锐角三角函数-课件

从上面这两个问题的结论中可知，在一个 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当∠ 1 A＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于2，是一个固定值．当∠A＝45°时， 2 ∠A 的对边与斜边的比都等于 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一 个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个 固定值？ 探究：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠ BC B′C′ A＝∠A′＝α，那么AB与 有什么关系？你能解释一下吗？ A′B′ 分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α， BC B′C′ 所以 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则AB＝ . A′B′ 结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何 改变，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
二、共同探究，获取新知 1．概念． a 师：由 sinA＝c，你能得到哪些公式？ 生甲：a＝c·sinA. a 生乙：c＝sinA. 师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我 们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素 求出未知的元素呢？ 教师板书： 在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角 三角形．
重点 锐角三角函数的概念． 难点 锐角三角函数概念的理解．
一、问题引入 问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场 上的国旗图片)小明站在离旗杆底部 10 米远处，目测旗杆的顶部，视线与水 平线的夹角为 34°，并已知目高为 1 米，然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小明是怎样算出的吗？ 师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆 的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线 段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐 角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函 数．

( C)
4
3
3
4
A.5
B.5
C.4
D.3
第18讲┃ 锐角三角函数
[归纳总结]
如图18－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠ tanCA的＝对__边__分ab__别__为．a，b，c，则sinA＝____ac____，cosA＝bc，
图18－2
第18讲┃ 锐角三角函数
考点2 特殊角的三角函数值 1．在直角三角形中，若有一个角为30°，那么它所对
探究一 锐角三角函数 例1 如图18－9，A，B，C三点在正方形网格线的交
点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则
tanB′的值为
(B )
图18－9
A.12
B.13
C.14
D.
2 4
第18讲┃ 锐角三角函数
[解析] 旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝ ∠B，将∠B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角 三角形中，∠B的对边为1，邻边为3，tanB′＝tanB＝13.
第18讲┃ 锐角三角函数
7．[2013·安顺] 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝43， BC＝8，则△ABC 的面积为__2_4_____． [解析] ∵tanA＝BACC＝43，∴AC＝6， ∴△ABC的面积为12×6×8＝24， 故答案为24.
第18讲┃ 锐角三角函数
8．[2013·河池] 如图18－16，在△ABC中，AC＝6，BC＝ 5，sinA＝23，则tanB＝____43____． 图18－16 第18讲┃ 锐角三角函数
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 锐角三角函数
1． 如BC图＝181－，1则，s在inAR＝t△__A_B12_C__中__，，∠coCs＝A＝90_°__，2_3_若__A_B．＝2，

（2）直角三角形中一个锐角的度数越大，它的 对边与斜边的比值越大
结论
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC ,
那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
A
B
C
＜1
＜1
回味无穷
小结 拓展
1.锐角三角函数定义:
A
B
C
问题
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.
结论
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
因此
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记着sinA 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
例 题 示 范

90度角
总结词
正弦值和余弦值不存在，正切值为无穷大
详细描述
在90度角时，正弦函数值和余弦函数值都不存在，因为无法定义与x轴的角度；正切函数值为无穷大 ，因为在直角三角形中，对边长度可以无限小而保持与斜边的比值不变。
03
锐角三角函数的图像与性质
正弦函数图像
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其图像在直角坐标系中呈波 浪形。
用三角函数来处理角度和旋转。
05
常见题型解析与解题技巧
选择题
• 题型特点：选择题通常考察学生对锐角三角函数基础知识的理 解和应用，题目会给出一些具体的数值或图形，要求选择正确 的答案。
选择题
排除法
根据题目给出的选项，逐一排除明显 错误的答案，缩小选择范围。
代入法
对于涉及数值计算的题目，可以将选 项中的数值代入题目中，通过计算验 证答案的正确性。
在研究磁场和电场时，我们经常需要使用锐 角三角函数来描述场的方向和强度。
日常生活中的问题
建筑和设计
在建筑设计、工程规划和土木工程中，锐角 三角函数用于计算角度、高度和距离等参数 ，以确保结构的稳定性和安全性。
游戏和娱乐
在许多游戏和娱乐活动中，锐角三角函数也 起着重要作用。例如，在制作动画、设计游 戏关卡或创建虚拟现实环境时，我们需要使
总结词
正弦值为0，余弦值和正切值不存在
详细描述
在0度角时，正弦函数值为0，表示射线与x轴重合；余弦函数值不存在，因为无 法定义与x轴的角度；正切函数值也不存在，因为没有对边形成直角三角形。
30度角
总结词
正弦值为0.5，余弦值为0.866，正切值为1/3
详细描述
在30度角时，正弦函数值为0.5，表示对边长度为斜边长度的一半；余弦函数值 为0.866，表示邻边长度为斜边长度的一半的平方根；正切函数值为1/3，表示对 边长度与邻边长度的比值。

例3 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5，BC=12.求sinA，cosA，tanA的值.
归纳
在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的值也会发生相应的变化. 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数. 为方便起见，今后将（sinα）2，（cosα）2，（tanα）2分别记作sin2α，cos2α，tan2α.
随堂练习
1．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ ，则AC的长是______．2．已知A为锐角，tanA＝ ，则sinA＝___ ,cosA=_____ ．3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝ ，AB＝4，则AD的长为_____．
6
4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
解：设正方形ABCD的边长为4x，由勾股定理可知，∵M是AD的中点，BE=3AE，∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x．∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2∴EC2=BC2+BE2=(4x)2+(3x)2=25x2∴EC2=EM2+CM2 由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形.∴sin∠ECM= = = .

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新知探究
特殊的45°角的三角函数值归纳如下：
45°
Hale Waihona Puke sin A22
cos A
2
2
tan A
1
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新知学习
特殊角的三角函数值：
sin A cos A tan A
30°
1 2
3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
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60°
3 2
1 2
3
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新知学习
观察表格中的数据，你发现有什么规律？
（1）由表中的数值变化知：正弦值、正切值随角度的增 大而增大，余弦值随角度的增大而减小. （2）sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°， 进而由定义 可知 sin α=cos (90°－α)，
cos α=sin (90°－α). （3）锐角A的正弦、余弦的取值范围分别为： 0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1.
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例题讲解
例1 求下列各式的值.
(1)cos2 60 sin2 60; (2) cos 45 tan 45. sin 45
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新知探究
问题2：等腰直角三角形的锐角是多少度？它有 哪些性质？

(2)若 EG 是△CDE 的中线，探索△ABE 的形状(请写出完整过程)． 解：由(1)知，EG⊥CD. ∵EG 是△CDE 的中线，∴EG 是 CD 的垂直平分线， ∴DE＝CE. ∴∠B＝∠C＝∠D＝45°， ∴∠A＝45°，∴AE＝BE， 又∠AEB＝90°，∴△ABE 是等腰直角三角形．
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
14．如图，BD⊥AC，垂足为 E，△ABE 的中线 FE 的延长线交 CD 于点 G，∠B＝∠C.
(1)求证：EG 是△CDE 的高线；
证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝90°. ∵EF 是△ABE 的中线， ∴EF＝BF＝AF＝12AB，∴∠B＝∠BEF. ∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠BEF.又∠CEG＝∠AEF， ∴∠C＋∠CEG＝∠BEF＋∠AEF＝∠AEB＝90°， ∴∠EGC＝90°，∴EG 是△CDE 的高线．
答案显示
直角三角 形的性质
锐 角 三 角 函 数
锐角三角函数
b c
1
0 1 23 2 2 2
1
0
3
21
2
2