11 锐角三角函数 演示文稿_图文

BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫

(C) 0＜cosA＜ 3 2
(D) 3＜cosA＜1 2
3.特殊角300,450,600角的三角函数值.
锐角a 三角 函数
sin a
cos a
tan a
30° 45° 60°
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
练一练
求下列各式的值： (1) sin230°+ cos230°－tan45°.
（2）3tan 30 tan 45 2sin 60；
求sin∠ABC的值。
构建直角三角形求三角函数值
求sin∠ABC的值。
解:过点A作AD⊥BC于D.
等腰三角形常作底边上的高线。
归纳：已知值，求角 求cosB 及tanB 的值.
(C) 0＜cosA＜
(D) ＜cosA＜1
求锐角三角函数值的四种常用方法
方法
1
直接用锐角三角函数的定义求 三角函数值
1.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
那么 cosA 的值等于 ( D )
A. 3 4
B. 4 3
C. 3 5
D. 4 5
方法 2 巧设参数求三角函数值
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，且sinB=
12 13
，
5
则tanA= 12 .
方法
3 利用等角转化法求三角函数值
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD， CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．
17
E

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晓月闲移三尺剑；孤灯苦读五更书。
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锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02

就能求精出选p锐pt课件角三角函数值．
5
练习：
1、 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、
∠B、∠C的对边分别是a，b，c，
根据下列条件计算∠A的正弦、余
弦和正切值．
（1）a=2 2，b= 17
在直角三角形中进行 三角函数的相关计算
（2）b ：c = 2 ：3 时，要画出图形，根
据勾股定理计算出各
（3）cosB=2/3
公式应用：
1、若sinα=cos15 °, 则锐角α＝ 度。
2、若tanA ·tan15°= 1，则锐角∠A = 。
3、在Rt△ABC中，∠C = 90°，若sinA = cosA ，则tanA = 。
4、如果α是锐角，且sin2α+cos2 35º=1，那么α＝ 度。
5、已知sinα+cosα= 2，则sinα·cosα= 。
想一想：那么 D tanα的取值范
围是什么呢？
C
tanα> 0
ＡA α
BB
精选ppt课件
12
小测验
∠B=900
1、如图，在△ABC中，若AB=10，BC=6，
求sinA的值。
B
10
6
A
C
精选ppt课件
13
小测验
A
2.如图:在等腰△ABC
中,AB=AC=5,BC=6.
5
5
求: sinB,cosB,tanB. B
条边长，然后利用三
角函数的定义计算，
注意准确记住各个三
角函数表示的线段之
比。 精选ppt课件
6
练习：
2、在Rt△ABC中，如果一条直角边和
斜边的长度都缩小至原来的1/5，那么锐

余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。

那么
BC 与 B ' C ' 有什么关系．你能解释一下吗？
AB
A'B '
B' B
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以
Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB B'C' A' B'
BC B'C' AB A' B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角
•
8.正是在大米的哺育下，中国南方地 区出现 了加速 度的文 明发展 轨迹。 河姆渡 文化之 后，杭 嘉湖地 区兴盛 起来的 良渚文 化，在 东亚大 陆率先 迈上了 文明社 会的台 阶，成 熟发达 的稻作 农业是 其依赖 的社会 经济基 础。
•
9.考查对文章内容信息的筛选有效信 息的能 力。这 类试题 ，首先 要明确 信息筛 选的方 向，即 挑选的 范围和 标准， 其次要 对原文 语句进 行加工 ，用凝 练的语 言来作 答。
形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角
三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大。
正弦函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边 与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA 即
B
sinAA斜 的边 对边 ac
例如，当∠A＝30°时，我们有
3
A
4C
sinB就是要 确定∠B的对 边与斜边的
（2）在Rt△ABC中，
sinA BC 5
B 5
比
AB 13

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做学问要花功夫，持之以恒，日积月累。
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汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
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2021/3/2
16
我来试一试：
1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是_________,∠P的邻边是___________; ∠M的对边是________,∠M的邻边是___________;
2、求出如图2所示的 Rt△DEC(∠E＝90゜)中∠D的四 个三角函数值(用字母表示).
3、设Rt△ABC， ∠C＝90゜ ∠A、 ∠B、 ∠C的对边分别为a、b、c，根 据下列所给条件∠B的四个三角函数值：
BC AC B1C1 AC1
2021/3/2
BC B1C1 AC AC1
BC AC B2C2 AC2
BC B2C2 AC AC27 Nhomakorabea所以
B1C 1
B2C2
＝___A_C_1___=__A__C_2 ___=
a b
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的
值，其对边与邻边的比值是惟一确定的.
（1）a=3，b=4； （2）a=5，c=13.
2021/3/2
13
4、如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90゜，
sinA= 3 ,AB=15，求△ABC的周长和tanA的值. 4
2021/3/2
14
知识回顾：
本节课我学会了： 1、正弦 2、余弦 3、正切 ……
2021/3/2
15
Thank you
cos A=
A的邻边 ACb
斜边
AB c

注意：sinA不表示“sin”乘以“A”. 正弦常见写法有以下两种形式：
(1)sinA，sin42°，sinβ（省去角符号）;
(2)sin∠DEF，sin∠1（不能省去角符号）.
第4页
例题精讲 【例1】如图28-1-4，在Rt△ABC中，BC=8， AC=10. 求sinA和sinB值.
第5页
解析 依据正弦定义知sinA= ，sinB= . 因为AB未知，所以应先依据勾股定理求出AB.
（1）求证：DC=BC； （2）若AB=5，AC=4，求 tan∠DCE值．
第36页
第37页
第38页
第17页
锐角三角函数概念:锐角A正弦、余弦、正切都叫 做∠A锐角三角函数.三角函数实质是一个比值，这些 比值只与锐角大小相关，与直角三角形大小无关. 当 一个锐角值给定，它三个三角函数值就对应地确定了 ，另外，并非只有在直角三角形中才有锐角三角函数 值，而是只要有角就有三角函数值.
第18页
2. 各锐角三角函数之间关系： （1）互余关系：sinA=cos（90°-A）， cosA= sin（90°-A）. （2）平方关系：sin2A+cos2A=1. （3）弦切关系：tanA=
方法规律
第32页
第33页
7. （6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B ，∠C对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B三角函 数值.
第34页
第35页
8. （6分）如图KT28-1-2所表 示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直 径，点D在⊙O上，过点C切线交AD 延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
解析 作出图形如图28-1-10，可得AB=500 m，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求 得BC长度.

2021年甲学校的初一新生招生中招了500名,乙学 校的初一新生招生中招了600名,随着方案生育的开 展 ,现在甲学校的初一新生招生中招了300名,乙学 校的初一新生招生中招了360名 ,哪种学校学生的 年平均下降率较大?
分析:甲校初一学生年平均下降额为 (500 -300)÷2 =100(元)
乙校学生年平均下降额为 (600 -360)÷2 =120(元)
sinA = 3 5
B• CD⊥AB ,求锐角∠DCB的余弦
D
C
A
• 一辆汽车从高架桥引桥的入口到高架桥路
面总从共行数驶学了到大约实30际m的,回距离归,假情设景该段引
桥的坡角约为15° ,请问高架桥的路面离地 大约多少米 ?
回归情景 ,解决问题
归纳小结 ,反思提高
数
锐角三角函数
A
归纳小结 ,反思提高
生活普遍存在,有一定的模式
假设平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是b,那么它们的数量关系可表示
a(1为x)n b
其中增长取 +,降低取－
一路下来 ,我们结识了很多新知识 ,也 有了很多的新想法 .你能谈谈自己的收获 吗 ?说一说 ,让大家一起来分享 .
BC
AC
BC
si nα= AB cosα= AB tanα= A C
B
锐角α的正弦、余弦、正切 统称为∠α的三角函数
α
AC
新知探究 ,明确定义
• 如图 ,在Rt⊿ABC中 ,∠C =Rt∠
si nA= BC AB
co sA= A C AB
t a n A=BABCC
∠A的对边 sinA= 斜边 c o s A=∠A 的邻边

13 5
解：如图（2）在Rt△ABC中，
BC 5 sin A , AB 13
C
(2)
A
AC AB2 BC 2 132 52 12
AC 12 因此sin B AB 13
小试牛刀
1.判断对错:
BC √ ） 1) 如图 (1) sinA= （ AB
BC (2)sinB= （×） AB
B 3
解：如图（1）在Rt△ABC中，
C
B 13
5
A
AB AC BC 4 (1)
4
2 2
2
C 3
2
5
B
(2)
A
13
BC 3 AC 4 因此sin A , sin B AB 5 AB 5
5
C
(2)
A
试一试
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 B sinA和sinB的值．
B 10m 6m C
(3)sinA=0.6m （×） (4)SinB=0.8 （√ ） BC 2)如图，sinA= （× ） AB
A
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
小试牛刀
2倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
）
1 B.缩小 100
B
a
c
C
b
A
独立完成作业的良好习惯，
是成长过程中的良师益友。
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比 也是一个固定值．
直角三角形的一个锐角的对边与斜边 的比值为这个锐角的正弦
如：∠A的正弦 记作：sinA 即 a ∠A的对边 sinA= = 斜边 c

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D
A
F
E
C
B
哪个轨道更陡？
你是如何判断的？
问题1：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你
是怎么判断的？
问题2：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你
是怎么判断的？
E
(1)
B
(2)
4m
6m
A
2m C
D
3m
F
问题3：如图，梯子AB和DE哪个更陡？你
是怎么判断的？
(1)
B
(2)
E
4m
A
3m C
3m
D
2m F
（2）若AC=9，AB=15，求
tanA和tanB
B
C
如图，某人从小山坡下的B点走了15米到达坡顶的A， 已知点A到坡脚的垂直距离为9m，求坡的坡度.
A
坡角
B
C
练 如图:求tanC=( C
(A) 1 (B) 5 (C) 4
6
3
B
) (D) 5
3
5
5
4
构造直角三角形
A 3 D6 3 C
在非直角三角形中求角的正切值，要作辅助 线构造直角三角形来解决问题.
小组活动3：
探索30°，45°，60 ° 角的正切值.
小组活动4：
如图，△ABC是等腰直角三角形，
∠C=90°. 若 AD是BC边上的角平
分线， 求∠BAD的正切值.
B
D
A
C
将本堂课记录的角度及 它的正切值填入表格
（按角的度数从小到大排列）
1、谈谈本节课的收获. 2、说说团队合作的感受.
作业布置：
邻边的比值改变吗？
B
B1
A
C1