中考数学二次函数与四边形综合专题汇总-共17页

二次函数与四边形的综合1.三定点平行四边形存在性问题基本题型：已知三定点A 、B 、C ，一动点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABCP 为平行四边形，求点P 坐标．不同的分类形式可以使用不同的方法；a ．对点法：利用中点坐标公式b ．平移法：根据平移之后的点的对应情况其实两种方法，最后都可以得出一个类似的解题思路，只是其中的过程不同而已2.二定点平行四边形存在性问题基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（Q 或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标． 直接根据三定一动的思路，可以直接得出点的关系：点P 的横纵坐标，都可以由另外2个点的横纵坐标和－第3个点的横纵坐标；如x p =x A +x B −x Q ；y p =y A +y B −y Q因为不确定哪个坐标被减，所以有三种情况；大部分时候，计算量不大，少部分情况下，可能存在一定的计算量3.菱形、矩形的存在性问题特殊的四边形的存在性问题的解题方法需要综合三角形与三定一动的平行四边形的解法；一般都是两定两动；①矩形的存在性：可以根据直角三角形的存在性先找到一个点，然后根据三定一动进行分类讨论求出另一个点；②菱形的存在性：可以根据等腰三角形的存在性先找到一个点，然后根据三定一动进行分类讨论求出另一个点；例1．如图，直线y =kx +b 分别交y 轴、x 轴于A （0、2）、B （4、0）两点，抛物线y =﹣x 2+bx +c 过A 、B 两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）设N（x、y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为，；连接OC，若过点O 的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0）、C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1．（1）求二次函数的解析式；（2）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1．如图所示，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC ＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（﹣2，9），抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），连接DB、DC，作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；（3）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c交x轴于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在以A，C，M，N 为顶点的矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OC＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若D（2，m）在该抛物线上，连接CD、DB，求四边形OCDB的面积；（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH，在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长．。

中考数学总复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线212y x mx n =-++交x 轴于点(4,0)A -和点B ，交y 轴于点(0,2)C ，点(,)P x y 在第二象限的抛物线上．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当点P 的坐标为(2,3)-时，求BCP 的面积；(3)请过点P 作PQ x ⊥轴，交直线AC 于点Q ，是否存在点P ，使得四边形PQOC 是平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)x 轴上，是否存在一点M ，使BCM 为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线与x 轴交于()()1200A x B x ，，，两点，且12x x <，与y 轴交于点()05C -，，其中12x x ，是方程2450x x --=的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，连接CM ，当CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；(3)点()4D k ，在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴是否存在点F ，使以A ，D ，E ，F 四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2=23y x x --交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．(1)求图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y x b =-+与图象W 有两个交点，请结合图象，求b 的值或b 取值范围：(3)P 为线段OB 上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，在平面内存在点Q ，使以C ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++经过()1,0A -，()0,3C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求a ，c 的值；(2)已知F 是抛物线上位于第一象限的点，若在线段OB 上有一点D ，使四边形DCFE 是以CD 为一边的矩形，设F 点横坐标为t ，①求OD 的长（用t 表示）；①当矩形DCFE 的顶点E 恰好也落在该抛物线上时，请求出t 的值．5．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式； (2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线222433y x x =--+与x 轴交于A ，B ．两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，直线y kx b =+经过点A ，C ．(1)求直线AC 的解析式；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，过点P 作PE AC ∥交x 轴于点E ，求PD AE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）问PD AE +取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线AC 方向平移103个单位后得到新抛物线，点M 为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N ，使得以点P ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程．7．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A 和()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当5PD PE +的值最大时，求此时点P 的坐标和5PD PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 9．已知抛物线1C ：22y ax ax c =-+经过点()2,3，与x 轴交于()1,0A -、B 两点．(1)求抛物线1C 的解析式；(2)如图1，已知()0,1E -，以A E C D 、、、为顶点作平行四边形，若C D 、两点都在抛物线上，求C D 、两点的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 沿x 轴平移，使其顶点在y 轴上，得到抛物线2C ，过定点()0,2H 的直线交抛物线2C 于M N 、两点，过M N 、的直线MR NR 、与抛物线2C 都只有唯一公共点，求证：R 点在定直线上运动． 10．如图1，抛物线223y x x =--+与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点C ．(1)求点A 到直线BC 的距离；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2<0y ax bx c a =++与x 轴交于()()2,04,0A B -、两点，与y 轴交于点C ，且2OC OA =．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线()10y kx k =+>与y 轴交于点D ，与抛物线在第一象限交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接CP ，CPM ∆的面积记为PCM S ∆，CDM ∆的面积记为CDMS，记CPMCDMS m S ∆∆=，试求m 的最大值及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P D Q N 、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N 点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线()213022y x x n n =-->与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．(1)如图1，若5AB=，则n的值为______（直接写出结果）；(2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若:1:4AE ED=，求n．14．图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2y x bx c=-++经过()1,0A-，()3,0B两点．P是抛物线上一点，且在直线BC的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点E为OC中点，作PQ y∥轴交BC于点Q，若四边形CPQE为平行四边形，求点P的横坐标；(3)如图3，连结AC AP、，AP交BC于点M，作PH AC∥交BC于点H．记PHM，PMC△和CAM的面积分别为123,,S S S．判断1223S SS S+是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于()10A-，、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且3OC OA=，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点F 为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E ，使得以点C 、D 、E 、F 为顶点的四边形是以CD 为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =--+(2)1.5(3)存在 (2,3)-(4)存在 ()115,0M - ()251,0M + ()31,0M - 43,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)245y x x =--(2)()20，(3)()30，或()50-，或()7140+，或()7140-，3．(1)223y x x =-++ (2)13b -<<或214b >(3)(0,3)或(2,3)或(0,132)+4．(1)a ，c 的值分别为1-，3(2)①OD 的长为36t -+；①32- 5．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 6．(1)443y x =+ (2)PD AE +的最大值为8140；此时点37,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)329,26⎛⎫ ⎪⎝⎭或335,26⎛⎫ ⎪⎝⎭或385,26⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为2528，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-8．(1)2712y x x =-++ (2)5PD PE +的最大值为9，此时点P 的坐标为57,22⎛⎫⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为21535,424N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或21535,424⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1391,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1391,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或329,420N ⎛⎫⎪⎝⎭9．(1)223y x x =-++(2)(1,4),(2,3)C D 或(1,4),(2,5)C D --或(2,5)C -- ()1,4D10．(1)22(2)当点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，PEF 的周长有最大值，最大值为92944+(3)7544⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()355-+，或()355---，或()1,4M11．(1)该抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)m 的最大值为23，此时点P 的坐标为（2,4）； (3)N 点的坐标为732⎛⎫⎪⎝⎭，或()6-3，．12．(1)224233y x x =-++；(2)102133+ (3)点M 的坐标为()2,2或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．13．(1)2(2)11(2，395),(82- 39)8）(3)278n =14．(1)223y x x =-++ (2)332± (3)存在；9815．(1)223y x x =-++ (2)存在，点E 的横坐标为：51456+或53。

2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

72x =B(0,4)Fxy二次函数与四边形 【1 】分解专题一．二次函数与四边形的外形例1.如图,抛物线223y x x =--与x 轴交A.B 两点（A 点在B 点左侧）,直线l 与抛物线交于A.C 两点,个中C 点的横坐标为2．（1）求A.B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式;（2）P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值; （3）点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否消失点F,使A.C.F.G 如许的四个点为极点的四边形是平行四边形？假如消失,求出所有知足前提的F 点坐标;假如不消失,请解释来由．解：（1）令y=0,解得11x =-或23x =∴A （-1,0）B （3,0）;将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3,∴C （2,-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1（2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P.E 的坐标分离为：P （x,-x-1）,E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方,PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时,PE 的最大值=94（3）消失4个如许的点F,分离是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-，演习1.如图,对称轴为直线72x =的抛物线经由点A （6,0）和B （0,4）． （1）求抛物线解析式及极点坐标;（2）设点E （x ,y ）是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值规模; ①当平行四边形OEAF 的面积为24时,请断定平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否消失点E,使平行四边形OEAF 为正方形？若消失,求出点E 的坐标;若不消失,请解释来由．A演习1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =,可设解析式为27()2y a x k =-+．把A.B 两点坐标代入上式,得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之,得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--,极点为725(,26-（2）∵点(,)E x y 在抛物线上,位于第四象限,且坐标合适22725()326y x =--,∴y<0,即 －y>0,－y 暗示点E 到OA 的距离． ∵OA 是OEAF 的对角线, ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1,0）的（6,0）,所以,自变量x 的取值规模是1＜x ＜6．①根据题意,当S = 24时,即274()25242x --+=．化简,得271(.24x -= 解之,得123, 4.x x ==故所求的点E 有两个,分离为E 1（3,－4）,E 2（4,－4）． 点E 1（3,－4）知足OE = AE,所所以OEAF 菱形; 点E 2（4,－4）不知足OE = AE,所以OEAF 不是菱形．② 当OA ⊥EF,且OA = EF 时,OEAF 是正方形,此时点E 的坐标只能是（3,－3）．而坐标为 （3,－3）的点不在抛物线上,故不消失如许的点E,使OEAF 为正方形．演习2.如图,已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的极点为(34)C ，,抛物线2l 与1l 关于x 轴对称,极点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式;（2）已知原点O ,定点(04)D ，,2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称,则当点P 活动到何处时,以点D O P P '，，，为极点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否消失点M ,使ABM △是认为AB 斜边且一个角为30的直角三角形？若存,求出点M 的坐标;若不消失,解释来由．演习3.如图,已知抛物线C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，,(20)B -，,(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式;（2）设抛物线1C 的极点为M ,抛物线2C 与x 轴分离交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧）,极点为N ,四边形MDNA 的面积为S ．若点A ,点D 同时以每秒1个单位的速度沿程度偏向分离向右.向左活动;与此同时,点M ,点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直偏向分离向下.向上活动,直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与活动时光t 之间的关系式,并写出自变量t 的取值规模;（3）当t 为何值时,四边形MDNA 的面积S 有最大值,并求出此最大值;（4）在活动进程中,四边形MDNA 可否形成矩形？若能,求出此时t 的值;若不克不及,请解释来由．5-4- 3- 2- 1- 12 3 4 55432 1 A EBC '1- O2l1lxy5-4- 3- 2- 1- 12 3 4 554321 A EBC '1- O 2l1lx y二．二次函数与四边形的面积例1.如图10,已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A.B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,极点F.G分离在线段BC.AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A.B.C三点的坐标;(2) 若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值规模;(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时,衔接DF并延伸至点M,使FM=k·DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值规模.演习1.如图,平面直角坐标系中有一向角梯形OMNH,点H的坐标为（－8,0）,点N的坐标为（－6,－4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O扭转180°的图形OABC,并写出极点A,B,C的坐标（点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C）;（2）求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;（3）截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分离在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值规模;面积S是否消失最小值?若消失,请求出这个最小值;若不消失,请解释来由;图10（4）在（3）的情形下,四边形BEFG 是否消失邻边相等的情形,若消失,请直接写出此时m 的值,并指出相等的邻边;若不消失,解释来由．演习2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm ,在对称中间O 处有一钉子．动点P ,Q 同时从点A 动身,点P 沿A B C →→偏向以每秒2cm 的速度活动,到点C 停滞,点Q 沿A D →偏向以每秒1cm 的速度活动,到点D 停滞．P ,Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联络,设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式; （2）当橡皮筋刚好触及钉子时,求x 值;（3）当12x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到活动停滞时POQ ∠的变更规模;（4）当02x ≤≤时,请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．演习3.如图,已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴订交于A .C 两点,B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A .C 重合),抛物线l 2与l 1关于x 轴对称,以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个极点为D .BC PO D QA BPCODQ Ay321 O1 2 x(1) 求l 2的解析式;(2) 求证：点D 必定在l 2上;(3) □ABCD 可否为矩形？假如能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形相符前提,则求此矩形的面积);假如不克不及为矩形,请解释来由. 注：盘算成果不取近似值.三．二次函数与四边形的动态探讨例1.如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC ,已知O (0,0),A (4,0),C (0,3),点P 是OA 边上的动点(与点O .A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折,得到△PDB ;再在OC 边上拔取恰当的点E ,将△POE 沿PE 翻折,得到△PFE ,并使直线PD .PF 重合．(1)设P (x ,0),E (0,y ),求y 关于x 的函数关系式,并求y 的最大值;(2)如图2,若翻折后点D 落在BC 边上,求过点P .B .E 的抛物线的函数关系式;(3)在(2)的情形下,在该抛物线上是否消失点Q ,使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不消失,解释来由;若消失,求出点Q 的坐标．图2O CA Bxy DPE F图1FE PD y xBA C O例2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,个中点B在x轴的正半轴上,点C在y 轴的正半轴上,线段OB.OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A.B.C三点的坐标;（2）求此抛物线的表达式;（3）衔接AC.BC,若点E是线段AB上的一个动点（与点A.点B不重合）,过点E作EF∥AC交BC于点F,衔接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值规模; （4）在（3）的基本上试解释S是否消失最大值,若消失,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,断定此时△BCE的外形;若不消失,请解释来由．例3. 如图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,将矩形ABCD沿对角线A平移,平移后的矩形为EFGH（A.E.C.G始终在统一条直线上）,当点E与C重时停滞移动．平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延伸线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延伸线交于点Q．设S暗示矩形PCMH的面积,S'暗示矩形NFQC的面积．（1）S与S'相等吗？请解释来由．（2）设AE＝x,写出S和x之间的函数关系式,并求出x取何值时S有最大值,最大值是若干？（3）如图11,贯穿连接BE,当AE 为何值时,ABE 是等腰三角形．演习1.如图12,四边形OABC 为直角梯形,A （4,0）,B （3,4）,C （0,4）．点M 从O 动身以每秒2个单位长度的速度向A 活动;点N 从B 同时动身,以每秒1个单位长度的速度向C 活动．个中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停滞活动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ,贯穿连接AC 交NP 于Q ,贯穿连接MQ ． （1）点（填M 或N ）能到达终点;（2）求△AQM 的面积S 与活动时光t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值规模,当t 为何值时,S 的值最大; （3）是否消失点M ,使得△AQM 为直角三角形？若消失,求出点M 的坐标,若不消失,解释来由．演习2. 试验与探讨（1）在图1,2,3中,给出平行四边形ABCD 的极点A B D ，，的坐标（如图所示）,写出图1,2,3中的极点C 的坐标,它们分离是(52)，,,; xN MQ PHGFEDCBA图11QPN M HGFED CBA图10 图12（2）在图4中,给出平行四边形ABCD 的极点A B D ，，的坐标（如图所示）,求出极点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式暗示）;归纳与发明（3）经由过程对图1,2,3,4的不雅察和极点C 的坐标的探讨,你会发明：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个地位,当其极点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时,则四个极点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为;纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为（不必证实）; 应用与推广（4）在统一向角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，,(20)H c ，（个中0c >）．问当c 为何值时,该抛物线上消失点P ,使得认为G S H P ，，，极点的四边形是平行四边形？并求出所有相符前提的P 点坐标．参考答案：一．二次函数与四边形的外形)x图4x图1x图2x图3例1.解：（1）令y=0,解得11x =-或23x =∴A （-1,0）B （3,0）;将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3,∴C （2,-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P.E 的坐标分离为：P （x,-x-1）, E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方,PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时,PE 的最大值=94（3）消失4个如许的点F,分离是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 演习1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =,可设解析式为27()2y a x k =-+．把A.B 两点坐标代入上式,得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之,得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--,极点为725(,26-（2）∵点(,)E x y 在抛物线上,位于第四象限,且坐标合适 22725(326y x =--,∴y<0,即 －y>0,－y 暗示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线, ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1,0）的（6,0）,所以,自变量x 的取值规模是1＜x ＜6．① 根据题意,当S = 24时,即274()25242x --+=．化简,得271().24x -= 解之,得123, 4.x x ==故所求的点E 有两个,分离为E 1（3,－4）,E 2（4,－4）． 点E 1（3,－4）知足OE = AE,所所以OEAF 菱形; 点E 2（4,－4）不知足OE = AE,所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF,且OA = EF 时,OEAF 是正方形,此时点E 的 ③ 坐标只能是（3,－3）．而坐标为（3,－3）的点不在抛物线上,故不消失如许的点E,使OEAF 为正方形．5-4- 3-2- 1- 12 3 D554321 ACEM BC '1- O2l1lxy演习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--． 又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上,2(13)40a ∴--=,解得1a =．∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）．（2）P 与P '始终关于x 轴对称, PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ,则其纵坐标为265m m -+,4OD =,22654m m ∴-+=,即2652m m -+=±．当2652m m -+=时,解得36m =±．当2652m m -+=-时,解得32m =±．∴当点P 活动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时,P P OD '∥,以点D O P P '，，，为极点的四边形是平行四边形． （3）知足前提的点M 不消失．来由如下：若消失知足前提的点M 在2l 上,则90AMB ∠=,30BAM ∠=（或30ABM ∠=）,114222BM AB ∴==⨯=． 过点M 作ME AB ⊥于点E ,可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=,3EM =,4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，． 但是,当4x =时,246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不消失如许的点M 组成知足前提的直角三角形．演习3. 解（1）点(40)A -，,点(20)B -，,点(08)E ，关于原点的对称点分离为(40)D ，,(20)C ，,(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是 2(0)y ax bx c a =++≠,则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可盘算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥,垂足为H ．当活动到时刻t 时,282AD OD t ==-,12NH t =+．根据中间对称的性质OA OD OM ON ==，,所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以,四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为活动至点A 与点D 重合为止,据题意可知04t <≤．所以,所求关系式是24148S t t =-++,t 的取值规模是04t <≤． （3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,（04t <≤）．所以74t =时,S 有最大值814． 提醒：也可用极点坐标公式来求．（4）在活动进程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形,对角线是AD MN ，,所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+． 所以22420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）．所以在活动进程中四边形MDNA 可以形成矩形,此时2t =．[点评]本题以二次函数为布景,联合动态问题.消失性问题.最值问题,是一道较传统的压轴题,才能请求较高.二．二次函数与四边形的面积例 1. 解：（1）解法一：设)0(2≠++=a c bx ax y ,任取x,y 的三组值代入,求出解析式2142yx x , 令y=0,求出124,2x x ;令x=0,得y=-4,∴A.B.C 三点的坐标分离是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4)解法二：由抛物线P 过点(1,-52),(-3,52)可知, 抛物线P 的对称轴方程为x=-1,又∵ 抛物线P 过(2,0).(-2,-4),则由抛物线的对称性可知, 点A.B.C 的坐标分离为 A(2,0),B(-4,0),C(0,-4). （2）由题意,AD DGAO OC,而AO=2,OC=4,AD=2-m,故DG=4-2m, ·········又BE EFBO OC,EF=DG,得BE=4-2m,∴ DE=3m, ∴DEFG s =DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m 2(0＜m ＜2).注：也可经由过程解Rt△BOC 及Rt △AOC,或根据△BOC 是等腰直角三角形树立关系求解. (3)∵SDEFG=12m-6m 2(0＜m ＜2),∴m=1时,矩形的面积最大,且最大面积是6 . 当矩形面积最大时,其极点为D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0), 设直线DF 的解析式为y=kx+b,易知,k=23,b=-23,∴2233y x , 又可求得抛物线P 的解析式为：2142yx x ,令2233x =2142x x ,可求出3611--=x . 设射线DF 与抛物线P 订交于点N, 则N 的横坐标为161,过N 作x 轴的垂线交x 轴于H,有FN HEDF DE=161233=561,点M 不在抛物线P 上,即点M 不与N 重应时,此时k 的取值规模是 k≠561且k ＞0.解释：若以上两前提错漏一个,本步不得分. 若选择另一问题： (2)∵AD DG AO OC ,而AD=1,AO=2,OC=4,则DG=2,又∵FGCPAB OC, 而AB=6,CP=2,OC=4,则FG=3, ∴DEFG s =DG·FG=6.演习1.解：应用中间对称性质,画出梯形OABC ． ················· 1分 ∵A,B,C 三点与M,N,H 分离关于点O 中间对称,∴A （0,4）,B （6,4）,C （8,0） ··················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分）（2）设过A,B,C 三点的抛物线关系式为,∵抛物线过点A （0,4）,∴．则抛物线关系式为． ·············· 4分将B （6,4）, C （8,0）两点坐标代入关系式,得··············· 5AB,垂足为G,则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝分解得····················· 6分所求抛物线关系式为：．········ 7分（3）∵OA=4,OC=8,∴AF=4－m,OE=8－m ． ·········· 8分 ∴OA （AB+OC ）AF ·AG OE ·OF CE ·OA（ 0＜＜4） ········ 10分∵． ∴当时,S 的取最小值．又∵0＜m ＜4,∴不消失m 值,使S 的取得最小值． ······· 12分 （4）当时,GB=GF,当时,BE=BG ． 14分演习2.[解] （1）当01x ≤≤时,2AP x =,AQ x =,212y AQ AP x ==,即2y x =． （2）当12ABCD ABPQ S S =正方形四边形时,橡皮筋刚好触及钉子,22BP x =-,AQ x =,()211222222x x -+⨯=⨯,43x ∴=． （3）当413x ≤≤时,2AB =,22PB x =-,AQ x =,2223222AQ BP x x y AB x ++-∴==⨯=-, 即32y x =-．作OE AB ⊥,E 为垂足．当423x ≤≤时,22BP x =-,AQ x =,1OE =, BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122x x +-+=⨯+⨯32x =,即32y x =．90180POQ ≤∠≤或180270POQ ≤∠≤（4）如图所示：演习3. 解](1)设l 2的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0),∵l 1与x 轴的交点为A (-2,0),C (2,0),极点坐标是(0,- 4),l 2与l 1关于x 轴对称, ∴l 2过A (-2,0),C (2,0),极点坐标是(0,4), ∴420,420,4.a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨=⎪⎩ ∴a =-1,b =0,c =4,即l 2的解析式为y = -x 2+4 . (还可应用极点式.对称性关系等办法解答)(2) 设点B (m ,n )为l 1：y =x 2-4上随意率性一点,则n = m 2-4 (*).∵四边形ABCD 是平行四边形,点A .C 关于原点O 对称,∴B .D 关于原点O 对称, ∴ 点D 的坐标为D (-m ,-n ) .由(*)式可知, -n =-(m 2-4)= -(-m )2+4,即点D 的坐标知足y = -x 2+4,∴ 点D 在l 2上. (3) □ABCD 能为矩形.过点B 作BH ⊥x 轴于H ,由点B 在l 1：y =x 2-4上,可设点B 的坐标为 (x 0,x 02-4),则OH =| x 0|,BH =| x 02-4| . 易知,当且仅当BO = AO =2时,□ABCD 为矩形.在Rt △OBH 中,由勾股定理得,| x 0|2+| x 02-4|2=22,(x 02-4)( x 02-3)=0,∴x 0=±2(舍去).x 0=±3 .所以,当点B 坐标为B ( 3 ,-1)或B ′(- 3 ,-1)时,□ABCD 为矩形, 此时,点D 的坐标分离是D (- 3 ,1).D ′( 3 ,1).32 1 O1 2 xy43是以,相符前提的矩形有且只有2个,即矩形ABCD 和矩形AB ′CD ′ . 设直线AB 与y 轴交于E ,显然,△AOE ∽△AHB , ∴EO AO = BH AH ,∴2EO =. ∴EO =4-由该图形的对称性知矩形ABCD 与矩形AB ′CD ′重合部分是菱形, 其面积为S =2S ΔACE =2×12 ×AC ×EO =2×12×4×(4-2 3 )=16 - 8 3 .三．二次函数与四边形的动态探讨 例1.解：(1) 由已知PB 等分∠APD ,PE 等分∠OPF ,且PD .PF 重合,则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°． 又∠APB ＋∠ABP =90°,∴∠OPE =∠PBA ． ∴Rt △POE ∽Rt △BPA ．∴PO BA OE AP =．即34x y x =-．∴y =2114(4)333x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x =2时,y 有最大值13．(2)由已知,△PAB .△POE 均为等腰三角形,可得P (1,0),E (0,1),B (4,3)．设过此三点的抛物线为y =ax 2＋bx ＋c ,则1,0,164 3.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴1,23,21.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩y =213122x x -+． (3)由(2)知∠EPB =90°,即点Q 与点B 重应时知足前提．直线PB 为y =x －1,与y 轴交于点(0,－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E (0,1), ∴该直线为y =x ＋1．由21,131,22y x y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得5,6.x y =⎧⎨=⎩∴Q(5,6)． 故该抛物线上消失两点Q (4,3).(5,6)知足前提．例2.解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2,x2＝8……………………1分∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB＜OC∴点B的坐标为（2,0）,点C的坐标为（0,8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6,0）…………………4分（2）∵点C（0,8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上,∴c＝8,将A（－6,0）.B（2,0）代入表达式,得解得∴所求抛物线的表达式为y＝x2x＋8………………………7分（3）依题意,AE＝m,则BE＝8－m,∵OA＝6,OC＝8,∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴即,∴EF＝∴＝∴FG＝·＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m…………10分自变量m的取值规模是0＜m＜8…………………………11分（4）消失．来由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8且－＜0,∴当m＝4时,S有最大值,S最大值＝8………………………12分∵m＝4,∴点E的坐标为（－2,0）∴△BCE为等腰三角形．…………………………14分（以上答案仅供参考,若有其它做法,可参照给分）例3解:（1）相等.来由是：因为四边形ABCD.EFGH是矩形,所以,,EGH EGF ECN ECP CGQ CGM S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===所以,EGH ECP CGM EGF ECN CGQ S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=-- 即：S S '=（2）AB ＝3,BC ＝4,AC ＝5,设AE ＝x ,则EC ＝5－x ,34(5),,55PC x MC x =-=所以12(5)25S PC MC x x ==-,即21212(05)255S x x x =-+≤≤配方得：2125()3252S x =--+,所以当52x =时,S 有最大值3 （3）当AE ＝AB ＝3或AE ＝BE ＝52或AE ＝3.6时,ABE ∆是等腰三角形演习1．解： （1）点M 1分（2）经由t 秒时,NB t =,2OM t =则3CN t =-,42AM t =-∵BCA ∠=MAQ ∠=45∴ 3QN CN t ==-∴ 1 PQ t =+ ∴11(42)(1)22AMQS AM PQ t t ==-+△22t t =-++∴2219224S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∵02t ≤≤∴当12t =时,S 的值最大． （3）消失．设经由t 秒时,NB =t ,OM=2t 则3CN t =-,42AM t =-∴BCA ∠=MAQ ∠=45①若90AQM ∠=,则PQ 是等腰Rt △MQA 底边MA 上的高∴PQ 是底边MA 的中线∴12PQ AP MA ==∴11(42)2t t +=-∴12t =∴点M 的坐标为（1,0）②若90QMA ∠=,此时QM 与QP 重合∴QM QP MA ==∴142t t +=-∴1t = ∴点M 的坐标为（2,0）演习2.解：（1）()e c d +，,()c e a d +-，．（2）分离过点A B C D ，，，作x 轴的垂线,垂足分离为1111A B C D ，，，,分离过A D ，作1AE BB ⊥于E ,1DF CC ⊥于点F ．在平行四边形ABCD 中,CD BA =,又11BB CC ∥,180EBA ABC BCF ABC BCF FCD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=．EBA FCD ∴∠=∠．又90BEA CFD ∠=∠=,BEA CFD ∴△≌△．AF DF a c ∴==-,BE CF d b ==-．设()C x y ，．由e x a c -=-,得x e c a =+-．由y f d b -=-,得y f d b =+-．()C e c a f d b ∴+-+-，．（3）m c e a =+-,n d f b =+-．或m a c e +=+,n b d f +=+．（4）若GS 为平行四边形的对角线,由（3）可得1(27)P c c -，．要使1P 在抛物线上, 则有274(53)(2)c c c c c =--⨯--,即20c c -=．10c ∴=（舍去）,21c =．此时1(27)P -，． 若SH 为平行四边形的对角线,由（3）可得2(32)P c c ，,同理可得1c =,此时2(32)P ，． 若GH 为平行四边形的对角线,由（3）可得(2)c c -，,同理可得1c =,此时3(12)P -，． 综上所述,当1c =时,抛物线上消失点P ,使得认为G S H P ，，，极点的四边形是平行四边形．相符前提的点有1(27)P -，,2(32)P ，,3(12)P -，． 演习3.解：⑴由Rt △AOB ≌Rt △CDA 得OD=2+1=3,CD=1 ∴C 点坐标为(－3,1),∵抛物线经由点C, ∴1= (－3)2 a ＋(－3)ａ－2,∴21=a . ∴抛物线的解析式为221212-+=x x y . ⑵在抛物线（对称轴的右侧）上消失点P.Q,使四边形ABPQ 是正方形.以AB 边在AB 右侧作正方形ABPQ.过P 作PE ⊥OB 于E,QG ⊥x 轴于G,可证△PBE ≌△AQG ≌△BAO, ∴PE ＝AG ＝BO ＝2,BE ＝QG ＝AO ＝1,∴P 点坐标为（2,1）,Q 点坐标为（1,－1）. 由（1）抛物线221212-+=x x y .当x ＝2时,y ＝1,当x ＝,1时,y ＝－1.∴P.Q 在抛物线上.x故在抛物线（对称轴的右侧）上消失点P（2,1）.Q（1,－1）,使四边形ABPQ是正方形.⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上消失点P.Q,使四边形ABPQ是正方形.延伸CA交抛物线于Q,过B作BP∥CA交抛物线于P,连PQ,设直线CA.BP的解析式分离为y=k1x+b1, y=k2x+b2,∵A（－1,0）,C（－3,1）,∴CA的解析式2121--=xy,同理BP的解析式为2121+-=xy,解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=2212121212xxyxy得Q点坐标为（1,－1）,同理得P点坐标为（2,1）.由勾股定理得AQ＝BP＝AB＝5,而∠BAQ＝90°,∴四边形ABPQ是正方形.故在抛物线（对称轴的右侧）上消失点P（2,1）.Q（1,－1）,使四边形ABPQ 是正方形.⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上消失点P.Q,使四边形ABPQ是正方形.如图,将线段CA沿CA偏向平移至AQ,∵C（－3,1）的对应点是A（－1,0）,∴A（－1,0）的对应点是Q（1,－1）,再将线段AQ沿AB偏向平移至BP,同理可得P（2,1）∵∠BAC＝90°,AB＝AC∴四边形ABPQ是正方形.经验证P（2,1）.Q（1,－1）两点均在抛物线221212-+=xxy上.⑶结论②AGBGAFBF=成立,证实如下：连EF,过F作FM∥BG交AB的延伸线于M,则△AMF∽△ABG,∴AGBGAFMF=.由⑴知△ABC是等腰直角三角形,∴∠1＝∠2＝45°.∵AF＝AE,∴∠AEF＝∠1＝45°.∴∠EAF＝90°,EF是⊙O´的直径.第21页，共20页 ∴∠EBF ＝90°.∵FM ∥BG,∴∠MFB ＝∠EBF ＝90°,∠M ＝∠2＝45°,∴BF ＝MF,∴AG BG AF BF。

二次函数与四边形综合专题知识结构图平行四边形存在性问题题型说明：在解决此类问题时，需要注意“平行四边形”的四个顶点中是有一个动点或二个动点．如果只有一个动点，则先求点坐标，然后代入检验；如果有两个动点，则常用的方法有两个，①引入坐标代入函数解析式后建立方程，注意最后要检验；②从已知条件直接进行分析．动点与平行四边形存在性问题常见模型：①两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形．i考虑分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相等找出所有的存在的情况．ii设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，代入另一个点所在函数关系式．②三固一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形．i考虑分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点大三角：（见图1）连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行线交点即为要找的点．ii利用中点公式法，求出点坐标．中点公式法：设出点坐标，利用线段的中点都为点，即可求出点坐标．其他四边形存在性问题题型说明：除了经常考察平行四边形的存在性以及梯形之外，像菱形，矩形，正方形也经常出现在二次函数的动点问题中，充分应用相关图形的性质是解决问题的关键．题模一两定两动例1.1、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．例1.2、已知二次函数图像的顶点坐标为C（-1，0），直线y=-x+m与该二次函数y=ax2+bx+c的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，4），B点在y轴上，P为直线AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x 轴的垂线与这个二次函数的图像交于点E，D为直线AB与这个二次函数图像的对称轴的交点．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点E，使S△EAB=3，若存在，请直接写出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．例1.3、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．题模二三定一动例2.1、如图，直线y=kx+b分别交y轴、x 轴于A（0、2）、B（4、0））两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）设N（x、y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．随堂练习随练1.1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．随练1.2、如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．随练1.3、如图所示，已知抛物线y=ax2﹣4x﹣5（a＞0，a为常数）与一次函数y=x+b（b为常数）交于点M （6，n），直线y=x+b与x轴及y轴交于两点A、B，△AOB的周长是12+4，抛物线y=ax2﹣4x﹣5与y轴交于点C，与x轴交于点D、E（点E在点D的右侧）．（1）确定a、b、n及tan∠BAO的值；（2）确定一次函数y=x+b与抛物线y=ax2﹣4x﹣5的另一个交点N的坐标，并计算线段MN的长度；（3）试确定在抛物线及对称轴上是否存在两点P、Q，使得四边形C、E、Q、P是平行四边形？如果存在请直接写出P、Q两点坐标；如果不存在，请说明理由．能力拓展拓展1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．拓展2、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，4）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，当MN的值最大时，求△BMN的周长．（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=4S2，求点P的坐标．拓展3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点．（1）求抛物线所对应的函数表达式．（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．拓展4、已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．。

二次函数与四边形一 、解答题1.如图，二次函数y =ax 2+bx 的图象与一次函数y =x +2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是﹣1，点B 的横坐标是2． （1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值．2.如图，已知二次函数图象的顶点为点，且经过点．（1）求此二次函数的关系式；（2）设点是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点的坐标为，四边形是以为对角线的平行四边形．① 求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；② 当点B 在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形的面积； ③ 当平行四边形的面积为64时，请判断平行四边形是否为菱形？④ 是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2y ax c =+()09M -，()30A ，()D x y ，C ()50-，ABCD AC ABCD S x x ABCD ABCD ABCD D ABCD D3.如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <．以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90︒得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． (1) 求k 的值；(2) 点A 位置改变时，AMH ∆的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与二次函数的图象交于、两点，其中点在轴上． （1）二次函数的解析式= ；（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图象上； （3）若为线段的中点，过点作轴于点，与二次函数的图象交于点．① 轴上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是 ；()20，1y x =+A B A y y ()21m m --，C AB C CE x ⊥E CE D y K K Z D C K②二次函数的图象上是否存在点，使得？求出点坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿个单位每秒速度运动，运动时间为．求： （1）的坐标为 ； （2）当为何值时，与相似？（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值．6.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点． （1）判断点是否在轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行P 2POE ABD S S =△△P P ABCD ()03A ，()10B ，OP AB N DC M H O x R O OM t C t ANO △DMR △HCR △S t A B C R ，，，t S H y xP N M ROD C BAABOC BO x OCy 1AB =OB ABOC O 60EFOD A E B F C D 2y ax bx c =++A E D ，，E y x P Q O B P Q ，，，四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．ABOC P P Q y xODEC FA B y xO DECFA B M二次函数与四边形答案解析一 、解答题1.（1）把x =﹣1和2分别代入y =x +2，得到y 的值分别是1、4，因而A 、B 的坐标分别是（﹣1，1），（2，4）．根据题意得到：1424a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩因而二次函数的解析式是y=x 2．（2）过点A 、B 作AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，分别交于M 、N ．过点C 作CP ⊥BN 与P ．设P 的坐标是（x ，y ）．()()1115=143222AMNB S AM BN MN +⋅=+⋅=梯形； 1122AOM S AM OM =⋅=△； ()()()()21112424222BCP S CP BP x y x x =⋅=--=--△；()()()2111=224222CPNO S CP ON PN x y x x +⋅=-+⋅=-⋅⎡⎤⎣⎦四边形． ∴2=2 3 AOM BCP OABC CPNO AMNB S S S S S x x ---=-++△△四边形四边形梯形． 当x =1时，函数S =﹣x 2+2x +3有最大值是4．【解析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，求面积的最值问题一般要转化为函数的最值问题，依据函数的性质解决．2.（1）由题意得，解之，得，990c a c =-⎧⎨+=⎩19a c =⎧⎨=-⎩故二次函数的关系式为.（2）① 在二次函数的图象上，且位于第三象限， ∴，即，表示点到的距离． ∵是平行四边形的对角线， ∴． 当时，，得,∴二次函数的图象与x 轴的另一个交点是，自变量x 的取值范围是﹣3＜x ＜0．② 过点作，垂足为点， ∵点在二次函数的图象的对称轴上， 由得，∴OE=2， ∴当时，，；③ 根据题意，当时，即． 解之，得，．故所求的点有两个，分别为，．点不满足，∴平行四边形不是菱形（或者说明点D 不在第三象限）；点满足，∴平行四边形是菱形．④ 当，且时，平行四边形是正方形，此时点的坐标只能是．点不在二次函数的图象上，故不存在这样的点，使平行四边形为正方形．【解析】代数几何综合题。

中考数学压轴17专题——二次函数与特殊四边形存在性问题
专题01 线段周长面积最大值
专题02 将军饮马求最小值1-对称
专题03 将军饮马求最小值2-平移
专题04 胡不归求最小值
专题05 阿氏圆求最小值
专题06 费马点求最小值
专题07 线段之差最值问题
专题08 存在性-等腰三角形
专题09 存在性-直角三角形
专题10 存在性-等边三角形
专题11 存在性-等腰直角三角形
专题12 存在性-相似三角形
专题13 存在性-面积等量问题
专题14 存在性-平行四边形
专题15 存在性-矩形
专题16 存在性-菱形
专题17 存在性-正方形。

精锐教育学科教师辅导讲义授课类型T（同步）C（专题）T（能力）授课日期及时段教学目的针对二次函数与四边形综合题进行解法分析，让学生能够找到基本图形，进而独立解题教学内容二次函数综合题-四边形（复习课）【知识梳理】1、平行四边形存在性问题：（1）复习平行四边形的判定定理；（2）画出基本存在图形2、菱形存在性问题：（1）复习菱形的判定定理；（2）画出基本存在图形3、矩形存在性问题：（1）复习矩形的判定定理；（2）画出基本存在图形【学法分析】题型一：平行四边形例：如图，抛物线与x轴交于点A（-1,0）和B（3,0），与y轴交于点C（0，3）。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标（2）点P在线段BD上，过点P作PM x轴于点M，当点P移动到线段BD的中点时，求四边形PMAC的面积（3）若点E是抛物线上的一个动点，点F是x轴上的一个动点，若以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F的坐标。

练习：1、已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．1、已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．3、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．题型二：菱形例、如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0、C(3, 0、D(3, 4．以A为顶点的抛物线y ＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t 为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．练习：已知抛物线y=x2 + 1(如图所示．(1填空：抛物线的顶点坐标是(______，______，对称轴是_____；(2已知y轴上一点A(0，2，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；(3在(2的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【面积分割问题】1、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC与△ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．3、如图，正方形AOCB在平面直角坐标系中，点O为原点，点B在反比例函数（＞）图象上，△BOC的面积为．（1）求反比例函数的关系式；（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F 从B开始沿BC向C以每秒个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t 表示，△BEF的面积用表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，△BEF 的面积最大？（3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2024年中考数学高频考点专题复习- 特殊四边形问题（二次函数综合）1．如图，已知抛物线22y ax bx =++()0a <与y 轴交于点C ，与x 轴交于()1,0A -，()2,0B 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是第二象限抛物线上的动点，DE x 轴，交直线BC 于点E ，点G 在x 轴上，点F 在坐标平面内，是否存在点D ，使以D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线234y x x =-++和直线1y x =+交于()1,0A -，()3,4B 点，点B 在直线3x =上，直线3x =与x 轴交于点C ．(1)求BAC ∠的度数．(2)点P 从点A 出发，AB 向点B 运动，点Q 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA 向点A 运动，点P ，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒()0t >．以PQ 为边作矩形PQNM ，使点N 在直线3x =上．①当t 为何值时，矩形PQNM 的面积最小？并求出最小面积； ①直接写出当t 为何值时，恰好有矩形PQNM 的顶点落在抛物线上．3．如图，抛物线 2y x bx c =++与y 轴交于点()0,2A ，点B 是抛物线的顶点，直线 2x =是抛线物的对称轴，且与x 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点D 是对称轴左侧抛物线上一点，连接BD ， 45,DBC ∠=︒求点 D 的坐标．(3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上方抛物线对称轴上一点，点 P 在坐标平面内，且以点A ，D ，M ，P 为顶点的四边形是以AD 为边的菱形，请求出所有符合条件的点M 的坐标 4．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，()2,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,8C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若D 为抛物线的顶点，求ACD 的面积；(3)若P 是平面直角坐标系内一点，是否存在以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 5．综合与探究如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于(2,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ．作直线BC ，P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线BC 的函数表达式． (2)当点P 在直线BC 下方时，连接CP ，BP ，OP ．当25BCP OBP S S =△△时，求点P 的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，点A 是y 轴上的点，线段AB x ∥轴，M 是OA 的中点，连接BM 并延长交x 轴于点C ，二次函数224y ax ax =-+的图象经过,,A B C 的三点，与x 轴的另一交点为D ．(1)点A 的坐标为______，点B 的坐标为______； (2)求二次函数的表达式；(3)在线段CD 上有动点P （不与,C D 重合），过P 作PE x ⊥轴交直线BC 于E ，以PE 为边在PE 的右侧作正方形PEFG ，当点F 在抛物线上时，求点P 的坐标7．已知抛物线()²30y ax bx a =+-≠与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线BC 下方的抛物线上有一动点M ，过点M 作y 轴平行线交BC 于N ，过点M 作BC 的垂线，垂足为H ，求HMN △周长的最大值；(3)若点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，是否存在以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；(4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y 轴正半轴上是否存在一点F ，使得当经过点F 的任意一条直线与新抛物线交于S ，T 两点时，总有2211FS FT +为定值？若存在，求出点F 坐标及定值，若不存在，请说明理由． 8．综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()2203y x bx c a =-++≠与x 轴交于()1,0A -、()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D 在第一象限抛物线上一点，连接BC 、DC ，若2∠=∠DCB ABC ，求点D 的坐标；(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知()4,0B ，()0,4C -，连接BC ，点P 是抛物线上的一个动点，点N 是对称轴上的一个动点．备用图(1)求该抛物线的函数解析式．(2)在线段BC 的下方是否存在点P ，使得BCP 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及面积最大值．(3)在对称轴上是否存在点N ，使得以点B ，C ，P ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D 坐标为()14，，与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），且B 坐标为()30，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线和直线AC 的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点M ，使M 到B 、C 两点的距离之差的绝对值最大，求出点M 的坐标及最大绝对值；(3)点P 是x 轴上的一个动点，过P 作直线l AC ∥交抛物线于点Q ．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ，P ，Q ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究如图，抛物线215y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和点B ，与y 轴交于点()0,1C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ．过点B 作直线l x ⊥轴，连接CD ，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ，作直线CE ．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线CE 的函数表达式；(2)如图，点P 为抛物线上第二象限内的点，设点P 的横坐标为m ，连接BP 与CE 交于点Q ，当点Q 为线段BP 的中点时，求m ；(3)若点M 为x 轴上一个动点，点N 为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A ，B 两点，它的对称轴直线1x =交抛物线于点M ，过点M 作MC y ⊥轴于点C ，连接BC ，已知点A 的坐标为()1,0-．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)动点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,1m m +，其中11m -<<． ①若POA QBO ∠=∠，请求此时点Q 的坐标；①在线段BC 上是否存在一点D ，使得以C ，P ，D ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m 的值；若不存在，说明理由． 13．如图，抛物线211342y x x =--的对称轴l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、B 的坐标；(2)C 为该抛物线上的一个动点，点D 为点C 关于直线l 的对称点（点D 在点C 的左侧），点M 在坐标平面内，请问是否存在这样的点C ，使得四边形ACMD 是正方形？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，二次函数()240y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ；(1)求二次函数的表达式及顶点D 的坐标；(2)若点P 为直线BC 上方的抛物线上的一点，过点P 作垂直于x 轴的直线l 交直线BC 于点.F 是否存在点P ，使四边形OCPF 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若N 为抛物线上一个动点，连接NC ，过点N 作NQ NC ⊥交抛物线对称轴于点Q ，当tan 1NCQ ∠=时，请直接写出点N 的横坐标．15．如图，抛物线2y ax bx c =++经过原点，且对称轴是直线32x =-，点(1,4)A 在抛物线上，点(0,2)C 在y 轴上，直线AC 交抛物线于点A 、D ，点B 在抛物线上，且AB x ∥轴．(1)求抛物线的解析式和点D坐标；(2)求BOD∠的度数；(3)设点F是线段BD的中点，点P是线段OB上一动点，将DFP△沿FP折叠，若D FP'与BDP△重叠部分的面积是BDP△面积的14，求PB的长．参考答案：1．】（1）将()1,0A -，()2,0B 代入22y ax bx =++()0a <中，得204220a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的函数表达式为22y x x =-++．（2）由题意和22y x x =-++可得()0,2C ，()2,0B ，可设直线BC 的函数表达式为：2y kx =+， 将()2,0B 代入得：220k +=， ∴1k =-，∴直线BC 的函数表达式为2y x =-+.设()2,2D t t t -++（0t <），分两种情况：①当DE 为边时，如图1，四边形DEFG 是正方形（点G 、F 可互换位置）.则22DG D t E t ==-++，故E 的纵坐标与D 的纵坐标相等为22t t -++，将22y t t =-++代入2y x =-+中，可得E 的横坐标为2t t -，则点E 的坐标为()22,2t t t t --++，2t t t DE =--∴DE EF =，即222t t t t t --=-++，解得2t =（0t <，要舍）或12t =-，∴点D 的坐标为15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．①当DE 为对角线时，如图2，连接FG ，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，DE HG ∥，DH FG ∥，易得2DE FG DH ==，则()2222224DE t t t t =-++=-++，则E 的纵坐标为2224t t t -+++，∴点E 的坐标为()22224,2t t t t t -+++-++．点E 在直线2y x =-+上， ∴2222342t t t t -++=--+，解得23t =-或2（0t <，要舍），∴点D 的坐标为28,39⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上可得：存在点D ，使以D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是正方形，点D 的坐标为15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或28,39⎛⎫- ⎪⎝⎭． 2．（1）解：设直线1y x =+与y 轴交于点F ，如图：当0x =时，1y =， ①()0,1F ，①1,OF =①()1,0A -，①1OA OF ==，①45FAO AEO ∠=∠=︒，①45BAC ∠=︒；（2）①如图，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，①45BAC ∠=︒，P Q 的速度为每秒2个单位长度，①AP =，AE PE AP t ===，2CQ t =， ①点C 为直线3x =与x 轴的交点，①()3,0C ，90NCQ ∠=︒，①t 秒时点E 坐标为()1,0t -+，Q 点坐标为()32,0t -，①43EQ t =-，①矩形PQNM ，①90PQN ∠=︒，①90PQE NQC ∠+∠=︒，90PQE EPQ ∠+∠=︒，①EPQ NQC ∠=∠，又①90PEQ NCQ ∠=∠=︒，①PQE QNC ∽， ①12PQ PE NQ QC ==， ①矩形PQNM 的面积22S PQ NQ PQ =⋅=，①222PQ PE EQ =+，①()222243204832S t t t t ⎡⎤=+-=-+⎣⎦， 当625b t a =-=时， 矩形PQNM 的面积最小：26616204832555⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭； ①由①点Q 坐标为()32,0t -，()1,P t t -+，()3,0C ，①PQE QNC ∽， ①12PQ PE NQ Q Q E NC C ===， ①286NC QE t ==-，①N 点坐标为()3,86t -，①矩形对边平行且相等，Q ()32,0t -，()1,P t t -+，N ()3,86t -， ①点M 坐标为()31,85t t --当M 在抛物线上时，则有()()285313314t t t -=--+-+，解得：t = 当点Q 到A 时，Q 在抛物线上，此时()3122t =+÷=，当N 在抛物线上时，,N B 重合：①864t -=， ①23t =， 综上所述当t =232时，矩形PQNM 的顶点落在抛物线上． 3．（1）解：①抛物线 2y x bx c =++与y 轴交于点()0,2A ，直线 2x =是抛线物的对称轴， ①222c b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：24c b =⎧⎨=-⎩， ①242y x x =-+；（2）解：由题意，得：()2,0C ，①()224222y x x x =-+=--，①()2,2B -，①2,2BC OC ==，连接OB ，则：45OBC BOC ∠=∠=︒，①45,DBC ∠=︒①点D 是直线OB 与抛物线的交点，设直线OB 的解析式为：y kx =，把()2,2B -代入，得：1k =-， ①y x =-， 联立242y x y x x =-⎧⎨=-+⎩，解得：22x y =⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=-⎩， ①()1,1D -；（3）解：设()()2,0M m m >，①()1,1D -，()0,2A ，①()()222101210AD =-+--=，()()22222224AM m m =+-=-+，()()()222221111DM m m =-++=++， ①点A ，D ，M ，P 为顶点的四边形是以AD 为边的菱形，①分两种情况：①当AD AM =时，则：()22410m -+=，解得：2m =+2m =（舍去）；①(2,2M ；当AD DM =时，则：()21110m ++=，解得：2m =或3m =-（舍去），①()2,2M ；综上：(2,2M 或()2,2M ．4．（1）解：由题知，抛物线2y x bx c =-++过点()2,0B ，()0,8C ， ∴22208b c c ⎧-++=⎨=⎩，解得28b c =-⎧⎨=⎩， ∴该抛物线的解析式为228y x x =--+；（2）解：()222819y x x x =--+=-++，D 为抛物线的顶点， ∴()1,9D -，设直线AC 的解析式为8y kx =+，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，()2,0B 两点（点A 在点B 的左侧）， 又抛物线对称轴为=1x -，()4,0A ∴-，将()4,0A -代入8y kx =+中，有480k -+=，解得2k =，∴直线AC 的解析式为28y x =+，作DE y ∥轴，交AC 于点E ，连接AD ，CD ，有()1,6E -，963DE ∴=-=，∴ACD 的面积为：()()11304622C A DE x x -=⨯⨯+=； （3）解：存在，①当1AB CP ∥，1AB CP =时，=6AB ，∴1P 的坐标为()6,8；①当2AB CP ∥，2AB CP =时，=6AB ，∴2P 的坐标为()6,8-；①当3BC AP ∥，3BC AP =时，作3P M AB ⊥于点M ， 有3P AM CBO ∠=∠，390P MA BOC ∠=∠=︒， ∴()3AAS P AM CBO ≌，∴2AM OB ==，38P M OC ==，2OM OA AM ∴=-=，∴3P 的坐标为()2,8--；综上所述，点P 的坐标为()6,8或()6,8-或()2,8--．5．（1）解：把()2,0A -，()4,0B 分别代入22y ax bx =+-得422016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的函数表达式为211242y x x =-- 当0x =时，=2y -，则()0,2C -设直线BC 的解析式为2y kx =-，将点()4,0B 代入，得， 420k -= 解得：12k =， 直线BC 的函数表达式为122y x =-， （2）如图过P 点作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于E ，过点C 作CG PD ⊥于点G ，则四边形OCGD 为矩形CG OD ∴=111222BCP SPE CG PE BD PE OB ∴=⋅+⋅=⋅ 12,25BCP OBP OBP S S PD OB S =⋅=△△ 122152PE OB PD OB ⋅∴=⋅ 25PE PD ∴= 设211,242P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则D (),0m ， 1,22E m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 22211111122,2242442PE m m m m m PD m m ⎛⎫∴=----=-+=-++ ⎪⎝⎭ 22121124542m m m m ⎛⎫∴-+=-++ ⎪⎝⎭解得14m =(舍弃)，243m =420,39P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ （3）存在，点Q 的坐标为(1,34-)或(1,14-)或(1,154) 由题知，抛物线抛物线211242y x x =--的对称轴1x =， 把0x =代入211242y x x =--，的=2y - ∴(0,2C -)设(1,Q n )211,242P k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 分以下三种情况讨论：当PQ 为对角线时，p n c q p n c l x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩， 24011120242k k k n -=-⎧⎪⎨---=--⎪⎩，解得334k n =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴(1,Q -34) 当PC 为对角线时，0p b c p b q c x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，24011120(2)42k k k n -=-⎧⎪⎨---=--⎪⎩，解得514k n =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴(1,Q -14) 当PB 为对角线时，00p c b p c b x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，2414112(2)042k k k n -=-⎧⎪⎨----=-⎪⎩，解得3154k n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 151,4Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭综上所述，点Q 的坐标为(1,-34)，(1,-14)，151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 6．（1）解：如图1中，对于抛物线224y ax ax =-+，令0x =得4y =， )4(0,A ∴，对称轴212a x a-=-=， ①AB x ∥轴，A ∴、B 关于对称轴对称，(2,4)B ∴，2AB =，故答案为：(0,4)，(2,4)；（2）解：①AB OC ∥，ABM OCM ∴∠=∠，在ABM 和OCM 中，ABM OCM AMB OMC AM OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABM OCM ∴≌，2OC AB ∴==，(2,0)C ∴-，把(2,0)C -代入224y ax ax =-+得4404a a ++=，12a ∴=-， ∴抛物线的解析式为2142y x x =-++； （3）解：如图2中，设(,0)P m ．(2,0)C -，(2,4)B ，∴直线BC 的解析式为2y x =+，(,2)E m m ∴+，四边形EFGP 是正方形，2PE EF PG FG m ∴====+，(22,2)F m m ∴++，点F 在抛物线上，212(22)2242m m m ∴+=-++++， 整理得到22320m m +-=， 解得12m =或2-（舍弃）， ∴点P 坐标102⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 7．（1）解：①(1,0)A -，(3,0)B 在抛物线()230y ax bx a =+-≠上，①309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ①抛物线的表达式为：2=23y x x --．（2）①抛物线的表达式为：2=23y x x --， ①当0x =时，=3y -，①(0,3)C -，设直线BC 的解析式为y kx n =+，①(3,0)B ，(0,3)C -，①303k n n +=⎧⎨=-⎩， 解得：13k n =⎧⎨=-⎩ ①直线BC 的解析式为3y x =-，设()2,23M m m m --其中03m <<，则(,3)N m m -，①()223233MN m m m m m =----=-+①3OB OC ==，90BOC ∠=︒，①45OCB ∠=︒①MN y ∥轴，①45MNH OCB ∠=∠=︒， ①MH BC ⊥，①HMN △是等腰直角三角形，HM HN ∴==，①HMN △的周长1l MN ⎫=⎪⎪⎝⎭ )()213m m =-+ ))2131m m =-+231)()2m =--，①当32m =时，HMN △的周长有最大值，l =最大． （3）由题意知，抛物线的对称轴为直线2121x -=-=⨯，(3,0)B ，(0,3)C -， 设点P 坐标为(1,)s ，点Q 坐标为(,0)Q t ，①当BC 为对角线时，301030t s +=+⎧⎨-=+⎩， 解得：32s t =-⎧⎨=⎩， ①(20)Q ，，①当BP 为对角线时，310030t s +=+⎧⎨+=-+⎩， 解得：34s t =-⎧⎨=⎩，①(40)Q ，，①当BQ 为对角线时，310003t s +=+⎧⎨+=-⎩，解得：32s t =⎧⎨=-⎩，解得：(20)Q -，，综上所述，存在点Q ，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，Q 点的坐标为(2,0)，(4,0)，(2,0)-．（4）当抛物线2=23y x x --向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线()()212134y x x =+-+-+，即2yx ，设ST 的解析式为y kx b =+，点S 坐标为11(,)x y ，点T 坐标为22(,)x y ，则(0,)F b ，联立新抛物线与直线ST 的解析式得：2y kx by x =+⎧⎨=⎩ ①20x kx b --=， ①12x x k +=，12x x b =-，()()22222222111111FS x y b x k x k x =+-=+=+，同理，()22221FT k x =+，()()2212122222222221212211111112111x x x x k b FS FT k x x k k b x x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+∴+=+==⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ①2211FS FT +为定值， ①2212k k b +=+， 解得：12b =， 当12b =时，22114FS FT +=， ①定点221110,,2F FSFT ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为4．8．（1）解：①抛物线()2203y x bx c a =-++≠与x 轴交于()1,0A -、()3,0B 两点，①设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，23a =-，①抛物线解析式为()()2133y x x =-+-，即224233y x x =-++； （2）解：如图，作DE AB ∥，交BC 延长线于点E ，交y 轴于点F ，①DE AB ∥，90BOC ∠=︒，抛物线表达式为224233y x x =-++，①ABC DEC ∠=∠，18090DFC BOC BOC ∠=︒-∠=︒=∠，()0,2C ， ①2∠=∠DCB ABC ， ①2DCB DEC ∠=∠， ①DCB DEC CDE ∠=∠+∠， ①CDE DEC ∠=∠， ①ABC CDE ∠=∠， ①DCF BCO △∽△，①CF DFCO BO=， 设224,233D t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，①DF t =，224233OF t t =-++，①()3,0B ，()0,2C ， ①3OB =，2OC =， ①22433CFOF OCt t ， ①数据代入CF DF CO BO=中，得：2243323t tt -+=， 解得：10t =（舍去），21t =， ①2242482233333t t ， ①点D 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；（3）解：存在；①抛物线的解析式为224233y x x =-++，①抛物线对称轴为直线43122()3x =-=⨯-，设()1,N a ，①抛物线解析式224233y x x =-++中，①()0,2C ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是以BN 为对角线的平行四边形时， ①()1,N a ，()3,0B ，()0,2C ， ①1034，202a a ，则()4,2M a -，把()4,2M a -代入224233y x x =-++，得：324101642323a =⨯⨯++---=，①104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是以CN 为对角线的平行四边形时，①()1,N a ，()30B ，，()0,2C ， ①1302，022a a，则()2,2M a -+，把()2,2M a -+代入224233y x x =-++，得：()24102422333a +=-⨯+⨯-+=-，①102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是以BC 为对角线的平行四边形时，①()1,N a ，()30B ，，()0,2C ， ①0132，202a a ，则()2,2M a -，把()2,2M a -代入224233y x x =-++，得：242422233a，①()2,2M ．综上所述，满足条件的M 点坐标为104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()2,2．9．（1）解：将点()4,0B ，()0,4C -代入2y x bx c =++中，有16404b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得34b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =--；（2）解：存在，理由如下：如图，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点Q ，设直线BC 的解析式为y kx m =+，把()4,0B ，()0,4C -代入，可得404k m m +=⎧⎨=-⎩，解得14k m =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的解析式为4y x =-，设点()2,34P t t t --，则点(),4Q t t -，点P 在直线BC 的下方，∴()()222434424PQ t t t t t t =----=-+=--+，10-<，∴当2t =时，PQ 有最大值，最大值为4，此时点P 的坐标为()2,6-，BCP 的面积最大值为()1144822B C PQ x x ⋅-⋅=⨯⨯=；（3）解：存在，理由如下：点N 是对称轴上的一点，点P 是抛物线上一点， ∴设N 点坐标为3,2n ⎛⎫⎪⎝⎭，P 点坐标为()2,34q q q --，以点B ，C ，P ，N 为顶点的平行四边形： ①当PN ，BC 为对角线时，340222q ++=，且()2043422q q n +---+=，解得52q =，54n =， 此时N 点坐标为35,24⎛⎫⎪⎝⎭；①当PC ，BN 为对角线时，340222q ++=，且()2344022q q n--+-+=，解得112q =，234n =， 此时N 点坐标为323,24⎛⎫⎪⎝⎭；①以PB ，NC 为对角线时，304222q ++=，且()2434022n q q +---+=，解得52q =-，554n =， 此时N 点坐标为355,24⎛⎫⎪⎝⎭．综上，N 点坐标为35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或323,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或355,24⎛⎫⎪⎝⎭．10．（1）解：设抛物线的解析式为()214y a x =-+，把()30B ，代入得()20314a =-+，解得1a =-，①抛物线的解析式为()214y x =--+，①顶点D 坐标为()14，，且B 坐标为()30，， ①抛物线的对称轴为直线1x =，①()10A -，， 令0x =，则()20143y =--+=，①()03C ，， 设直线AC 的解析式为3y kx =+，把()10A -，代入得03k =-+， 解得3k =，①直线AC 的解析式为33y x =+； （2）解：延长AC 交对称轴于点M ，①点A 和点B 关于对称轴直线1x =对称， ①MA MB =，①M 到B 、C 两点的距离之差的绝对值为MB MC MA MC AC -=-=， 此时M 到B 、C 两点的距离之差的绝对值最大，最大值为AC 的长，①()10A -，，()03C ，，①AC ==1x =时，3136y =⨯+=，①点M 的坐标为()16，；（3）解：直线l AC ∥， ①PQ AC ∥且PQ AC =，(1,0)A -，(0,3)C ， ∴设点P 的坐标为(,0)x ，则①若点Q 在x 轴上方，则点Q 的坐标为(1,3)x +， 此时，2()(113)23x x -++++=， 解得11x =-（舍去），21x =， 所以，点Q 的坐标为()2,3；①若点Q 在x 轴下方，则点Q 的坐标为(1,3)x --， 此时，2()(113)23x x --+-+=-， 整理得，2430x x --=，解得12x =22x =所以，点Q的坐标为()13-或()13-， 综上所述，点Q 的坐标为()2,3或()13-或()13-． 11．（1）解：①抛物线215y x bx c =++经过点()1,0A 和点()0,1C ，①151b c c ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，解得651b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①抛物线的函数表达式为216155y x x =-+，对称轴为直线653125x -=-=⨯，①点()3,0D ， ①点()1,0A ， ①点()5,0B ，①1OC =，3OD =，532BD =-=， 由题意得90COD CDE DBE ∠=∠=∠=︒，①90CDO EDB DEB ∠=︒-∠=∠， ①CDO DEB ∽△△， ①CO OD BD BE=，即132BE =，①6BE =， ①点()5,6E ，设直线CE 的函数表达式为1y kx =+， 把()5,6E 代入得651k =+，解得1k =， ①直线CE 的函数表达式为1y x =+；（2）解：作PF x ⊥轴，QG x ⊥轴，垂足分别为F G ，，连接FQ ，①90PFB ∠=︒，点Q 为线段BP 的中点， ①12QF QB PB ==， ①FG BG =，①QG 是BPF △的中位线， ①2PF QG =， ①点P 的横坐标为m ，①点216,155P m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0F m ，①5,02m G +⎛⎫⎪⎝⎭， 当52m x +=时，57122m my ++=+=， ①57,22m m Q ++⎛⎫⎪⎝⎭， ①211655P m F m -+=，72m QG +=，①221167525m m m +⨯+-==，解得m =，①m =； （3）解：由题意得EN DM ∥即EN x ∥轴，①点()5,6E ， ①点N 纵坐标为6，解方程2665115x x -+=，得3x =①点()3N 或()3N ，当点()3N 时，352NE =+=，①当四边形DENM 是平行四边形时，点M 的坐标为()1,当四边形DNEM 是平行四边形时，点M 的坐标为()5；当点()3N 时，532EN =-①当四边形DENM 是平行四边形时，点M的坐标为()1； 当四边形DNEM 是平行四边形时，点M的坐标为()5；综上，点M的坐标为()5M或()1M或()1或()5． 12．（1）解：由题意得：1201b x b c⎧==-⎪-⎨⎪=--+⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的表达式为：223y x x =-++；（2）由抛物线的表达式知，点B 、M 的坐标分别为：(3,0),(1,4)，则点(0,4)C ，设点()2,23P m m m -++， 则点()21,4Q m m +-+，①由点B Q 、的坐标得，直线BQ 的表达式为：y =-(2)(3)m x +-， ①POA QBO ∠=∠，则BQ OP ∥， 则直线OP 的表达式为：(2)y m x =-+，联立上式和抛物线的表达式得：223(2)x x m x -++=-+，解得：P x x m ==， 解得：34m =-， 则点Q 的坐标为：155,416⎛⎫ ⎪⎝⎭； ①存在，理由：由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y =-443x +，当CD 为对角线时，由中点坐标公式得：2214442343t m m t m m m =++⎧⎪⎨-++=-++-+⎪⎩，解得：m =(不合题意的值已舍去)； 当CP 或CQ 角线时， 同理可得：2214234443m t m m m t m =++⎧⎪⎨-+++=-+-+⎪⎩， 或22114442343m m m m m t +=+⎧⎪⎨-++=-++-+⎪⎩， 解得：7m 6=(舍去)；综上，m =． 13．（1）解：22111133(1)4244y x x x =--=--， ()1,0A ∴，当0x =时，3=-y ， (0,3)B ∴-．（2）解：存在，理由如下：由题意四边形ACMD 是正方形，则ACD 是以点A 为直角顶点的等婹直角三角形．设211,342C t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，①当M 在x 轴下方时，如图1，过点C 作CE x ⊥轴于E ，此时ACE △是等腰直角三角形，AE CE ∴=，2111342t t t ∴-=-++，11t ∴=-，21t =-此时(12C -．①当M 在x 轴上方时，如图2，过点C 作CF x ⊥轴于F ，同理可得：CF AF =，2111342t t t ∴-=--，33t ∴=43t =，∴此时(3C ． 综上所述，存在这样的点C ，使得四边形ACMD 是正方形，此时点C 的坐标为(1-或(32． 14．（1）将点()1,0A -，()4,0B ，代入24y ax bx =++，得：4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式为：2232534()24y x x x =-++=--+， ∴顶点325,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）存在，理由如下：当0x =时，4y =，()0,4C ∴，4OC ∴=，设BC 所在直线的表达式为：y kx m =+，将()0,4C 、()4,0B 代入y kx m =+，得：440m k m =⎧⎨+=⎩， 解得：14k m =-⎧⎨=⎩， BC ∴所在直线的表达式为：4y x =-+；PF x ⊥轴，OC x ⊥轴，①OC PF ∥，只要OC PF =，四边形OCPF 即为平行四边形，设点P 的横坐标为t ，则P 的坐标为：()2,34t t t -++，F 的坐标为：(),4t t -+，()223444PF t t t t t ∴=-++--+=-+，由OC PF =得：244t t -+=，解得：2t =，当2t =时，223423246t t -++=-+⨯+=，∴点P 的坐标为()2,6；（3）由题意可得如图所示：过点N 作y 轴的平行线NH ，分别过点C 、Q 作CG NH ⊥于G ，QH NH ⊥于H ， NQ CN ⊥，90CNQ CGN NHQ ∴∠=∠=∠=︒，90CNG NCG CNG QNH ∴∠+∠=∠+∠=︒，NCG QNH ∴∠=∠，tan 1NCQ ∠=，NC NQ ∴=，①()AAS NCG QNH ≌CG NH ∴=，NG QH =，设点()2,34N n n n -++， 由题意可知：抛物线的对称轴为直线32x =，()0,4C ， (),4G n ∴，32QH n ∴=-，23NG n n =-+，∴当2332n n n -=-+时，解得：1n =±，当()2332n n n -=--+时，解得：2n =综上：点N 的横坐标为1或1或2或2+． 15．（1）解：抛物线经过原点，0c ∴=， 对称轴是直线32x =-， 322b a ∴-=-，3b a ∴=，23y ax ax ∴=+，将点(1,4)A 代入23y ax ax =+， 34a a ∴+=，解得1a =，∴抛物线的解析式为23y x x =+， 设直线AC 的解析式为2y kx =+， 24k ∴+=，解得2k =，∴直线AC 的解析式为22y x =+， 当2223x x x +=+时，解得2x =-或1x =， (2,2)D ∴--；（2）解：AB x ∥轴， (4,4)B ∴-，BO ∴=BD =DO = 222BD BO DO ∴=+，BOD ∴是直角三角形， 90BOD =∴∠︒；（3）当D 在BO 上方时，设FD '与BO 交于点H ， F 是BD 的中点，BPF PDF S S ∴=， 14HPF BDP S S =， 12HPF BFP SS ∴=， HPF BFH S S ∴=，H ∴是BP 的中点，由折叠可知，PD F PDF '≌， PFD PFD S S '∴=，PFH PHD S S '∴=，H ∴是FD '的中点，∴四边形BFPD '是平行四边形， 12BF D P PD DF BD ∴====' 设(,)P t t -，= 解得1t =-或1t =（舍)， (1,1)P ∴-，PB ∴=当D 在BO 下方时，同理可得四边形BPFD '是平行四边形， 12BP D F DF BD ∴==='=综上所述：PB 的长为。