对应的弦心距的关系得到OH =OK =OP ，则可判断OB 平分∠ABC ，OC 平分∠OCB ，然后根据角平分线的定义和三角形内角和求解．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系．18.【答案】3√52【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =3，AD =BC =4，∠ADC =90°，∴∠A′DF =∠CDF =90°，由旋转的性质得：CD =CD′=3，A′D′=AD =4，∠ADC =∠A′D′C =90°， ∴A′C =√32+42=5，∴A′D =A′C −CD =5−3=2，在Rt △CDF 和Rt △CD′F 中，{CF =CF CD =CD′， ∴Rt △CDF≌Rt △CD′F(HL)，∴DF =D′F ，设DF =D′F =x ，则A′F =4−x ，在Rt △A′DF 中，由勾股定理得：22+x 2=(4−x)2，解得：x =32，∴DF =32，∴CF =√CD 2+DF 2=√32+(32)2=3√52； 故答案为：3√52． 由旋转的性质得CD =CD′=3，A′D′=AD =4，∠ADC =∠A′D′C =90°，由勾股定理得出A′C =5，则A′D =A′C −CD =5−3=2，证Rt △CDF≌Rt △CD′F(HL)，得出DF =D′F ，设DF =D′F =x ，则A′F =4−x ，在Rt △A′DF 中，由勾股定理得出方程，解方程得DF =32，由勾股定理即可得出CF 的长度．本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 19.【答案】解：设2x−1x =y ，则3x 2x−1=3y ， 则原方程为：y −3y =2，即：y 2−2y −3=0，解得y 1=3，y 2=−1．当y 1=3时，x =−1，当y 2=−1时，x =13．经检验，x 1=−1，x 2=13是原方程的根．∴x 1=−1，x 2=13．【解析】本题考查用换元法解分式方程的能力，观察方程可得2x−1y 与x 2x−1互为倒数，所以可采用换元法将方程转化．用换元法解分式方程是常用的一种方法，它能将方程化繁为简，因此要注意总结能够用换元法解的分式方程的特点．解分式方程时要注意根据方程特点选择合适的方法． 20.【答案】解：原式=1+2−√2+9+2√2=12+√2．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，合并得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.【答案】解：(1)设y 1关于x 的函数解析为y 1=kx ，120k =100，得k =56，即y 1关于x 的函数解析为y 1=56x(0≤x ≤120)，设y 2关于x 的函数解析为y 2=ax +b ，{15a +b =090a +b =100，得{a =43b =−20， 即y 2关于x 的函数解析为y 2=43x −20(15≤x ≤90)；(2)令56x =43x −20，得x =40，40−15=25(分钟)，即乙车行驶25分钟追上甲车．【解析】(1)根据函数图象中的数据，可以求得y1、y2关于x的函数解析式并写出定义域；(2)令(1)中的两个函数的函数相等，求出x的值，然后再减去15，即可得到乙车行驶多长时间追上甲车．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22.【答案】解：(1)∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠DAC=30°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠DAC=30°，AC=6，∴CD=2√3，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=6，∴BC=6√3，∴BD=BC−CD=4√3，∵DE//CA，∴DECA =BDBC=23，∴DE=4；(2)∵点M是线段AD的中点，∴DM=AM，∵DE//CA，∴DFAG =DMAM，∴DF=AG，∵DE//CA，∴EFAG =BFBG,BFBG=BDBC，∴EFAG =BDBC，∵BD=4√3，BC=6√3，DF=AG，∴EFDF =23．【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；(2)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵EF=BE，∴OE是△BDF的中位线，∴OE//DF，即DF//AC；(2)解：∵AB=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠BAE=∠GCE，∵∠BEA =∠GEC ，∴∠GEC =∠GCE ，∴GE =CG ，∵DF//AC ， ∴DG CG =FG GE ， ∵DG =CG ，∴FG =GE ，∴四边形DECF 是平行四边形，∵DG =CG ，FG =GE ，GE =CG ，∴DG =CG =FG =GE ，∴DC =EF ，∴四边形DECF 是矩形．【解析】(1)根据平行四边形的性质得到BO =DO ，根据三角形的中位线定理即可得到结论；(2)根据平行四边形的性质得到AB//CD ，由平行线的性质得到∠BAE =∠GCE ，求得∠GEC =∠GCE ，得到GE =CG ，推出四边形DECF 是平行四边形，得到DG =CG =FG =GE ，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c 与x 轴交于点A(−3,0)和点B ，与y 轴相交于点C(0,3)，则有{−9−3b +c =0c =3， 解得{b =−2c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3，顶点D(−1,4)．(2)∵A(−3,0)，C(0,3)，D(−1,4)，∴AD =√(−3+1)2+(0−4)2=2√5，CD =√(0+1)2+(3−4)2=√2，AC =√(−3−0)2+(0−3)2=3√2，∴AC 2+CD 2=AD 2，∴∠ACD =90°，∴tan∠DAC =CD AC =13．(3)过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ．∵点P 在抛物线y =−x 2−2x +3上，∴设P(a,−a 2−2a +3)，可得PH =|−a 2−2a +3|，AH =a +3，∵∠PAB =∠DAC ，∴tan∠PAB =tan∠DAC =PH AH =13．①当a +3=3(−a 2−2a +3)，解得a =23或−3(舍弃)，∴P(23,119)，过点P 作x 轴的平行线与抛物线交于点N ，则点N 与点P 关于直线x =−1对称， 根据对称性可知N(−83,119)， ∴平移的距离为103．②当a +3=−3(−a 2−2a +3)，解得a =43或−3(舍弃)，∴P(43,−139)， 过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点Q ，则点Q 与点P 关于直线x =−1对称， 根据对称性可知Q(−103,−139)， ∴平移的距离为143，综上所述，平移的距离为103或143．【解析】(1)利用待定系数法构建方程组即可解决问题．(2)利用勾股定理求出AD ，CD ，AC ，证明∠ACD =90°即可解决问题．(3)过点P 作x 轴的垂线，垂足为H.设P(a,−a 2−2a +3)，可得PH =|−a 2−2a +3|，AH =a +3，由∠PAB =∠DAC ，推出tan∠PAB =tan∠DAC =PH AH =13.接下来分两种情形，构建方程求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)如图1，过E 作EM ⊥AB 于M ，当x =1时，CE =1，AE =4−1=3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，∴AB =5，sin∠A =BC AB =35=EM AE ， ∴35=EM3，∴EM =95，∵EF//AB ，∴CE AC =EF AB ，即x 4=EF5，∴EF=54x=54，∴△DEF的面积=12EF⋅EM=12×54×95=98；(2)如图2，过E作EN⊥AB于N，连接DD′，交EF于Q，∵点D关于EF的对称点为D′，∴DD′⊥EF，QD=12DD′，∴∠EQD′=90°，∵EF//AB，∴∠ADQ=∠EQD′=90°，∵D是AB的中点，∴AD=12AB=52，tan∠A=DD′AD =34，∴DD′=3×5 24=158，∴QD=1516，∵EF//AB，EN⊥AB，QD⊥AB，∴∠END=∠NDQ=∠EQD=90°，∴四边形ENDQ是矩形，∴EN=QD=1516，Rt△AEN中，sin∠A=ENAE =35，∴1516AE=35，AE=4−x，∴x=3916；(3)如图3，连接AF，交ED于G，Rt△CEF中，∠ECF=90°，tan∠CEF=tan∠CAB=34=CFCE，∴34=CFx，CF=34x，∴EF=54x，∴AF=√AC2+CF2=√42+(34x)2=√16+916x2，∵EF//AB，∴AGFG =ADEF，即AGFG=5254x=2x，∴AGAG+FG =22+x，∴AG=2√16+916x22+x，∵⊙A与⊙F相交于点E、H，且H在ED上，∴AF⊥DE，∴∠AGE=90°，∴∠AGE=∠ACF=90°，∵∠EAG=∠FAC，∴△AEG∽△AFC，∴AGAC =AEAF，即AG⋅AF=AC⋅AE，∴2√16+916x22+x⋅√16+916x2=4(4−x)，解得：x1=0(舍)，x2=6441．【解析】(1)如图1，过E作EM⊥AB于M，根据勾股定理计算AB=5，根据三角函数定义得sin∠A=BCAB =35=EMAE，可得EM的长，由平行线分线段成比例定理可得EF的长，根据三角形面积公式可得结论；(2)如图2，过E作EN⊥AB于N，连接DD′，交EF于Q，由对称得DD′⊥EF，QD=12DD′，先根据三角函数计算DD′=3×5 24=158，得QD=1516，证明四边形ENDQ是矩形，则EN=QD=1516，最后利用三角函数可得结论；(3)如图3，连接AF，交ED于G，先表示CF=34x，EF=54x，计算AF的长，根据平行线分线段成比例定理可得AG的长，证明△AEG∽△AFC，得AG⋅AF=AC⋅AE，列方程解出即可．本题考查了三角形的综合题，考查了直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，三角函数的定义是解题的关键．。

上海市浦东新区2020届高三数学三模考试试题（含解析）一.填空题1. 已知集合{}{}1,0,,|122xA aB x =-=<<，若A B ⋂≠Φ，则实数a 的取值范围是________ 【答案】()0,1 【解析】 【分析】根据指数函数2xy =是单调增函数解不等式122x <<，得到集合B ,再根据交集的定义和空集的定义得,A B 有公共元素,进而得到()0,1a ∈.【详解】由122x <<，根据指数函数2xy =是单调增函数，可得01,{|01}x B x x <<∴=<< 又∵集合{}1,0,A a =-，A B ⋂≠Φ，则,A B 有公共元素， 所以()0,1a ∈ 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及利用指数函数的单调性解指数不等式，属基础题. 2. 若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平均数求出x ，再求数据的方差. 【详解】21192018205x ++++=，解得22x =，该组样本数据的方差为22222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25-+-+-+-+-=.故答案为：2【点睛】本题考查样本数据平均值与方差，属于基础题.3. 椭圆222125x y b +=(0b >)与双曲线2218x y -=有公共的焦点，则b =______.【解析】 【分析】由题意得两条曲线的2c 值相等，从而得到关于b 的方程，解方程即可得答案. 【详解】由题意得两条曲线的2c 值相等， ∴22581b -=+，求得216b =，则4b =. 故答案为：4.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4. 函数y （12x ≤≤）的反函数是________【答案】1y =+，[]0,1x ∈ 【解析】 【分析】欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，即得反函数的解析式，求出原函数的值域即为反函数的定义域．【详解】解：因为y 且12x ≤≤，所以()[]2212110,x x x -=--+∈所以[]0,1y =又y =，所以()2211y x =--+，所以()2211x y -=-，所以1x =x ，y 互换，得1y =+，[]0,1x ∈．故答案为：1y =+，[]0,1x ∈【点睛】本题主要考查了反函数，以及原函数的值域即为反函数的定义域，属于基础题．5. 函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ． 【答案】4 【解析】作出()f x 的图象，由题意可得()y f x =和y b =的图象有4个交点，不妨设1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称，计算即可得到所求和．【详解】解：作出函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象， 方程()f x b =有四个不同的实数解， 等价为()y f x =和y b =的图象有4个交点， 不妨设它们交点的横坐标为1x 、2x 、3x 、4x ， 且1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称， 可得120x x +=，344x x +=， 则12344x x x x +++=． 故答案为：4．【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查数形结合思想方法以及对称性的运用，考查运算能力，属于中档题．6. 已知23230123(3)(3)(3)(3)n nn x x x x a a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+⋅⋅⋅+-（*n ∈N ），且012n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+，则lim 4nnn A →∞=________【答案】43【分析】令31x -=，得到x ，再代入到已知可得230124444n n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+=++++，根据等比数列前n 项和公式求得n A ，进而求极限即可； 【详解】解：因为23230123(3)(3)(3)(3)n n n x x x x a a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，令31x -=，即4x =，可得230124444n n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+=++++()41414n n A -==-所以()44141414lim lim lim 1lim 143434343n n n n n n n n n n A →∞→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫==⋅-=-= ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭ 故答案为：43【点睛】本题主要考查利用赋值法求二项式张开式的系数和以及数列极限的求解，属于中档题.7. 若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【解析】 试题分析：由正弦定理有2a c=,所以2a c +=,2222231422cos 22a b a b c C ab ab++-==,由于223142a b +≥=,故cos 4C ≥,所以cos C 的最小值是考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出223142a b +≥=，再算出结果来.8. 对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运 算是通常的加法和乘法运算.已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任 意实数x ,都有x m x *=，则m 的值是______________ 【答案】4 【解析】由定义可知1*2223,2*32364a b c a b c =++==++=,所以53,12ba b c =-=-, 所以*()(53)2mbx m ax bm cmx a cm x bm b m x bm x =++=++=-+-+=恒成立， 所以0,5312mbbm b m =-+-=.0m ≠,0,4b m ∴==. 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为________ 【答案】323【解析】 【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．【详解】解：(||2||4)(2||||4)0x y x y +-+-对应的区域关于原点对称，x 轴对称，y 轴对称，∴只要作出在第一象限的区域即可．当0x ，0y 时，不等式等价为(24)(24)0x y x y +-+-，即240240x y x y +-⎧⎨+-⎩或240240x y x y +-⎧⎨+-⎩，在第一象限内对应的图象为，则(2,0)A ，(4,0)B ，由240240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即44(,)33C ，则三角形ABC 的面积1442233S =⨯⨯=，则在第一象限的面积48233S =⨯=，则点集K 对应的区域总面积832433S =⨯=．故答案为：323．【点睛】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，属于中档题．10. 设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】 【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得； 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-±，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，4b =±所以14z =-综上满足条件的所以复数的和为1131442⎛⎛-+-++--=- ⎝⎭⎝⎭故答案为：32-【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.11. 已知函数21()sin 22xf x x ωω=-（0>ω），x ∈R ，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是________ 【答案】117(0,][,]12612【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．【详解】解：函数21()sin 22xf x x ωω=+-()111cos 22x x ωω=--1cos 2x x ωω=- sin 6x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，所以()()2022f f T ππππππω⎧≥⎪⎨=≥-=⎪⎩即sin sin 206601πππωπωω⎧⎛⎫⎛⎫--≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<≤⎩所以sin 06sin 206ππωππω⎧⎛⎫-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩①或sin 06sin 206ππωππω⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩②；解①得172266171212k k k k ωω⎧+≤≤+⎪⎪⎨⎪+≤≤+⎪⎩，()k Z ∈，因为01ω<≤，所以0k =，所以17612ω≤≤；解②得512266511212k k k k ωω⎧-+≤≤+⎪⎪⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，()k Z ∈，因为01ω<≤，所以0k =，所以1012ω<≤；综上可得1170,,12612ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 故答案为：1170,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，属于中档题．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,{1,0,1}}Q x y x y =∈-，在Q 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为________ 【答案】514【解析】 【分析】点集Q 中有9个点，从而在Q 中随机取出三个点的方式数为3984C =，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况：三点在一横线或一纵线上，有6种情况，三点是1，1的等腰直角三角形的顶点，有4416⨯=三角形的顶点，有8种情况，由此能求出这三个点两两之间距离均不超过2的概率． 【详解】在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,{1,0,1}}Q x y x y =∈-，∴Q 中有9个点，∴在Q 中随机取出三个点的方式数为3984C =，当取出的三个点两两之间的距离不超过2时，有如下三种情况： ①三点在一横线或一纵线上，有6种情况，②三点是边长为1，1的等腰直角三角形的顶点，有4416⨯=种情况，2的等腰直角三角形的顶点， 其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有1个，共有8种情况，综上，选出的三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，∴这三个点两两之间距离均不超过2的概率为3058414P ==． 故答案为：514． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二.选择题13. 已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】x y <，不能得到1x y <， 1xy<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】因为x ，y R ∈，当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y=>， 故x y <时，1xy<不成立， 当1xy<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1xy<”的既不充分也不必要条件， 故选：D【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )A. 41πB. 42πC. 43πD. 44π【答案】A 【解析】 【分析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为141364122++=， ∴该球形容器体积的最小值为：42412π⨯=41π.故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.15. 在平面直角坐标系中，定义11n n nn n nx x y y x y ++=-⎧⎨=+⎩（*n ∈N ）为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的变换，我们把它称为点变换，已知1(1,0)P ，222(,)P x y ，333(,)Px y ，⋅⋅⋅是经过点变换得到一组无穷点列，设112n n n n n a P P P P +++=⋅，则满足不等式122020n a a a ++⋅⋅⋅+>最小正整数n 的值为（ ） A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】C 【解析】 【分析】可以先求得1a （当然可求得234,,,a a a ，然后归纳出n a ，对填空、选择题这是不错的解法），然后求得22n n n a x y =+，从而可以得12n n a a +=，说明数列{}n a 是等比数列，求得通项公式na 后求和，由2020n S >得解．【详解】由定义知1110x y =⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，330,2x y =⎧⎨=⎩，即23(1,1),(0,2)P P ．11223(0,1)(1,1)1a PP P P =⋅=⋅-=， 观察可得，112,n n n n n a P P P P +++=⋅112121(,)(,)n n n n n n n n x x y y x x y y ++++++=--⋅-- 11(,)(,)n n n n y x y x ++=-⋅-2211()()n n n n n n n n n n n n y y x x y x y x x y x y ++=+=++-=+， 222222111()()2()n n n n n n n n n a x y x y x y x y +++=+=-++=+2n a =， ∴数列{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1．∴12n na ．2112122221n n n a a a -+++=++++=-，由212020n ->，解得11n ≥．即n 的最小值为11.故答案为：C【点睛】本题考查向量的数量积，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．解题关键是求出22n n n a x y =+．接着顺理成章地写出1n a +，观察两项之间的关系，问题得以解决．属于难题16. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322():16C x y x y =+为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； （3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）； A. （1）（2） B. （1）（2）（3） C. （1）（2）（4） D. （1）（3）（4）【答案】A 【解析】 【分析】因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）．利用基本不等式222x y xy +即可判断（2）；将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断（3）； 先确定曲线C 经过点2,2)，再将2x <2y <(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验即可判断（4）；【详解】对于（1），因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确．对于（2），因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=⨯=+， 所以224x y +，即（2）正确；对于（3），以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即（3）错误；对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即（4）错误； 故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题． 三.解答题17. 直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1) 若1BM AC ⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．【答案】（1）1h =（2）10arc 【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =． (2) 解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM的一个法向量为(),,n x y z =由0{0n AB n AM ⋅=⋅=得0{0x y z =+= 所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ 则1110sin 220n BA n BA θ⋅===⋅⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10sin 5arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM 中，1122,210AM A B ==所以1112210sin 210A M A BM A B ∠=== 所以110arcsinA BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10sinarc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18. 方舱医院的启用在本次武汉抗击新冠疫情的关键时刻起到了至关重要的作用，图1为某方舱医院的平面设计图，其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，图2中所示多边形ABCDEFGH ，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴80AF BE ==米，两根竖轴60CH DG ==米，记整个方舱医院的外围隔离线（图2实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为L ，CH 与AF 、BE 的交点为M 、N ，DG 与AF 、BE 的交点为P 、Q ，CBN θ∠=（02πθ<<）.（1）若6πθ=，且两根横轴之间的距离30AB EF ==米，求外围隔离线总长度L ；（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度L 不超过240米，当整个方舱医院（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此设计方案中θ的大小与BC 的长度.【答案】（1）340603-（2）4πθ=，10102BC =+【解析】【分析】（1）根据条件，求出外围隔离线每边的长度，再求和即可；（2）先得到当外围隔离线总长度为240米时，整个方舱医院的面积最大，再将整个方舱医院的面积用θ表示出来，观察题中出现sin cos θθ和sin cos θθ+，可用两者之间的联系化简求最值成立的条件.【详解】解：（1）由题260NC MN +=，得23060NC +=，得15NC = ，由6πθ=，则BN ==30BC =，故80CD =-则L 422BC AB CD =++4302302(80=⨯+⨯+⨯-=340-（2）设BC x =，则sin NC x θ=,cos BN x θ=, 则602sin AB x θ=-，802cos CD x θ=-，则L 422BC AB CD =++42(602sin )2(802cos )x x x θθ=+-+-=28044sin 4cos x x x θθ+--.当240L =会使整个方舱医院的面积最大，则28044sin 4cos 240x x x θθ+--=， 得10sin cos 1x θθ=+- ,整个方舱医院的面积180604cos sin 2S x x θθ=⨯-⨯⋅248002sin cos x θθ=-， 得S 2200sin cos 4800(sin cos 1)θθθθ=-+-，02πθ<<令sin cos 1t θθ=+-)14πθ=++，02πθ<<，则(2,1t ∈+，且1sin cos t θθ+=+，得22sin cos 2t t θθ=+则22100(2)20048004700t t S t t+=-=-，(2,1t ∈+当1t =时，S )14πθ++1=4πθ=，1)x =，即整个方舱医院的面积最大时，4πθ=，1)BC =【点睛】本题是应用问题，考查了理解、分析能力，将实际问题转化成数学问题，并利用sin cos θθ与sin cos θθ+之间的关系求最值成立的条件是解决问题的关键.19. 已知曲线22:136x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P .（1）当Q 运动到(3,23)时，求12QP QP ⋅的值； （2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点. 【答案】（1）23；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）确定两条渐近线方程，求出点Q 到两条渐近线的距离，再计算1QP 与2QP 夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式SM MT λ=，SN NT μ=，将,λμ表示出来，代入1λμ+=化简即可证得T 为定点.【详解】解：（1）由曲线22:136x y C -=，得渐近线方程为20x y ±-=，作示意图如图所示：设1POx θ∠=，tan 2θ=2222cos sin cos 2cos sin θθθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+13=- 则121cos cos 23PQP θ∠=-= ， 又1QP =3223332233=，2QP =3223332233=12QP QP ⋅1212cos QP QP PQP =⋅⋅∠181212333-=⋅=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,0),(0,)T m S n ，0m >，设直线l 的斜率为k ，则:()l y k x m =-，又22136x y -=，得22222(2)260k x k mx k m -+--=得212222k m x x k +=--，2212262k m x x k+=-- 由SM MT λ=，则1111(,)(,)x y n m x y λ-=--，即1111()()x m x y n y λλ=-⎧⎨-=-⎩， 得11x m x λ=- ，同理，由22x SN NT m x μμ=⇒=-，则1212x x m x m x λμ+=+--121221212()21()m x x x x m x x m x x +-==-++得212122()3m x x x x m +-=，则222222223(6)22m k m k m m k k⋅⋅+-+=--， 得29m =，又0m >，得3m =，即T 为定点(3,0).【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力较强的题目.20. 已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N . （1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值； （2）设212n n na b -=，212333nn n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系. 【答案】（1）3、5、5、8；（2）202120204037398S ⋅+=；（3）2017201820202019a a a a ==<. 【解析】 【分析】（1）由递推公式直接代入求解.（2）由2121n n a a n +=++变形得2112n n a a n --=+，得1121212n n n a a ----=+观察分析得112n n b b -=+，再得到通项公式n b ，再用错位相减法求得2020S（3）由递推式221n n a a =+，2121n n a a n +=++，得到212n n a a n +-=， 再分别作差20192018a a -，20182017a a -，20202018a a -，利用递推公式判断与0的大小，从而得到2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系【详解】解:（1）由10a =，则21211a a =+=，31222a a =+=，42213a a =+=， 522215a a =++=，63215a a =+=，73248a a =+=.（2）由2121n n a a n +=++，则2112n n a a n --=+，得11212122n n n a a ----=+，得1212111222n n nn a a ----=+，即112n n b b -=+，且112a b =0=，故12n n b -=，故123202020201(0313*******)2S =⨯+⨯+⨯++⨯， 则2320202021202013(03232018320193)2S =⨯+⨯++⨯+⨯， 两式相减2320202021202012(33320193)2S -=+++-⨯， 20192021202019(13)2(20193)22S --=-⨯-，化简得202120204037398S ⋅+=（3）由221n n a a =+，2121n n a a n +=++，则212n n a a n +-=则2019201810090a a -=>，即20192018a a >；2018201710091008(21)(21009)a a a a -=+-+100910082()1008a a =--250410080=⨯-=， 即20182017a a =；2020201810101009(21)(21)a a a a -=+-+5055042[(21)(2505)]a a =+-+ 5055044()1008425210080a a =--=⨯-=,即20202018a a =；综上可得：2017201820202019a a a a ==<【点睛】本题考查了递推公式的理解与应用，利用递推公式构造新数列求通项公式，还考查了错位相减法，学生的运算能力，作差法比较数的大小，对递推公式的变形和变活运用是解题的关键.21. 已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]1=， 1.22[]-=-，[1]1=，对于函数()f x ，若存在m ∈R ，m ∉Z ，使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是“Ω函数”.（1）判断函数21()3f x x x =-，()|sin |g x x π=是否是“Ω函数”；（2）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期是T ，若()f x 不是“Ω函数”，求T 的最小值； （3）若函数()af x x x=+是“Ω函数”，求a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 是，()g x 不是；（2）1；（3）0a >，且2[]a m ≠，[]([]1)a m m ≠+. 【解析】 【分析】（1）举例说明函数21()3f x x x =-是Ω函数，证明函数()g x 不是“Ω函数”；（2）假设1T <，得到矛盾，再证明1T ≥得证； （3）对a 分0,0,0a a a <=>三种情况讨论得解.【详解】（1）对于函数21()3f x x x =-是Ω函数，设13m =，[]0m =则1()()03f m f ==，([])(0)0f m f ==，所以存在m ∈R ，m ∉Z ，使得()([])f m f m =，所以函数()f x 是“Ω函数”. 对于函数()sin g x x π=，函数的最小正周期为21=12ππ⨯,函数的图象如图所示，不妨研究函数在[0,1]这个周期的图象.设01m <<，[]0m =,则()|sin |0,([])(0)0g m m g m g π=>==,所以()([])g m g m ≠，所以函数()g x 不是“Ω函数”.综合得函数()f x 是“Ω函数”，函数()g x 不是“Ω函数”.（2）T 的最小值为1．因为()f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以()(0)f T f =．假设1T <，则[]0T =，所以([])(0)f T f =，矛盾．所以必有1T .而函数()[]l x x x =-的周期为1，且显然不是Ω函数，综上所述，T 的最小值为1．（3）当函数()af x x x =+是“Ω函数”时，若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾．若0a <，则2()10af x x '=->，所以()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上单调递增，此时不存在0m <，使得()([])f m f m =，同理不存在0m >，使得()([])f m f m =，又注意到[]0m m ，即不会出现[]0m m <<的情形， 所以此时()af x x x =+不是Ω函数．当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]aam m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠，当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以2[][]([]1)[]m m m m m <<+，所以2[]([]1)[]m a m m <<+，当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][]([]1)[]m m m m m >>+，所以2[]([]1)[]m a m m >>+，综上所述，0a >，且2[]a m ≠，[]([]1)a m m ≠+.【点睛】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。

2020年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 32. 若(2x −1)2015=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2015x 2015(x ∈R)，则12+a222a 1+a323a 1+⋯+a201522015a 1的值为( )A. 12015B. −12015C. 14030D. −140303. 已知函数f(x)=log 2x −(13)x，若实数x 0是方程f(x)=0的解，且0<x 1<x 0，则f(x 1)的值( )A. 恒为负B. 等于零C. 恒为正D. 不小于零4. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，点E 、F 分别在棱A 1D 1，AB 上，且线段EF 的长恒等于2，则EF 的中点P 的轨迹是( )A. 圆的一部分B. 椭圆一部分C. 球面的一部分D. 抛物线一部分二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|log 2x ≤2}，则A ∩B = ______ ．6. 复数z =(3+i)⋅i 的实部是______．7. 已知△ABC 中，点A(1,1)，B(4,2)，C(−4,6).则△ABC 的面积为______． 8. 已知f(x)=a(2x +1)−22x +1是奇函数，那么实数a 的值等于______ ．9. 若直线l 1：6x +my −1=0与直线l 2：2x −y +1=0平行，则m = ______ ． 10. 不等式x 2+2x −3≥0的解集是__________11. 已知f(x)=log 3x 的值域是[−1,1]，那么它的反函数的值域为__________．12. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为______．13.若从集合{−1,1，2，3}中随机取出一个数m，放回后再随机取出一个数n，则使方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率为________．14.已知f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的所有对称轴完全相同，那么g(π3)的值是____．15.过双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)上任一点分别作两条渐近线的平行线，则这两条直线与渐近线所围成的平行四边形的面积为______ (用a、b表示)16.已知|a⃗|=4，|b⃗ |=5，a⃗与b⃗ 的夹角为60°，那么|3a⃗−b⃗ |=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F、G分别是PO、AD、AB的中点．(Ⅰ)求证：PC⊥平面EFG；(Ⅱ)若AB=1，求三棱锥O−EFG的高．18.已知复数z1=1a+2+(a2−1)i，z2=2+(a+1)i(a∈R,i是虚数单位)．(1)若复数z1+z2在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围;(2)若虚数z1是实系数一元二次方程4x2−4x+m=0的根，求实数m的值．19.已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(−√3,0)，右顶点为D(2,0)，P，Q分别是椭圆的左顶点和下顶点，过原点的直线交椭圆于A，B，且A点在第一象限，自A点作x轴的垂线，交x轴于C点，连BC．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若AB平分线段PQ，求直线AB的斜率k AB；并在此情况下，求A到直线BC的距离．20.设函数f(x)=ax2+4x+b是奇函数，且f(1)=5．(1)求a和b的值；(2)求证：当x∈(0,+∞)时，f(x)≥4．21.设正整数数列{a n}满足：a2=4，且对于任何n∈N∗，有2+1a n+1<1a n+1a n+11n−1n+1<2+1a n；(1)求a1，a3；(2)求数列{a n}的通项a n．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z =x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)， z =x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2,−2)时z 取到最小值， 所以z =x +2y 的最小值是−2+2×(−2)=−6， 故选：B ．2.答案：C解析： 【分析】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于简单题．赋值，求出a 0=−1，12a 1+122a 2+⋯+122015a 2015=1，由二项式定理可得a 1=4030，即可得出结论． 【解答】解：由题意，令x =12，则0=a 0+12a 1+122a 2+⋯+122015a 2015， 令x =0，可得a 0=−1，∴12a 1+122a 2+⋯+122015a 2015=1， 由二项式定理可得a 1=4030，∴12+a 222a 1+a 323a 1+⋯+a 201522015a1=12+14030(1−2015)=14030． 故选：C ．3.答案：A解析：【分析】本题考查函数单调性，属于基础题．f(x)在x>0上递增，由于0<x1<x0，则f(x1)<f(x0)，即有f(x1)<0．【解答】)x在x>0上递减，log2x在x>0上递增，解：实数x0是方程f(x)=0的解，则f(x0)=0，由于y=(13则f(x)在x>0上递增，由于0<x1<x0，则f(x1)<f(x0)，即有f(x1)<0，故选A．4.答案：A解析：解：连接EA、FA1，PA，PA1，如图：因为几何体是长方体，所以△FA1E，△EAF，都是直角三角形，点E、F分别在棱A1D1，AB上，且线段EF的长恒等于2，则EF的中点P满足PA1=PA=1，(直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半)．，连接PO，O为A1A的中点，∴OP⊥A1A，且OP=√32为半径的圆的一部分．所以P的轨迹为以O为圆心，以√32故选A．，连接EA、FA1，PA，PA1，连接PO，O为A1A的中点，由题意说明PA1=PA=1，OP⊥A1A，且OP=√32推出结果．本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，作图能力，注意E，F的范围，防止出错．5.答案：(0,2]解析：解：∵集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|log2x≤2}={x|log2x≤log24}={x|0<x≤4}，则A∩B=(0,2]，故答案为：(0,2]．由条件利用对数函数的单调性和特殊点求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，交集的运算，属于基础题．6.答案：−1解析：解：∵z=(3+i)i=3i−1，∴z的实部为−1．故答案为：−1．先对复数进行化简，然后根据z=a+bi的实部为a，可求．本题考查复数代数形式的乘法运算，复数的基本概念，是基础题．7.答案：10解析：【分析】本题考查了直线方程的求法点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，三角形的面积公式，属于基础题．由两点式的直线BC的方程，再根据点点到直线的距离求出BC边上的高d，再根据两点之间的距离公式求出BC，根据三角形的面积公式计算即可．解析：解：由两点式的直线BC的方程为y−26−2=x−4−4−4，即为x+2y−8=0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d=√5=√5，BC两点之间的距离为√(6−2)2+(−4−4)2=4√5，∴△ABC的面积为12×4√5×√5=10，故答案为：10．8.答案：1解析：【解答】解：∵f(x)=a−21+2x 为奇函数，∴f(0)=0，即a−21+20=0，解得a=1，故答案为：1．【分析】根据奇函数的性质f(0)=0，列出方程a−21+20=0，再解出a的值．本题考查奇函数的性质，即f(0)=0的应用．9.答案：−3解析：解：若直线l1：6x+my−1=0与直线l2：2x−y+1=0平行，则62=m−1，解得：m=−3；带入检验知符合题意故答案为：−3．根据直线l1：6x+my−1=0与直线l2：2x−y+1=0平行，得到关于m的方程，解出即可．本题考察了直线的位置关系，是一道基础题．10.答案：{x|x≤−3或x≥1}解析：不等式x2+2x−3≥0可化为(x+3)(x−1)≥0，解得x≤−3或x≥1，∴不等式的解集是{x|x≤−3或x≥1}．11.答案：[13,3]解析：∵log3x∈[−1,1]，∴13≤x≤3，∴f(x)=log3x的定义域是[13,3]，∴f(x)=log3x的反函数的值域是[13,3]．12.答案：4+2π3解析：【分析】由题意，结合图象可得该几何体是四棱锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项．本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键．【解答】解：由三视图知，该几何体下半部分为半球，球的直径为2，上半部分为正四棱锥，锥体高为2，底面正方形对角线长为2，则，，所以几何体体积4+2π3，故答案为：4+2π3．13.答案：516解析：【分析】本题主要考查椭圆的标准形式、等可能事件的概率，此题的关键是根据条件得出m2>n2.属基础题．根据焦点位于x轴上的椭圆，则m2>n2，根据m2>n2，对A中元素进行分析可得到表示焦点在x轴上的椭圆共有多少个，根据概率公式计算即可得出答案．【解答】解：从集合{−1,1，2，3}中随机取出一个数m，放回后再随机取出一个数n，所有的选法有：4×4=16，焦点位于x轴上的椭圆，则m2>n2,当m=3时，n=−1，1，2；当m=2时，n=−1，1；方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆共有5个，方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是516；故答案为516．14.答案：−2解析：【分析】本题考查三角函数的对称轴方程的求法，注意两个函数的对称轴方程相同的应用，找出一个对称轴方程就满足题意，考查计算能力，属于中档题．分别求得函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的对称轴，根据题意可得ω=2，根据对称轴相同，求得φ的值，可得g(x)的解析式，从而求得g(π3)的值．【解答】解：函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)的对称轴方程为ωx−π6=kπ+π2，即x=kπω+2π3ω，k∈Z．g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的对称轴为2x+φ=kπ，即x=kπ2−φ2，k∈Z．函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象的对称轴完全相同，∴ω=2，再由0<φ<π，可得2π3ω=π3=π2−φ2，∴φ=π3，∴g(x)=2cos(2x +φ)=2cos(2x +π3)，g(π3)=2cosπ=−2，故答案为−2．15.答案：ab2解析：解：由于双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)渐近线方程为l 1：y =ba x ，l 2：y =−ba x ，设点P(m,n)，这两条平行线与渐近线所围成的平行四边形为PMON ， 则直线PN ：y =b a x +n −ba m ， 直线PM ：y =−b a x +n +ba m ， 由直线l 1和直线PM ，解得交点M(an+bm 2b,an+mb 2a).平行线l 1，PN 之间的距离为|n−bam|√1+b 2a 2=|an−bm|c，则平行四边形的面积为|an−bm|c ⋅√(an+bm 2b)2+(an+mb 2a )2=|an−bm|c⋅|acn+bcm|2ab=|a 2n 2−b 2m 2|2ab，由于P 在双曲线上，则m 2a 2−n 2b 2=1，即有b 2m 2−a 2n 2=a 2b 2， 则平行四边形的面积为a 2b 22ab=ab 2．故答案为：ab2．由双曲线方程求出渐近线方程，设点P(m,n)，求出平行线PM ，PN 的方程，求出交点M ，及平行线l 1，PN 之间的距离，运用平行四边形的面积公式，化简整理，再由P 在双曲线上，满足双曲线方程，即可得到．本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查两直线平行的位置，以及距离公式，考查运算化简能力，属于中档题．16.答案：√109解析： 【分析】本题考查向量的数量积的运算和模长公式，属基础题．由数量积的运算，可先求|3a ⃗ −b ⃗ |2，求其算术平方根即得答案． 【解答】解：由题意可得：|3a ⃗ −b ⃗ |2=(3a ⃗ −b ⃗ )2=9a ⃗ 2−6a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=9×42−6×4×5×cos60°+52=109故|3a⃗−b⃗ |=√109，故答案为：√109．17.答案：(Ⅰ)证明：设FG∩AC=H，连结EH，在Rt△ABC中，AB=BC，且AB2+BC2=AC2，在△PAC中，PA=PC=AB，PA2+PC2=AC2，∴AP⊥PC，E、F、G分别是PO、AD、AB的中点，FG//BD，∴H为AO中点，∴EH//PA，故EH⊥PC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴FG⊥AC，∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，∴FG⊥PC，∵FG∩EH=H，∴PC⊥平面EFG；(Ⅱ)解：设三棱锥O−EFG的高为h，则由V O−EFG=V E−FOG得13×12×√22×12ℎ=13×12×√22×√24×13∴ℎ=14．解析：(Ⅰ)设FG∩AC=H，连结EH，由已知条件推导出AP⊥PC，EH⊥PC，FG⊥PC，由此能证明PC⊥平面EFG．(Ⅱ)由V O−EFG=V E−FOG得三棱锥O−EFG的高．本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.答案：解：(1)z1+z2=1a+2+2+(a2+a)i，因为复数z1+z2在复平面内对应的点在第四象限，所以{1a+2+2>0a2+a<0，解得−1<a<0，即实数a的取值范围为(−1,0)．(2)由题意可得Δ=(−4)2−4×4m=16(1−m)<0，则x =1±√m−1i2， 所以1a+2=12，解得a =0， 所以a 2−1=−1=−√m−12，解得m =5．解析：本题考查复数的四则运算及其几何意义，考查复数代数形式的加法运算和一元二次方程的根的求解，是中档题．(1)求出z 1+z 2，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解；(2)由z 1是实系数一元二次方程4x 2−4x +m =0的根，利用求根公式建立等量关系，进而得出m 的值．19.答案：解：(1)由已知得椭圆的半长轴a =2，半焦距c =√3，则半短轴b =1又椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1…(4分)(2)由(1)知，P(−2,0)，Q(0,−1)，则PQ 的中点坐标为(−1,−12)， 若AB 平分线段PQ ，则AB 过PQ 的中点，又AB 过原点，所以AB 的斜率k AB =−12−0−1−0=12.…(7分) 此时直线AB 的方程为y =12x ，与椭圆方程x 24+y 2=1联立，解得x =±√2．这样A(√2,√22),B(−√2,−√22),C(√2,0)，所以直线BC 的方程为x −4y −√2=0 故点A 到直线BC 的距离为d =|√2−4×√22−√2|22=2√3417…(13分)解析：(1)求出椭圆的半长轴a =2，半焦距c =√3，则半短轴b =1，然后求解椭圆的标准方程． (2)求出AB 的斜率k AB ，得到直线AB 的方程与椭圆方程x 24+y 2=1联立，求出直线BC 的方程，利用点A 到直线BC 的距离公式求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．20.答案：(1)解：函数f(x)=ax 2+4x+b的定义域为{x|x ≠−b}，即f(−b)不存在，若b ≠0，则f(b)有意义，这与f(x)为奇函数矛盾，故b =0． ∵f(1)=5，∴a×12+41+0=5，解得a =1；(2)证明：设x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 1−x 2<0， f(x 1)−f(x 2)=x 12+4x 1−x 22+4x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2．①若x 1，x 2∈(0,2]，则x 1x 2<4，于是x 1x 2−4<0，从而f(x 1)−f(x 2)>0； ②若x 1，x 2∈[2,+∞)，则x 1x 2>4，于是x 1x 2−4>0，从而f(x 1)−f(x 2)<0．由①②知，函数f(x)在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增．∴f(x)在(0,+∞)上的最小值为f(2)=22+42=4．∴f(x)≥4．解析：(1)由函数在定义域内有意义可得b=0，结合f(1)=5求得a值；(2)利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，从而得到f(x)在(0,+∞)上的最小值，答案可证．本题考查函数奇偶性的性质，考查了利用函数单调性求函数的最值，训练了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，是中档题．21.答案：解：(1)据条件得2+1a n+1<n(n+1)(1a n+1a n+1)<2+1a n①当n=1时，由2+1a2<2(1a1+1a2)<2+1a1，即有2+14<2a1+24<2+1a1，解得23<a1<87.因为a1为正整数，故a1=1．当n=2时，由2+1a3<6(14 +1a3)<2+14，解得8<a3<10，所以a3=9．(2)由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：a n=n2．下面用数学归纳法证明．①当n=1，2时，由(1)知a n=n2均成立；②假设n=k(k≥2)成立，则a k=k2，则n=k+1时由(1)得2+1ak+1<k(k+1)(1k2+1a k+1)<2+1k2∴k3(k+1) k2−k+1<a k+1<k(k2+k−1)k−1(k3+1−1)(k+1)2k3+1<a k+1<k[(k2+k)2−1]k3−1，即(k3+1−1)(k+1)2k3+1<a k+1<k3(k+1)2−kk3−1∴(k+1)2−(k+1)2k3+1<a k+1<(k+1)2+1k−1因为k≥2时，(k3+1)−(k+1)2=k(k+1)(k−2)≥0，所以(k+1)2k3+1∈(0,1]．k−1≥1，所以1k−1∈(0,1].又a k+1∈N∗，所以(k+1)2≤a k+1≤(k+1)2．故a k+1=(k+1)2，即n=k+1时，a n=n2成立．由1°，2°知，对任意n∈N∗，a n=n2．解析：(1)令n=1，根据2+1a n+1<1a n+1a n+11n−1n+1<2+1a n可得到23<a1<87，再由a1为正整数可得到a1的值，当n=2时同样根据2+1a n+1<1a n+1a n+11n−1n+1<2+1a n可得到2+1a3<6(14 +1a3)<2+14进而可得到a3的范围，最后根据数列{a n}是正整数数列求出a3的值．(2)先根据a1=1，a2=4，a3=9可猜想a n=n2，再用数学归纳法证明．本题主要考查根据条件求数列的项和求数列的通项公式．先猜想数列的通项公式再由数学归纳法证明来求数列的通项公式的方法是高考的一个重要考点，要熟练掌握．。

2020年上海市浦东新区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 下列运算正确的是( )A. (3x 2)3=9x 6B. x 6÷x 2=x 4C. (ab)3=ab 3D. (a −b)2=2a 2−4ab +b 22. 若a <b ，则下列结论中正确的是( ) A. am 2≤bm 2 B. am >bm C. a m <b m D. am <bm3. 数据−0.00000012用科学记数法表示正确的是( )A. 1.2×107B. −1.2×10−7C. 1.2×108D. −1.2×1084. 数轴上点A 、B 表示的数分别是a 、3，它们之间的距离可以表示为( )A. a +3B. a −3C. |a +3|D. |a −3|5. 图中的几何体有( )条棱．A. 3B. 4C. 5D. 66. 如图，锐角△ABC 的高BD ，CE 交于O 点，则图中与△BOE 相似的三角形的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. −27125的立方根是______ ．8. 已知方程组{x −y =53x −2y =0的解也是方程4x −3y =k 的解，则k =______． 9. 在一次函数y =−3x +1中，当−1<x <2时，对应y 的取值范围是______．10. 某商品原价为每件x 元，第一次降价是打“八折”(即按原价的80%)出售，第二次降价又减少10元，这时该商品的售价是______元．(用含x 的式子表示)11. 已知函数f(x)=x−1x+5，那么f(3)=______．12. 有六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片(这些卡片除图案不同外，其余均相同).现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为______．13. 为了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体统计如下：阅读时间(小时)2 2.53 3.54 学生人数(名) 1 2 8 6 3 则关于这20名学生阅读小时的众数是______．14. 一个扇形的面积是125πcm ，半径是3cm ，则此扇形的弧长是______．15. 如图，点D 、E 分别为△ABC 边CA 、CB 上的点，已知DE//AB ，且DE 经过△ABC 的重心，设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用a ⃗ 、b ⃗ 表示)16. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是______．17. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，若CD =2，AB =6，则△ABD 面积= ．18. 如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =7，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，点E 、F 分别是BD 、B′D′的中点，则EF 的长度为______cm ．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.解方程：16x−2=12−21−3x．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.(1)计算：|−3|−20180+(14)−1−(√2)2(2)计算：(2√3−5√8)−(√75−√18)21.在一条笔直的公路上有A、B、C三地，A地在B、C两地之间．甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿这条公路匀速相向行驶，分别到达目的地C、B两地后停止行驶．甲、乙两车离A地的距离y1、y2(千米)与行驶时间x(时)的函数关系如图所示．(1)求线段MN的函数表达式；(2)求点P的坐标，并说明点P的实际意义；(3)在图中补上乙车从A地行驶到B地的函数图象．22.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF//BE，AF FE =AECE=23．求：DEBC的值．23.如图，已知▱ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．(1)求证：四边形BECD是矩形；(2)连接AC，若AD=4，CD=2，求AC的长．24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC下方抛物线上一点，且∠ACD=2∠BAC，求点D的坐标．25.如图①，在锐角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于点D，BD=3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PE//AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF=90°，点F在点P的下方，且EF//AB.设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S(平方单位)(S>0)，点P的运动时间为t(秒)(t>0)．(1)求线段AC的长．(2)当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．(3)若边EF与边AC交于点Q，连结PQ，如图②．①当PQ将△PEF的面积分成1：2两部分时，求AP的长．②直接写出PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点时t的值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：A、(3x2)3=27x6，故此选项错误；B、x6÷x2=x4，正确；C、(ab)3=a3b3，故此选项错误；D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项错误；故选：B．直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式和同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式和同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2.答案：A解析：本题考查了不等式的性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱，不等式的基本性质：1.不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；2.不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；3.不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质解答．解：A.∵m²≥0，∴am2≤bm2，故A正确；B. 若m>0，不等号的方向不变，故B错误；C. 若m<0，不等号的方向要变，故C错误；D.若m<0，不等号的方向要变，故D错误．故选A．3.答案：B解析：解：−0.00000012=−1.2×10−7，故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，属于基础题．4.答案：D解析：解：∵点A、B在数轴上分别表示有理数a、3，∴A、B两点之间的距离可以表示为：|a−3|．故选：D．根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案．本题考查绝对值的意义、数轴上两点间的距离．理解数轴上两点间的距离与绝对值的关系是解决问题的关键．5.答案：D解析：此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握几何体的形状．计算出几何体的棱数即可求解．解：根据图可知：此几何体有6条棱，故选D．6.答案：C解析：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠EBO=∠DCO.根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△OBE∽△OCD.利用同样的方法证明到△OBE∽△ACE，△OBE∽△ABD．解：∵高BD、CE相交于点O，∴∠BEC=∠BDC=90°，∵∠EOB=∠DOC，∴△OBE∽△OCD，∴∠EBO=∠ACE，∵∠AEC=∠BEO=90°，∴△OBE∽△ACE，∵∠OBE=∠ABE，∠BEO=∠BDA=90°，∴△OBE∽△ABD.∴有三个三角形与△OBE相似．故选C．7.答案：−0.6解析：解：−27125的立方根是−0.6，故答案为−0.6．根据立方根的定义即可求解．本题主要考查了立方根的概念，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，比较简单．8.答案：5解析：本题主要考查的是加减消元法解二元一次方程组，方程组的解的有关知识，由题意先利用加减消元法解二元一次方程组的解，然后再将得到的方程组的解代入4x−3y=k进行求解即可．{x−y=5①3x−2y=0②，解：①×2−②得：−x=10，解得：x=−10，将x=−10代入①得：y=−15，把x=−10，y=−15代入4x−3y=k得：4×(−10)−3×(−15)=k，解得：k=5．故答案为5．9.答案：−5<y<4解析：本题考查了一次函数的性质，根据题意得出关于y的不等式是解答此题的关键．先用y表示出x的值，再根据x的取值范围列出关于y的不等式，求出y的取值范围即可．解：由y=−3x+1得到x=−y−13，∵−1<x<2，∴−1<−y−13<2，解得−5<y<4．故答案是：−5<y<4．10.答案：(0.8x−10)解析：解：根据题意得，第一次降价后的售价是0.8x，第二次降价后的售价是(0.8x−10)元．故答案是：(0.8x−10)．依题意直接列出代数式即可，注意：八折即原来的80%，还要明白是经过两次降价．考查了列代数式．正确理解文字语言并列出代数式．注意：八折即原来的80%．11.答案：14解析：解：当x=3时，f(x)=3−13+5=14．故答案为：14．把x=3代入函数解析式即可．本题考查求函数值的知识点，把自变量取值代入函数解析式即可．12.答案：12解析：解：六张分别印有三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：正方形、矩形、正六边形这3张，∴抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为12，故答案为：12．先找出既是中心对称图形，又是轴对称图形的卡片数再除以总的卡片数即为所求的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn13.答案：3解析：解：在这一组数据中3出现了8次，出现次数最多，因此这组数据的众数为3．故答案为：3．众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求出．本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力．要明确定义．14.答案：85π解析：【试题解析】解：设此扇形的弧长为l，∵S=12lr，∴125π=12×l×3，解得，l=85π，故答案为：85π.设此扇形的弧长为l，根据扇形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积公式，掌握扇形面积公式S=12lr是解题的关键．15.答案：23(b⃗ −a⃗ )解析：解：∵DE//AB，DE经过△ABC的重心，∴DE=23AB，∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ⃗ )， 故答案为：23(b⃗ −a ⃗ ). 根据三角形的重心的性质得到DE =23AB ，根据题意求出AB 的向量，计算即可．本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行向量的知识，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 16.答案：10或4√5解析：解：①如图，因为CD =√22+42=2√5，点D 是斜边AB 的中点，所以AB =2CD =4√5；②如图，因为CE═√32+42=5，E 是斜边AB 的中点，所以AB =2CE =10，综上，原直角三角形纸片的斜边长是10或4√5，故答案为：10或4√5．先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，即可求出斜边的长．本题考查了直角梯形，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．17.答案：6解析：解：作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=2，×AB×DE=6，∴△ABD面积=12故答案为：6．作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=2，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．18.答案：5解析：解：如图连接AC、B′D′，AA′．∵四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是矩形，∴AE=DE，BE=DE，A′F=CF，B′F=FD′，∴EF是△ACA′的中位线，AA′，∴EF=12∵△ABC≌△CD′A′，∴∠ACB=∠CA′D′，AC=A′C，∵∠A′CD′+∠CA′D′=90°，∴∠ACB+∠A′CD′=90°，∴∠ACA′=90°，∴△ACA′是等腰直角三角形，∵AC=√12+72=5√2，∴AA′=√2AC=10，∴EF=12AA′=5．故答案为5．如图连接AC、B′D′，AA′.只要证明EF是△ACA′的中位线即可解决问题；本题考查旋转变换、矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．19.答案：解：设13x−1=y，则原方程化为12y=12+2y，解之得，y=−13．当y=−13时，有13x−1=−13，解得x=−23．经检验x=−23是原方程的根．∴原方程的根是x=−23．解析：设13x−1=y，则原方程化为12y=12+2y，解方程求得y的值，再代入13x−1=y求值即可．结果需检验．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．20.答案：解：(1)原式=3−1+4−2=4；(2)原式=(2√3−10√2)−(5√3−3√2)=2√3−10√2−5√3+3√2=−3√3−7√2．解析：(1)直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简进而得出答案；(2)首先化简二次根式，进而计算得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.答案：(1)y=−100x+120；(2)点P的坐标为(109,809)，点P的实际意义表示行驶了109小时后，甲、乙两车相遇，此时离A 地的距离为809千米；(3)见解析．解析：[分析](1)根据函数图象中的数据，用待定系数法可以求得线段MN 的函数表达式；(2)根据题意和函数图象中的数据可以求得点P 的坐标，并说明点P 的实际意义；(3)根据题意可以求得乙车到达B 地的时间，从而可以将图象补充完整．[详解]解：(1)设线段MN 的函数表达式为y =kx +b ，{0=1.2k +b 120=b解得，{k =−100b =120， 即线段MN 的函数表达式为y =−100x +120；(2)∵v 甲=80÷1=80千米/时，v 乙=120÷1.2=100千米/时．∴(120+80)÷(100+80)=109，把x =109代入y =−100x +120，得y =809， ∴点P 的坐标为(109,809)，点P 的实际意义表示行驶了109小时后，甲、乙两车相遇，此时离A 地的距离为809千米；(3)∵80÷100=0.8时，∴乙车从A 地行驶到B 地的函数图象如右图所示．[点睛]本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，从图像中正确获取信息，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22.答案：解：∵DF//BE，∴AFFE =ADDB，∵AFFE =AECE，∴ADDB =AECE，∴DE//BC，∴DEBC =AEAC，∵AECE =23，∴AEAC =25，∴DEBC =25．解析：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∵BE=AB，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵AD=BC，AD=DE，∴BC=DE，∴平行四边形BECD是矩形．(2)连接AC，如图，∵CD=2，∴AB=BE=2．∵AD=4，∠ABD=90°，∴BD=√AD2−AB2=√42−22=2√3，∴CE=2√3，∴AC=√AE2+CE2=√42+(2√3)2=2√7．故AC的长为2√7．解析：本题考查的是矩形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握矩形的判定定理和性质定理是解题的关键．(1)证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC=DE，根据矩形的判定定理证明；(2)根据矩形的性质得到∠ABD=90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算AC的长．24.答案：解：(1)由题意A(4,0)，C(0,−2)，把A(4,0)，C(0,−2)代入y=12x2+bx+c，得到{8+4b+c=0c=−2，解得{b=−32c=−2，∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2．(2)过点D作DF//x轴，交y轴于点E，则∠CFD=∠BAC，∵∠ACD=2∠BAC=∠CFD+∠CDF，∴∠CDF=∠CFD，∴tan∠CDF=tan∠BAC=12，∴CEDE=−2−(12x2−32x−2)x=12解得x=2，∴D(2,−3)．解析：【试题解析】(1)求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；(2)过点D作DF//x轴，交y轴于点E，则∠CFD=∠BAC，推出∠CDF=∠CFD，可得tan∠CDF= tan∠BAC=12，由此构建方程即可解决问题；本题考查二次函数综合题、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用三角函数根据方程解决问题，属于中考压轴题．25.答案：解：(1)在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，∴AD=√AB2−BD2=√52−32=4，在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，∴CD=BDtanC =33=1，∴AC=AD+CD=4+1=5．(2)如图1中，当0<t≤1时，重叠部分是四边形PMDN．易知PA=t，AM=45t，PM=35t，DM=4−45t，∴S=35t⋅(4−45t)=−1225t2+125t.如图2中，当259≤t<5时，重叠部分是四边形PNMF．∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，∴AC=AB，易证PB=PE=5−t，PF=34(5−t)，PN=45(5−t)，S=12(5−t)⋅34(5−t)−12⋅15(5−t)⋅34⋅15(5−t)=925(5−t)2．(3)①如图3中，PF交AC于G．当S △PFQ ：S △PEQ =1：2时， ∴S △PEQ ：S △PEF =2：3， ∴12⋅PE ⋅PG ：12⋅PE ⋅PF =2：3， ∴PG ：PF =2：3， ∴35t ：34(5−t)=2：3． ∴t =2511，即AP =2511． 如图4中，当S △PFQ ：S △PEQ =2：1时，∴S △PEQ ：S △PEF =1：3， ∴12⋅PE ⋅PG ：12⋅PE ⋅PF =1：3， ∴PG ：PF =1：3， ∴35t ：34(5−t)=1：3． ∴t =2517，即AP =2517， ∴AP 的值为2511或2517．②如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．易知四边形APEQ时菱形，∴PE=PA，即t=5−t，∴t=52．如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．易知四边形PENG时矩形，四边形DMEN时矩形，∴PG=EN=35t，EM=DN=PE−PM=15(5−t)，QN=43EN=45t，∴QD=4−(5−t)=t−1，在Rt△BQD中，∵BQ2=QD2+BD2，∴(5−t)2=32+(t−1)2，∴t=158．综上所述，t=158s或52s时，PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点．解析：(1)在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD，在Rt△BDC中，求出CD即可．(2)分2种情形求解：如图1中，当0<t≤1时，重叠部分是四边形PMDN.如图2中，当259≤t<5时，重叠部分是四边形PNMF．(3)①分两种情形，分别构建方程即可解决问题；②如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．根据PE=PA，可得t=5−t解决问题．如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M.在Rt△BQD中，根据BQ2=QD2+ BD2，列出方程即可解决问题．本题考查三角形综合题、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．。