滑移线理论及应用PPT课件

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滑移线理论及应用

证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由曲率半径的定义知：
1/ R / S 和 1/ R / S ΔSβ沿弧S α的变化率为：
d (S ) dS
d (R ) dS
R S
R
S
根据汉盖第一定理有，
d (S dS
)
R S
当曲线四边形单元趋近无限小时
tg
Am AB
沿β2线从点B→点C
pB 2kB pc 2kc
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
PC PA 2k(A C 2B )
PC PA 2k(2D A C ) 由上两式可得
C B D A
同理
pC pB pD pA
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点所移动的路程（如dSα）。 1
线的方向。
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
滑移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）； • 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
1）自由表面塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见
图 8-10a）。因为自由表面（设为 x 轴）上的法向应力（ n y 0 ）和切应力（ k 0 ）。根据式（8-3），可知滑移线性边界点上的k 角和静水压力别

材料加工与制备 9.5 滑移线场理论

m 2k C ( )
(沿
线)
当滑移线场确定、即各点转角φ确定后，若已知某条滑移线上一点的平均应力，则沿该条滑移线上任一点的平均应力可求。进而，应力场可求。
8.5.3 滑移线的性质
1) 同一条滑移线上任意两点间平均应力的变化 Δσm与该两点之间滑移线转角的变化Δφ成正比。
以α线为例，沿线任取两点A、B，由汉盖应力方程，
4
p 3
4
4
3
4
4
8.5.4 塑性区的应力边界条件
3) 接触表面单位摩擦力达到最大值的接触表面（τf=k ）
此时，接触表面与工具粘着，而接触表面以下单元体之切应力为k（屈服），所以有τf=k。
p m
f k
m
k
xy k cos 2 k
0,
2
m
k
0
m
k
2
8.5.4 塑性区的应力边界条件
1G 3G yG xG 2k
3G 2k
mG
1 2
(1G
3G )
k
在O点，
O
G
4
2
4
沿α线ONMG， mO 2kO mG 2kG
mO
mG
2k (O
G )
k
2k( 4
) 4
k(1 )
在O点，
yO
mO
k
sin 2O
k(1 )
k
sin
2( )
4
k(1 )
k
k(2
)
x
m
k
sin
2
y m k sin 2
xy k cos 2
x
x
yx
y

7-2 滑移线速度场理论及应用

ω+dω
P2
vα ω
x
滑移线上邻近两点的速率分解
金属塑性成形原理
盖林格尔速度方程:
dv v d 0 （沿α线） dv vd 0 （沿β线）
(7-12)
此方程式给出了沿滑移线上速度分量的变化特性，它可确定塑性变形区内的速度分布。
若 α 滑移线为直线，则
d 0, v 常数
直线滑移线场，
v 常数,v 常数
金属塑性成形原理
对于由两族 α与β 连续正交的曲线网络所构成的滑移线场，则在速度平面上相应有一由两族连续正交的速度矢端曲线网络所构成的速度矢端图(速端图)，即为速度场。
滑移线和速度矢端曲线之间的关系
金属塑性成形原理
2.几种速度间断线的速端图
(1)滑移线ab为速度间断直线其一侧为刚性区(“-”) ，另一侧为塑性区(”+‘)。由于ab两侧分别具有同一
(7-10)
金属塑性成形原理
过P点取滑移线为坐标系，以滑移线α、β的切线代替x、y轴，则有：
x , y
x ,y
由于σα，σβ 是最大切应力所在平面上的正应力
m
代入(7-10)得:
0, 0
(7-11a)
d
dt
0 d
0
d
dt
0 d
0
(7-11b)
取滑移线为坐标系
速度，故在速度平面的速度矢端曲线分别归缩为一个点，其速端图如图所示。
a)速度间断直线
b)速端图
图7-22 速度间断直线及其速端图
金属塑性成形原理
(2)滑移线ab为速度间断曲线，两侧分别为刚性区与塑性区刚性区一侧在速度平面上的速度矢端曲线归缩为一点，而塑性区一侧

第七章-滑移线场理论简介

第七章滑移线场理论简介
第一节塑性平面应变状态下的应力莫尔圆与物理平面
平面应变时，独立的应力
分量为 x 、 y 和 xy 。
z
2
x
y
2
m
2
1 2
(1
3)
z
1 2
( x
y)
应力莫尔圆中大圆的圆心为( m ，0)，半径为
R
K
1 2
(1
3)
x
2
y
2
xy2
1 m k 2 m 3 m k
ma mb 2K
K p (K) 2K( )
44
p 2K(1 )
2
平面变形挤压
平面变形挤压：挤压
y
前后的宽度不变。挤
压的程度用挤压前后
的面积比来表示，称
为挤压比。对于平面
变形挤压，可由挤压
前后料厚度之比表示。
2
xy
x xy
xy x
x
a
x
K
K
m
m
m
xy
ya)b)来自摩擦切应力为某一中间值的接触面处的滑移线
2、常见的滑移线场类型
直线滑移线场——两族正交的直线简单滑移线场——一直一曲
有心和无心扇形场直线与简单滑移线场组合正交曲线滑移线场
均匀应力场
有心扇形场
无心扇形场
直线与简单滑移线场组合
沿同一条滑移线的速度间断值为常数，其方向随滑移线而改变
dv1 v1 d 0 dv2 v2 d 0
v1 v2
dv1 dv2
v1 v2 v 常数
第五节滑移线场理论在塑性成形中的应用举例
应用滑移线理论求解塑性成型问题，其本质就是根据应力边界条件求解滑移线场和应力状态，并根据速度边界条件求出和滑移线场相匹配的速度场以进行校核。

工程弹塑性力学教学课件第十一章滑移线场理论

y S
0
p
2R
cos
x
sin
y
0
S
S
S
S
p* 2R C p* 2R C
（3）γ＝0和φ＝0代入(3.10)并积分可得:
（沿线）（沿线）
p* p cosx sin y R K (或 C)
S
(p
2R )
0
( p 2R ) 0
S
p 2R C （沿线） p 2R C （沿线）
4.滑移线基本性质
滑移线上的剪应力等于岩土的抗剪强度两族滑移线间的夹角与屈服准则有关对所有岩土材料,重力的存在不影响两族滑移线间的夹角,但对其形状有影响。对c-φ型岩土材料,粘聚力的存在不影响两族滑移线的形状和夹角。
4.滑移线基本性质…
（1）Henky第一定律：如果由一条滑移线 α1（或β1 ）转到另一条滑移线α2 （或β2），则沿任何一条β族（或α族）的滑移线，α线（或β线）的方向与x轴的夹角的变化值保持常量。如图1，得：
RA )( p
A)
sin(
2 )( x p
x A
)
cos(
2 )(
yp
yA)
sin 2( pp pB ) (Rp RB )( p B ) sin( 2)(xp xB ) cos( 2)( yp yB )
yp
yA
tg
(
p
A 2
)( x p
xA )
yp
yB
tg
(
p
B 2
)( x p
自由表面上 n 0, n 0 。周界处处不与滑移线方向相重合。自由表面附近的应力场与自由表面的形状有关。如果自由表面是平面，其影响区域将如图7-2.

第八章滑移线理论及应用

和静水压力变化量Δp均保持不变；

(6)一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量(如dRβ)等于该点所移动的路程(如dSα)；

(7)同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件

研究目的：寻找已知静水压力 p 和Φ角的点
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的
另一族两条滑移线的
曲率变化量（如dRβ）
等于该点所移动的路
程（如dSα）
R 1 S

R 1 S

同族滑移线必然具有相同的曲率方向
滑移线的几何性质

(1)滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为 k的迹线，与主应力迹线相交成π/4角； (2)滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布
1 3
2
标轴Ox的夹角
1
xy
y -k p
x
Ⅱ
k sin 2 p k sin 2 k sin 2 p k sin 2
x m y m
k cos 2 k cos 2
xy
max k
2
B
yx

xy
p p cos x sin y 2k cos x sin y 0 沿线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0 沿线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0
n k n
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线场绘制的数值计算方法

第八章滑移线法

σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ1 K σ3 σ3 K K β
0
β σm σ1 α
K β σm 0
σm K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
（4）库仑摩擦接触表面:摩擦力为某一中间值的接触表面
σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向
π
4
σ3方向
K
σ1方向
K
α K
σ1 K
β σ1
π
K
判断σ1、σ3方向判断变化趋势
β
确定滑移线族别
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
8. 2
汉基应力方程
汉基应力方程
σ m − 2kω = C1 → 沿α 线 σ m + 2 k ω = C 2 → 沿β 线
-----(9)
k ( k − p ) − ( −k ) = −2（ p = 2（ + ） k1 2
（5）、平冲头单位长度上的极限压力
π
π
+ ） 4 4
π
P = 2b × 1 × p = 2kb（2 + π）
3、用图解法和数值积分法建立滑移线场
建立滑移线场从已知的边界条件开始已知两相交滑移线OA和OB，作出该两条滑移线所包围的塑性区 OACB内的滑移线场（1）图解法：滑移线场的节点编号是用一有序数组（m，n）表示，其中m为线的序号 n为β 线的序号

第20讲滑移线应力场理论

沿β 2从（1，2），（2，2）
m 1, 2 m 2 , 2 -2 K ( 1, 2 2 , 2 )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m 1,1 m 1, 2 2 K ( 1,1 1, 2 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 + 2 , 2 -2 2 ,1 )
第四章塑性成形问题工程解法
第二节滑移线方法
第一讲滑移线应力场理论
平面应变的特点
滑移线基本概念滑移线的主要特点滑移线场的建立
平面应变问题的特点
主应力特点
2
K
1 3
2

m
1
2 3
m m m
K
1 3
2

K
平面应变问题的特点
滑移线的主要特点

2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 , 2 2 2 ,1 )
m 1,1 m 2 , 2 2 K ( 1,1 2 1, 2 2 , 2 )

图解法和数值积分法
例题
如图所示光滑平冲头压入半无限高坯料，刚
性冲头的宽度为2b，长度远大于宽度，冲头两侧为自由表面，按图所建立的滑移线场求流动应力p。
2b
X
在a 点：
2b

X
a

4
3 p
在b点：

b

4
1 3 2K
1 0

第七章滑移线理论及应用

滑移线场理论是由M．列维和T．汉基等人所创立，到20世纪40年代后才逐渐形成比较完整的求解方法，滑移线场理论包括应力场理论和速度场理论。滑移线场理论是针对理想刚塑性材料在平面变形的条件下所建立的，但对于主应力互为异号的平面应力问题、简单的轴对称问题以及有硬化的材料，也可作推广应用。
§7. 1 滑移线的概念
K
sin
2

xy K cos 2

对于主应力状态有

4

1
2
m m
K

3 m K
对于理想刚塑性材料，由于 K 为常值，因此
，塑性变形体内各点的应力莫尔圆大小相等，
应力状态的差别只在于平均应力值 m的不同
，即各点应力莫尔圆的圆心在轴上的位置
最大切应力的方向与第一主应力的夹角为
与 ox 轴成夹角；

4
，
作用在最大切应力平面上的正应力大小等于中间主应力或平均应力：
2
m

1 2
(
1
2)

1 2
(
x
y )
由应力状态和应力莫尔圆可知，各应力分量
可以 m 、
用表示
x y
m m

K sin 2
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线场的边值问题，即所谓黎曼（Riemann）问题。就是根据已知两条相交的滑移线，要求进一步求出一个区域内的滑移线场。
已知两条滑移线 O' A 和 O' B 要求出区
域 O' ACB 的滑移线场
按给定的转角等分成若干微小段，得到
相应滑移线网的节点，并分别给与编号，沿

第四节滑移线的基本理论

一、滑移线的基本概念
一）平面应变状态的特点（即平面塑性应变状态）
1）某一方向的应变为零（εZ=0）； 2）变形平面称为塑性流动平面； 3）任一点P的应力状态及其应力莫尔圆如图，且τmax =（σ1－σ3）/2=K。 4）作用在最大切应力平面上的正应力恰等于中间主应力σ2或平均应力σm ，即 σm=σ2=(σ1+σ3)/2 =(σx+σy)/2 5）应力分量σx ,σy ,和τxy 可以用σm 及K表示 σx=σm－Ksin2ω σ1= σm+K σy=σm + Ksin2ω σ2= σm τmax=±Kcos2ω σ3= σm－K 式中,ω--最大切应力平面与X轴的夹角
四、应力边界条件
一）应力边界条件的描述形式 *通常的应力边界条件：正应力σn，切应力τ； *滑移线场求解所要求的边界条件：切线角ω，平均应力σm ；设边界的切线与x轴一致，则有： ω=±[arcos(τ/K)] /2 （5--10）
二）塑性加工中，常见的边界条件 (5种)
1.自由表面特点：自由表面无切向、法向应力，故自由表面必为主平面.
二）跨线特性（汉基第一定理）同族的两条滑移与另族的一条滑移线相交，则两交点切线间的夹角Δω与平均应力的变化Δσm 均为常数。 ΔωAD=ΔωBC=……=Constant Δσm(A,D)=Δσm(B,C)=……= Constant 即: ωD －ωA=ωC －ωB =…… σmD－σmA=σmC－σm B =……
二）最大切应力轨迹线——滑移线的形成
1.滑移线连续地分布在整个塑性变形区，一直伸展到边界。
2.由变形区内每一点出发均可作出两条正交的滑移线，从而得到两族相互正交的滑移线网络，即滑移线场（一族为α滑移线，另一族为β滑移线）。 3.两条滑移线的交点称为节点。

滑移线法

4
m 0 , n m 0 , 0
2 K p K 1 2 n
0 , 0 0 , n
沿n 线从（0， n ）点到（m，n）点，每转一点减少 - ；
m n m m n 4 4
4
求AB面上的平均单位压力
沿滑移线MN，M点中心角为。
N ; mN K;
4 M ; mM ? 2
汉基方程

2 K 2 K
m M M m N N
2 K K 2 K 4 2
BQ OP h cos 4
冲头总压力
F 2 pl sin pl cos
2 pl sin cos
； 2 K 1 =0，时， p 4
； K 1 2 =K， = 0 时， ABC将消失，角增加，p
mB mE E B
2 K K 2 K
楔面上B点正应力
y
K sin 2 K 1 2 K sin 2 2
K 1 2 sin 2
m B B

p K 1 2 sin 2 y
三、速度矢端图（速端图）
在速度平面 Vx-Vy上以坐
标原点 o为极点，将塑性
流动平面内位于同一条滑移线上各点的速度矢量按同一比例均由极点绘出，然后依次连接各
速度适量的端点，形成
一条曲线。
7.5 用滑移线法求解塑性成形问题
一、冲头压入半无限体
1、平冲头压入半无限体冲头压入变形体，变形区长度远大于宽度，类似于平面应变问题。建立滑移线场

第四章-材料成形力学-滑移线场理论及其应用-多媒体课件

塑性区
v 0
v 2v0
AC v0 v AF v AC cos 45 v AC
1 2
(3) 单位压力公式
pD 2kD pC 2kC
pC D 2k(C D )
D
p
4
pD k
C
3p
4
pC
k
2k(3p
4
p)
4
k(1 p )
y
pC
k sin 2C
k(1 p )
k sin 3p
② 同族滑移线必须具有相同方向的曲率.
③ 如果一族滑移线是直线，那么与其正交的另一族滑移线将具有如图所示的4种类型
A 平行直线场
B 有心扇形场
C 一般简单应力场
边
界
线
D 具有边界线的简单应力场
均匀应力状态区的相邻区域一定是简单应力状态的滑移线场。
线 S
B
线 A
L
o C
B 线
线 A
4.4 盖林格尔速度方程与速端图
x
y
1 4
x
y
2
2 xy
1
max
1 2
1
3
1 4
x
y
2
2 xy
2
屈服时
1 2
p
p
k
3 p k
4.1.2 基本假设
假设变形材料为各向同性的刚－塑性材料即假设塑性区各点的变形抗力是常数
4.1.3 基本概念 (1) 滑移线、滑移线网和滑移线场
max
1 4
4.3 滑移线场的几何性质
性质1 在同一条滑移线上，由点a 到点b，静水压力的变化与滑移线的切线的转角成正比.

滑移线方法

根据质点的变形趋势判断

滑移线法就是针对具体的变形工序或变形过程，建立滑移线场，然后利用其某些特性，来求解塑性成形问题，如确定变形体内的应力分布、计算变形力、分析变形和决定毛坯的合理外形、尺寸等。

塑性加工理论及应用
6 滑移线法
6.2 汉基（Hencky）应力方程
料常数，故只要能找到沿滑移线上的 σm的变化规律，即可求得整个变形体（或变形区）的应力分布。这就是应用滑移线法求解平面问题的实质。汉基应力方程给出了滑移线场内平均应力的变化与滑移线转角的关系式。其推导过程如下已知平面应变时的平衡方程为
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k为常数。因此塑性变形区内各点莫尔圆半径（即最大切应力）等于材料常数k。
由图6-2可知，滑移线的微分方程为：
dy tg dx
对线
dy tg( /) ctg dx
对

线
图6-2 x-y坐标系与滑移线网络
滑移线基本概念

滑移线的判断

滑移线的主要特点

2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。 ma mb 2K (a b )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m1,1 m1,2 2K (1,1 1,2 )
沿β 2从（1，2），（2，2）
上述已知，平面塑性应变状态下的应力分量完全可由σm和K来表示，而K为材
x xy 0 x y y xy 0 y x
塑性加工理论及应用
6 滑移线法
滑移线法解题步骤::
1 建立滑移线场,确定x,y坐标轴: 2 在自由表面取一点,分析应力状态:

第四章滑移线理论

(σx,τxy)
β
α
(σy,τxy)
σ
2θ
β
π/4 α σ3
σ1
第一主应力与x轴的夹角为θ： tan 2 2 xy
y x
剪切破坏面(α面和β面)与第一主应力方向的夹角为π/4。要注意的是，剪切破坏面与第一主应力方向的夹角、剪切破坏面与第一主应力面的夹角是不相等的，两者相差π/2，在莫尔圆中则相差π。
y'
x
x'
xy dA yx
根据 2 sincos sin2 cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
y
x cos2 y sin2 xy sin cos yx sin cos
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
x sin cos y sin cos xy cos2 yx sin2
xy
x y
2
4
2 xy
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
max
min
x y
2
2
2 xy
x y
2
2
2 xy
tan
2
1
4
tan
21
2
cot
21
cot
21
xy x y
2
0
1
4
即极值剪应力面与主面成45°夹角
4.2 滑移线的概念
(1) Tresca材料 τ p=(σx+σy)/2
O
应力分量 x , y , xy 可表示为：
x
p
R cos 2

第21讲滑移线速度场理论

1 2 1 2
v a v a dv ;
2 1 1
v b v b dv ;
2 1 2
va va vb vb
1 2 1
2
结论：沿一条滑移线速度间断为常数
速度矢端图
速度矢端图的概念
速度的端点的轨迹表示速度场；速度场的图形解法。
速度矢端图
速度矢端图与滑移线
速度间断

速度间断线的位置
过渡区域：
1、很薄dy->0；2、有速度变化；
xy

ux 1 uy ( ) 2 x y

xy

xy
xy
dy 0 vt vt c
1 2
xy
max( K )
速度间断线必然是滑移线
速度间断

速度间断的特点
3 4
2k
))
1
2
3
m
K
x m K K ( 2 )
p x* 2 3
本章小结
滑移线应力场理论
滑移线速度场理论滑移线理论工程应用
为： v , v ; v ， v 和 v ， v ； v v；
1 2 1 1 2 2 1 2
设某条α线为速度间断线：
滑移线两侧的速度分别沿切向和法向分解：由于法向速度向等：由格林盖尔方程： dv v d 0
1 1
dv v d 0
2 2
第四章塑性成形问题工程解法第二节滑移线方法第二讲滑移线速度场理论?格林盖尔方程?速度间断?速度矢端图?工程应用格林盖尔方程?滑移线的不可压缩性xyxymyyymxxx???????????????????????????????m???????????23100????????00??dtd?dtd???00?????d?d滑移线具有不可伸缩性格林盖尔方程?临近两点的速度关系如图p1p2为滑移线临近的两点sincos21212121212121?d?d?d????v?v????v??vdvvdvppppppppppppdvvdvpvp??????????得

12第十二章滑移线法

y

3
( x , xy )

2
2
1

x
m

第十二章塑性成形的滑移线法
根据莫尔圆，得到以下关系： x m K sin( 2 )
y m K sin( 2 ) xy K cos( 2 )
代入平衡方程：
x x

yx y
0
y
K 2 K ( ) p K 2 K ( ) c 4 4 p 2 K 2 K
总变形力 2 p sin 楔体投影面积
第十二章塑性成形的滑移线法
练习：利用滑移线法求解拉深变形中法兰(凸缘) 部份的应力发
布。
3)
沿着一条连接已知边界和未知边界的滑移线，确定两处的角度和平均应力，并运用汉基方程求出未知边界的应力分量。
例一：平冲头压入半无限体，冲头 L 长度远大于宽度 2b 。设接触面光滑无摩擦，材料无加工硬化，的屈服剪应力为 K ，求单位变形力。
第十二章塑性成形的滑移线法
解：1) 作滑移线场，确定滑移线的方向。ABC 为均匀应力场，
线和线。所有的线组成
线组成族。滑移线与最大主应力之间的方向关线两侧剪应力为顺时针排

3
系如图所示。如以滑移线为边界做单元体就会看出：1) 滑移线两
侧剪应力为 K ，正应力为 m 。 2) 列；
线两侧的剪应力为逆时针排列。
m

K

m
K
2
1

AOD 为均匀应力场。边界 AB 和边界AO受力情况不同，故 AC 和 AD 为同族的滑移线。由于 AC 和 AD 为直线，故该族的其它滑移线也是直线。 2) 确定自由表面的平均应力和滑移线角度。在AB面上有：

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a b cd const mab mdc const
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数，如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x

2k c os2

x
sin2

y

0
m
x

2k s in2

x
cos2

y

0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
在离a点无限邻近处，坐标轴a和β的微分弧可认为与切线重合，故有：
ω=0,dx=dsα,dy=d
s
12
m 2k 0
s
s
m 2k 0
s
s
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
第10章滑移线理论及应用
7.1 滑移线基本概念 7.2 滑移线的沿线力学方程——汉盖应力方程 7.3 滑移线的几何性质 7.4 应力边界条件 7.5 滑移线场的建立 7.6 滑移线应用
1
塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线。由于最大剪应力成对正交，因此，滑移线在变形体内成两族正交的线网，组成所谓滑移线场。滑移线法是求解理想刚塑性材料的平面应变问题的精确理论。
z
m

1 3
(
1
2
3)
3

1 2
(1
2)

p
p称为静水压力
3
一、平面变形应力状态的特点
max (1 3 ) / 2
[(
x

y
)
/
2]2

2 xy
x m ksin2 p ksin2 y m ksin2 p ksin2 xy kcos2
2,1 1,1 2,2 1,2 ＝常数
m m 2,1 m 1,1 m 2,2 ＝m 1,常2 数
18
→ m 2k （沿线）
若该滑移线为β线
同理 ma 2ka mb 2kb
ma mb 2ka b
14
结论1：同一滑移线平均应力σm变化与ω角变化成正比。
沿α线沿β线
m 2k m 2k
具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变
化规律。
当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若
滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相
等。
15
结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的平均应力，其余节点的平均应力即可求得。
16
汉基第一定理
汉盖第一定理：同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点处的切线间夹角∆ω与平均应力变化∆σm均为常数。
因主应力状态有ω=±π/4：
1 m k -p k 2 m p 3 m k -p- k
ω为最大切应力τ max方向与坐标ox轴的夹角。 4
5
二、最大切应力轨迹线-滑移线形成
对于理想刚塑材料，材料
的屈服切应力k为常数。
在x-y坐标平面上任取一
当沿族a（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数 ξ（或η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，ξ （或η）值才改变。
13
10.3 滑移线的基本性质
一、沿线特性
同一条α 滑移线上，任取两点a，b，由
m 2k 得：
ma 2ka mb 2kb
即： ma mb 2k a b
y

1 E
y

1 2
( x
z );

0 xz 2G
0

1 E

z

1 2
(
y

x
);

0 yz 2G
得：
z

1 2
(
y
x)
平均应力为： m

1 3
(
x
y
z)

1 3
( x
y)
1 2
( x
y )
按右旋规则人为规定，即又α线的正向逆时针转过90°达到β线
的正向。
7
ω角规定
ω角是α线在任意点P的切线正方向与ox轴的夹角。 ox 轴正向逆时针旋转为正ω角，顺时针旋转为负ω角
σ1＞ σ3
金属向力大方向流动顺时针方向切应力对应α 线
8
9
四、滑移线微分方程
滑移线的微分方程为对α线
dy tg
根据变形过程，建立滑移场
求解塑性成性问题
（应力分布、变形力、分析变形和毛坯的外性尺寸）
2
10.1 滑移线基本概念
一、平面变形应力状态的特点
平面变形：某一方向相关的应变为零，即变形仅发
生在一个坐标平面内。由万能胡克定律：
x

1 E

x

1 (
2y
z );
xy
xy 2G
dx 对β线
dy tg'
dx
tg( ) ctg
2 10
10.2 滑移线的沿线力学方程——汉盖应力方程
x m ksin2 p ksin2 y m ksin2 p ksin2 xy kcos2

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