二次函数与平行四边形综合PPT优秀课件

我们先思考三个问题：1.已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2.在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？3.在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个D。

如图2，已知点A（0,3），B（-2,0），C（3,1），如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移两个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D（5,4）。

如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直）。

点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等。

关系式和有时候用起来很方便。

1.(青海倒一)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想△EDB的形状并加以证明；（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.（陕西倒二）在同一直角坐标系中，抛物线C1:y=ax2-2x-3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．3.（宿迁倒一）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．4.（临沂倒一）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．5.（枣庄倒一）如图，抛物线y=－1/2x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6.（烟台倒一）如图1，抛物线y=ax2bx+2与轴交于A,B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由.7.（邵阳倒一）如图所示，顶点为（1/2，－9/4）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y＝k/x （k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．8.（岳阳倒一）如图，抛物线经过点B（3,0），C（0，-2），直线交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点.P为抛物线上一动点（不与A、D重合）.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线下方时，过点P作PM∥轴交于点M，PN交y轴交于点N.求PM+PN的最大值（3）设F为直线上的点，以E、C、P、F,为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能求出点F的坐标；若不能，请说明理由.9.（湖北咸宁）如图，抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.⑴求抛物线的解析式及点D的坐标；⑵连接BD,F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；⑶平行于x轴的直线交抛物线于M,N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=1/2MN 时，求菱形对角线MN的长.10.（雅安倒一）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，0)，B(-3，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD.（1）求抛物线的解析式．（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F、N、G、M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．。

学习过程一、复习预习（一）利用待定系数法求抛物线解析式的三种常用形式： （1）【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； （3）【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。

（二）抛物线上两个点A （x 1，y ），B （x 2，y ）之间的关系： (1)如果两点关于对称轴对称，则有对称轴2x 21x x +=；(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。

(3)中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。

练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是(4)如图：PG ∥X 轴，QG ∥Y 轴，P 点的横坐标为，G 点的横坐标为，纵坐标为，Q 点的纵坐标为，则线段PG=，QG=。

（三）求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

B 铅垂高 水平宽haA（四）二次函数中三角形面积、周长的存在性问题解题思路：（1）如果是一个三角形面积为一个三角形面积的多少倍，则分别表示出每个三角形的面积去求解；如果是一个三角形面积为固定值，则用含有未知数的式子去表示面积去求解；如果是三角形周长最小，则做对称点去求解；如果是三角形面积最大，则划归为二次函数最值问题去求解。

向右平移6个单位长度向上平移2个单位长度二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：点P（x,y）的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b 个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b 个单位长度(x,y-b)例1：如下图，线段AB平移得到线段BA''，已知A（-2,2）,B（-3，-1）B'（3,1）则：点A'的坐标是例2.在平行四边形ABCD中，其中已知A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，则D点坐标？二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为()11,yxA、()22,yxB、()33,yxC、()44,yxD，已知其中任意3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？∵AB∥CD,AB=CD∴边CD可看成由边BA向右、向上平移n个单位长度得到三、对点法即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等.①若点A与点B相对，则点D与点C相对②若点A与点D相对，则点B与点C相对③若点A与点C相对，则点B与点D相对四、典型例题学习例4.如图,平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,-2),C(3,1)点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是五、小试牛刀1.抛物线中的平行四边形存在性问题（“三定一动”）例5.已知,抛物线2x y 2++-=x 与x 轴的交点为A 、B,与y 轴的交点为C,点M 是平面内一点,判断有几个位置能使以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,请写出相应的坐标.思路点拨：先求出A （-1,0）B （2,0）C （0,2）设点M （x,y ）①点A 与点B 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 200021 ∴⎩⎨⎧-==21y x②点A 与点C 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 020201 ∴⎩⎨⎧=-=23y x③点A 与点M 相对⎩⎨⎧+=++=+-200021y x ∴⎩⎨⎧==23y x∴ M （1，-2）或（-3,2）或（3,2）2.抛物线中的平行四边形存在性问题（“两定两动”）例6.如图,平面直角坐标系中,x x +-=241y 与x 轴相交于点B(4,0),点Q 在抛物线的对称轴上,点P 在抛物线上,且以点O 、B 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.思路点拨：此题与上一题方法一样，但需设出两动点坐标设点P （m ,m m +-241）, Q(2,a)下面请您自己列出方程并解答：变式题:1.如图,平面直角坐标系中,421y 2-+=x x 与y 轴相交于点B(0,-4),点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.变试题:2.如图,平面直角坐标中,32x y 2--=x 与x 轴相交于点A(-1,0),点C 的坐标是(2,-3),点P 抛物线上的动点,点Q 是x 轴上的动点,判断有几个位置能使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。

学习过程一、复习预习（一）利用待定系数法求抛物线解析式的三种常用形式： （1）【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； （3）【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。

（二）抛物线上两个点A （x 1，y ），B （x 2，y ）之间的关系： (1)如果两点关于对称轴对称，则有对称轴2x 21x x +=；(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。

(3)中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。

练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是(4)如图：PG ∥X 轴，QG ∥Y 轴，P 点的横坐标为，G 点的横坐标为，纵坐标为，Q 点的纵坐标为，则线段PG=，QG=。

（三）求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

B 铅垂高 水平宽haA（四）二次函数中三角形面积、周长的存在性问题解题思路：（1）如果是一个三角形面积为一个三角形面积的多少倍，则分别表示出每个三角形的面积去求解；如果是一个三角形面积为固定值，则用含有未知数的式子去表示面积去求解；如果是三角形周长最小，则做对称点去求解；如果是三角形面积最大，则划归为二次函数最值问题去求解。

一、二次函数与平行四边形综合【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、，将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ，为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围.【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90︒得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值；⑵ 点A 位置改变时，AMH ∆的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．【例3】 如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）．（1）求AB 的长；（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究例题精讲二次函数与平行四边形综合性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点()1236，在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么()1236，表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系. 赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题.R Q BCA【例4】 如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确 定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE ∆的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE ∆的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN =∠°？若存在，请直接写出点P 的坐标．【例5】 如图，已知抛物线1l ：24y x =-的图象与x 轴相交于A C 、两点，B 是抛物线1l 上的动点(B 不与A C 、重合)，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D ．（1）求2l 的解析式；（2）求证：点D 一定在2l 上；（3）平行四边形ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：计算结果不取近似值．）BD Ay=x 2-4【例6】 如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是()40A -，，()20B -，，()08E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，说明理由．【例7】 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为()01，，直线l 过()01B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴、直线l 于C Q 、，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ． ⑴ 求证：H 点为线段AQ 的中点； ⑵ 求证：四边形APQR 为菱形；⑶ 除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没有，请说明理由．x【例8】 如图，在平面直角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直线2y =+与y 轴的交点A 和点0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）将（1）中所求抛物线沿x 轴平移．①在题目所给的图中画出沿x 轴平移后经过原点的抛物线大致图象；②设沿x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB 相交于C 点．判断以O 为圆心，OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由；（3）P 点是沿x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。