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锐角三角函数◆考点聚焦1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，•这也是本节的重点和难点．2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值．3．会用计算器求出已知锐角的三角函数值．4．已知三角函数值会求出相应锐角．5．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点．◆备考兵法充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆．◆识记巩固1．锐角三角函数的定义：如图，在Rt△ABC中，∠=90°，斜边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则sinA=______=_______；cosA=______=_______；tanA=______=_______．2．填表：30°45°60°sinαcosαtanα注意：30°，45°，60°的三角函数值是中考的必考考点，其他数值是利用数形结合的方法推导的，要求在理解的基础上进行识记．3．锐角三角函数间的关系：（1）互为余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=____，cos（90°-α）=_____．（2）同角三角函数的关系：①平方关系：sin2α+cos2α=_______；②商数关系：sincosαα=_______．注意：对于互为余角的锐角三角函数关系，要求学生能利用定义，•结合图形进行理解，并能灵活运用公式；对于同一锐角三角函数的关系，仅让学生了解，不作中考要求．4．锐角三角函数值的变化：（1）当α为锐角时，各三角函数值均为正数，且0<sinα<1，0<cosα<1，当0°≤α≤45°时，sinα，tanα随角度的增大而_______，cosα随角度的增大而_______．（2）当0°<α<45°时，sinα_____cosα；当45°<α<90°时，sinα______cosα．识记巩固参考答案1．A∠的斜边斜边acA∠的邻边邻边bcAA∠∠的对边的邻边ab2．122232322212321 33．（1）cosα sinα（2）①1 ②tanα4．（1）增大减小（2）< >◆典例解析例1 （2011某某某某，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8．（l）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．【解】（1）∵BF=CF ，∠C=030，∴∠FBC=030，∠BFC=0120又由折叠可知∠DBF=030∴∠BDF=090（2）在Rt △BDF 中，∵∠DBF=030，BF=8∴BD=3∵AD ∥BC ，∠A=090∴∠ABC=090又∵∠FBC=∠DBF=030∴∠ABD=030在Rt △BDA 中，∵∠AVD=030，BD=43∴AB=6．6. （2011某某襄阳，19，6分）先化简再求值：412)121(22-++÷-+x x x x ，其中160tan -︒=x . 【答案】原式12)1()2)(2(212+--=+-+⋅+--=x x x x x x x ················· 2分 当13160tan -=-︒=x 时， ···················· 3分 原式13333113213-=--=+----=. 6分例2 已知α为锐角，且tan α=______． 解析 方法一：在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan α=2，令，b=2，则此时． ∴sin α=a ccos α=∴原式===1)332326-⨯==． 方法二：∵tan α=sin cos αα=2． ∴2sin αα．又∵sin 2α+cos 2α=1．==12()22-===． 方法三：∵tan α=sin cos αα=2，sin 2α+cos2α=1． ∴原式sin cos ||cos ααα-===|tanα-1|=|22-1|=222-．答案222 -例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．解析过点B作BE⊥AD，交AD延长线于E．∵∠C=90°，∴sinB=ACBA=35．∵∠ADC=45°，∴AC=DC=6，∴AB=10，BC=8，∴BD=2．∵∠ADC=45°，∴∠BDE=45°，∴DE=BE=22BD=2．又∵在Rt△ACD中，AD=DC=62，∴AE=72，∴tan∠BAD=272BEAE==17．点评要求∠BAD的正切值，首先得将∠BAD转化到某一直角三角形中去，因此通过作垂线，构造直角三角形是解决这个问题的关键．2011年真题1. （2011某某某某，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为A ．12B ．13C ．14D ．24【答案】B2. （2011某某某某，9,3分）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于 A.43 B.34 C.53 D. 54【答案】B3. （2011某某内江，11，3分）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC 的面积为 A ．83B ．15C ．3D ．3【答案】C4. （2011某某某某，13，3分）如图，△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝53，则△ABC 的面积是（） B A C D EAB C C ’B ’A ．221B ．12C ．14D ．21 【答案】A5. （2011某某某某，8，4分）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A ．12B ． 34C ． 32D ．45【答案】C6. （2011某某日照，10，4分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A =ab ．则下列关系式中不成．．立．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A（C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1【答案】D7. （2011某某某某，9,4分）如果△ABC 中，sin A =cos B 2，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形【答案】C8. (2011 某某某某，4，3)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC =2，则tan A的值为A．2B．12C．55D．255【答案】B9. （2011某某某某，5，4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )A．513B．1213C．512D．135【答案】A10．（2011某某某某2，3分）如图，在4×4的正方形网格中，tanα=A．1 B．2 C．12D．52【答案】B11. （2011某某某某，8,4分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y 轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A．12B．34C．3．45【答案】B12. （2011某某黄冈，9，3分）cos30°=（ ）A ．12B ．22C ．32D ．3【答案】C13. （2011某某某某，8，3分）如图，已知：9045<<A ，则下列各式成立的是A ．sinA ＝cosAB ．sinA >cosAC ．sinA >tanAD ．sinA <cosA【答案】B14. (20011某某某某,6,2分)如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为 D.若AC=5,BC=2,则sin ∠ACD 的值为( )A.53B.255C.52D.23答案【 A 】15. （2011某某某某，9，3分）cos30°=（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．3【答案】C16. （2011某某荆州，8，3分）在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则B sin 的值是A ．1475B ．53C ．721D ．1421 【答案】D17. （2011某某某某，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm ，∠C=90°，tan∠BAC=33,则边BC 的长为( ). A. 303cm B. 203cm C.103cm D. 53cm（第11题图）【答案】C18.二、填空题1. （2011某某某某，13,3分）如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB=【答案】105°2. （2011某某滨州，16，4分）在等腰△ABC 中，∠C=90°则tanA=________.【答案】13. （2011某某某某，14，3分）如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.【答案】124. （ 2011某某江津， 15，4分）在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC=5,AB=12,sinA=_________. 【答案】125· 5. （2011某某某某，18，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD=22，则△ABC 的周长等于.DAC B1C1【答案】6236. (2011某某某某，11，2分)如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于_________．【答案】127. （2011某某某某，17，3分）如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为▲m （结果保留根号）.【答案】303.8. （2011某某某某市，13，3分）sin 30°的值为_____．【答案】21 9. (20011某某某某,11,2分)∠α的补角是120°,则∠α=______,sin α=______. 答案:60°，3210．（2011某某某某，14，4分）如图，点E (0，4)，O (0，0)，C (5，0)在⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦，则tan ∠OBE =．【答案】54 11.12. 第14题图(第11题) BA MO三、解答题(1) 1. （2011某某某某，17（1），6分）计算：20113015(1)()(cos68)338sin 602π---+++-. 【答案】解：解:原式1818=--++……………………………………………4分 8=-6分2. （2011某某某某市，19，8分）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.(1)求证：⊿ABE∽⊿DFE ;(2)若sin∠DFE=31,求tan∠EBC 的值. F EDCB A【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠D=∠C=90°∵⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE∴∠BFE=∠C=90°∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°又∠AFB+∠ABF=90°∴∠ABF=∠DFE∴⊿ABE ∽⊿DFE (2)解：在Rt ⊿DEF 中，sin ∠DFE=EF DE =31 ∴设DE=a,EF=3a,DF=22DE EF -=22a∵⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a, ∠EBC=∠EBF又由（1）⊿ABE ∽⊿DFE ，∴BF FE =ABDF =a a 422=22 ∴tan ∠EBF=BF FE =22 tan ∠EBC=tan ∠EBF=223. （2011某某某某，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°1014cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭的值。
