2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)

∵∠1＋∠BFA＝90° ， ∠2＋∠DAF＝90° ， ∴∠BFA＝∠DAF， ∴AE＝EF，∴BE＝EF.
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[研一题]
[例3] 如图，AB是⊙O的直径，
AB＝2 cm，点C在圆周上，且∠BAC
＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于
D.求BD的长．
分析：本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应 用．解答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识 解决． 返回
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，
∠DAC＝180°－∠ADC－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC. 返回
[研一题] [例2] 已知三角形ABC是圆内接正三角形，M是
B上的一点．
求证：MA＝MB＋MC. 分析：本题考查圆周角定理及全等三角形的应用． 解答本题可先将MA分成MD和AD两段，然后证明MB
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[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明
比例式相等．
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[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边 交于点P，求BP长．
解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90° ，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90° ， ∴由射影定理可知 AC2＝AP· AB. AC2 36 ∴AP＝ ＝ ＝3.6. AB 10 ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.
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[悟一法]
(1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周

ADC∽ ABE,
AC AD. AE AB
∴AB·AC=AE·AD.
-
7
例2 如图,AB与CD相交于圆内一点P.
⌒
⌒
求证:AD的度数与BC的度数和的一
半等于∠APD的度数.
证明:过点C作CE//AB交圆于点E, 既非圆周角
则有 APD C.
也非圆角
⌒
⌒
∵AE=BC, ( ? )
∠ABE=∠BEC
-
4
一.圆周角定理 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半。 已知 在⊙O中，B⌒C所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC, ∠BOC. 求证：∠BAC= ∠1BOC.
2
A
A
A
O
O
CB
C
B
分三种(1情) 况讨论.
(2) -
O
C
B
(3) 5
圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,
Ａ
2
13
Ｅ
4Ｆ
Ｂ
Ｄ
Ｐ Ｃ
-
9
习题2.1(P26)
1.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C 与⊙O的弦AB交 于点D,求证:D是AB的中点.
2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂足D,且 CD=6cm.求AD的长.
⌒⌒ 3.如图,BC是⊙O的直径, AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF和AD相交 于E.求证:AE=BE.
B
C
D
A
F
E
ACO
EA D
B B DO
C
(第1题)
(第2题) -

直线与圆的位置关系 一 圆周角定理
复习：圆心角和圆周角定义及关系
• 探究：在⊙o中作一个顶点为A的圆周角∠BAC,连 接OB、OC,得圆心角∠BOC。度量∠BAC和∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？改变圆周角的大小， 这种关系会改变吗
可以发现，无论圆周角的大小怎样改变，都有 A 1
∠BAC= 2 ∠BOC
于点D，求证：D是AB的中点。 B
D
A
•
•
C
O
例4 BC为⊙ O的直径，AD⊥BC, 垂足为D，A⌒B=A⌒F，BF和AD相交于
E，求证：AE=BE
A F
E
•
C
B
D
O
• 作业 • 第26页1、2、3
例1 如图，AD是△ABC的高，AE 是△ABC的外接圆直径。
A
求证：AB•AC =AE •AD
B E
•O
DHale Waihona Puke C例2 如图，AB与CD相交于圆内一 点P。求证：A⌒D的度数与B⌒C的度数
和的一半等于∠APD的度数。
D
B
P C
A
E
例3 如图，OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦AB相交
O
B
C
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半。
已知：在⊙o中BC弧所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC、 ∠BOC
求证： ∠BAC= 1 ∠ BOC
A
2
•
O
B
C
D
我们知道，一个周角是360°。把周 角等分360份，每一份叫做1°的弧 由此，n°的圆心角所对的弧是n° 的弧；反之，n°的弧所对的圆心角

∴CE2=ED·AE,
∴16=2AE,∴AE=8.
∴AD=AE-DE=6.
探究一
探究二
探究三
点评(1)本题证三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而其中
角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,先由三角形相似 得线段成比例,然后再求其长度.
探究一
探究二
探究三
探究二 证明线段相等
有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证圆周角相 等,可转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的常见策略.
径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
又如图(2),在☉O 中,直径 AB⊥CD,弦 AE⊥CF,要证△ABE≌△CDF,在 已知∠A=∠C,AB=CD 时,缺少一个条件,由 AB,CD 为直径,想到连接 BE,DF, 便可知∠E=∠F=90°,这就为证三角形全等提供了条件.
图(1)
图(2)
探究一
探究二
探究三
解:(1)∵AE 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠EAC.
又∵∠B=∠E,
∴△ABD∽△AEC.
∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,
∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED.
探究一
探究二
探究三
(2)∵△CED∽△AEC,
∴������������
������������
=
������������������������ .
∴������������������ 所对圆周角∠BCD=12×210°=105°.
1 2345
1.如图所示,在☉O 中,∠BAC=25°,则∠BOC 等于( )
A.25°
B.50°
C.30°