高数 方向导数与梯度 知识点与例题精讲

最优化方法方向导数与梯度例题一、引言在数学和计算机领域中，最优化方法是一种常用的数学工具，用于解决优化问题。

在这个过程中，方向导数和梯度是非常重要的概念，它们帮助我们找到函数的最大值或最小值。

本文将深入探讨最优化方法中的方向导数和梯度，并通过例题来帮助读者更好地理解这些概念。

二、方向导数与梯度的定义1. 方向导数方向导数是一个向量的数量函数，表示函数在某一点沿着某一方向的变化率。

在数学上，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在点P0(x10, x20, ..., xn0)处沿着向量v=(v1, v2, ..., vn)的方向导数定义如下：∇f(P0)•v = lim(h→0) [f(P0+hv) - f(P0)] / h其中∇f(P0)表示函数f在点P0处的梯度，v表示方向向量。

2. 梯度梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向。

对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，函数在点P0(x10, x20, ..., xn0)处的梯度定义如下：∇f(P0) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)其中∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数。

三、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度之间有着密切的关系。

事实上，当方向向量为梯度的时候，方向导数达到最大值。

这意味着，函数在梯度的方向上的变化率最大。

这也是最优化方法中常用的一种策略，即沿着梯度的方向不断调整自变量，以寻找函数的最大值或最小值。

四、例题分析为了更好地理解方向导数与梯度的概念，我们将通过一个具体的例题来说明。

例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数和梯度。

解析：我们求函数在点(1, 2)处的梯度。

计算过程如下：∇f(1, 2) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)|_(1, 2) = (2, 4)我们求函数在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数。

第七节 方向导数与梯度分布图示★ 引例 ★ 数量场与向量场的概念 ★ 方向导数的概念 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 梯度的概念★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 梯度的运算性质及应用（例9） ★ 例10 ★ 等高线及其画法 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9—7 ★ 返回内容要点一、场的概念： 数量场 向量场 稳定场 不稳定场二、方向导数.),(),(lim 0ρρy x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→ 定理1 如果函数),(y x f z =在点),(y x P 是可微分的，则函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且,sin cos ϕϕyf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂ （7.1） 其中ϕ为x 轴正向到方向l 的转角（图8-7-2）.三、梯度的概念：.),(j yf i x f y x gradf∂∂+∂∂=}sin ,{cos ,sin cos ϕϕϕϕ⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂y f x f y fx f l f ,cos |),(|),(θy x gradf e y x gradf =⋅= 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设v u ,可微，βα,为常数，则（1） grad αβα=+)(v u grad β+u grad v ; （2） grad u v u =⋅)( grad v v + grad u ; （3） grad )()(u f u f '= grad u . 四、等高线的概念例题选讲方向导数例1（E01）求函数y xe z 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数.解 这里方向l即为→PQ },1,1{-=故x 轴到方向l 的转角.4πϕ-=)0,1(xz ∂∂)0,1(2ye =,1=)0,1(yz ∂∂)0,1(22yxe =,2=所求方向导数l z ∂∂⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 24cos ππ.22-=例2 求函数22),(y xy x y x f +-=在点)1,1(沿与x 轴方向夹角为α的方向射线l的方向导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有(1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零? 解 由方向导数的计算公式知)1,1(lf ∂∂ααsin )1,1(cos )1,1(y x f f +=ααsin )2(cos )2()1,1()1,1(x y y x -+-=ααsin cos +=,4sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πα故(1) 当4πα=时，方向导数达到最大值;2(2) 当45πα=时，方向导数达到最小值;2- (3) 当43πα=和47πα=时，方向导数等于0.例3（E02）求函数)ln(22z y x u ++=在点A (1,0,1)处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数.解 这里l 为}1,2,2{-=的方向,向量的方向余弦为,32cos =α,32cos -=β,31cos =γ又x u ∂∂,122z y x ++=y u ∂∂,12222zy y z y x +⋅++=z u∂∂,12222zy z z y x +⋅++=所以Axu ∂∂,21=Ayu ∂∂,0=Azu ∂∂.21=于是 Alu ∂∂21313203221⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=.21=例4 求zx yz xy z y x f ++=),,(在点)2,1,1(沿方向l 的方向导数, 其中l的方向角分别为60℃, 45℃, 60℃.解 与l同向的单位向量l e }60cos ,45cos ,60{cos ︒︒︒=.21,22,21⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=因为函数可微分,且)2,1,1(x f )2,1,1()(z y +=,3= )2,1,1(y f )2,1,1()(z x +=,3=)2,1,1(z f )2,1,1()(x y +=.2=故)2,1,1(lf∂∂212223213⋅+⋅+⋅=).235(21+=例5（E03）设n是曲面632222=++z y x 在)1,1,1(P 处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1y x zu +=在此处方向n 的方向导数.解 令,632),,(222-++=z y x z y x F pxF p x 4=,4=pyF py6=,6=pzF p z 2=,2=故 n},,{z y x F F F =},2,6,4{=||n 222264++=,142=方向余弦为αcos ,142=βcos ,143=γcos .141=px u ∂∂pyx z x 22866+=;146=pyu ∂∂pyx z y 22868+=;148=pzu ∂∂pz y x 22286+=.14-=所以pnu ∂∂pz u y u x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=γβαcos cos cos .711=例6（E04）(1) 求.122yx grad +(2) 设222),,(z y x z y x f ++=, 求)2,1,1(-gradf .解 (1)这里.1),(22y x y x f +=因为 x f∂∂,)(2222y x x +-=y f ∂∂,)(2222y x y +-= 所以 221y x g r a d +.)(2)(2222222j y x y i y x x +-+-=(2)gradf },,{z y x f f f =},2,2,2{z y x =于是 )2,1,1(-g r a d f }.4,2,2{-=例7 求函数y x z y x u 2332222-+++=在点)2,1,1(处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零?解 由梯度计算公式得),,(z y x gradu k z u j y u i x u∂∂+∂∂+∂∂=,6)24()32(k z j y i x +-++= 故)2,1,1(gradu .1225k j i ++=在⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,230P 处梯度为.0例8（E05）求函数xyz z xy u -+=32在点)1,1,1(0P 处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少.解 由x u ∂∂,2yz y -=y u ∂∂,2xz xy -=z u∂∂,32xy z -=得 ,00=∂∂P xu,10=∂∂P yu .20=∂∂P zu从而)(0P gradu },2,1,0{=)(0P u grad 410++=.5= 于是u 在点0P 处沿方向}2,1,0{的方向导数最大,最大值是.5例9（E07） 设)(r f 为可微函数,.|,|k z j y i x r r r++==求),(r gradf解 由上述公式(3)知grad )()(r f r f '= grad .)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂'=k z r j y r i x r r f r因为,,,rz z r r y y r r x x r =∂∂=∂∂=∂∂所以grad .)(||)()()(0r x f r r x f k r z j r y i rx r f r f'='=⎪⎭⎫⎝⎛++'=注:利用场得概念，我们可以说向量函数grad )(M f 确定了一个向量场－梯度场，它是由数量场)(M f 产生的. 通常称函数)(M f 为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场. 必须注意，任意一个向量场不一定势势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例10（E06）试求数量场rm所产生的梯度场, 其中常数,0>m 222z y x r ++=为原点O 与点),,(z y x M 间的距离.解⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m x x r r m ∂∂-=2,3r mx -= 同理⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m y ,3r my -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m z .3rmz-= 从而 r mg r a d .2⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=k r z j r y i rx r m如果用r e表示与同方向的单位向量,则r e k r z j r y i r x ++= .2r e rmr m grad -=上式右端在力学上可解析为,位于原点O 而质量为m 的质点对位于点M 而质量为 1 的质点的引力.该引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距离平方成反比,该引力的方向由点M 指向原点.课堂练习1. 函数22),(y x y x f z +==在)0,0(点处的偏导数是否存在? 方向导数是否存在?2. 求函数xz yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿P 点的向径方向的方向导数.。