九年级数学第4讲二次函数探究_二次函数与平行四边形的综合问题教案

教学过程一、课堂导入如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标分别为A（2，3）、B（6，3），C （4，0），现要找到一点D，使得这四个点构成的四边形是平行四边形，那么点D的坐标_______________________________.问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得四边形是平行四边形并求出该点坐标时,又该如何解答呢？如果是存在两个动点又该如何解答？二、复习平行四边形性质：两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

三、例题精析【例题】1. （2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2+2x-3；(2)见解析；(3) F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）．【解析】解：（1）由题意得{−b2=−14c−b24=−4，解得：b=2，c=-3，则解析式为：y=x2+2x-3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x2+2x-3，解得x=1或x=-3，由题意点A（-3，0），∴AC=√9+9＝3√2，CD＝√1+1=√2，AD=√4+16＝2√5，由AC2+CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形；（3）∵A（-3，0），B（1，0），∴AB=4，∵点E在抛物线的对称轴上，∴点E的横坐标为-1，当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4，∴F的横坐标为3或-5，把x=3或-5分别代入y=x2+2x-3，得到F的坐标为（3，12）或（-5，12）；当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合，∴F（-1，-4）．∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）四、课堂小结平行四边形模型探究：1. 已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标。

二次函数中的平行四边形存在性问题（两定两动型）教学设计旬阳县城关一中黄涛目标：1、通过典型例题及其变式训练，进一步巩固二次函数中的平行四边形及特殊平行四边形存在性问题的解题思路和方法，体会数形结合和分类讨论思想的应用过程。

2、通过本节课的学习，感受一题多解的过程及方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。

难点：根据条件求平行四边形的顶点中动点坐标的求解。

过程：一、典型例题如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，52）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．问题1：如何用待定系数法确定适当的解析式形式？①抛物线上已知三点，可用一般式y=ax2+bx+c；②因为在已知的三点中，A、B两点为抛物线与x轴交点，则可用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。

问题2：如何借助一定的方法通过画图的方式找到M、N点？先确认已知点A、C，连接AC，根据四边形顶点的无序性利用分类讨论思想分别以AC为边和以AC为对角线两种情况进行作图讨论，作图依据平行四边形对边平行且相等的性质进行。

问题3：通过怎样的方法和手段获取点N的坐标？可利用以下四种方法或依据得出符合条件点N的坐标。

①依据对称性求点N坐标②利用三角形全等及数形结合思想求点N坐标③依据平行四边形对边平行且相等利用平移求点N坐标④依据抛物线解析式设点N 坐标为（m N 点与C 点纵坐标相等的原则列得绝对值方程，将所有符合条件的点N 及其坐标完全覆盖得解，注意取舍（这是本题最简方法）。

解：（1）解法1：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5) （a ≠0），将C （0，52-）代入得： a(0+1)(0-5)=52-解得：a=21∴二次函数的解析式为：y=21 (x+1)(x-5)即解法2：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a ≠0），∴ ，解得 .∴抛物线的解析式为： y=(2)解法1：存在，理由如下：①以AC 为边时，当N 点位于x 轴下方时，若四边形ACNM 为平行四边形，则CN ∥AM ∴N 与C 纵坐标相等∴点N 与点C 关于抛物线对称轴直线x=2对称∴N （4，52-）当点N 在x 轴上方时， 如图，过点N2作N2D ⊥x 轴于点D ， 在△AN2D 与△M2CO 中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），N2D=OC =解得x=2+或x=2﹣，2+﹣②当AC为对角线时，根据CN∥AM，过C点作x轴平行线与抛物线交点和N重合。

专题复习——二次函数中平行四边形存在性问题教学目标：1、复习二次函数及平行四边形的相关知识。

2、探索二次函数中平行四边形的存在性问题。

3、培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。

教学重点：培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。

教学难点：平行四边知识的综合应用及分类标准的理解与应用。

教学过程：【类型一】已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．方法：分别过A、B、C三个点作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求。

【类型二】，已知两定点，探求另外两点，使之构成平行四边形。

如图是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）中，若以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．P(0,3),Q(1,3) 或P(1/2, 15/4),Q(3/2,15/4（3）分两种情况，第一种情况，若OA为边，又分为两种情况①OA为边，且P在Q左侧，P（0，3）Q（1，3）或P（1/2，15/4）,Q(3/2，15/4)②OA为边，且P在Q右侧，P（2，3）Q（1，3）或P（-3/2，-9/4）,Q(-5/2，-9/4) 3）第二种情况OA为对角线，P（-3/2，-9/4）Q（1/2，9/4）或P（2，3）,Q(-3，3)【巩固提高】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠O）与x轴交于点A、B两点，其中点A在点B的左侧，其坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的对称轴为x=1，连接BC．（1）直接写出a、b、c的值。

专题复习——二次函数中平行四边形存在性问题教学目标：1、复习二次函数及平行四边形的相关知识。

2、探索二次函数中平行四边形的存在性问题。

3、培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。

教学重点：培养学生探索精神和分析问题的方法，学习分类讨论的数学思想。

教学难点：平行四边知识的综合应用及分类标准的理解与应用。

教学过程：【类型一】已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．方法：分别过A、B、C三个点作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求。

【类型二】，已知两定点，探求另外两点，使之构成平行四边形。

如图是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）中，若以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．P(0,3),Q(1,3) 或P(1/2, 15/4),Q(3/2,15/4（3）分两种情况，第一种情况，若OA为边，又分为两种情况①OA为边，且P在Q左侧，P（0，3）Q（1，3）或P（1/2，15/4）,Q(3/2，15/4)②OA为边，且P在Q右侧，P（2，3）Q（1，3）或P（-3/2，-9/4）,Q(-5/2，-9/4) 3）第二种情况OA为对角线，P（-3/2，-9/4）Q（1/2，9/4）或P（2，3）,Q(-3，3)【巩固提高】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠O）与x轴交于点A、B两点，其中点A在点B的左侧，其坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的对称轴为x=1，连接BC．（1）直接写出a、b、c的值。

二次函数与平行四边形教学目标：通过本节课的学习，让学生了解二次函数与平行四边形结合的基本类型，使学生学会能熟练运用平行四边形的判定方法解决问题，在解题过程中渗透分类讨论的思想与一题多解的数学思想方法。

教学重，难点：教学重点：二次函数的求解，平行四边形的判定教学难点：当平行四边形定点不固定时如何进行分类讨论，尤其是涉及动点问题。

教学过程设计：例1：在平面直角坐标系中，已知抛物线2142y x x =+-与X 轴交于点A ，C ，与y 轴交于点B 。

1）求A,B,C 三点的坐标。

2）点 Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能够使得点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点 Q 的坐标，并说明理由．3）在2）的条件下，若点P 是抛物线上的动点，判断又有几个位置能够使得点P ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标。

解题过程：1）令y=o,即21402x x +-=，则124,2,x x =-=(4,0),(2,0)A C ∴- 令x=0，则y=-4，(0,4)B ∴- 2)要使点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形1.O B O B A QQ A -Q -a ∴以为边时，必须∥此时点与的横坐标相同为4，（4,4） 2.OB OA BQQ B -Q -b ∴以为对角线时，必须∥此时点与的纵坐标相同为4，（4,4） 综上所述，存在两个位置能够使得点A ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形分别为点1Q -（4,4），2Q -（4,4） 3）(4,4),(4,4),(22---+---+例2：已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、，将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C（1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；:解：（1）点C 的坐标为(3,0). ∵ 点A 、B 的坐标分别为(8,0),(0,6)A B ，∴ 可设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为(3)(8)y a x x =--.将0,6x y ==代入抛物线的解析式，得14a =. ∴ 过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2111644y x x =-+. （2）可得抛物线的对称轴为112x =，顶点D 的坐标为 1125(,)216-，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G . 直线BC 的解析式为26y x =-+.- - - - - - - - - - 4设点P 的坐标为(,26)x x -+. 解法一：如图8，作OP ∥AD 交直线BC 于点P ，连结AP ，作PM ⊥x 轴于点M.∵ OP ∥AD ，∴ ∠POM=∠GAD ，tan ∠POM=tan ∠GAD.∴ PM DG OM GA =，即2526161182x x -+=-. 解得167x =. 经检验167x =是原方程的解. 此时点P 的坐标为1610(,)77. 但此时四边形的对边OP 与AD 平行但不相等，∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P.解法二：如图9，取OA 的中点E ，作点D 关于点E 的对称点P ，作PN ⊥x 轴于点N. 则∠PEO=∠DEA ，PE=DE.可得△PEN ≌△DEG ． 由42OA OE ==，可得E 点的坐标为(4,0). NE=EG=32， ON=OE －NE=52，NP=DG=2516. ∴ 点P 的坐标为525(,)216. ∵ x=52时，52526261216x -+=-⨯+=≠， ∴ 点P 不在直线BC 上. ∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P .探究提高：平行四边形中的二次函数如图，在菱形ABCD 中，2AB cm =，60BAD ∠=︒，E 为CD 边中点，点P 从点A 开始沿AC方向以每秒的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P Q ，同时停止运动，设运动的时间为x 秒．（1）当点P 在线段AO 上运动时．①请用含x 的代数式表示OP 的长度；②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当0x =时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P B E Q ，，，为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由．小结：1.学生总结：通过本节课的学习你有什么收获？（数学知识，数学思想方法）2.教师小结：二次函数与平行四边形的结合比较常见，不仅在二次函数中某C A些动点的移动会产生平行四边形，而且在平行四边形中某些动点的移动也会产生一些图像的面积会是二次函数，但是解题的关键都是熟练掌握相关知识，学会将他们联系在一起。

九年级数学《二次函数》教案初中数学二次函数教案篇一准备目标1、知识与技能(1)进一步理解表达式y=Asin(ωx+φ)，掌握A、φ、ωx+φ的含义；(2)熟练掌握由的图象得到函数的图象的方法；(3)会由函数y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质；(4)能解决一些综合性的问题。

2、过程与方法通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

教学重难点重点：函数y=Asin(ωx+φ)的图像，函数y=Asin(ωx+φ)的性质。

难点：各种性质的应用。

教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】函数y=Asin(ωx+φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y=Asin(ωx+φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。

五、归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业：习题1-7第4，5，6题。

课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业：习题1-7第4，5，6题。

板书一、素质目标(一)知识教学点使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。

主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。

此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。

就本节二次函数与平行四边形的点存在性问题，主要考查了学生能否将平行四边形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造题意所需图形的能力。

二、复习预习平行四边形的判定与性质1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形两组对边分别相等；③平行四边形两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分；3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究平行四边形的一般思路在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。