最新浙教版九年级数学下册1.1锐角三角函数公开课优质PPT课件(3)

回味无穷
▪ 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A 的正切,习惯省去“∠”号； 3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序, 且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关, 而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函
(2) BC和 B1C1 , AC 和 AC1, BC
AB AB1 AB AB1 AC
和 B1C1有什么关系?
AC1
BC B1C1
=
AB AB1
AC AC1
=
AB AB1
BC B1C1
=
AC AC1
C1
想一想
B
ß
A
C
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形ABC有什么关相系似?
B1 (2) BC 和 B1C1 , AC 和 AC1, BC
1、sinA 不是一个角 2、sinA不是 sin与A的乘积 3、 sinA 是一个比值 4、sinA 没有单位
▪ 求出图19.3.3所示的Rt△ABC中∠A的三个三 角函数值.
8
15
图 19.3.1
例2 如图:在Rt△ABC中 ,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.
C 200
值变了吗？
对于锐角A的每一个确定的值，其对 边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边 的比值也是惟一确定的
这几个比值都是锐角∠A的函数，记
作sin A、cos A、tan A，即

w2 一辆汽车沿着一山坡行驶了100m,
34
2
5
其铅直高度上升了50m.求山坡与水平
6
面所成的锐角的大小.
7
w3. 图中的螺旋形由一系列直角三角形组
成.每个三角形都不得是以点O为一顶点.
w(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小. w(2)已知∠An-1OAn,是一个小于200的角,求 n的值.tanA7O8A 180.353, 6∴∠A7OA8=19.470.∴n=8.
sinABC101. AC 40 4
w那么A是多少 度呢? w要解决这问题,我们可以借助科学计算器.
w请与同伴交流你是怎么做的?
做一做 3
知识在于积累
w已知三角函数值求角度,要用到三个键, sin cos tan 和第二功能键Sin-1 cos-1 tan-1 和2ndf .
w例如,
SinA=0.9816 CosA=0.8607 tanA=0.1890
∴V型角的大小约550.
学化
呀!
随堂练习 7
真知在00m,其铅直高度 上升了50m.求山坡与水平面所成的锐角的大小.
咋办
?
w老师期望: w你具有成功的把握.
例题欣赏 5
行家看“门道”
w例2 如图,一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.
在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且
tanA=56.78
按键的顺序 2ndf Sin-1 0 . 9 8 1 6 = 2ndf cos-1 0 . 8 6 0 7 = 2ndf tan-1 0 . 1 8 9 0 = 2ndf tan-1 5 6 . 7 8 =
显示结果
Sin-1=0.9816 =78.99184039 coS-1=0.8607 =30.60473007 tan-1=0.1890 =10.70265749

定义:
B
比值
BC AB
，叫做∠α的正弦
记做：sinα 比值
AC AB
，叫做∠α的余弦
记做：cosα

A C
比值
BC AC
，叫做∠α的正切
记做：tanα
B
在Rt△ABC中
sin A ∠A的对边 斜边
斜边 ∠A的对边
cos A
∠A的邻边 斜边
∠A的对边 ∠A的邻边
A
∠A的邻边
C
tan A
三角函数的定义，必须在直角三角形中. (∠A是锐角)
13
B
(3)观察(1)(2)计算结果，你发现了什么？
sin A = cos B cos A = sin B
比值 相等
探索30°的正弦、余弦、余切的值.
M P
解：设PH=1，即OP=2
1 3 3 sin 30 = ,cos 30 = ,tan 30 = 2 2 3
∴OH=
3
O
30°
H
N
1.在Rt△ABC中，斜边AB是直角边AC的4 倍，则tan A=________. 15 B
30°
150米
乙队
40°
B a米 200 米 甲队 150米 A
30°
B
BM
AB=150米， BC=75米； AB=200米， BC=100米； 1 AB=a米， BC= a米. 2
C C CN
思考：在上述过程中，哪些量是保持不变的？
Ｂ
A
结论 : M B B B 在直角三角形中，当∠A=30 °时， B B B B
C N
BC 比值 是一个确定的值. AB
30°
与点B在角的边上的位置无关.

• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/142021/1/142021/1/141/14/2021 6:41:13 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/142021/1/142021/1/14Jan-2114-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/142021/1/142021/1/14Thursday, January 14, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/142021/1/142021/1/142021/1/141/14/2021
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
边之比 定义 表示 公式
B
∠A的对边a 正弦函数
斜边c
∠A的
对边 ∠A的邻边b
a
斜边c
余弦函数
sinA cosA
sssiiinnn
AAA
===
aaa ccc
cccooosss
AAA
===
bbb ccc
A
∠ A的邻边b
C
∠A的对边a ∠A的邻边b
正切函数

？ 求BE的长．
B(山顶）
H
当锐角为30°时，
30°
西坡
其所对的直角边与
斜边之比始终
30°
A
D
B(山顶）
为 1．
C
2
E
东坡
当锐角为45°时，
其所对的直角边
30°
CF
D
B(山顶）
与 斜边之比始 终为 2 ．
2
当锐角为50°时，
G 南坡
这个比值是一个确 定的值．
C
HD
任意作一个锐角∠A，在角的边上任意取两点B
与B1分别作BC⊥AC于点C ，B1C1⊥A1C1于点C1.
判断 BC 与 B1C1 是否相等，并说明理由. B１
AB
AB1
B
A
C C１
对于每一个确定的锐角α，在角的边上任意取
一点B作BC⊥AC于点C，比值 BC 是一个确
定的值．
AB
B
A
C
直角三角形中锐角ɑ与其对边与斜边比值关系
ɑ
BC （对边与斜边比值）
1.1锐角三角函数（1）
我关心的是本质 其它都是细节（爱因斯坦）
一 情境创小设红、小强、小颖约好去爬山，他们沿不同倾 斜度的三条道路上山，若山顶与山下的铅垂距离为100 米，你能分别求出他们到达山顶要走的路程吗？
南坡
50°
小颖出发地
西坡
东坡
30°
小红出发地
45°
小强出发地
转化成的数学问题 B(山顶）
2.sinα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.
练一练
1. 如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12B.
5
计算：（1）sinA= 13.

1.1 锐角三角函数（1）
复习回顾
勾股定理
?当直角三角形的锐角不是
直 角
特殊角度时，三边之间是否
三
也有类似的定值数量关系呢？
角
形
想一想
B
A
C
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三角形ABC 有什么关系? (2) BC 和 B1C1 , AC 和 AC1 ，
AB AB1 AB AB1
BC 和 B1C1有什么关系?
D 是 BC 边上的一点，且 BD＝4，则 tan∠ADC＝________．
变式 3、如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinB＝3.点 D 在 BC 边上， 5
且 AC＝DC＝6，则 tan∠BAD＝______．
例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900, AC=200,sinA=0.7.
B. 2 2
C. 3 2
D. 2
4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶2，则 sinA＝_____，
cosA＝____，tanB＝_____.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20， 则∠B的度数为________．
6.如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC 于点 D，∠CBD＝α，AB＝3，BC＝4， 求 sinα，cosα，tanα的值．
C
4
A
前提条件：在直角三角形中！
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5，BC=3.
求:∠A的正弦,余弦和正切;
B
5 3
A
4
C
变式1：如图,已知一锐角A, sinA= 3
B
5
求:∠A的余弦和正切;
A

课内练习2,3，作业题6
课堂小结
B
看图说话:
c
直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. A
a
┌
b
C
特殊角300,450,600角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
300
同角之间的三角函数关系
450
450 ┌ 600 ┌
锐角α 30° 45° 60°
正弦sinα
1 2
2
3
2
2
这张表还可以 余弦cosα 3
看出许多知识之间
2
21 22
的内在联系?
正切tanα
3
1
3
3
巩固新知
提示:
例2 求下列各式的值： Sin2450表示(sin450)2,
(1)2sin300-3cos600;
cos2450表示(cos450)2, 其余类推.
回顾旧知
直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻
边和斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , c
cos A b , c
sin B b , c
cosB a , c
tanA=
a b
tanB= b A
a
B
c
a
┌
b
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数。
(2)cos2450+tan600·sin600.
(3)
课内练习1 (1)2cos300·sin600; (2)sin2450-2sin450·cos600.
(3)sin2 300 cos2 300.

观察以上计算结果,你发现了什么?
sinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90）
tanA·tanB=1
(∠A+∠B=90）
B
c
a
┌
A
b
C
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
sin B b cos B a
c
c
tan B b a
如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论正确
锐角A，A′的余弦值的关系为（ ） A
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定 2．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（ C）
3 A．4
4 B．3
C．4 5
3
D．
5
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，
是关于锐角α的三角函数。
AB AB AC
B
A
C
锐角α的正弦，余弦和正切统称∠α的三角函数.
比值 BC 叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
AB
BC
比值 AC
即sinα= AB
叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
AB
即cosα= AC
AB 比值 叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
b，c，则下列各项中正确的是（ ） B
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 2 ，则tanB等于（ ）
C

5 12 5 12 A.12 B. 5 C.13 D.13
7．(4分)如图所示，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自 动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ， 则tanθ的值等于 ( A)
343 4 A.4 B.3 C.5 D.5
,第7题图)
8．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
解：∵∠B＋∠BDE＝90°，∠B＋∠BAC ＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，∴tan∠BDE ＝tan∠BAC＝ABCC＝ ABB2－C BC2＝ 37＝37 7.
19．(10 分)如图，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 α 的邻边 与对边的比叫做角 α 的余切，记作 cotα，即 cotα＝角 角αα的 的邻 对边 边 ＝ABCC，根据上述角的余切定义，解下列问题：
1．1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数的概念
B 1．(4分)下列说法正确的是 ( )
(1)cosα表示角α与符号cos的乘积； (2)在△ABC中，若∠C＝90°，则c＝b•sinB； (3)在直角三角形中，不论三角形的边长大小如何，如果其中一个锐角为20°不 变，那么20°角的正弦值的大小也不变； (4)在直角三角形中，锐角A的正弦值在0和1之间． A．(1)(2) B．(3)(4) C．(2)(3) D．(1)(4)
4．(4分)把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A
的正弦函数值 (A)
A．不变 B．缩小为原来的
3
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定 2
5．(4分)如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中， 则tan∠AOB的值是 ( B)

多少度?
(1)sin300等于(děngyú)多少?
450
(2)cos300等于(děngyú)多少? (3)tan300等于多少?
450 ┌
300
600 ┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
第三页，共18页。
做一做
2
B
1
30°
A
C
3
1
sin30°=
2
cos30°= 3 2
tan30°= 3
第九页，共18页。
老师提示: Sin2600表示 (biǎoshì)(si n600)2, cos2600表示 (biǎoshì)(co s600)2,其余 类推.
计算(jì suàn):
(1)sin600-cos450;(2)cos600+tan600;
3 2 sin 450 sin 600 2 cos 450.
3
cot30°= 3
第四页，共18页。
(5)sin450,sin600等于(děngyú)
多(少6)?cos450,cos600等于(děngyú)
300
多少?
(7)tan450,tan600等于(děngyú)
450
多少? 老师期望:
450 ┌ 600 ┌
你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个重新认识
B
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别(fēnbié)
是a,b,c.
求老证师:期sin望2A:+cos2A=1
A
c
a
┌
b
C
sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数的 关系,且它更具有灵活(línɡ huó)变换的特点,若 能予以掌握,则将有益于智力开发.

cosA=
=

∠的邻边
温馨提醒：以正弦为例
sinA（省去角的符号），
30°的正弦表示为sin30°，比值 叫做∠A的正切值，记做tanA，即
斜边

∠BAC的正弦表示为sin∠BAC

，∠1的正弦表示为:sin∠1.
tanA=
∠的对边
∠的邻边
=

概念运用
①BC=8，AC=6
概念



cosA=

= ，

tanA=

4
3
sinA=
4
5
3
= ，
5
= .
解后反思：在直角三角
形中，已知什么条件可
以求三角函数值?
课堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于
点D，若BC=5，BD=4，求sin∠A.
C
A
B
思路1：求AB的长
思路2：等角转化
△BCD∽△BAC
B"
P
C" Q
图（1）
图（2）
角为30°
’’ 1
""
=
= =
’’ 2
"
’’
3 "
=
=
=
’’
2
"
’’
3 ""
=
=
=
’’
3
"
请先按暂停键！
思考完成后
再按回播放键！
边的比值为定值
探索规律
当∠PAQ发生改变时，刚才所获得的发现是否还成立呢？
解:设AB=5k，AC=3k，

及其三角函数 求另一边
求另一边
sin A a , c
acsin A. c a . sin A
B
ca ┌
A bC
cos A b , c
bccoA.s c b . cos A
A
tan A a , b
abtaA n. b a . tan A
α β┌
w 2模型: A D ta9n00 ata9n00 . B a C
Bα
β
C
A
w9 如图,根据图中
已知数据,求AD.
α β┌ Ba C D
探索下列关系式是否成立（00〈α〈900）？
（1） sinα+cos α≤1 （2） sin2α= 2sinα
P16 习题1.4 1,2题
w1.用计算器求下列各式的值： w(1)tan320;(2)sin24.530; w(3)sin62011′;(4)tan39039′39 ″w2..如图,物华大厦离小伟家60m,小伟 从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶 部仰角是450,而大厦底部的俯角是370, 求该大厦的的高度 (结果精确到0.1m).
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/192020/12/192020/12/1912/19/2020 11:30:37 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/192020/12/192020/12/19Dec-2019-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/192020/12/192020/12/19Saturday, December 19, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/192020/12/192020/12/192020/12/1912/19/2020

sin30 a 1 2a 2
30°
cos30 3a 3 2a 2
tan30 a 3 3a 3
sin60 3a 3 2a 2
cos60 a 1
2a 2
60°
tan60 3a 3 a
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
sin45 a 2 2a 2
cos45 a 2
12 1 3 22
1 3 2
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
3 312 3
3
2
31 3
2 3 1
(3) cos60 1 1sin60 tan30
1 2 1
1 3 3 23
2 3 3
2
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC 7,AC 21
B
求∠A、∠B的度数．
7
解： 由勾股定理
1?scio n232s40+ 5+ta2 t4an5n + c3o s0 26 isn3 0 0
2、已知：α为锐角，且满 足 3tan2-4t a+ n3 =0，求α的度 数。 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
1-2sinAcosA
小结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
50n ，单项式 • （2）某城市预计明年固体污染物排放的增长率为-11.2%。
设今年该市固体污染物排放总量为x万吨，那么预计明年 该市固体污染物的排放总量为多少？
（1-11.2%）x，单项式 • （3）已知一个二位数的个位数字是b，十位数字是a。用
关于a和b的代数式表示这个二位数。
10a+b，多项式
5 4.多项式 8 abm-3ab-3是关于a,b三次三项式，