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向导数值都等于1：
想方不一向 一想zl 导定，(0,0)数存该 lxyi存在例m00 在。给x2x时你2 y，什2y2偏么0 导启1 数示15
三、 梯度
一个问题：
可微函数 u f (X ) f (x, y, z) 在给定点 X 0 沿什么方向增加得最快？
该问题仅在 u , u , u 不同时为零才有意义。
19
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c 所截得
z z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
y f ( x, y) c2 grad f ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
c2 c1
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
处可微，则函 数 f (X ) 在点 (x0, y0, z0 ) 处 沿任一方向 l 0 (cos , cos , cos ) 的方 向导数存在，且
u u cos u cos u cos
l x
y
z
其中, 各导数均为在点(x0, y0, z0 ) 处的值.
11
运用向量的数量积，可将方向 导数计算公式表示为：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
gradu e
其中，gradu
u x
,
u y
,
u z
称为梯度
e (cos, cos, cos )
12
在 R2 中 可统一表示为
u u cos u cos
l x
y
u gradu e u u
u
x1 x2
xn
e (cos1 , cos2 ,, cosn )
u l
u x1
cos1
u xn
cos n
(n2)
13
例 沿设方uul 向 xluyxzco,is求 函2 j数uyc在2oks点的P方(1u向z, 2c导o, s数2)。
解
u x
P
yx P
4 ;
u y
P
xz P
2 ;
u z
P
xy P
lim f ( X ) f ( X 0 ) X X0 || X X 0 ||
存在，则称该极限值为函数 f (X ) 在点 X 0 处沿 l 方向的方向导数。记为
5
z l
X X0
lim
X X0
f (X) f (X0) || X X 0 ||
或
fl( X 0 )
6
利用直线方程可将方向导数的定义
1
y
l
p(x x, y y)
y
p(x, y) x
x 0
方向导数图示
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
2
| BC |
tan | AC |
f (x x) B
ff((xx))
lliimm ||xxx||000
fff(((xxxxxx)))fff(((xxx))) || (x xxx) x ||
X 0 , 则称向量
f
(
X
0
)
i
f ( X 0 )
j
f
(
X
0
)
k
x
y
z
为函数 f (X ) 在点 X 0 处的梯度，记为
grad f ( X 0 ) 或 f ( X 0 ) 。
18
梯度的方向与取得最大方向导数 导方向一致，而它的模就是函数在 该点的方向导数的最大值。
以上结论可以推广到二元和三元以 上的函数中。
看看三维空间的情形
X 0 (x0 , y0 , z0 )
X (x, y, z)
cos x x0
cos
||
X y
Xy00
||
|| X X 0 ||
cos z z0
|| X X 0 ||
f
(X)
f
(X0)
u x
x
u y
y
u z
z
o(||
X
X0
||)
10
定理(方向导数导计算公式)
若函数 u f (x , y , z) 在点 (x0, y0, z0 )
2.
cos 1 , cos 2 ,
3
3
cos 2 .
3
u l
P
(4) 1 (2) 2 2 2 4
3
3 33
14
例 由点 P(x, y) 到坐标原点的距离定
义函的数函可数 z微 是x2方 y向2 导在坐数标存原在点处 的的两充个分偏导条数件均不，存而在不，但是它必在要该点 沿条任件何。方向的方向导数均存在，且方
x
20
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有一阶 连续偏导数，则对于每一点 P( x, y, z) G，都可 定义一个向量(梯度)
比较方向导数与偏导数的概念
在方向导数中，分母 || X X 0 || 0；
在偏导数中，分母 x 、y 可正、可负。
方向导想数一与偏想导，数是为两什个不么同？的概念
即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时， 方向导数与偏导数的概念也是不同的。
8
怎么计算方向导数？
9
X
l0 l
X0
x 0 A
x
C f (x)
x x
3
R3中
z
z f (X)
. l0
.l P
P0
O lim f (P) f (P0 )y
x
PP0 || PP0 ||
f
(x)
沿
l
0
方向的方向导数
4
二、方向导数的定义 设函数 u f (X ) 在 U( X 0 )内有定义。
若点X U( X 0 )沿射线 l 趋于 X 0 时,极限
一 问题的提出
例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
表示为:
u lim f ( X 0 te) f ( X 0 )
l t0
t
射线 l 的方程为
x x0
coms
y y0
cons
z z0
cops
t
则 x x0 t cos y y0 t cos z z0 t cos
故 X X0 te
e (cos , cos ,cos )
7
x y z
16
由由前此面的可推得导，出有什么结论？
u gradu e
l || grad方u |向||| e导|| co数s(g等rad于u ,梯e)度 在|| g此rad方u |向|co上s(gr的ad投u , 影e)
prje grad u
现在正式给出 grad u 的定义
17
定义 设 R3 , u f ( X ) C1() ,
