【课件】校级公开课--平面向量的数量积及应用(课件)

平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.

向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。

（2）向量 a 与向量 b 的夹角的夹角120度，求 a b
（3）当 ab ，求 a b
（2）向量 a 与向量 b 的夹角的夹角60度，求向量 a
在向量 b 方向上的投影
新知探究
例1：若 | a | 2，| b | 4，
（1）当 a//b ，求 a b 解：（1）当a//b，若 a, b 同向，则a与b的夹角为0度
|3a－4b|2＝(3a－4b)2 ＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a－4b|＝4 19.
(a＋b)·(a－2b) ＝a2－a·b－2b2 ＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
课后小结
1.向量的夹角定义 2.向量垂直、平行成立的充要条件 3.向量数量积的定义及向量的几何意义 4.向量数量积的性质都有什么？ 5.向量数量积的运算律有哪些？
A
3 C
2 O
B 7
随堂练习2
3. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|；
(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4， a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
|a＋b|2＝(a＋b)2 ＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－4)＋4＝12， ∴|a＋b|＝2 3.
A
B
C
新知探究
例2：已知向量 a,b 满足 | a || b | 1 ，| 3a 2b | 7 ，求 a与b 的夹角 解：设 a, b 的夹角为θ，由题意得：（3a 2b）2 （ 7）2 7
9 | a |2 12a b+4 | b |2 7 又| a |2

法二：如图，以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x
轴，垂直 BC 且过点 B 的直线为 y 轴，建立平面直角坐
标系，则 B(0，0)易知 E(－2，0)，A(－3， 3 )，又 BD
＝ 25＋12－2×5×2 3×cos 30° ＝ 7 ，所以 D(2，
3 )，于是B→D ＝(2， 3 )，A→E ＝(1，－ 3 )，所以
＝|b|＝|c|＝1.若 a·b＝12 ，则(a－b)·(2b－c)的值可能为( ) A．3－ 3 B．－2 C．0 D．－ 2 (2)(一题多解)(2019·天津卷)在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝2 3 ，
AD＝5，∠A＝30°，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AE＝BE，则B→D ·A→E ＝________．
所以(a－b)·(2b－c)的值可能为－2，0，－ 2 .故选 BCD.
(2)法一：△AEB 为等腰三角形，易得BE ＝2，所以A→E ＝A→B ＋B→E ＝
→ AB
－25
→ AD
，则B→D
·A→E
＝(A→D
－A→B
)·A→B－25A→D
＝－25
→ AD
2－A→B
2＋75
→ AD
·A→B
＝－10－12＋21＝－1.
与 b 的夹角 θ 为( )
A．π6
B.
π 3
C．23π
D．56π
D
[cos θ＝aa·bb
＝－2×6 63
＝－
3 2
，又 0≤θ≤π，则 θ＝5π 6
.]
4．设向量 a＝(1，0)，b＝(－1，m)，若 a⊥(ma－b)，则 m＝________． 解析： a＝(1，0)，b＝(－1，m)，则 ma－b＝(m＋1，－m). 由 a⊥(ma－b)得 a·(ma－b)＝0， 即 m＋1＝0，m＝－1. 答案： －1

积（或内积），记作a b ，即
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .

(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业

VS
动量与冲量
在物理中，动量和冲量可以通过向量的数 量积来描述，这有助于理解物体运动过程 中的能量和动量变化。
在解析几何中的应用
点积与距离
向量的数量积可以用于计算两点之间的距离 ，通过计算两个单位向量的点积然后取平方 根。
线性代数方程组
在解析几何中，向量数量积可以用于解决线 性代数方程组，例如通过Cramer's Rule利 用点积来求解方程组。
解题技巧
掌握向量夹角和模长的计 算方法
正确计算向量夹角和模长是计算数量积的关 键。
灵活运用数量积的运算律
如交换律、结合律等，简化计算过程。
掌握特殊向量的性质
如单位向量、零向量等，有助于快速解题。
注意事项
注意向量的夹角范围
向量的夹角范围是$0^circ$到$180^circ$，超出这个范围会导致 错误的结果。
公式
数量积的公式为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$， 其中$|mathbf{a}|$和$|mathbf{b}|$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的模长，$theta$是两向 量的夹角。
几何意义
• 数量积的几何意义是向量 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$在垂 直方向上的投影的长度乘积。具体来 说，当两向量之间的夹角为锐角时， 数量积为正，表示两向量在垂直方向 上同向；当夹角为钝角时，数量积为 负，表示两向量在垂直方向上反向； 当夹角为直角时，数量积为零，表示 两向量在垂直方向上相互垂直。
注意向量的模长
向量的模长不能为零，否则会导致无法计算。
注意运算的优先级

数量积的性质

对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。

详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。

时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1

O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影

O 当
A

B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾

•
•
理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
求证： CP AB
P
证明：如图建立直角坐标系
不妨令B(b,0),C(c,0), A(0, a), P(x, y)
B
O
Cx
AP (x, y a), BC (b, c), AP BC,
(x, y a) (b, c) 0 bx cy ac 0
BP (x b, y), AC (c, a), BP AC,
即 | a • b || a || b | | x1x2 y1 y2 | x12 y12 x22 y22
(4) cos a • b
| a || b |
cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
例1、已知a (2, 1), b (1, 3),
(1)求 | a |,| b |,
B
C
CP BA (BP BC) (BC CA)
2
BP BC BP CA BC BC CA
(BP BC CA) BC (CP CA) BC AP BC 0
CP AB 即 CP AB
例2、试证三角形的三条高线交于一点。
y
A
已知： 如图， 在 ABC 中， AP BC , BP AC