方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。
这就是接下来要谈论的方向导数。
定义 1 设三元函数),,(z y x f 在点),,(0000z y x P 的某邻域30)(R P U ⊂内有定义，l 为从点0P 出发的射线，),,(z y x P 为l 上且含于)(0P U 内的任一点，以ρ表示P 与0P 两点间的距离，若极限ρρρρf P f P f 1000lim lim )()(∆=-++→→存在，则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作),,()(,|0000p 0z y x f p f l f l l 或。
沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出。
定理 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微，则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在，且γβαcos )(cos )(cos )()(0000P f P f P f P f z y x l ++=其中γβαcos ,cos ,cos 为方向l 的方向余弦。
注：最后会介绍方向余弦的知识例1 设32),,(z y x z y x f ++=，求f 在点)1,1,1(0P 沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数。
解 易见f 在点)1,1,1(0P 可微。
故由3)(,2)(,1)(000===P f P f P f z y x 及方向l 的方向余弦311)2(21cos ,321)2(22cos ,321)2(22cos 222222222=+-+=-=+-+-==+-+=γβα 可按定理中的公式求得f 沿方向l 的方向导数为31313)32(2321)(0=⋅+-⋅+⋅=P f l .定义 2 若),,(z y x f 在),,(0000z y x P 存在所有自变量的偏导数，则称向量))(),(),((000P f P f P f z y x 为函数f 在点0P 的梯度，记作))(),(),(( 000P f P f P f f grad z y x =.向量 f grad 的长度（或模）为202020)()()( P f P f P f f grad z y x ++=.在上述定理的条件下，若记l 方向上的单位向量为)cos ,cos ,(cos 0γβα=l .于是方向导数公式又可以写成θcos )(00f grad l f grad P f l =∙=这里θ是梯度向量)( 0P f grad 与的夹角0l 。
梯度与方向导数
梯度与方向导数是微积分中的两个重要概念。
梯度是一个向量，它指向一个函数在某一点上增加最快的方向。
方向导数是一个标量，它描述了在某一点上沿着某个方向变化的速率。
梯度和方向导数都有广泛的应用，例如在优化问题中，可以使用梯度来找到函数的极大值或极小值，并使用方向导数来确定函数在某个方向上的渐近行为。
此外，梯度和方向导数还可以用于描述流体力学和电磁学中的物理现象，例如速度和电场的变化。
因此，深入理解梯度和方向导数的概念对于学习微积分和应用数学都是非常重要的。
- 1 -。
